Không gian metric và không gian tô pô đầy đủ

Đến lượt nó, không gian metric lại là cơ sở để hình thành một khái niệm tổng quát hơn là không gian tôpô, sẽ được nghiêncứu trong chương sau.. Trong khi nghiên cứu nhữngvấn đề của giải t

Metric and Topological Spaces

TS Nguyễn Thái An

Ngày 27 tháng 6 năm 2021

Chương 1

Không gian metric

Không gian metric là kết quả của sự khái quát hóa nhiều đối tượng toán học cụthể như tập số thực R, tập số phức C, không gian Euclid Rk, hay tập C[a, b] cáchàm số liên tục trên đoạn [a, b], Đến lượt nó, không gian metric lại là cơ sở

để hình thành một khái niệm tổng quát hơn là không gian tôpô, sẽ được nghiêncứu trong chương sau Nghiên cứu không gian metric sẽ cho chúng ta cái nhìnbản chất và tổng quát về những vấn đề cơ sở của giải tích

1.1.1 Khái niệm không gian metric

Trong giải tích cổ điển ta đã biết: Chuyển qua giới hạn là phép toán cơ bản, nhờ

nó ta xây dựng các khái niệm liên tục, vi phân và tích phân Khái niệm giới hanđược xây dựng dựa vào khái niệm khoảng cách Chẳng hạn, ta nói dãy số thực{xn} có giới hạn là số x nếu khoảng cách từ xn đến x (tức là số |xn− x|) béhơn số dương tùy ý  cho trước miễn là n đủ lớn Trong khi nghiên cứu nhữngvấn đề của giải tích, người ta thấy có những điều đáng lưu ý sau đây:

• Nhiều sự kiện được chứng minh chỉ dựa trên tính chất của khoảng cách,

mà không phụ thuộc vào tính chất khác (chẳng hạn tính chất của các phéptoán đại số trên R );

• Có thể bắt gặp khoảng cách giữa các đối tượng của nhiểu lớp khác nhau(như các số, các hàm, )

Từ đó, để nghiên cứu bản chất chung của những sự kiện riêng lẻ này, người tatrừu tượng hóa khái niệm khoảng cách để dẩn đển khái niệm không gian metric.Cho X là một tập hợp khác rỗng Một hàm số d : X × X → [0, +∞) đượcgọi là một metric hay một khoảng cách trên X nếu nó thỏa mãn các điềukiện sau đây

1 d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.

2 d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X

3 d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X

Nếu d là một metric trên X thì cặp (X, d) được gọi là một không gian metric

Ví dụ 1.1.1 Hàm số d(x, y) = |x − y| là một metric trên R, và gọi là metricthông thường trên R

Ví dụ 1.1.2 Giả sử Rk là không gian vectơ thực k chiều Với hai phần tử

v

u

kX

i=1(xi− zi)2≤

vukX

i=1(xi− yi)2+

vukX

i=1(yi− zi)2

Đặt ai= xi− yi, bi= yi− zi khi đó ai+ bi= xi− zi Mặt khác

d2(x, z) =

kX

i=1(ai+ bi)2=

kX

i=1

a2i +

kX

i=1

b2i + 2

kX

i=1

a2i +

kX

i=1

b2i + 2

vukX

i=1

a2 i

vukX

i=1

b2 i

≤





vukX

i=1

a2

i +

vukX

i=1

b2 i





2

Từ đó lấy căn hai vế và trở lại với ký hiệu cũ, ta có d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

Ví dụ 1.1.3 Cho X là tập khác rỗng bất kỳ Xét hàm số trên X × X cho bởi

Ví dụ 1.1.4 Kí hiệu C[a,b] là tập hợp các hàm liên tục trên đoạn [a, b] Địnhnghĩa

Khi đó ds, dL là các metric trên C[a,b] Không gian (C[a,b], ds) được ký hiệu là

C[a,b] Không gian (C[a,b], dL) được ký hiệu là C[a,b]L

Lưu ý rằng giá trị lớn nhất của |x − y| là tồn tại nên sup trong định nghĩa

dsthực chất là max Ta còn có |x(t) − y(t)| ≤ d(x, y) với mọi t ∈ [a, b] Rõ ràngd(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ C[a,b]

|d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y)

Chứng minh Xét a ∈ A, ta có

d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a)

Do đó

infa∈Ad(x, a) ≤ inf

a∈A[d(x, y) + d(y, a)]

≤ d(x, y) + inf

a∈Ad(y, a)

Suy ra, d(x, A) ≤ d(x, y) + d(y, A) Tương tự ta chứng minh được d(y, A) ≤d(x, y) + d(x, A), từ đó suy ra điều phải chứng minh

1.1.3 Sự hội tụ trong không gian metric

Trong không gian metric nhờ có khoảng cách ta có thể định nghĩa được giớihạn

Định nghĩa 1.1.7 Cho {xn} là một dãy điểm trong không gian metric (X, d)

Ta nói dãy {xn} hội tụ đến điểm x ∈ X nếu

limn→∞d(xn, x) = 0,nghĩa là với mọi  > 0, tồn tại N∈ N sao cho

d(xn, x) < , với mọi n ≥ N.Nếu x là giới hạn của dãy {xn}, ta viết lim

Mệnh đề 1.1.9 Cho {xn}nvà {xn}nlà hai dãy trong không gian metric (X, d).Khi đó

1 Nếu dãy {xn}n hội tụ đến x thì mọi dãy con {xn k}k của dãy {xn}n cũnghội tụ về x

Ví dụ 1.1.11 Trong không gian R với metric Euclid, sự hội tụ của dãy

x(n)= (x(n)1 , x(n)2 , , x(n)k ) đến điểm x = (x1, x2, , xk) có nghĩa là

d2(x(n), x) =

vukX

i=1(x(n)i − xi)2→ 0,

điều này tương đương với x(n)i → xi khi n → ∞ với mọi i = 1, , k Như thế,

sự hội tụ trong Rk là sự hội tụ theo tọa độ Chẳng hạn, dãy x(n)= (n1,n1 +√

2)hội tụ về x = (0,√

2)

Ví dụ 1.1.12 Trong C[a,b], sự hội tụ của một dãy (xn) đến x có nghĩa là

supt∈[a,b]

B2 Với mỗi n, ta tìm Tn= supt∈[a,b]|xn(t) − x(t)|

B3 Tính lim Tn Nếu giới hạn này bằng 0 thì ta nói dãy hàm {xn}n hội tụđều về hàm x và do đó hội tụ theo metric ds về hàm x trong C[a,b].Chú ý rằng nếu trong B1 mà hàm x(t) không liên tục trên đoạn [a, b] thì dãyhàm {xn}n không hội tụ đều về hàm x, tức không hội tụ trong C[a,b] theometric dsvề hàm x

Ví dụ 1.1.13 Xét sự hội tụ của các dãy sau trong không gian C[0,1]

1.2 Tập mở, tập đóng

Định nghĩa 1.2.1 Cho (X, d) là không gian metric và a ∈ X Hình cầu mởtâm x0, bán kính r > 0 được định nghĩa như sau

B(x0, r) := {x ∈ X | d(x0, x) < r}

Ví dụ 1.2.2 Xét R với metric thông thường Hình cầu tâm x0bán kính r trong

R là khoảng (x0− r, x0+ r) Ngược lại một khoảng (a, b) bất kỳ,là hình cầu mởtâm x0=a+b2 , bán kính r = b−a2

Ví dụ 1.2.3 Trong không gian rời rạc X, B(x0, r) = {x0} nếu 0 ≤ r ≤ 1 vàB(x0, r) = X nếu r > 1

Ví dụ 1.2.4 Hãy mô tả hình cầu đơn vị trong R2, với các metric d1, d2, d∞

Ví dụ 1.2.5 Hãy mô tả hình cầu đơn vị trong C[a,b] với metric sup

Hình cầu mở là một ví dụ về tập mở, được định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.2.6 Cho (X, d) là không gian metric Tập con U ⊂ X được gọi

là tập mở nếu với mỗi x ∈ U , tồn tại  > 0 sao cho B(x, ) ⊂ U

Từ định nghĩa suy ra tập rỗng ∅ và X là các tập mở

Mệnh đề 1.2.7 Mỗi hình cầu mở B(x0, r) := {x ∈ X | d(x0, x) < r} là mộttập mở

Mệnh đề 1.2.8 Trong một không gian metric bất kì, ta có

B (x, ri) ⊂ Ai Đặt r = min {r1, , rn} > 0, khi đó B(x, r) ⊂ B (x, ri) ⊂ Ai vớimọi i = 1, , n Do đó B(x, r) ⊂Tn



= {0},

tập {0} không phải là tập mở vì không thể có hình cầu nào chứa trong nó

Kết quả sau đây cho phép mô tả khái niệm tập mở qua các dãy hội tụ.Mệnh đề 1.2.10 Tập con A trong không gian metric (X, d) là mở khi và chỉkhi với mọi dãy {xn} trong X nếu xn → x ∈ A thì tồn tại số tự nhiên n0 saocho xn ∈ A với mọi n ≥ n0.

Chứng minh [=⇒] Giả sử A mở và {xn} là một dãy hội tụ đến x ∈ A Do A

mở nên tồn tại số r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ A Lại do xn → x nên tồn tại số tựnhiên n0 sao cho d(xn, x) < r hay xn∈ B(x, r) với mọi n ≥ n0 Từ đó xn ∈ Avới mọi n ≥ n0

[⇐=] Giả sử phản chứng rằng A không mở Khi đó tồn tại x ∈ A sao cho xkhông là điểm trong của A Nghĩa là với mọi r > 0 đều có B(x, r) ∩ (X \ A) 6= ∅.Suy ra với mọi số tự nhiên n tồn tại xn ∈ X \ A sao cho d(xn, x) < 1

n Như thếdãy {xn} trong X hội tụ đến x ∈ A nhưng xn ∈ A với mọi n Điều này mâu/thuẫn với giả thiết Vậy A là mở

Định nghĩa 1.2.11 Tập con F trong không gian metric (X, d) được gọi làđóng nếu phần bù X \ F là một tập mở

Ví dụ 1.2.13 Trên R với metric thông thường, cho a < b Khi đó tập (a, b) là

mở, tập [a, b] là đóng, các tập [a, b) hay (a, b] là không đóng không mở

Mệnh đề 1.2.14 Một tập F ⊂ X là đóng khi và chỉ khi, với mọi dãy điểm{xn} ⊂ F , nếu xn→ X thì x ∈ F

Chứng minh [=⇒] Giả sử F đóng và {xn} ⊂ F và xn→ x Nếu x /∈ F , thì x ∈ X \F

Do X \ F mở nên tồn tại  > 0 sao cho B(x, ) ∩ F = ∅ Vì xn→ x nên tồn tại N ∈ Nsao cho d(xn, x) <  với mọi n ≥ N Như thế, xn∈ B(x, ) ∩ F với mọi n ≥ N Điềunày là mâu thuẩn

[=⇒] Nếu ngược lại F không đóng, thì X \ F không mở Khi đó, tồn tại ¯x /∈ F saocho ∀r > 0 thì B(¯x, r) 6⊂ X \ F Với mỗi n ∈ N chọn r = 1/n Ta xây dựng được dãy{xn} thỏa mãn xn∈ B(¯x, 1/n) ∩ F với mọi n Dãy {xn} ⊂ F , xn→ ¯x mà ¯x /∈ F mâuthuẩn với giả thiết

Định nghĩa 1.2.15 Cho A là tập khác rỗng trong không gian metric X và x

là một điểm của X

1 x được gọi là điểm trong của A nếu ∃r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ A

2 x được gọi là điểm dính của A nếu ∀r > 0 thì B(x, r) ∩ A 6= ∅

3 x được gọi là điểm biên của A nếu ∀r > 0 thì

2 Tập hợp tất cả các điểm dính của A gọi là bao đóng của A, ký hiệu A

3 Tập hợp tất cả các điểm biên của A gọi là biên của A, ký hiệu ∂(A)

Ví dụ 1.2.17 Trên R với tôpô sinh ra bởi metric thông thường, các tập(a, b), [a, b], [a, b), (a, b] đều có phần trong là (a, b) và bao đóng là [a, b] Dễ thấy

n) ∩ A Ta tìm được dãy(xn)n⊂ A thỏa mãn d(xn, x) ≤ n1

Ngược lại, nếu tồn tại dãy (xn)n⊂ A mà xn→ x Ta cần chứng minh x ∈

A Phản chứng rằng, x /∈ A Khi đó, tồn tại r > 0 sao cho B(x, r) ∩ A = ∅

Do xn → x, suy ra tồn tại N ∈ N, sao cho xn ∈ B(x, r) với mọi n ≥ N.Tức là xn∈ A, với mọi n ≥ N Mâu thuẫn với x/ n⊂ A

2 Với n = 1, ta tìm được x1 ∈ B(x, 1) ∩ A \ {x} Với n = 2, ta tìm được

x2 ∈ B(x, min{1

2; d(x, x1)}) ∩ A \ {x} Tiếp tục như thế, ta xây dựngđược dãy {xn} sao cho xn∈ B(x, min{1

n; d(x, xn−1)}) ∩ A \ {x} Như thế(xn)n⊂ A, xn6= xm khi n 6= m và xn→ x

Mệnh đề 1.2.20 Cho A ⊂ X Ta có các khẳng định sau:

1 Int(A) là tập mở lớn nhất chứa trong A.

2 A là tập đóng bé nhất chứa A

3 A là tập mở ⇐⇒ A = Int(A)

4 A là tập đóng ⇐⇒ A = A ⇐⇒ ∂(A) ⊂ A

5 X \A = Int(X \ A) và X \ Int(A) = X \ A

6 ∂(A) = A \ Int(A) = A ∩ X \ A = ∂(X \ A)

7 X = Int(A) ∪ ∂(A) ∪ Int(X \ A)

Chứng minh Bài tập dành cho sinh viên

1.3 Ánh xạ liên tục

Cho f : X → Y là một ánh xạ giữa hai không gian metric (X, dX) và (Y, dY).Định nghĩa 1.3.1 Ánh xạ f được gọi là liên tục tại x0∈ X, nếu với mọi  > 0,tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà dX(x, x0) < δ thì dY(f (x), f (x0)) < 

Ta nói f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc X

Ta có thể phát biểu lại như sau: f liên tục tại x0khi và chỉ khi với mọi  > 0,tồn tại δ > 0 sao cho

f (B(x0, δ)) ⊂ B(f (x0), ))

Kết quả sau đây cho phép ta mô tả tính liên tục theo các dãy hội tụ.Định lí 1.3.2 Ánh xạ f : X → Y liên tục tại x0 khi và chỉ khi với mọi dãy{xn} ⊂ X, dX(xn, x0) → 0, thì kéo theo dY(f (xn), f (x0)) → 0

Chứng minh [=⇒] Giả sử ánh xa f liên tục tại x0, {xn} ⊂ X và xn → x0 Tachứng minh f (xn) hội tụ đến f (x0) Lấy  > 0 bất kì Vì f liên tục tại x0 nêntồn tại số δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X, nếu d (x, x0) < δ thì d (f (x), f (x0)) < .Măt khác, do xn→ x0nên tồn tại n0∈ N sao cho d (xn, x0) < δ với mọi n > n0

Từ đó d (f (xn) , f (x0)) <  với mọi n > n0 Vậy f (xn) → f (x0)

[⇐=] Giả sử phản chứng rằng f không liên tục tại x0 Khi đó tồn tại  > 0 đểvới mọi δ > 0, tồn tại xδ∈ X sao cho d(xδ, x0) < δ nhưng d(f (xδ), f (x0)) > .Với mỗi n ∈ N∗, chọn δ = n1 ta có xn ∈ X để d (xn, x0) < n1và d (f (xn) , f (x0)) >

 Suy ra xn→ x0 nhưng f (xn) 6−→ f (x0) Điều này trái giả thiết Vậy f liêntục tại x0

|xn(t) − x(t)|dt = ds(xn, x)

Z 1

0

dt = ds(xn, x)

x(t) =

(

1, nếu 0 < t ≤ 1,

0, nếu t = 0

Tuy nhiên do x(t) không liên tục nên dãy xn(t) không hội tụ theo metric ds về

x Thế nhưng, xn→ x theo metric dL Thật vậy

2

2 )

1/n

0

= 12n → 0.Vậy ánh xạ đồng nhất id : (C[0, 1], dL) → (C[0, 1], ds) không liên tục

Định lí 1.3.4 Ánh xạ f : X → Y là liên tục khi và chỉ khi với mỗi tập mở

Lưu ý rằng với mọi tập F ⊂ Y ta có biểu diễn sau

1.4 Phép đồng phôi, phép đẳng cự

Định nghĩa 1.4.1 Một song ánh f : X → Y từ không gian metric X vàokhông gian metric Y gọi là một phép đồng phôi (hoặc ngắn gọn là một đồngphôi) nếu f và ánh xạ ngược f−1 cùng liên tục

Nếu có một phép đồng phôi từ X vào Y thì ta nói hai không gian X và Yđồng phôi với nhau, kí hiệu X ∼= Y

Ví dụ 1.4.2 Khoảng (a, b) trong R đồng phôi với (0, 1) Thật vậy f : (a, b) →(0, 1) với x 7→ x−ab−a là một song ánh với f−1 : (0, 1) → (a, b) với y 7→ (b − a)y + a

Rõ ràng cả hai ánh xạ này đều liên tục Tương tự như vậy (0, 1) đồng phôi với(1, +∞) với f : (0, 1) → (1, +∞) cho bởi x 7→ 1x và f−1 : (1, +∞) → (0, 1) chobởi x 7→ x1

Ví dụ 1.4.3 Khoảng (−1, 1) đồng phôi với R vì f : (−1, 1) → R cho bởi

f (x) = tan(πx2 ) là một song ánh liên tục với ánh xạ ngược f−1(x) = π2arctan(x)cũng liên tục

Ví dụ 1.4.4 Trên R2, xét đường tròn S1= {(x, y) ∈ R2| x2+ y2= 1} và hìnhvuông T = {(x, y) ∈ R2 | |x| + |y| = 1} Xét về mặt tôpô thì S1 xem như đồngnhất với T vì ánh xạ f : S1→ T cho bởi

2)

2= 14



là đường tròn tâm tại (0,1

2), bán kình 1

2 và N = (0, 1) Khi đó f : S1\ {N } → Rcho bởi

Bạn đọc cũng dễ dàng kiểm tra rằng hai khoảng mở bất kì trong R đồngphôi với nhau và đồng phôi với R; hai khoảng đóng (đoạn) bất kì cũng đồngphôi với nhau Tuy nhiên, đoạn [a, b] không đồng phôi với R hay với khoảng mở(c, d) nào Thật vậy, trong giải tích cổ điển ta biết rằng nếu f là một hàm sốliên tục trên đoạn [a, b] thì ảnh của nó phải là một đoạn, nên không thể là Rhay khoảng mở (c, d).

Nhận xét 1.4.6 Một phép đồng phôi biến một tập mở trong không gian nàythành một tập mở trong không gian kia và ngược lại Do đó, các khái niệm dẫnxuất từ tập mở như tập đóng, điểm dính, điểm tụ, cũng bất biến qua phépđồng phôi

Các khái niệm về hình cầu, khoảng cách, bán kính, không bất biến quaphép đồng phôi Chúng bất biến qua một khái niệm mạnh hơn, được định nghĩasau đây

Định nghĩa 1.4.7 Một song ánh f : X → Y từ không gian metric (X, dX)vào không gian metric (Y, dY) gọi là một phép đẳng cự (hoặc một đẳng cự) nếu

dY(f (x), f (y)) = dX(x, y) với mọi x, y ∈ X

Nếu tồn tại một phép đẳng cự từ X lên Y thì ta nói (X, dX) và (Y, dY) làhai không gian đẳng cự với nhau

Đương nhiên mỗi phép đẳng cự là một phép đồng phôi Như vậy hai khônggian đẳng cự thì đồng phôi Về phương diện metric thì hai không gian đẳng cự

là song ánh Hơn nữa với mọi x, y ∈ R, ta có

limn,m→∞d(xn, xm) = 0

Tức là, với mọi  > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho

d(xn, xm) < , với mọi n, m ≥ N

Rõ ràng, mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy Thật vậy, nếu xn → x thì vớimọi  > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho d(xn, x) < /2 với mọi n ≥ N Khi đóvới mọi m, n ≥ N, ta có

Một tập con E ⊂ X được gọi là đầy đủ nếu không gian metric con (E, d|E×E)

là đầy đủ, hay nói cách khác mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ về một điểmthuộc E

Ví dụ 1.5.3 Vì sự hội tụ trong Rk là sự hội tụ theo tọa độ nên từ tính đầy đủcủa R ta cũng suy ra không gian metric Rk là không gian đầy đủ

Ví dụ 1.5.4 Không gian C[a,b] với metric sup là không gian đầy đủ Thật vậy,nếu {xn} là dãy Cauchy trong C[a,b] Khi đó với mọi  > 0, tồn tại số tự nhiên

N sao cho

|xm(t) − xn(t)| < , ∀m, n ≥ N, ∀t ∈ [a, b]

Từ đây suy ra, với mỗi t ∈ [a, b] cố định, dãy {xn(t)} là một dãy Cauchy trong

R, do đó nó có giới hạn là một số thực x(t) nào đó Bây giờ, cho m → ∞ trongbất đẳng thức trên, ta có

|x(t) − xn(t)| ≤ , ∀n ≥ N, ∀t ∈ [a, b]

Điều này chứng tỏ dãy hàm liên tục {xn} hội tụ đều đến hàm x trên [a, b] Do

đó, x cũng là hàm liên tục hay nói cách khác x ∈ C[a,b] Hơn nữa, từ trên cũngsuy ra dãy {xn} hội tụ đến x trong C[a,b]

Ví dụ 1.5.5 Không gian X = (0, 1) với metric cảm sinh từ metric thông thườngtrên R là không đầy đủ

Thật vậy, xét dãy xn = n1 là một dãy Cauchy trong X Ta sẽ chứng minhrằng dãy này không hội tụ trong X Thật vậy, nếu dãy này hội tụ đến x ∈ X.Vậy thì x ∈ R Mặt khác xn là một dãy trong R và hội tụ đến 0 Do giới hạnmột dãy là duy nhất nên x = 0 Vậy 0 ∈ X là vô lý

Ví dụ 1.5.6 Không gian C[a,b]L là không đầy đủ

Thật vậy, ta xét trường hợp [a, b] = [0, 1] Ta sẽ chỉ ra một dãy Cauchy trong

C[0,1]L mà không hội tụ trong không gian này

Ta xét dãy hàm {xn(t)} sau đây

Vậy x(t) và 1 cùng là giới hạn của dãy {xn} trong CL[0, 1/2] và x(t) và 0 cùng

là giới hạn của dãy {xn} trong CL[1/2, 1] Do tính duy nhất của giới hạn, ta có

x(t) = 1 với t ∈ [0, 1/2], x(t) = 0 với t ∈ [1/2, 1]

Điều này là không thể Vậy dãy {xn} không có giới hạn nào trong CL[0, 1].Mệnh đề 1.5.7 Mọi tập con đóng của một không gian metric đầy đủ là đầyđủ

Chứng minh Cho (X, d) là một không gian metric đủ và E là tập con đóngcủa X Giả sử {xn} là một dãy Cauchy trong E Khi đó {xn} cũng là một dãyCauchy trong X Do X đầy đủ nên dãy {xn} này hội tụ về phần tử x ∈ X Mặtkhác do {xn}n⊂ E mà E đóng nên điểm giới hạn x này cũng thuộc E Vậy E

là đầy đủ

Ví dụ 1.5.8 Do R là đầy đủ nên các tập con đóng sau [a, b], [a, ∞), (−∞, a] làcác tập đầy đủ Các tập [a, b), (a, b] hay (a, b) là không đầy đủ Vì chẳng hạn dãy{b −1

n}n với n đủ lớn, là dãy Cauchy nằm trong [a, b) nhưng hội tụ về b /∈ [a, b).Tập các số hữu tỉ Q là không đầy đủ vì với mỗi số vô tỉ bất kỳ ta luôn tìm đượcdãy các số hữu tỉ hội tụ về nó.1

1.5.2 Nguyên lý Cantor

Tính đầy của một không gian metric được định nghĩa qua các dãy Cauchy Sauđây chúng ta giới thiệu một đặc trưng khác của khái niệm này Trong nhiềutrường hợp nó thuận tiện cho việc sử dụng tính đầy của không gian

Định nghĩa 1.5.9 Dãy hình cầu đóng Bn = B [xn, rn] , n = 1, 2, , gọi là thắtdần nếu Bn+1⊆ Bn với mọi n> 1, và limn→∞rn= 0

Định lí 1.5.10 (Nguyên lý Cantor) Một không gian metric là đầy khi và chỉkhi mỗi dãy hình cầu đóng thắt dẩn trong nó có một điểm chung duy nhất.Chứng minh [=⇒] Giả sử X là một không gian metric đầy và Bn = B [xn, rn],n =

1, 2, , là một dãy hình cầu đóng thắt dần Xét dãy điểm {xn} ⊂ X Với mọi

m > n, do Bm⊂ Bn nên d (xm, xn) < rn Từ rn → 0(n → ∞) suy ra {xn} làmột dãy Cauchy trong X, và do X đầy nên dãy này có giới hạn x ∈ X Với mỗi

n, do Bn đóng và xm∈ Bn với mọi m > n nên x ∈ Bn Vậy x ∈T

n>1Bn.Bây giờ giả sử rằng có thêm y ∈T

n>1Bn Với mọi n, do x và y cùng thuộc

Bn nên d(x, y) < 2rn → 0 (n → ∞) Suy ra x = y Vậy dãy hình cầu Bn cóđiểm chung duy nhất

[⇐=] Giả sử mọi dãy hình cầu đóng thắt dần trong không gian metric Xdều có một điểm chung duy nhất Ta sẽ chứng minh không gian X là đầy Giả

sử phẩn chứng rằng không gian X không đầy Khi đó có một dãy {xn} trong X

là Cauchy nhưng không hội tụ Ta xây dựng một dãy hình cầu đóng thắt dầntheo cách sau Vì {xn} là dãy Cauchy nên có k1sao cho d (xk1, xm) < 12 với mọi

m > k1

Lại vì {xn} là dãy Cauchy nên có k2> k1sao cho d (xk 2, xm) < 212 với mọi

m > k2 Tiếp tục quá trình trên ta nhận được một dãy con {xkn} của dãy {xn}sao cho d xkn, xkn+1
< 1

2 n với mọi n > 1 Bây giờ đặt Bn= Bxk n, 1

n>1Bn với mỗi n, vì d (x, xkn) 6 2 n−11 nên dãy con{xkn} hội tụ đến x Điều này kéo theo dãy {xn} cũng hội tụ đến x, vì dãy {xn}

là dãy Cauchy Đến đây ta gặp mâu thuẫn Vậy X là không gian đầy đủ

1.5.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach

Trong mục này chúng ta xét Nguyên lí ánh xạ co Banach như là một ứng dụngđặc sắc của tính đầy của những không gian metric Nguyên lí này có nhiều dụngtrong giải tích, vì nó cung cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sựtổn tại và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau (phươngtrình đại số, vi phân thường, đạo hàm riêng, tích phân, ) Mỗi phương trìnhthuộc những lớp này bao giờ cũng có thể viết được dưới dạng

f (x) = x,

trong đó x là ẩn lấy trong một không gian metric X nào đó, còn f là một ánh

xa từ X vào chính nó Chẳng hạn, mỗi phương trình

F (x) = 0 (x ∈ R),trong đó F : R → R là một hàm số cho trước, có thể viết dưới dạng tương đương

x + F (x) = x

Đây là phương trình có dạng trên nếu ta đặt f (x) = x + F (x)

Định nghĩa 1.5.11 Điểm x ∈ X gọi là một điểm bất động của ánh xạ f :

Định nghĩa 1.5.12 Ánh xạ f từ không gian metric (X, d) vào chính nó gọi làmột ánh xạ co nếu có số k, 06 k < 1, sao cho

d(f (x), f (y)) 6 kd(x, y) với mọi x, y ∈ X

Ví dụ 1.5.13 Ánh xạ f : R → R cho bởi f (x) = xa+ b là ánh xạ co nếu a > 1.Trong trường hợp đặc biệt này ta có thể tìm được điểm bất động duy nhất của

f Giải phương trình f (x) = x ta được x = a−1ab

Định lí 1.5.14 (Nguyên lí ánh xạ co Banach) Một ánh xạ co từ không gianmetric đầy X vào chính nó bao giờ cũng có một điểm bất động duy nhất.Chứng minh Giả sử (X, d) là một không gian metric đầy và f : X → X là ánh

xạ thỏa mãn

d(f (x), f (y)) 6 kd(x, y), ∀x, y ∈ X, (1.5.1)với hằng số k nào đó, 0 6 k < 1

Lấy điểm bất kì x0∈ X Xây dựng dãy {xn} xác định bởi

Từ đây, với mọi n, p > 1, ta có

xn→ x ∈ X Lấy giới hạn hai vế của (1.5.2) khi n → ∞, với để ý rằng f là liêntục, ta nhận được

x = f (x)

Vậy x là một điểm bất động của f Giả sử rằng ánh xạ f còn có một điểm bấtđộng x06= x Thế thì ta có

0 < d (x, x0) = d (f (x), f (x0)) 6 kd (x, x0) Điều này là vô lí Vậy x là điểm bất động duy nhất của f và định lí được chứngminh

Ví dụ 1.5.15 Cho f : [0, 1] → [0, 1] là một hàm khả vi liên tục trên đoạn [0, 1]sao cho |f0(x)| < 1 với mọi x ∈ [0, 1] Khi đó f có duy nhất một điểm bất động.Thật vậy, theo định lý giá trị trung bình, với mọi x, y ∈ [0, 1], tồn tại z nằmgiữa x và y sao cho f (x) − f (y) = f0(z)(x − y) Khi đó

|f (x) − f (y)| = |f0(z)| · |x − y| ≤ γ · |x − y|,trong đó γ = supt∈[0,1]|f0(t)| < 1 Vậy f là ánh xạ từ tập đầy đủ [0, 1] vàochính nó nên f có điểm bất động duy nhất

Ví dụ 1.5.16 Phương trình sau đây có duy nhất một nghiệm thực

2 sin x − 4 cos x = 2020x

Thật vậy, nếu đặt f (x) = 20201 (2 sin x − 4 cos x), thì phương trình đã cho trởthành f (x) = x Dể thấy f là f là ánh xạ co vì f0(x) ≤ 20206 và do đó f có duynhất điểm bất động chính là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

1.6.1 Định nghĩa tập compact

Trong giải tích cổ điển, ta đã biết một hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] cónhiều tính chất đặc sắc:

1 f bị chặn trên [a, b] và có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn này;

2 f liên tục đều trên [a, b]

Các tính chất này được thiết lập dựa trên một tính chất của đoạn [a, b] đượcphát biểu bởi Định lí Bolzano - Weierstrass: Mọi dãy điểm của đoạn [a, b] đều

có một dãy con hội tụ đến một điểm nào đó của đoạn này Khái quát tính chấtnày của đoạn [a, b] ta nhận được khái niệm tập compact trong một không gianmetric bất kì

Cho không gian metric X và A là một tập con của X

Định nghĩa 1.6.1 (Khái niệm tập compact) Tập A gọi là compact nếu mọidãy {xn} trong A đều có một dãy con {xkn} hội tụ đến một điểm x ∈ A Nếutập X là compact thì ta nói X là không gian compact

Có những mối liên hệ giữa tính compact và những tính chất khác của mỗitập con trong không gian metric Trước hết ta có kết quả sau

Mệnh đề 1.6.2 Một tập compact thì đóng Một tập con đóng của một tậpcompact thì compact

Chứng minh Cho A là một tập compact Giả sủ {xn} là một dãy trong A, xn→

x ∈ X Vì A compact nên có dãy con {xkn} sao cho xkn → y ∈ A Nhưng dãycon {xkn} cũng hội tụ đến x nên x = y ∈ A Vậy A là đóng

Bây giờ giả sử B là một tập con đóng của tập compact A Lấy dãy {xn} bất

kì trong B Vì {xn} cũng là một dãy trong A và A compact, nên có dãy con{xk n} hội tụ đến x ∈ A Nhưng do B đóng nên x ∈ B Vậy B là compact

Rõ ràng tập con bất kì của một tập compact không nhất thiết là compact.Tuy nhiên, những tập như vậy cũng rất tiện lợi cho nhiều phát biểu trong giảitích Bởi thế, người ta đưa ra khái niệm:

Định nghĩa 1.6.3 Tập A gọi là compact tương đối nếu bao đóng A là compact

Ta cũng có thể diễn đạt: A là compact tương đối khi và chỉ khi mọi dãy {xn}trong A đều có dãy con {xkn} hội tụ đến một điểm thuộc X (điểm giới hạn đókhông nhất thiết thuộc A)

Ví dụ 1.6.4 Trong đường thẳng thực R, đoạn [a, b], (a, b ∈ R, a < b) làcompact; khoảng mở (a, b), và các khoảng nửa mở [a, b), (a, b] là compact tươngđối; các khoảng (−∞, a] hay [a, +∞) là không compact tương đối

1.6.2 Đặc trưng Hausdorff

Ví dụ 1.6.5 Trong không gian metric X bất kì, một tập con hữu hạn thìcompact Nếu X là không gian metric rời rạc thì điều ngược lại cũng đúng.Định nghĩa 1.6.6 Tập con A được gọi là bị chặn nếu A bị chứa trong mộthình cầu nào đó, nghĩa là tồn tại x ∈ X và số r > 0 sao cho A ⊂ B(x, r).Định nghĩa 1.6.7 Tập con A của không gian metric X gọi là hoàn toàn bịchặn nếu với mỗi số  > 0, tập A có thể phủ bởi hữu hạn hình cầu bán kính ,nghĩa là tồn tại tập con hữu hạn H của X sao cho

x∈HB(x, )

Giữa hai khái niệm này ta có mối liên hệ sau:

Mệnh đề 1.6.8 Một tập hoàn toàn bị chăn thì bị chăn

Chứng minh Giả sử A là tập hoàn toàn bị chặn trong không gian metric (X, d).Khi đó, với  = 1, tồn tại hữu hạn điểm a1, , an trong X sao cho A ⊂

Nói chung một tập bị chặn có thể không hoàn toàn bị chặn Chẳng hạn, giả

sử X là không gian rời rạc có vô hạn điểm Khi đó, tập X là bị chặn (nằm tronghình cầu bất kì bán kính 2) nhưng không hoàn toàn bị chặn, vì hợp của hữuhạn hình cầu bán kính 12 không thể chứa X

Định lí sau đây cho ta một đặc trưng của tập compact trong không gianmetric đầy đủ Đặc trưng này được dùng nhiều lần trong giải tích nhằm tìm ranhững dấu hiệu tiện ích để nhận biết những tập compact trong nhiều lớp khônggian quan trọng

Định lí 1.6.9 (Hausdorff) Trong không gian metric đầy, một tập con là pact khi và chỉ khi nó đóng và hoàn toàn bị chặn

com-=⇒ Giả sử A là một tập compact trong không gian metric đầy đủ X TheoMệnh đề 1.6.2 thì A là đóng Còn phải chứng minh A là hoàn toàn bị chặn.Giả sử phản chứng rằng A không hoàn toàn bị chặn Khi đó tồn tại  > 0sao cho A không thể phủ bởi hữu hạn hình cầu bán kính  Lấy x1 ∈ A Vìhình cầu B (x1, ) không thể phủ A nên có x2 ∈ A sao cho d (x1, x2) >  Haihình cầu B (x1, ) và B (x2, ) cũng không phủ được A nên có x3∈ A sao cho

d (xi, xk) >  với i 6= k(i, k = 1, 2, 3) Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy{xn} trong A với d (xi, xk) > (i 6= k, i, k = 1, 2, ) Rõ ràng, mọi dãy con củadãy {xn} dều không thể là dãy Cauchy, do đó không thể hội tụ Điều này mâuthuẫn với giả thiết A là compact Vậy A là hoàn toàn bi chặn

[⇐=] Giả sử A là đóng và hoàn toàn bị chặn Lấy dãy bất kì σ0= {xn} trong

A Vì A phủ được bởi hữu hạn hình cầu bán kính 1, nên có một hình cầu trong

số đó, chẳng hạn B1, chứa vô hạn số hạng của dãy σ0 Kí hiệu σ1 là dãy concủa σ0 gồm các số hạng của σ0 nằm trong B1 A cũng phủ được bởi hữu hạnhình cầu bán kính 1

2, nên có một hình cầu trong số đó, chẳng hạn B2, chứa víhạn số hạng của dãy con σ1 Kí hiệu σ2là dãy con của σ1gồm các số hạng của

σ1 nằm trong B2 Tiếp tục quá trình trên ta nhận được các dãy σ1, σ2, σ3, thoả mãn

σk ⊂ σk−1 và σk⊂ Bk, k = 1, 2, trong đó Bk là hình cầu bán kính 1k Bây giờ lấy xk1 ∈ σ1, rồi lấy xk2 ∈ σ2với

k2> k1, tiếp theo lấy xk3 ∈ σ3 với k3> k2, Tiếp tục quá trình đó ta nhậnđược một dãy con {xkn} của dãy ban đầu {xn} Dãy con {xk n} là dãy Cauchy

bởi vì với m > n thì xkn và xkm cùng thuộc Bn, và do đó d (xkn, xkm) < n → 0(n → ∞) Do X là đầy nên dãy con {xkn} có giói hạn x ∈ X Nhưng vì A đóngnên x ∈ A Vậy A là compact.

Nhận xét 1.6.10 Từ chứng minh trên ta thấy rằng đối với không gian X bất

kì (không nhất thiết là đầy) thì chiều ⇒ của định lí vẫn đúng Cũng từ chứngminh trên, ta nhận thấy rằng một tập compact tương đối thì hoàn toàn bị chặn,

và trong không gian metric đầy, một tập hoàn toàn bị chặn thì compact tươngđối

Đặc trưng Hausdorff phát biểu cho không gian metric đầy đủ bất kì Riêngđối với không gian Euclid hữu hạn chiều, một trường hợp đặc biệt quan trọng,

k=1Bk Vậy A hoàn toàn bị chặn

1.6.3 Đặc trưng Heine-Borel

Ở trên ta đã biết về đặc trưng Hausdorff của tập compact, được mô tả qua tínhđầy đủ (để ý rằng tập đóng trong không gian metric đầy đủ là một không gianmetric con đầy đủ) và tính hoàn toàn bị chặn Tính chất "mọi dãy đều chứadãy con hội tụ" còn được gọi là tính chất (hay đặc trưng) Bolzano - Weierstrasscủa tập compact Trong mục này chúng ta sẽ giói thiệu thêm một đặc trưngnữa của tập compact, được mô tả theo các phủ mở, và được gọi là đặc trưngHeine - Borel Đặc trưng này sẽ được khái quát hóa để hình thành khái niệmtập compact trong không gian tôpô (tổng quát hơn không gian metric) ở chươngsau

Trước hết để ý rằng, dựa vào Mệnh đề 1.2.10 suy ra, trong mỗi không gianmetric, một khái niệm nào đó có thể mô tả được qua các tập mở thì cũng cóthể mô tả được qua các dãy hội tụ và ngước lại Chẳng hạn, khái niệm tập đóng(xem Mệnh đề 1.2.14) hay khái niệm ánh xạ liên tục (xem Đinh lí 1.3.2) Kháiniệm tập compact được định nghĩa qua các dãy (con) hội tụ Vậy nó được mô

tả qua các tập mở như thế nào?

Định nghĩa 1.6.12 Giả sử G = {Gα}a∈I, I là một tập bất kì nào đó, là một

họ những tập mở trong X Họ G gọi là một phủ mở của tập A nếu

α∈I

Gα

Phủ mở G của A gọi là chứa phủ con hữu hạn nếu có tập con hữu hạn

H của tập I sao cho

Do đó, A phủ được bởi hữu hạn hình cầu {B(a, 1) : a ∈ H}, H ⊂ X là mộttập con hữu hạn Trong số hữu hạn hình cầu này phải có ít nhất một hìnhcầu, B1 = B (a1, 1) chẳng hạn, sao cho A ∩ B1 không thể phủ bởi một họ conhữu hạn của G A ∩ B1 cũng là tập hoàn toàn bị chặn nên, tương tự như trên,

có một hình cầu B2 = B a2,12
sao cho A ∩ B2 không thể phủ bởi một họcon hữu hạn của G Tiếp tục quá trình trên ta nhận được một dãy hình cầu

Bn = B an,1

n
, n = 1, 2, , sao cho A ∩ Bn không thể phủ bởi một họ conhữu hạn của G Bây giờ, với mỗi số nguyên dương n, lấy xn ∈ A ∩ Bn ta đượcdãy {xn} ⊂ A Do A compact nên có dãy con {xkn} của dãy {xn} sao cho

xkn → x0∈ A Tồn tại α0 ∈ I sao cho x0∈ Gα0 Do Ga0 mở nên có  > 0 saocho B (x0, ) ⊂ Ga0 Chọn n0đủ lớn sao cho

d (x, x0) 6 d x, xkn0
+ d xkn0, x0
< 2

kn0 +



2 < .

Suy ra Bkn0 ⊂ B (x0, ) ⊂ Gα 0, và do đó A ∩ Bkn0 phủ được bởi một tập mở

Gα0 của họ G, trái với tính chất của tập A ∩ Bkn0 ở trên Mâu thuẫn này chứng

tỏ mọi phủ mở của A đều phải chứa phủ con hữu hạn

[⇐=] Giả sử mỗi phủ mở của A đều chứa phủ con hữu hạn Giả sử phảnchứng rằng A không compact Vậy thì tồn tại dãy {xn} ⊂ A không có dãy connào hội tụ đến một phần tử của A Khi đó, mỗi phần tử y của A có một lâncận mở Uy chỉ chứa một số hữu hạn phần tử của dãy {xn} Họ {Uy: y ∈ A} làmột phủ mở của A Theo giả thiết, tồn tại hữu hạn phần tử y1, , ymtrong Asao cho A ⊂Sm

i=1Uyi Suy ra A chỉ chứa hữu hạn phần tử Vậy thì dãy {xn}phải có dãy con hội tụ đến một phần tử của A Ta gặp mâu thuẫn Vậy A làtập compact

1.6.4 Tính chất của ánh xạ liên tục trên tập compact

Trong mục này chúng ta trình bày một số tính chất quan trọng của ánh xạ liêntục trên tập compact Đây là tổng quát hóa những tính chất của hàm số liêntục trên đoạn [a, b] đã biết trong giải tích cổ điển

Định lí 1.6.14 Ảnh liên tục (ảnh qua ánh xạ liên tục) của tập compact làcompact

Chứng minh Giả sử f : X → Y là ánh xạ liên tục giữa hai không gian metric,

A là tập con compact của X Lấy dãy bất kì {yn} ⊂ f (A) Khi đó, tồn tại dãy{xn} ⊂ A sao cho yn = f (xn) với mọi n Vì A compact nên có dãy con {xkn}của dãy {xn} sao cho xk n→ x ∈ A Mà f liên tục nên f (xk n) → f (x) ∈ f (A).Vậy dãy {yn} có dãy con {yk n} hội tụ đến f (x) thuộc f (A), do đó, f (A) làcompact

Hệ quả 1.6.15 Một hàm số giá trị thực liên tục trên một tập compact thì bịchặn và đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trên tập đó

Chứng minh Giả sử A là một tập con compact của không gian metric X và

f : A → R là một hàm số liên tục Theo Định lí 1.6.14 thì f (A) là tập compacttrong R, do đó, f (A) đóng và bị chặn trong R Suy ra tồn tại các cận trên đúng,cận dưới đúng hữu hạn của f (A) :

m = inf f (A) = inf

x∈Af (x) và M = sup f (A) = sup

x∈A

f (x),

hơn nữa, m và M đều thuộc f (A) Từ đó, tồn tại các phần tử x1, x2 thuộc Asao cho m = f (x1) , M = f (x2) Vậy f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhấtlần lượt tại x1 và x2

Định lí 1.6.16 Mọi ánh xạ liên tục trên tập compact là liên tục đều

Chứng minh Giả sử (X, dX), (Y, dY) là hai không gian metric, A là một tậpcon compact của X và f : A → Y là ánh xạ liên tục Ta chứng minh f liên tụcđều trên A bằng phản chứng Giả sử f không liên tục đều trên A Khi đó tồntại 0> 0 sao cho với mọi δ > 0 tồn tại xδ, xδ 0 ∈ A, dX(xδ, x0δ) < δ để

dY (f (xδ) , f (x0δ)) > 0Lần lượt lấy δ = 1,1

limn→∞dY f (xkn) , f x0k

n

= 0

Nhưng điều này mâu thuẫn với (1.6.4) Vậy f liên tục đều trên A.

họ những tập con của nó có các tính chất như của các tập mở trong khônggian metric Việc này dẫn chúng ta đến một khái niệm tổng quát hơn khái niệmkhông gian metric, đó là khái niệm không gian tôpô.

Định nghĩa 2.1.1 Cho tập hợp X là tập khác rỗng Một họ τ những tập concủa X gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau

Ví dụ 2.1.2 Cho X khác rỗng Khi đó τ = {∅, X} là một tôpô trên X, gọi làtôpô tầm thường trên X

Ví dụ 2.1.3 Ký hiệu P(X) là tập tất cả các tập con của X Khi đó τ = P(X)được gọi là tôpô rời rạc trên X

Ví dụ 2.1.4 Cho tập có 2 phần tử X = {a, b} Dễ dàng kiểm tra được rằng

τ = {∅, {a}, X} là một tôpô trên X

Ví dụ 2.1.5 Giả sử (X, d) là một không gian metric Gọi τ là họ tất cả cáctập mở trong X, ở đây tập mở được hiểu như trong Định nghĩa 1.2.6 Nói cáchkhác

τ = {U ⊂ X | với mọi x ∈ U, tồn tại  > 0 sao cho B(x, ) ⊂ U }

Ví dụ 1.5.4 Khơng gian C[a,b] với metric sup không gian đầy đủ Thật vậy,nếu {xn}... đóng không gian metric đầy đủ đầy? ?ủ

Chứng minh Cho (X, d) không gian metric đủ E tập đóngcủa X Giả sử {xn} dãy Cauchy E Khi {xn} dãyCauchy X Do X đầy đủ nên...

Ở ta biết đặc trưng Hausdorff tập compact, mơ tả qua tínhđầy đủ (để ý tập đóng không gian metric đầy đủ không gianmetric đầy đủ) tính hồn tồn bị chặn Tính chất "mọi dãy chứadãy hội tụ"