chuyên đề hình học giải tích trong không gian - đặng văn cường

Dạng 4: Tìm tâm và bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu và MP .... - Nếu IH 0 thì mặt phẳng  cắt mặt cầu S theo một đường tròn tâm I bán kính bằng bán kính R của mặt cầu đư

Chuyên đề

TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

TRÌNH BÀY THEO BỐ CỤC:

 PHÂN CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ

 TRÌNH BÀY PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 VÍ DỤ CHO TỪNG DẠNG BÀI TẬP

 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ

TOÁN

12

Q n

P Q

MUÏC LUÏC

Trang

Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 3

Dạng 1: Tọa độ của điểm và của vectơ 4

Dạng 2: Ba vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng 12

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I 16

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 17

Dạng 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu 18

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu theo các điều kiện cho trước 20

Dạng 3: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu – Tiếp diện của mặt cầu 24

Dạng 4: Tìm tâm và bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu và MP 25

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II 27

Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 28

Dạng 1: Bài toán lập phương trình mặt phẳng 29

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng 31

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và song song mặt phẳng 32

Dạng 4: Chứng minh 1 điểm thuộc (không thuộc) mặt phẳng 33

Dạng 5: Chứng minh 4 điểm đồng phẳng 33

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III 34

Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 36

Chủ đề 1: CHUYỂN ĐỔI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 37

Chủ đề 2: BÀI TOÁN VÊ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 38

Dạng 1: Vị trí tương đối của 1 điểm đối với 1 đường thẳng 38

Dạng 2: Vị trí tương đối của 2 đường thẳng 39

Dạng 3: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 41

Chủ đề 3: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 44

Dạng 1: Lập phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương 44

Dạng 2: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm 44

Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm và song song đường thẳng 45 Dạng 4: Lập phương trình ĐT qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng 46

Dạng 5: Lập phương trình ĐT qua 1 điểm và vuông góc 2 đường thẳng 47

Dạng 6: Lập phương trình ĐT qua 1 điểm và cắt 2 đường thẳng 49

Dạng 7: Lập phương trình ĐT qua 1 điểm vuông góc d và cắt 1 d 51 2 Dạng 8: Lập phương trình đường vuông góc chung của 2 ĐT chéo nhau 52

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG KHÁC 54

Chủ đề 4: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG LIÊN QUAN ĐẾN ĐT 59

Dạng 1: Viết phương trình MT đi qua ĐT d và 1 điểm không thuộc d 59

Dạng 2: Viết phương trình MT xác định bởi 2 ĐT cắt nhau 60

Dạng 3: Viết phương trình MT xác định bởi 2 ĐT song song 61

Dạng 4: Viết phương trình MT đi qua 1 điểm và vuông góc đường thẳng 62

Dạng 5: Viết phương trình MP qua 1 ĐT và song song đường thẳng 63

Dạng 6: Phương trình MT qua 1 đường thẳng và vuông góc 1 mặt phẳng 65

Chủ đề 5: BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU – ĐIỂM ĐỐI XỨNG 66

Dạng 1: Tìm hình chiếu – điểm đối xứng của 1 điểm trên đường thẳng 66

Dạng 2: Tìm hình chiếu – điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng 69

Dạng 3: Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng 71

Chủ đề 6: BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH 72

Dạng 1: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng 72

Dạng 2: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng 73

Dạng 3: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau 74

Dạng 4: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song 75

Dạng 5: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng 76

Chủ đề 7: BÀI TOÁN VỀ GÓC 78

Dạng 1: Góc giữa hai đường thẳng 78

Dạng 2: Góc giữa hai mặt phẳng 78

Chủ đề 8: BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC 81

BÀI TẬP TỔNG HỢP 87

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH QUA ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM 92

ĐÁP ÁN .101

Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 102

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 107

Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 115

Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 119

BÀI TẬP TỔNG HỢP .135

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐẠI HỌC 146

I TỌA ĐỘ VECTƠ:

1) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho vectơ: a xi y j zk  

( , , )x y z gọi là tọa độ của vectơ a , kí hiệu a( ; ; )x y z

2) Cho các vectơ u1( ; ; )x y z1 1 1 , u2 ( ;x y z2 2; 2) và số k tùy ý, ta có:

3 Liên hệ tọa độ vectơ và tọa độ hai điểm mút:

Trong không gian Oxyz cho các điểm ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )A x y z A A A B x y z B B B C x y z C C C D x D y D z D

A B M

A B M

e) Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD

4 Tích có hướng của các vectơ:

a) Tích có hướng của hai vectơ u(a;b;c) và v(a';b';c') là một vectơ, kí hiệu ,u v

i)  u,v 0  u và v cùng phương

* Hệ quả: u(a;b;c) và u'(a';b';c') cùng phương  ( ' ' ' 0)

'''  a b c

c

c b

b a a

ii) Vectơ ,u v vuông góc với cả hai vectơ u và v

iii)  u,v  u.v.sin(u,v)

iv) u , v , w đồng phẳng   u,v.w0

c) Aùp dụng để tính diện tích và thể tích:

* Diện tích hình bình hành ABCD : S  AB.AD

* Diện tích tam giác ABC : S AB.AC

2

1



: S AB.AC2

1



* Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ : V  AB,AD.AA'

* Thể tích hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’:  ,  '

2

1

AA AC AB

V 

* Thể tích hình tứ diện ABCD : V AB,AC.AD

61



1.3) S ab C bc A acsinB

2

1sin2

1sin2

4

Trong đó: R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

1.5) S pr

Trong đó: nửa chu vi tam giác

)(

2

1

c b a

p  

r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

ABC

1.6) S  p(pa)(pb)(pc)Công thức trên gọi là công thức Hê – rông

2 ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

3 TỌA ĐỘ CHÂN ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

3.1) Gọi E x y z( E; E; E) là tọa độ chân đường

phân giác trong góc A của tam giác ABC:

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz,cho ba điểm A(1;2;3), (2; 1;3), (0;2;4)B  C

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho AB2CD0

b) Tìm tọa điểm điểm E sao cho AEEB

2 1

1 1 1

2 2 22( 4) 0

4

D D

D

D

x x

b) Gọi tọa độ điểm E x y z( E; E; E) , theo giả thiết:

( E 1; E 2; E 3) (2 E; 1 E;3 E)

AEEB x  y  z   x  y z

32

295 1 ( 2) 0 3 5 ( 5)

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz,cho ba điểm A(1;2;1), (5;3;4), (8; 3;2)B C 

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

b) Tính diện tích tam giác ABC

c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

AC  AB BC , nên theo định lý đảo Pitago tam giác ABC vuông tại B

b) Diện tích tam giác vuông ABC: 1 1 26 49 7 26 ( )

ABC

S  AB BC  ñvdt c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

7262

b) Tìm tọa độ trong tam G tam giác ABC

c) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

GIẢI

a) Gọi tọa độ E x y z( ; ; ) là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC:

Ta có: EA (1 x;2  y; 1 z EC);   ( 4 x;7y;5z); AB 26;BC 104

Vì E là chân đường phân giác trong của đỉnh B nên: 26 1 2

2104

EA

EA EC

EC       2

32(1 ) 4

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Trong khơng gian Oxyz, cho ba vectơ a(5;7;2),b(3;0;4),c ( 6;1; 1) Tìm vectơ: a) u3a2b c b) v5a6b4c

Bài 4: Cho ba điểm A(0; 4;1), ( 1;1; 3), (1; 2;3) B   C 

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

b) Tính độ dài của đường trung tuyến, đường cao, phân giác trong xuất phát từ đỉnh C của tam giác ABC

Bài 5: Trong khơng gian Oxyz, cho 3 điểm A(1;2;4), (2; 1;0), ( 2;3; 1)B  C  

a) M x y z( ; ; ) nằm trong mặt phẳng (ABC) Tìm sự liên hệ giữa , ,x y z

b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành

b) Định tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

c) Tìm độ dài đường cao của tam giác ABC vẽ từ A

Bài 7: Trong khơng gian Oxyz, tìm điểm M(Oxz) sao cho M cách đều ba điểm

(1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1)

Bài 8: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ', biết A(1;0;1), '(2;1; 2),B D '(1; 1;1), (4;5; 5) C  Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình hộp

Bài 9: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ', biết A(4;1; 2), ( 3; 2;17), '(4;5;10), C   B D '( 7; 2;11)  a) Tìm tọa độ các đỉnh B C A D, ', ',

Cho ba vectơ , ,a b c trong đĩ , b c khơng cùng phương Muốn chứng minh ba vectơ , , a b c

đồng phẳng ta chứng minh cĩ một cặp số thực m n, duy nhất sao cho am b n c 

2  Chứng minh ba vectơ khơng đồng phẳng:

3  Chứng minh ba điểm thẳng hàng, khơng thẳng hàng:

 A B C, , khơng thẳng hàng  ABCAB khơng cùng phương AC

Cách 2: Lập phương trình mặt phẳng (ABC) và chứng minh điểm D(ABC)

Dạng 2: BA VECTƠ ĐỒNG PHẲNG – KHÔNG ĐỒNG PHẲNG.

Vậy ba vectơ , ,a b c không đồng phẳng

b) Phân tích vectơ d  ( 9,15,5) theo ba vectơ , ,a b c

Giả sử ta phân tích đƣợc: d xaybzc

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hai bộ ba vectơ ( , , ),( , , w)a b c u v với:

( 3;2;5), ( 1; 1;4), ( 2;3;1)

a  b   c 

( 2; 6;1), (4; 3; 2), w ( 2; 1;1)

u   v     

Hỏi bộ ba vectơ nào đồng phẳng?

Bài 2: Trong khơng gian Oxyz, cho bốn vectơ:

a) a b cĩ cùng phương khơng ? ,, a c cĩ cùng phương khơng ?

b) Phân tích vectơ d theo ba vectơ a b c , ,

Bài 4: Trong khơng gian Oxyz, cho 2 vectơ a(2; 2;1), b(8;4;1) Tìm vectơ c thỏa:

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I

Bài 1: Cho tam giác ABC có A(1;2;3), ( 1;3;4), (0;4;2)B  C

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

b) Tính góc A của tam giác ABC

c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

Bài 2: Cho các điểm A( 3; 2;0), (3; 3;1), (5;0;2)  B  C Tìm tọa độ điểm Dđể ABCD là hình bình hành

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxyz, tìm điểm M sao cho M cách đều A(1;2;3), ( 3; 3;2)B   và //

OM AB

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxyz, cho A( 2;6;3), (1;0;6), (0;2; 1), (1;4;0) B C  D

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD

b) Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxyz, cho A(1; 1;1), (2;3;2), (4;2;2), (3;0;1), (1;2;3) B C D E

a) Tính các góc của tam giác ABC

b) Tìm trên Oy điểm cách đều hai điểm A B,

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có: (2;0;2), (4;2;4), (2; 2;2)

b) Tính thể tích hình chóp O ABC và diện tích tam giác ABC theo a b c, ,

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Mỹ thuật Công nghiệp, 1999)

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxyz,cho tứ diện ABCD với (2; 1;6), ( 3; 1; 4), (4; 1;0), (1;2;1)

Bài 9: Trong không gian Oxyz,cho các điểm A a( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) (B b C c a0, b 0, c 0) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và I là điểm chia đoạn OG theo tỉ số k  2

a) Tính theo a b c, , diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện I ABC

b) Cho a b c  6 Tìm a b c, , để tứ diện O ABC có thể tích lớn nhất

Bài 10: Cho hình hộp xiên ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi G là trọng tâm tam giác AB C'

a) Chứng minh BD'3BG

b) Gọi P Q R, , là ảnh đối xứng của điểm D' qua các điểm A B C, ', Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện PQRD'

I PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:

* Mặt cầu ( )S tâm I a b c( ; ; ), bán kính R có phương trình:   2  2 2 2

R a   b c d

II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG:

Cho mặt cầu S I R( , ):   2  2 2 2

x a  y b  z c R

Và mặt phẳng (): AxBy Cz  D 0

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng ()

- Nếu IH 0 thì mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu ( )S theo một đường tròn tâm I bán kính bằng

bán kính R của mặt cầu đường tròn đó được gọi là đường tròn tâm của mặt cầu

- Nếu mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại điểm M thì M gọi là tiếp diện của mặt cầu

Mặt phẳng ( ) vuơng gĩc với bán kính R tại tiếp điểm M

- Nếu mặt phẳng ( ) đi qua tâm I của mặt cầu ( )S thì sẽ cắt mặt cầu ( )S theo đường trịn ( )C , gọi là đường trịn lớn, cĩ tâm và bán kính chính là tâm và bán kính của mặt cầu ( )S

Dạng 1: TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU.

2632

S x  y  z  x y z  x y  z x y z 

Tâm của mặt cầu:

212

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Tìm tọa độ tâm và bán kính mỗi mặt cầu sau đây:

x y  z x y z  d) 2 2 2

8 2 1 0

x y  z x y e) 2 2 2

2 4 8 12 0

x y  z x y z  f) 2 2 2

6 2 6 0

x y  z y z  g) 2 2 2

Bài 3: Cho ( )S m cĩ phương trình: (S m) :x2y2 z2 2mx2my4mz5m22m 3 0

Xác định tham số m để ( ) S m là một mặt cầu Tìm tập hợp tâm I của mặt cầu ( S m) khi m thay

đổi

Dạng 2 : VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THEO CÁC

ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

* Dưới đây là một số kiến thức cần nhớ khi viết phương trình mặt cầu:

1) Biết đường kính AB: Tâm là trung điểm AB; bán kính

A B I

A B I

2) Phương trình mặt cầu qua 4 điểm:

Gọi phương trình mặt cầu có dạng: 2 2 2

x y  z ax by cz d S Lần lượt thế tọa độ của 4 điểm vào phương trình mặt cầu ( )S ta được hệ phương trình bốn ẩn

3) Biết tâm I và phương trình mặt cầu đi qua điểm A:

* Chú ý : Tâm I nằm trên OxI a( ;0;0), tương tự cho các trục còn lại

6) Đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P):

Gọi I a b c( ; ; ) là tâm mặt cầu

Giải hệ phương trình :

2 2 ( ; ; )( )

A B I

A B I

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A(2;0;0), (0;4;0), (0;0;4), (0;0;0)B C O

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x2y2 z2 2x4y4z0

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt cầu có tâm I( 1;2;3) và qua điểm M( 2;1;1)

Vậy phương trình mặt cầu ( )S cần tìm là: (x1)2 (y 2)2 (z 3)2 6

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng có tâm I(1;1;2) và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : x2y2z 2 0

Ví dụ 6: Viết phương trình mặt cầu ( )S qua ba điểm A(0;0;4), (2;1;3), (0;2;6)B C và có tâm nằm trên mặt phẳng yOz

GIẢI

Gọi I a b c( ; ; ) là tâm mặt cầu ( )S cần tìm

Vì ( )S qua ba điểm A B C, , và I(yOz) :x0 nên ta có hệ phương trình:

2 2 2 2 2 2 2 2

0(4 ) (2 ) (1 ) (3 )

5(4 ) (2 ) (6 )

2

72

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 4: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) Cĩ tâm I (1;2;3) và bán kính bằng 3

b) Cĩ đường kính là AB với A(1; -2;0) và B (3;2;2)

c) Cĩ đường kính là MN với M(2; -3;3) và N(4; -1; 1)

d) Cĩ tâm I(2;2;3) và đường kính d = 8

e) Đi qua bốn điểm: A(1; 3; 9), B(3; 6; 8), C(8;3;2) và D(4;9;4)

f) Tâm I(2 ;-1 ; 3) và đi qua A(7 ; 2 ; 1)

g) Tâm I(-2 ; 1 ; – 3) và tiếp xúc mp(Oxy)

h) Đi qua A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( 2 ; 2 ; 3) và cĩ tâm nằm trên mp(Oxy)

i) Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và cĩ tâm thuộc trục Oz

j) Đi qua bốn điểm A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1)

Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) Tâm I  Ox và đi qua 2 điểm A(3;1;0) B (5;5;0)

b) Cĩ tâm là trọng tâm tam giác ABC với A(1;2;3), B(2;2;1), C(0;2;-1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):3x +4y + 5 = 0

Bài 6: Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt cầu:

a) Đi qua ba điểm A(0;8;0), B(4;6;2), C(0;12;4) và có tâm nằm trên mp (Oyz)

b) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox

c) Có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc với mp (Oyz)

Bài 7: Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(-1;2;3), B(-4;1;-1), C(0;2;2) và cĩ tâm nằm

Bài 10*: Qua đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tâm I  mp (P): 18x35y17z 2 0.Biết ba cạnh của tam giác ABC là:

5 2 0( ) :

Dạng 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT

CẦU – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CẦU

PHƯƠNG PHÁP:

a) Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu : đã nêu ở phần đầu

b) Viết phương trình tiếp diện:

* Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu tại M:

- Mặt phẳng ( )P qua M và vuơng gĩc với IM 







IMn_VTPT

M_qua

P

* Viết phương trình tiếp diện biết mp tiếp diện (P) song song với một mặt phẳng (Q):

Giả sử mặt cầu (S) cĩ tâm I và bán kính R, mặt phẳng (Q) cĩ dạng: AxBy Cz  D 0

Gọi mặt phẳng cần tìm (P) // (Q) cĩ dạng: AxBy Cz  m 0

Để tìm m ta dựa vào điều kiện tiếp xúc: d I P( ,( ))R

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 11: Cho mặt cầu (S) cĩ phương trình: 2 2 2

2 4 6 10 0

x y  z x y z Xét vị trí tương đối của (S) với các mặt phẳng:

Xác định m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt phẳng (S)

Bài 13: Cho mặt cầu (S) cĩ phương trình: 2 2 2

4 2 10 19 0

x y  z x y z Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu tại điểm M(4;4;-3)

Bài 14: Cho mặt cầu (S):   2  2 2

Bài 18*: Cho mặt cầu 2 2 2

( ) : S x y  z 2x4y6z 5 0 Lập phương trình mặt phẳng thiết diện của ( )S biết:

a) Mặt phẳng đó đi qua điểm M(1;1;1)

b) Mặt phẳng đó chứa đường thẳng ( ) : 2 1 0

1 0

x y d

2

22

12

1

5 2( ) : 1 3

Dạng 4: TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN LÀ GIAO

TUYẾN CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

PHƯƠNG PHÁP:

Trong khơng gian đường trịn được coi như là giao tuyến của một mặt phẳng và một mặt

cầu.Tâm của đường trịn là hình chiếu của tâm mặt cầu đĩ trên mặt phẳng tiếp diện đĩ

Giả sử mặt cầu (S) cĩ tâm I và bán kính R và mặt phẳng (P) Ta tìm tâm K của đường trịn giao

tuyến của mp (P) và mặt cầu (S) theo các bước sau:

- Viết phương trình đường thẳng () đi qua tâm I và vuơng gĩc với mp (P) (cĩ VTCP là

VTPT của (P))

- Tìm tọa độ giao điểm của (P) và ()

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 20: Tìm tâm và bán kính đường trịn cĩ phương trình:

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 2

Bài 1: Tìm tọa độ tâm và bán kính các mặt cầu sau:

c) Tâm I(2 ;-1 ; - 3) và đi qua A(4 ; 2 ; 1)

d) Tâm I(-2 ; 1 ; – 3) và tiếp xúc mp(Oxz)

e) Đi qua bốn điểm A(2;0;0), (0;4;0), (0;0;6), (0;0;0)B C O

Bài 3: Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Qua ba điểm A(0;0;4), (2;1;3), (0;2;6)B C và có tâm trên mặt phẳng (yOz)

a) Tìm tâm và bán kính của mặt cầu ( )S

b) Tìm điểm M trên ( )S sao cho khoảng cách từ đó đến mặt phẳng ( )P là ngắn nhất

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định tâm và bán kính của đường tròn ( )C có phương trình:

Bài 9: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :16P x15y12z750

a) Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm là gốc tọa độ O, tiếp xúc với mặt phẳng ( )P

b) Tìm tọa độ tiếp điểm H của mặt phẳng ( )P với mặt cầu ( )S

c) Tìm điểm đối xứng của gốc tọa độ O qua mặt phẳng ( )P

Bài 10: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2y2 z2 2x4y6z0

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ( )S

b) Xét vị trí tương đối của mặt cầu ( )S với mặt phẳng ( ) : x   y z k 0 tùy theo tham

số k

c) Tìm tọa độ giao điểm của ( )S với đường thẳng đi qua M(1;1;1) và N(2; 1;5)

d) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với ( )S tại O

e) Tìm bán kính đường tròn giao tuyến của ( )S với mặt phẳng (Oxy)

I PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:

1 Muốn lập phương trình của mặt phẳng (), ta đi xác định một điểm thuộc mặt phẳng () và

1 vectơ pháp tuyến hoặc cặp vectơ chỉ phương:

() : Qua M x y z và VTPT 0( ;0 0; 0) n(A;B;C)hoặc cặp VTCP v u,  n  u v; 

Phương trình mặt phẳng (): A x( x0)B y( y0)C z( z0) 0 AxBy Cz  D 0

2 Phương trình tổng quát của mp () trong không gian toạ độ là:

AxBy Cz  D với A B C 

a) Đặc biệt: (Chứa gì mất nấy, vuơng gì chỉ cĩ nấy)

Dấu hiệu Phương trình mặt phẳng ( ) Dấu hiệu Phương trình mặt phẳng ( )( ) đđi qua gốc tọa độ O AxBy Cz 0

a  b c  (phương trình đoạn chắn)

II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG:

Cho 2 mặt phẳng:

( ) : AxBy Cz  D 0 và ( ') : A x' By'C z' D'0

1) () và (’) cắt nhau  A: B: C  A’: B’: C’

2) () và (’) song song 

'''

D C

C B

B A

A   

3) () và (’) trùng nhau 

'''

D C

C B

B A

A   

III KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG:

Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm M x y z0( ;0 0; 0)và mặt phẳng ( ) : AxBy Cz  D 0

Công thức tính khoảng cách từ M0 đến mặt phẳng ( )

Vectơ pháp tuyến

hoặc cặp vectơ chỉ phương

Khi đó phương trình mặt phẳng ( ) được viết dưới dạng:

( ) : ( A x x ) B y( y ) C z( z ) 0 Ax By Cz D 0

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng ( )P trong các trường hợp sau:

a) Qua điểm A (1, 2, 4) và nhận n(1, 2, 3) làm vectơ pháp tuyến

b) Qua điểm B(1,0, 3) và nhận cặp vectơ u(2,3, 5), v (1, 2,0) làm cặp vectơ chỉ phương

c) Qua điểm C(2, 3,1) và vuơng gĩc với mặt phẳng ( ) : 2 x  y 3 0 và ( ) : x  y 5 0

Giải:

a) Gọi mặt phẳng ( )P (1; 2; 4)

(1; 2; 3)

qua A VTPT n

b) Gọi mặt phẳng ( )P qua điểm B(1,0, 3)

và nhận cặp vectơ u(2,3, 5), v (1, 2,0) làm cặp vectơ chỉ phương

nên ( )P cĩ vectơ pháp tuyến nu v,  ( 10; 5; 7) / /(10;5;7) 

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:

a) Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm M( 1, 2, 5)  nhận vectơ n(3;1;2) làm vectơ pháp tuyến

b) Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm M(1, 1, 2)  và nhận cặp vectơ a(3;2;1) và

b làm một cặp vectơ chỉ phương

c) Đi qua hai điểm A(1, 2,3), ( 1,5, 2)B  và vuông góc với mặp phẳng: ( ) : 2P x  z 5 0

d) Đi qua A( 1, 2,3) và vuông góc với cả hai mặt phẳng ( ) :P x 2 0 và ( ) :Q y  z 1 0

Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm M( 1, 2, 5)  và có vectơ pháp tuyến

Cách 2: Ta viết phương trình của mặt phẳng qua ba điểm P Q R, , bằng cách viết phương trình

mặt phẳng đi qua điểm P và nhận cặp vectơ PQ , PR làm một cặp vectơ chỉ phương

Dạng 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ĐI QUA BA ĐIỂM KHÔNG

THẲNG HÀNG







Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; 2;3), (2; 2;1), (1;3;0) B  C

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm P( 1; -1; 2); Q(2; 1; 2) và R(1; 1; 4)

Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A( 1;2; 4); B(2; -1; 0) và C(-2; 3; -1)

Dạng 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ĐI QUA ĐIỂM

VÀ SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG (P):



BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng ( ')P đi qua điểm M(-1; 3; 5) và song song với mặt phẳng ( ) : 3P x7y  z 4 0

Bài 8: Cho mặt phẳng ( ) : 3P x4y  z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng ( )Q đi qua điểm (2; 1;3)

M  và song song với mặt phẳng ( )P

PHƯƠNG PHÁP:

Để chứng minh một điểm M(x0; y0; z0) thuộc (hay không thuộc) mặt phẳng ( ) :P AxBy Cz  D 0, ta đem thế toạ độ của M vào phương trình tổng quát (P)

- Nếu toạ độ M thoả mãn phương trình của (P) thì M  (P)

- Nếu toạ độ M không thoả mãn phương trình của (P) thì M  (P)

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 9: Cho mặt phẳng (P): 2x – 5y – 4z – 4 = 0 và ba điểm M( - 1 ; 0; 2), N(1; 2; - 3) và

P(3; 7; -4) Xác định vị trí tương đối của các điểm M, N, P với mặt phẳng (P)

PHƯƠNG PHÁP:

Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ta có thể làm như sau:

Cách 1:- Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điển A, B, C

- Thế toạ độ của D vào phương trình của mặt phẳng (ABC)

Cách 2: Nếu AB AC AD,  0  bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng

- Nếu AB AC AD,  0  bốn điểm A, B, C, D là các cạnh của tứ diện ABCD

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 10: Cho 5 điểm M(1; -1; 2), N(2; 1; 2), P(1; 1; 4), R(-1; -3; 4) và S(3; -2; 3)

a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, R đồng phẳng

b) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, S là bốn đỉnh của một tứ diện

Dạng 4: CHỨNG MINH MỘT ĐIỂM M THUỘC (KHÔNG THUỘC) MẶT

PHẲNG (P)

Dạng 5: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III

Bài 11: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua ba điểm M(2; 0; -1), N(1;-2; 3), P(0; 1; 2)

b) Đi qua hai điểm A(1; 1; -1), B(5; 2; 1) và song song với trục oz

c) Đi qua điểm M(3; 2; -1) và song song với mp (P) có phương trình: x – 5y + z = 0

d) Đi qua hai điểm A(0; 1; 1), B(- 1; 0; 2) và vuông góc với mặt phẳng ( ) :P x   y z 1 0

e) Đi qua hai điểm A( 1; 2; 3) , B( -2; 5; 2) và vuông góc với mp (P): 2x + z + 5 = 0

f) Đi qua A( -1; 2; 3) và vuông góc với cả hai mp (P): x – 2 = 0 và (Q): y – z – 1 = 0

Bài 12: Cho ABC với A(-3; 5; 7), B(0; - 1; 1), C( 3; 1; -2)

a) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của BC

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa ABC

c) Viết phương trình mặt phẳng qua BC và song song với Ox

d) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với mặt phẳng (Oxy)

e) Viết phương trình mặt phẳng qua C và vuơng gĩc với mặt phẳng (Oxz) và (ABC)

Bài 13: Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD)

b) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với mp (BCD)

c) Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 14: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau:

Bài 16: Tính khoảng cách từ điểm A(2, 4, 3) đến mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 9 0

Bài 17: Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau:

a) M cách đều điểm A(2,3, 4) và mặt phẳng ( ) : 2P x3y z 170

b) M cách đều hai mặt phẳng ( ) :P x   y z 1 0 và ( ) :Q x   y z 5 0

Bài 18: Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (): 4x3y12z 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình : 2 2 2

2 4 6 2 0

x y  z x y z 

Bài 19: Cho ba điểm M(2,0, 1), N(1, 2,3), (0,1, 2) P

a) Viết phương trình mặt phẳng (MNP)

b) Viết phương trình mặt phẳng qua trọng tâm tam giác MNPvà vuơng gĩc với MN

c) Viết mặt phẳng trung trực của

d) Tính diện tích tam giác MNP

Bài 20: Cho hai điểm A(0,1,1), ( 1,0, 2)B  và mặt phẳng ( ) :P x   y z 1 0 và ( ) : 2Q x  y 2 0

a) Viết phương trình mặt phẳng qua A B, và vuơng gĩc với ( )P

b) Chứng minh hai mặt phẳng ( )P và ( )Q cắt nhau và tìm đường thẳng giao tuyến đĩ c) Tìm điểm đối xứng của A qua ( )P

I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC:

Đường thẳng d đi qua điểm M x y z và có vectơ chỉ phương ( ;0 0; 0) u(a;b;c):

a) Phương trình tham số:

0 0 0

0:

D z C y B x A

D Cz By Ax

Đường thẳng  có vectơ chỉ phương: 





'

B B

d) Các trường hợp đặc biệt của đường thẳng :



0 0

(1;0;0)//

( ) (0; ; )

VTCP u i Ox

( ) ( ;0; )

VTCP u j Oy

( ) ( ; ;0)

VTCP u k Oz

II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:

Cách 1: Xét hệ phương trình gồm phương trình của đường thẳng d và phương trình mp (P):

Có nghiệm duy nhất M(x0;y0;z0) Cắt nhau tại điểm M(x0;y0;z0)

Có vô số nghiệm d nằm trong (P)

Cách 2: Xét mp (P) có VTCP n và đường thẳng d có VTCP u Lấy điểm M  d

3) d  (P) =  M  n.u0

4) d  (P)  n và u cùng phương  n ku

III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG:

 Đường thẳng ( )d đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương u

 Đường thẳng ( ')d đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương v

1) ( )d // ( ')d  u và v cùng phương với nhau nhưng không cùng phương với AB

0,

AB u

v u

2) ( )d và ( ')d trùng nhau:  ba vectơ , ,u v AB cùng phương  ,u v   u AB, 0

3) ( )d và ( ')d cắt nhau: , 0

4) ( )d và ( ')d chéo nhau:  ( ) d và ( ')d không đồng phẳng  , u v AB 0

IV CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH:

1) Khoảng cách từ một điểm M x y z( ;0 0; 0)đến một đường thẳng , cho bởi công thức:

u

u MM

M

d

,')

,

(   ( u làvectơ chỉ phương của  và M’ )

2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :

 và ’ là hai đường thẳng chéo nhau có ( )

 , '

'.',)',(

u u

MM u u

d   

V TÍNH GÓC:

1) Góc giữa 2 đường thẳng:

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

cos

c b a c b a

c c b b a a

2 1 2 1 2 1

cos

C B A C B A

C C B B A A

sin

c b a C B A

Cc Bb a A

Chủ đề 1: CHUYỂN ĐỔI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

PHƯƠNG PHÁP:

1 Chuyển từ dạng tham số sang dạng chính tắc và dạng tổng quát:

Từ phương trình tham số:

0 0 0

2 Chuyển từ dạng tổng quát sang dạng chính tắc (hoặc dạng tham số)

Ta có thể thực hiện một trong hai cách sau:

Cách 1: Tìm một vectơ chỉ phương u của đường thẳng và tìm một điểm M x y z( ;0 0; 0) thuộc đường thẳng

Cách 2: Đặt một trong ba biến x, y, z là t và biểu diễn hai biến còn lại theo t

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Cho phương trình tham số của đường thẳng ():

t y

t x

51

33

21

Tìm phương trình chính tắc và phương trình tổng quát của ()

Bài 2: Viết phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng () biết :

3

0632

z y

x

z y

x

Bài 3: Cho đường thẳng (d) có phương trình chính tắc: x  y 3z

4

32

1

Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát

Bài 4: Viết phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng () biết :

3

013

2

z y

x

z y

032

3

z y x

z y x

Chủ đề 2: BÀI TOÁN VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

Dạng 1: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG.

Cho điểm M x( M;y M;z M) và đường thẳng

0 0 0

M M M

M M M

Dạng 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.

Giả sử cho hai đường thẳng ( ) và (d1 d cĩ: 2)

( ) ( )//( ),

0 ( ) ( )0

 ( ) d1 cắt (d2) thì giao điểm là nghiệm hệ phương trình gồm các phương trình của hai đường thẳng