ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOÁN KINH TẾ

- Mục tiêu về kỹ năng người học cần đạt được: Người học có thể ứng dụng các công cụ phân tích của toán kinh tế nhằm phân tích, hiểu và vận dụng được vào phân tích và đo lường sự thay đổi

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOÁN KINH TẾ

Chương 1 Giới thiệu mô hình toán kinh tế

Số tiết: 6 (Lý thuyết: 4 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)

* Mục tiêu:

- Mục tiêu về kiến thức người học cần đạt được:

Chương này nhằm trang bị cho người học chuyên ngành kinh tế, kế toán, tài chính ngân hàng, quản trị kinh doanh những kiến thức cơ bản về môn hình và mô hình toán kinh tế Hiểu được các bước xây dựng mô hình toán kinh tế và có thể vận dụng vào thực tế để xây dựng được mô hình toán kinh tế đồng thời đo lường được sự tác động của biến ngoại sinh đến biến nội sinh

- Mục tiêu về kỹ năng người học cần đạt được:

Người học có thể ứng dụng các công cụ phân tích của toán kinh tế nhằm phân tích, hiểu

và vận dụng được vào phân tích và đo lường sự thay đổi của biến ngoại sinh đến sự biến động của biến nội sinh Có các kỹ năng tư duy logic, phân tích và ra quyết định, kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề Có kỹ năng tìm kiếm, lựa chọn thông tin và kiến thức để dùng vào những mục đích riêng biệt

- Mục tiêu về thái độ người học cần đạt được

Giúp cho người học cảm thấy thích thú, quan tâm tìm kiếm các mô hình kinh tế phản ánh mối quan hệ giữa biến nội sinh và các biến ngoại sinh

1.1 Các khái niệm

1.1.1 Khái niệm mô hình

Mô hình là sự phản ánh hay mô tả một đối tượng hay một thực thể nào đó bằng ngôn ngữ, đường nét, hình ảnh, hình khối, mầu sắc, lời văn,

Như vậy, việc mô tả đối tượng cần nghiên cứu bằng mô hình liên quan đến:

- Trình độ nhận thức, tầm hiểu biết của người nghiên cứu về đối tượng

- Phương pháp diễn đạt sự nhận thức về đối tượng

1.1.3 Mô hình toán kinh tế

Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ toán học Việc sử dụng ngôn ngữ toán học tạo khả năng áp dụng các phương pháp suy luận toán học và kế thừa các thành tựu trong lĩnh vực này Đối với các vấn đề phức tạp có nhiều mối liên hệ đan xen, thậm chí tiềm ẩn mà chúng ta cần nghiên cứu thì phương pháp truyền thống, phân tích giản đơn không đủ hiệu lực để giải quyết, chúng ta cần đến phương pháp suy luận toán học

1.2 Cấu trúc của mô hình

1.2.1 Các biến số, các tham số

- Các biến ngoại sinh (biến giải thích): Là các biến có một mức độ độc lập nhất định với

mô hình và được xem là tồn tại bên ngoài mô hình

- Các biến nội sinh (biến được giải thích): Đó là các biến tồn tại trong bản thân mô hình,

chúng phụ thuộc khăng khít với nhau và chịu tác động của các biến ngoại sinh

- Các tham số (thông số): Đó là các biến số thể hiện các đặc trưng tương đối ổn định của

hiện tượng trong vấn đề chúng ta nghiên cứu

1.2.2 Mối liên hệ giữa các biến số

Đó là các mối quan hệ kinh tế nảy sinh trong quá trình hoạt động kinh tế giữa các chủ thể, giữa chủ thể với Nhà nước, giữa các khu vực, bộ phận của nền kinh tế của các quốc gia Chúng ta có thể phân quan hệ kinh tế theo các quy luật, quy tắc hình thành chúng Các quan hệ chủ yếu gồm:

- Quan hệ hành vi: Là mối quan hệ nảy sinh khi chủ thể thực hiện hành vi kinh tế

- Mối quan hệ định nghĩa (quan hệ đồng nhất): Đơn thuần là các quan hệ được định

nghĩa, được gán cho các yếu tố

- Mối quan hệ kỹ thuật: Phản ánh mối quan hệ mang tính kỹ thuật giữa các yếu tố

- Mối quan hệ thể chế: Các quan hệ hình thành do quy định của pháp luật, các văn bản

pháp quy hoặc do các quy định, quy ước, thoả thuận giữa các đối tác

- Một số quan hệ khác như : Quan hệ cầm cố, quan hệ chuyển nhượng,

1.2.3 Phân loại mô hình

Chúng ta có thể phân loại mô hình theo các căn cứ khác nhau phụ thuộc vào nội dung, hình thức, quy mô, phạm vi, công cụ hay mục đích…

- Theo trạng thái biểu hiện của các chỉ tiêu: Mô hình dạng hiện vật và mô hình dạng giá trị.

- Theo thời hạn: Mô hình ngắn hạn và mô hình dài hạn.

- Theo sự biến động của các yếu tố thời gian:

+ Mô hình tĩnh: Mô tả hiện tượng kinh tế tồn tại ở một thời điểm hay một khoảng thời gian đã xác định

+ Mô hình động: Mô tả hiện tượng kinh tế mà trong đó có các yếu tố biến động theo thời gian gọi là mô hình động

- Theo phạm vi nghiên cứu:

+ Mô hình kinh tế vĩ mô: Mô tả các hiện tượng kinh tế liên quan đến một nền kinh tế, một khu vực kinh tế gồm một số nước, ở mức gộp lợi

+ Mô hình kinh tế vi mô: Mô tả một thực thể kinh tế nhỏ hoặc những hiện tượng kinh tế với các yếu tố ảnh hưởng trong phạm vi hẹp và ở mức độ chi tiết

1.3 Các bước xây dựng mô hình toán kinh tế

1.3.1 Lựa chọn vấn đề nghiên cứu

1.3.2 Lựa chọn cơ sở lý luận

Đó là mục tiêu người nghiên cứu, có thể là mục tiêu nhận thức, phân tích hoặc là dự đoán 1.3.3 Lựa chọn và phân tích mô hình

Dựa vào cơ sở lý luận, mối quan hệ giữa các biến để quyết định lựa chọn các biến số và các phương trình của mô hình

Sử dụng các công cụ toán học để phân tích kỹ lưỡng hơn các quan hệ giữa các biến số kể

cả các quan hệ tiềm ẩn

Xác lập mối liên hệ trực tiếp giữa các biến nội sinh với các biến ngoại sinh và các tham số.1.3.4 Mô phỏng thực tiễn và hiệu chỉnh mô hình

Trên cơ sở quan hệ giữa các biến được biểu thị thông qua các biểu thức toán học, có thể

mô phỏng giả định các tình huống biến động của một số biến số để xem xét phản ứng của các biến số liên quan

1.4 Một số phương pháp phân tích mô hình

1.4.1 Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo sự thay đổi của biến ngoại sinh

- Xét hàm Y = F(X1, X2, , Xn), tại X = X0, gọi sự thay đổi của Y là ∆Yi khi chỉ có Xi thay đổi một lượng nhỏ ∆Xi, tức là:

- Trường hợp tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi với các lượng khá nhỏ ký hiệu là

∆X1 , ∆X 2 , , ∆X n Để tính sự thay đổi của biến nội sinh y ta dùng công thức xấp xỉ:

YF

Ví dụ 1.1: Cho hàm số y = 2X1 + 6X2 + 3X3 Xác định sự thay đổi tuyệt đối của y khi

các Xi thay đổi 1 đơn vị

Y, X2, X3 là biến nội sinh, X1 là biến ngoại sinh

Sơ đồ kênh liên hệ:

Ví dụ 1.2: Cho hàm sản lượng Q phụ thuộc vào giá cả một số loại hàng hoá.

Q = 6P1 + 5P2 + 4P3Trong đó:

2P2 + P1 = 6 → P2 = 3 - 1/2 P14P3 - 3P1 = 7 → P3 = 7/4 + 3/4P1Yêu cầu: khi P1, P2, P3 thay đổi 1 đơn vị sẽ làm cho sản lượng Q thay đổi bao nhiêu đơn vị?

G

FX2

X1

* Đo lường sự thay đổi tương đối

Để đo tỉ lệ thay đổi tương đối (tức thời) của biến nội sinh với sự thay đổi tương đối của một biến ngoại sinh, người ta dùng hệ số co giãn (hệ số co giãn riêng) Hệ số co giãn (độ co giãn) của biến Y theo biến Xi tại X = X0, ký hiệu là E (X X Y i 0) - được định nghĩa bởi công thức:

∂

)( 0

0

X F

X i

Hệ số này cho biết tại X = X0, khi biến X thay đổi 1% thì Y thay đổi bao nhiêu % Nếu hệ

số co giãn E (X Y X i 0) > 0 thì X, Y thay đổi cùng hướng, ngược lại E (X Y X i 0) < 0 thì X, Y thay đổi ngược hướng

Nếu muốn đo lường sự thay đổi tương đối của Y khi tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi (tương đối) theo cùng một tỉ lệ ta dùng hệ số co giãn chung (toàn phần) được tính theo công thức sau đây:

Trong đó E (X Y X i 0) là hệ số co giãn của Y theo Xi tính tại X0 E cho chúng ta biết tại X = Y

X0, tỉ lệ % thay đổi của Y khi tất cả các biến Xi cùng thay đổi 1% Xu hướng thay đổi của Y phụ thuộc vào dấu và độ lớn của các hệ số co giãn

Nói chung hệ số co giãn của Y phụ thuộc vào điểm chúng ta tính, tức là phụ thuộc vào các biến ngoại sinh Tuy nhiên, nếu quan hệ giữa Y và các biến ngoại sinh có dạng

Với Q là mức sản lượng, K là vốn và L là khối lượng lao động được sử dụng người ta có

mô hình quen thuộc (mô hình hàm sản xuất), giả sử có dạng:

1.4.2 Tính hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng)

Nếu trong trường hợp mô hình có biến ngoại sinh là biến thời gian, khi này sự biến động của biến nội sinh theo thời gian được đo bằng hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng) Hệ số tăng trưởng của một biến đo tỉ lệ biến động của biến theo đơn vị thời gian

Giả sử Y = F(X1, X2, , Xn, t) với t là biến thời gian Hệ số tăng trưởng của Y – ký hiệu là

ry - được định nghĩa theo công thức: ry =

Y t

Y

∂

∂

Thông thường ry được tính theo tỉ lệ %

Ví dụ: Với công thức tính lãi kép liên tục, ta có lượng tiền thu được tại thời điểm t (Vt) tính theo công thức: Vt = V0er t Trong đó: V0 là vốn gốc, r là lãi suất, t là thời gian

Hệ số tăng trưởng của Vt là: rv =

t

t

V t

Vt = V0(1 + r)t và do đó hệ số tăng trưởng của Vt là Ln(1+r)

Từ công thức định nghĩa hệ số tăng trưởng và các quy tắc tính đạo hàm, ta có thể chứng minh các công thức sau:

r

Giả sử: Y = F(x1, x2, , xn) là hàm khả vi theo tất cả các biến:

Ví dụ 1.4:

Cho hàm số: Q (L,K) = 20L + 15K

Hỏi: khi ta sử dụng thêm một đơn vị vốn thì phải giảm bao nhiêu đơn vị lao động?

Diễn giải dL

dK

= - 20/15 = -4/3 Vậy khi tăng sử dụng thêm một đơn vị vốn thì ta phải giảm 4/3 đơn vị lao động

1.4.4 Vấn đề quy mô và hiệu quả (Return to Scale)

Về mặt dài hạn, doanh nghiệp có khả năng thay đổi tất cả các yếu tố và tình huống được quan tâm là khi tất cả các yếu tố đều thay đổi theo cùng một tỷ lệ (tương đối, tuyệt đối) thì tác động này ảnh hưởng như thế nào tới sản lượng Khi này chúng ta đề cập tới vấn đề tăng quy mô

và hiệu quả

Cho hàm sản xuất: Q = F(X1, X2, , Xn), với λX = (λX1, λX2, , λXn), ta nói quy mô sản xuất tăng với hệ số λ (λ > 1)

Nếu:

- F(λX) > λF(X) ta có thể nói rằng tăng quy mô có hiệu quả (hiệu quả tăng theo quy mô)

- F(λX) < λF(X) ta nói rằng tăng quy mô không có hiệu quả (hiệu quả giảm theo quy mô)

- F(λX) = λF(X) ta có thể nói rằng tăng quy mô không làm thay đổi hiệu quả (hiệu quả không thay đổi theo quy mô)

* Chú ý: Hiệu quả ở trên chỉ phản ánh hiệu quả kỹ thuật của sản xuất không hề đồng nhất

khái niệm này với hiệu quả kinh tế

Kết luận: Tăng quy mô không làm thay đổi hiệu quả

* Nhận xét: Đối với hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas với 2 yếu tố vốn (K) và lao động

(L): Q = aKαLβ

+ Khi α + β > 1 thì hiệu quả tăng theo quy mô

+ Khi α + β < 1 thì hiệu quả giảm theo quy mô

+ Khi α + β = 1 thì hiệu quả không đổi theo quy mô

* Tài liệu học tập

1 Nguyễn Quang Dong (2006) Giáo trình mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê, Hà Nội.

2 Lê Đình Thuý (2008) Toán cao cấp cho các nhà kinh tế (Phần I: Đại số tuyến tính), NXB Đại

học Kinh tế quốc dân, Hà Nội.

Câu hỏi ôn tập chương 1 Câu 1: Khái niệm mô hình toán kinh tế? Lấy ví dụ minh hoạ cụ thể?

Câu 2: Trình bày cấu trúc của mô hình toán kinh tế?

Câu 3: Trình bày các bước để xây dựng mô hình toán kinh tế?

Bài tập chương 1 Bài 1:

Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu TR = 58Q – 0,5Q2 và hàm tổng chi phí TC = 1/3Q3 – 8,5Q2 + 97Q + FC Trong đó: Q là sản lượng và FC là chi phí cố định

a, Với FC = 4, hãy xác định mức sản lượng để tối đa hoá lợi nhuận

b, Hãy phân tích tác động của chi phí cố định FC tới mức sản lượng tối đa hoá lợi nhuận

và mức lợi nhuận tối đa

Bài 2:

Cho hàm tổng chi phí: TC = Q3 – 5Q2 + 14Q + 144; (Q > 0)

a, Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của TC theo Q từ đó cho nhận xét mở rộng sản xuất

b, Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại Q = 2

c, Cho giá sản phẩm là P = 70, với mức thuế doanh thu 20%, tính lợi nhuận khi Q = 3

Bài 3:

Cho hàm tổng chi phí TC = 4000 + 10Q + 0,1Q2 (Q: là sản lượng) Giá cả P được xác định bởi phương trình: Q = 800 – 2,5P

a, Tìm hàm chi phí cận biên MC

b, Tìm hàm chi phí trung bình AC, khảo sát sự thay đổi của nó

c, Tìm hệ số co giãn của TC tại P = 80

Chương 2 Phân tích cân bằng tĩnh

Số tiết: 7 (Lý thuyết: 5 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)

* Mục tiêu:

- Mục tiêu về kiến thức người học cần đạt được:

Chương này nhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về mô hình thị trường, xây dưng mô hình thị trường và phân tích cân bằng tĩnh Hiểu được các bước xây dựng mô hình toán kinh tế và có thể vận dụng vào thực tế để xâ dựng được mô hình thị trường đồng thời đo lường được

sự tác động của các biến đến cân bằng thị trường

- Mục tiêu về kỹ năng người học cần đạt được:

Người học có thể ứng dụng các công cụ phân tích của toán kinh tế nhằm phân tích, hiểu

và vận dụng được vào phân tích và đo lường sự thay đổi của các biến trong mô hình thì trường

Có các kỹ năng tư duy logic, phân tích và ra quyết định, kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề

Có kỹ năng tìm kiếm, lựa chọn thông tin và kiến thức để dùng vào những mục đích riêng biệt

- Mục tiêu về thái độ người học cần đạt được

Giúp cho người học cảm thấy thích thú với bài toán cân bằng thị trường

2.1 Mô hình thị trường- Mô hình tuyến tính

2.1.1 Xây dựng mô hình một loại hàng hoá

Thị trường 1 loại hàng hóa:

Hàm cung : Qs = -a0 + a1P

Hàm cầu : Qd = b0 - b1P

Trong đó: ai,bi ≥ 0, P giá hàng hóa

Mô hình cân bằng thị trường:

Qs = Qd => (a1+b1)P = (a0+b0)

Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có các thông tin:

Hàm cung : Qs = -1 + P

Hàm cầu : Qd = 3 – P

Hãy tìm mức sản lượng và giá cân bằng của thị trường?

2.1.2 Thị trường hàng hoá có liên quan

- Thị trường 2 loại hàng hóa:

Hàng hóa 1có hàm cung và cầu như sau:







++

=

++

=

2 12 1

11 10

2 12 1

11 10

1

1

P b P b b

Q

P a P a a

Q

d s

Hàm cung cầu của hàng hóa 2:







++

=

++

=

2 22 1

21 20

2 22 1

21 20

2

2

P b P b b

Q

P a P a a

Q

d s

Mô hình cân bằng:









=

=

2 2

1 1

d s

d s

Q Q

Q Q

Hệ phương trình cân bằng:







−

−

=

− +

−

−

−

=

− +

−

) (

) (

) (

) (

) (

) (

20 20 2

22 22 1 21 21

10 10 2

12 12 1 11 11

b a P b a P b a

b a P b a P b a







−

= +

−

= +

20 2

22 1 21

10 2 12 1 11

c P c P c

c P c P c

- Thị trường n loại hàng hóa:

Giả sử sản phẩm thứ i có hàm cung và cầu như sau:









+ + +

+

=

+ + +

+

=

n in i

i i d

n in i

i i s

P b P

b P b b Q

P a P

a P a a Q

i

i

2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 Nếu đặt: cij = (aij – bij) Khi đó, hệ phương trình cân bằng:        − = + + + − = + + + − = + + + 0 2 2 1 1 20 2 2 22 1 21 10 1 2 12 1 11

n n nn n

n

n n

n n

c P c P

c P c

c P c P

c P c

c P c P

c P c

2.2 Cân bằng trong phân tích thu nhập quốc dân

2.3 Phân tích vào ra

2.3.1 Khái niệm

Bảng I/O lần đầu tiên được Wassily Leotief đưa ra vào năm 1927 Thực chất của bảng này là phương pháp sổ kép ghi lại phân phối sản phẩm của các ngành trong nền kinh tế quốc dân

và quá trình hình thành sản phẩm của mỗi ngành

2.3.2 Ngành thuần tuý

Mô hình I/O coi nền kinh tế quốc dân là một thể thống nhất gồm n ngành sản xuất thuần túy có quan hệ mật thiết với nhau

Có tương ứng một – một giữa ngành thuần túy và sản phẩm Về nguyên tắc với mỗi sản phẩm ta có một ngành thuần túy

Một số nhận xét:

- Mỗi quốc gia có thể có nhiều ngành thuần túy và ngành thuần túy có thể nằm trong nhiều ngành kinh tế khác nhau

- Khi nhóm gộp các sản phẩm cần tuân thủ những quy tắc, các tiêu chuẩn nhất định 2.3.3 Các giả thuyết cơ bản

- Đồng nhất về mặt công nghệ

- Đồng nhất về mặt sản phẩm

- Công nghệ tuyến tính, cố định

- Hiệu quả dây truyền

2.3.4 Phân tích bản cân đối liên ngành

Năm 1941, Wassily Leontief lần đầu trình bày mô hình cân đối liên ngành (còn gọi là mô hình I/O) trong công trình “Cấu trúc của nền kinh tế Hoa kỳ” Ngày nay, mô hình I/O và các ứng dụng cụ thể trong phân tích và dự báo về cấu trúc kinh tế của một đất nước hoặc một vùng trên

cơ sở xem xét các mối quan hệ liên ngành trong nền kinh tế đã và đang được ứng dụng rộng rãi ở nhiều nước trên thế giới

Từ năm 1990, Việt Nam đã bắt đầu nghiên cứu chuyển đổi hệ thống thống kê theo hệ thống tài khoản quốc gia (SNA) Trên cơ đó, được sự hỗ trợ chuyên môn, kỹ thuật của các chuyên gia Thống kê Liên Hợp quốc, Tổng Cục thống kê đã xây dựng bảng cân đối liên ngành đầu tiên cho Việt Nam - Bảng năm 1989 Đến nay tại Việt Nam, đã có 4 bảng I/O quốc gia được Tổng Cục Thống kê lập và công bố chính thức (1989, 1996, 2000 và 2007) Đây là những nguồn tài liệu rất quan trọng, là cơ sở để vận dụng mô hình I/O trong phân tích và dự báo nền kinh tế Việt Nam

Việc xây dựng bảng I/O cho nền kinh tế đòi hỏi phải tiêu tốn rất nhiều thời gian và nguồn lực, tuy nhiên, việc vận dụng các bảng này cho nghiên cứu phát triển của Việt Nam vẫn chưa được chú trọng đúng mức Một trong những nguyên nhân của tình trạng trên là ở Việt Nam hiện

có rất ít tài liệu trình bày một cách cụ thể và dễ hiểu cấu trúc cơ bản của mô hình I/O cũng như các bước tính toán và phân tích số liệu Mục tiêu của bài viết này là giới thiệu các ứng dụng cơ bản mô hình I/O trong phân tích và dự báo kinh tế của quốc gia cho những người mới bắt đầu tiếp cận mô hình này

- Cấu trúc cơ bản của mô hình cân đối liên ngành

Mô hình I/O mô phỏng mối quan hệ giữa các ngành trong nền kinh tế trong quá trình sản xuất và sử dụng sản phẩm của một nước theo hệ thống hàm tuyến tính Cấu trúc của bảng cân đối liên ngành được thể hiện như sau:

Tiêu dùng trung gian Tiêu dùng cuối cùng GO

…

Ci Gi Ii Xi - Mi

Cn Gn In Xn - Mn

X1 X2

… Xi

… Xn

Ô I: Thể hiện chi phí trung gian của các ngành; Phần tử X ij của ma trận X thể hiện ngành I:

j sử dụng sản phẩm i làm chi phí trung gian trong quá trình sản xuất sản phẩm j Tổng theo cột

của ÔI thể hiện tổng chi phí trung gian của từng ngành (intermediate input)

Ô II: Những sản phẩm của các ngành được sử dụng cho nhu cầu sử dụng cuối cùng, bao II:

tiêu dùng cuối cùng của hộ gia đình (C), tiêu dùng của chính phủ (G), tích luỹ tài sản (I), xuất khẩu ròng: xuất khẩu (X) - nhập khẩu (M)

Ô

Ô III: Thể hiện giá trị gia tăng của các ngành bao gồm thu nhập của người lao động (L), III:

khấu hao tài sản cố định (K), thặng dư sản xuất (P) và thuế gián thu đánh vào sản phẩm (T)

Xét theo cột của bảng I/O, có thể nhận thấy để thực hiện quá trình sản xuất mỗi ngành phải sử dụng các yếu tố đầu vào từ các ngành khác trong nền kinh tế và kết hợp các yếu tố đầu

vào với giá trị gia tăng để tạo ra giá trị sản xuất cho từng ngành ( X i ) Như vậy, giá trị sản xuất

của mỗi ngành được xác định bằng tổng đầu vào trung gian được mua từ các ngành khác và giá trị gia tăng được tạo ra bởi chính ngành đó Mặt khác, mỗi hàng trên bảng I/O cho thể hiện trị sản xuất của từng ngành được sử dụng cho tiêu dùng trung gian của các ngành trong nền kinh tế

và cho tiêu dùng cuối cùng Ký hiệu Bi là giá trị tiêu dùng cuối cùng của ngành thứ i, ta có thể

biểu diễn mối quan hệ tuyến tính giữa giá trị sản xuất, tiêu dùng trung gian và tiêu dùng cuối cùng của các ngành trong nền kinh tế bằng hệ phương trình sau:

X1 = X11 + X12 +…+X1j+…+ X1n + B1 X2 = X21 + X22 +…+X2j+…+ X2n + B2

………

Xn = Xn1 + Xn2 +…+Xnj+…+ Xnn + Bn Có thể nhận thấy, mỗi ngành trong nền kinh tế có quan hệ rất mật thiết với ngành khác thông qua việc mua các yếu tố đầu vào từ các ngành, cũng như cung cấp sản phẩm đầu ra cho tiêu dùng trung gian của các ngành Một ngành có điều kiện phát triển sẽ kéo theo nhu cầu đầu vào tăng cao của một số ngành khác Đến lượt mình, các ngành khác lại có điều kiện mở rộng sản xuất, tạo ra nhu cầu đầu vào từ các ngành khác nữa và sự lan tỏa này diễn ra trong toàn bộ nền kinh tế qua rất nhiều vòng Để phân tích tác động trực tiếp của một ngành đến các ngành đầu vào của nó, người ta sử dụng hệ số chi phí trung gian trực tiếp Hệ số này cho biết để tạo ra được một đồng giá trị sản xuất của một ngành nào đó, cần phải yêu cầu bao nhiêu giá trị đầu vào mua từ trực tiếp từ các ngành khác Hệ số chi phí trung gian trực tiếp aij cho biết để sản xuất được 1 đồng giá trị sản xuất của ngành j cần yêu cầu bao nhiêu giá trị trung gian mua từ ngành i, được tính theo công thức sau: j ij ij X X a = Hay Xij = aijXj

       + + + + = + + + + = + + + + = n n nn n n n n n n n B X a X a X a X B X a X a X a X B X a X a X a X

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21 2

1 1

2 12 1 11 1

Hay:















=

−

−

−

−

=

−

−

− +

−

=

−

−

−

−

n n nn n

n

n n

n n

B X a X

a X

a

B X a X

a X

a

B X a X

a X

a

) 1

(

) 1 (

) 1 ( 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 Đặt                 = nn a m a n a n a a a n a a a A

2 1

2

22 21 1

12 11

            = n X X X X

2 1

            = n B B B B

2 1

B X A

=>( ) (*) Trong đó:

A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp

aij: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật

Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành

Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành để sử dụng

[I-A] là ma trận Leontief

Công thức (*) có thể biến đổi để biểu diễn quan hệ cơ bản nhất của mô hình I/O, cho phép đo lường sự thay đổi của giá trị sản xuất của từng ngành cũng như tổng giá trị sản xuất của

cả nền kinh tế dưới tác động của sự thay đổi về tiêu dùng cuối cùng về sản phẩm của từng ngành:

B A

Ma trận (1−A)− 1là ma trận hệ số chi phí toàn phần, hay thường gọi là ma trận nghịch đảo Leontief, ký hiệu là ma trận Ma trận này cho biết chi phí toàn phần để sản xuất ra một đơn

vị sử dụng cuối cùng của một ngành nào đó

- Mô hình I/O mở rộng

Mô hình trên chỉ cho phép nghiên cứu mối quan hệ tác động qua lại giữa các ngành sản xuất, theo đó sự tăng (hoặc giảm) tiêu dùng cuối cùng về sản phẩm của một ngành trước hết sẽ tác động đến sản lượng sản xuất của chính ngành đó và từ đó sẽ kích thích sản xuất của các ngành khác thông qua các mối quan hệ đầu vào đầu ra giữa các ngành Trên thực tế,

sự tăng trưởng về qui mô sản xuất của các ngành còn đặt ra yêu cầu tăng thêm về lao động

và do đó tạo ra được việc làm và thu nhập tăng thêm cho người lao động Các khoản thu nhập tăng thêm này sẽ được sử dụng cho tiêu dùng của các hộ gia đình và sự tiêu dùng tăng thêm này đến lượt nó lại kích thích phát triển sản xuất

Chính vì vậy, trong phân tích mô hình I/O, người ta thường sử dụng mô hình "mở rộng", theo đó đưa vào trong mô hình thêm một dòng và một cột

* Tài liệu học tập

1 Nguyễn Quang Dong (2006) Giáo trình mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê, Hà Nội.

2 Lê Đình Thuý (2008) Toán cao cấp cho các nhà kinh tế (Phần I: Đại số tuyến tính), NXB Đại

học Kinh tế quốc dân, Hà Nội.

3 Bài giảng Toán kinh tế, Trường Đại học nông nghiệp Hà Nội, 2009

5 Mankiw, Gregory (2003), Nguyên lý kinh tế học tập 2, Đại học KTQD, NXB Thống kê.

Câu hỏi ôn tập chương 2 Câu 1: Khái niệm phân tích vào ra là gì? Lấy ví dụ minh hoạ cụ thể?

Câu 2: Ngành thuần túy là gì? Lấy ví dụ minh hoạ cụ thể?

Câu 3: Hãy phân tích bản cân đối liên ngành?

Câu 4: Hãy so sánh phân tích vào ra của Mỹ và Việt Nam?

Bài tập chương 2 Câu 1:

Giả định cầu, cung về ngô ở thị trường Phú Thọ năm 2008 được biểu diễn bằng phương trình: QD = 35 - 5P và QS = 5P - 5

Xác định giá và lượng cân bằng trên thị trường? Tính độ co giãn của cầu đối với giá, độ co giãn của cung đối với giá ở mức giá cân bằng?

Câu 3:

Giả định cầu, cung về máy điều hòa ở thị trường Phú Thọ năm 2008 được biểu diễn bằng phương trình: QD = 120 - 10P và QS = 12P – 45

(P tính bằng triệu đồng/chiếc; Q tính bằng chiếc)

a/ Xác định giá và lượng cân bằng trên thị trường máy điều hòa? Hãy tính độ co giãn của cầu,

độ co giãn của cung đối với giá ở mức giá cân bằng?

b/ Tính lượng dư thừa và thiếu hụt của thị trường ở các mức giá 7 triệu đồng/chiếc và 9 triệu đồng/chiếc?

Câu 4:

Có số liệu giả định về cung, cầu thịt lợn ở thị trường Phú Thọ năm 2005 như sau:

Qd = 118 - 4P

Qs = 5P - 80(P tính bằng triệu đồng/tấn; Q tính bằng nghìn tấn)

a/ Xác định giá và lượng cân bằng trên thị trường? Tính độ co giãn của cầu đối với giá, độ co giãn của cung đối với giá ở mức giá cân bằng?

b/ Tính lượng dư thừa và thiếu hụt của thị trường ở mức giá 19 triệu đồng/tấn và 24 triệu đồng/tấn?

Chương 3 Phân tích so sánh-ứng dụng của đạo hàm và vi phân trong phân tích kinh tế

Số tiết: 7 (Lý thuyết: 5 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)

* Mục tiêu:

- Mục tiêu về kiến thức người học cần đạt được:

Chương này nhằm bổ trợ cho sinh viên những kiến thức toán như đạo hàm, vi phân và ứng dụng của đạo hàm và vi phân trong phân tích kinh tế

- Mục tiêu về kỹ năng người học cần đạt được:

Người học có thể ứng dụng các công cụ của toán nhằm phân tích, hiểu và vận dụng được vào giải quyết các vấn đề kinh tế giữa chi phí biên và doanh thu biên Có các kỹ năng tư duy logic, phân tích và ra quyết định, kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề Có kỹ năng tìm kiếm, lựa chọn thông tin và kiến thức để dùng vào những mục đích riêng biệt

- Mục tiêu về thái độ người học cần đạt được

Giúp cho người học cảm thấy thích thú với các vấn đề kinh tế

Đạo hàm bên phải:

Đạo hàm bên trái:

- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó

- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b

Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx

Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:

Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:

(u + v) cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’

(u.v) cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u

(u/v) cũng có đạo hàm tại x\V(x)≠0 và 2

'

''

v

u v v u v

x f x f

x

y y

∆

=+

→

∆lim0'

x

y y

Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).

3.1.2 Mối quan hệ giữa hàm doanh thu biên và doanh thu bình quân

Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue)

Hàm doanh thu: TR = PQ suy ra:MR = TR’Q

Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị

Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị

Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:

Doanh thu bình quân: AR

3.1.3 Mối quan hệ giữa hàm chi phí cận biên và hàm chi phí trung bình

Chi phí biên MC: (Marginal Cost)

Hàm chi phí: TC = TC(Q) suy ra: MC = TC’Q

MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơn vị

Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét

TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100

Chi phí bình quân: AC

3.1.4 Ứng dụng của đạo hàm riêng trong phân tích kinh tế

Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M0(x0,y0) ∈ D Nếu cho y = y0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M0 Ký hiệu:

),(

z ),,(

f ,),

x y x x y x

Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n≥3)

Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng:

4 2 3

4 5x y 2y x

Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y) Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1 Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2

y

x

),('' 2

2

y x f x

f x

2

y x f x y

f x

2

y x f y x

f y

f y

Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,…

Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0

Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n≥3)

Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số

u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng ux, uy, vx, vy thì tồn tại các đạo hàm riêng:

Ví dụ: Tính z = eucosv, u = xy, v = x/y

3.2 Ứng dụng của vi phân trong phân tích kinh tế

3.2.1 Vi phân và hệ số co giãn điểm

Khái niệm vi phân:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 Gọi Δx là số gia của biến số tại x0 Tích f'(x0).Δx được gọi là vi phân của hàm số f tại x0 ứng với số gia Δx (vi phân của f tại x0)

Ký hiệu : df(x0) = f'(x0).Δx Nếu lấy f(x) = x thì df = dx = (x)'.Δx = Δx Do đó ta thay

Biểu thức được gọi là vi phân của hàm số f tại (x0, y0), ký hiệu là df(x0, y0).

Tính chất: Tương tự như đối với hàm một biến ta có các tính chất sau đó của vi phân:

d(f + g) = df + dg d(f.g) = g.df + f.dg

x

v v

f x

u u

f x

f y

u u

f y

3.2.4 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân toàn phần trong phân tích mô hình kinh tế

Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận ∆ của M0 sao cho f(M) ≤ f(M0), ∀M ∈ ∆ (f(M) ≥ f(M0), ∀M ∈∆) F(M0) gọi chung là cực trị

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: z = x2 + y2

Điều kiện cần để có cực trị:

Nếu z(x0,y0) là cực trị của z và z có đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì:

Z’x(x0,y0) = 0Z’y(x0,y0) = 0Điều kiện đủ của cực trị:

Cho hàm số z = f(x,y) Tại những điểm thỏa zx = zy = 0

Ta gọi định thức Hessian:

yy yx

xy xx

z z

z z

Đặt:

yy yx

xy xx

z z H z

Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8, với điều kiện z = x3 + y3

- Cực trị của hàm nhiều biến:

0'

0'2 1

xn

x x

y

y y

Điều kiện đủ của cực trị

Tại những điểm thỏa fx1 = fx1 = … fx1 = 0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2

Ta có định thức Hessian:

nn n

n

n n

n

f f

f

f f

f

f f

f H

2 22

21

1 12

11

=

Đặt:

nn n

n

n n

n

f f

f

f f

f

f f

f H f

f

f f H f

2 22

21

1 12

11

22 21

12 11 2 11

- Cực trị của hàm hai biến

Cho hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị có điều kiện

Định lý: Nếu M0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên

Đặt hàm Lagrange: L(x,y,λ) = f(x,y) + λ(c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì:

y x g c L

g f L

g f L

y y y

x x x

λ

λλ

λ là nhân tử Lagrange, điểm M0(x0,y0) của hệ trên gọi là điểm dừng

Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1

2 2

Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện g(x1,x2,…xn) = c

Hàm Lagrange L = f + λ(c-g)

Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện:

Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M0, xét định thức Hessian đóng:

• Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện

1 1 1

g c L

g f L

g f L

g f L

n n n

λ

λ

λλ

yy yx y

xy xx x

y x

L L g

L L g

g g H

0

=

• Nếu |H|<0: f đạt cực đại có điều kiện

n n

n n n

L L

L g

L L

L g

L L

L g

g g

g H

2 22

21 2

1 12

11 1

2 1

=

- Nếu |H2|<0, |H3|<0,… |Hn|<0 : z đạt cực tiểu

- Nếu |H2|>0, |H3|<0,… (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại

* Tài liệu học tập

1 Nguyễn Quang Dong (2006) Giáo trình mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê, Hà Nội.

2 Lê Đình Thuý (2008) Toán cao cấp cho các nhà kinh tế (Phần I: Đại số tuyến tính), NXB Đại

học Kinh tế quốc dân, Hà Nội.

3 Bài giảng Toán kinh tế, Trường Đại học nông nghiệp Hà Nội, 2009

Câu hỏi ôn tập chương 3 Câu 1: Khái niệm đạo hàm và đạo hàm riêng? Lấy ví dụ minh hoạ?

Câu 2: Nêu các ứng dụng của hệ số co giãn trong kinh tế?

Bài tập chương 3

C Cực trị có rằng buộc:

23 Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z với điều kiện x2 + y2 + z2 = 1

24 Tìm cực trị có điều kiện của hàm số: f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = 1

25 Tìm cực trị có điều kiện của hàm số: g = 6 – 4x2 – 3y với điều kiện x2 + y2 – 3xy = 1

Chương 4 Bài toán tối ưu hóa sản xuất và tiều dùng

Số tiết: 9 (Lý thuyết: 6 tiết; bài tập, thảo luận: 3 tiết)

* Mục tiêu:

- Mục tiêu về kiến thức người học cần đạt được:

Chương này nhằm giúp cho người học củng có lại kiến thức về đạo hàm, hàm số, vi phân và cực trị trong toán học Hiểu được mối quan hệ giữa doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp, lợi ích

và nhu cầu của người tiêu dùng trong những điều kiện giới hạn (hay có những rằng buộc)

- Mục tiêu về kỹ năng người học cần đạt được:

Người học có thể ứng dụng bài toán tối ưu hóa trong sản xuất và tiêu dùng để có thể hiểu hơn về các hoạt động của doanh nghiệp và có cách lựa chọn thông minh hơn cho bản thân nhằm đạt được lợi ích tối ưu và chi phí tối thiểu

- Mục tiêu về thái độ người học cần đạt được

Giúp cho người học cảm thấy thích thú, quan tâm và vận dụng bài toán tối ưu hóa lợi ích trong tiêu dùng cho bản thân

4.1 Các bài toán

4.1.1 Bài toán tối ưu hoá sản xuất

Giả sử xét một doanh nghiệp sản xuất ra sản phẩm hàng hoá Để sản xuất ra sản phẩm đó, doanh nghiệp cần sử dụng n yếu tố đầu vào khác nhau Khi biết được chi phí cho một đơn vị yếu

tố đầu vào, lúc đó doanh nghiệp có thể gặp phải 2 tình huống sau:

Tình huống 1: Với số kinh phí đầu tư ấn định trước, doanh nghiệp muốn lựa chọn tổ

hợp sử dụng các yếu tố sao cho mức sản lượng là cao nhất – tối đa hoá sản lượng

Tình huống 2: Với mức sản lượng dự kiến sản xuất, doanh nghiệp phải tiêu tốn một

khoản chi phí để thực hiện, đương nhiên là doanh nghiệp muốn lựa chọn tổ hợp sử dụng các yếu

tố sao cho mức chi phí là thấp nhất – cực tiểu hoá chi phí

* Mô hình hoá bài toán

Gọi x1, x2, , xn lần lượt là số lượng các yếu tố đầu vào được sử dụng để sản xuất ra sản phẩm hàng hoá cho doanh nghiệp (xj ≥ 0)

Gọi P1, P2, , Pn lần lượt là giá (chi phí) cho mỗi đơn vị yếu tố đầu vào

Gọi Q là số đơn vị sản phẩm được sản xuất ra, giữa Q và số lượng các yếu tố đầu vào xj có một mối quan hệ, mối quan hệ đó được phản ánh thông qua hàm số sau:

Q = F(x1, x2, , xn) hay có thể viết Q = F(X) Trong đó X = (x1, x2, , xn ) và Q được gọi là hàm sản xuất của doanh nghiệp Vì doanh nghiệp có thể lựa chọn mục tiêu tối đa hoá sản lượng hoặc cự tiểu hoá chi phí nên chúng ta phân

ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: Tối đa sản lượng

Gọi K là kinh phí doanh nghiệp dự kiến đầu tư mua các yếu tố với mức x1, , xn để sản xuất Do biết được giá của mỗi đơn vị yếu tố đầu vào, ta có thể viết được hàm tổng chi phí sau:

Trường hợp 2: Cực tiểu chi phí

Ta gọi Q0 là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất Khi đó bài toán trở thành:Xác định xj ≥ 0 (j = 1, , n) để cho hàm số: ∑

Tác nhân hoạt đông trên lĩnh vực tiêu thụ hàng hoá gọi là người tiêu dùng Trong trường hợp hàng hoá được tiêu thụ là sản phẩm cuối cùng thì người tiêu dùng được gọi là hộ gia đình

Hộ gia đình quyết định chọn loại hàng nào, mua với khối lượng bao nhiêu phụ thuộc vào:

Khi đó sẽ có 2 trường hợp của bài toán này xảy ra như sau:

Trường hợp 1: Với ngân sách dành cho tiêu dùng các sản phẩm hàng hoá đã được ấn định

trước và giá cả của hàng hoá dựa vào thị trường Yêu cầu hãy xác định cơ cấu tiêu dùng hợp lý

để cho người tiêu dùng thoả mãn tối đa lợi ích

Trường hợp 2: Giả sử lợi ích cần đạt được là ấn định, do đó yêu cầu xác định cơ cấu tiêu

dùng hợp lý để người tiêu dùng đáp ứng được lợi ích đã được đặt ra đó với chi phí dành cho tiêu dùng là nhỏ nhất

4.2 Phương pháp tìm cực trị tự do của hàm số

4.2.1 Đối với bài toán chỉ một biến số

4.2.1.1 Kiểm tra tính cực trị bằng đạo hàm bậc nhất

4.2.1.2 Kiểm tra cực trị của hàm số bằng đạo hàm bậc hai

4.2.2 Đối với bài toán có 2 biến số

Cho hàm số y = f(x) Điều kiện cần để hàm số có cực trị là dy = 0 (vi phân cấp 1);

dy = f ‘(x).dx ⇒ dy = 0 ⇔ f ‘(x) = 0

- Điều kiện đủ để hàm số có cực đại: d2y < 0

- Điều kiện đủ để hàm số có cực tiểu: d2y > 0

dy = 0 trong đó có ít nhất một dxi ≠ 0 ⇒ f1 = f2 = 0

+ Điều kiện đủ để hàm số có cực đại là: f11 < 0 ; f22 < 0

f11.f22 > f2

12+ Điều kiện đủ để hàm số có cực tiểu là:

f11 > 0 ; f22 > 0 f11.f22 > f2

12Trong đó:

d2y = d(f1dx1 + f2dx2)’ = f11d2x1 + f12dx1dx2 + f22d2x2

f11 =

1 2

2

x x

4.2.3 Đối với bài toán có 3 biến số

Giả sử ta có hàm số gồm 3 biến x1, x2, x3; y= f(x1, x2, x3) Để tìm điều kiện cực trị của hàm số trên chúng ta xét vi phân toàn phần cấp 2 d2y:

d2y = d(dy) =

1

)(

= ∑

=

3 1

= ∂ ∂

∂

3 1

232221

131211

f f f

f f f

f f f H

- Theo tính chất của Young ( fxy = fyx) ⇒ f12 = f21 ; f13 = f31; f23 = f32

Từ định thức H ta lập nên các định thức Hk được tạo từ k dòng đầu và k cột đầu của định thức H

* Vì vậy d2y được gọi là xác định dương khi:

3 2 1

H H H

* d2y được gọi là xác định âm khi:

3 2 1

H H

Chúng ta cũng thành lập định thức Hessian

fnn fn

fn

n f f

f

n f f

f H

21

2221

1

1211

=

Chúng ta lần lượt lập các định thức Hk từ k dòng đầu và k cột đầu của H

* d2y được gọi là xác định dương khi

02

01

Hn

H H

* d2y được gọi là xác định âm khi:

)1(

02

01

4.2.5 Ứng dụng trong phân tích kinh tế

4.2.5.1 Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất nhiều loại hàng hoá ở thị trường cạnh

tranh hoàn hảo

Thị trường cạnh tranh hoàn hảo là thị trường trong đó có vô số người bán, vô số người mua mà quyết định mua bán của họ không ảnh hưởng gì tới giá cả thị trường

Ta hãy nghiên cứu một doanh nghiệp có 2 mặt hàng bán ra thị trường với lượng là Q1 và Q2 Với giá của mặt hàng thứ nhất là P1, với giá của mặt hàng thứ 2 là P2

- Ta có được hàm doanh thu là TR = P1Q1 + P2Q2

- Giả sử ta có được hàm chi phí TC = 2Q1 + Q1Q2 + 2Q2

- Lợi nhuận khi bán hàng π = TR – TC

Để tìm lợi nhuận tối đa của doanh nghiệp với các biến Q1, Q2 trước tiên ta tính đạo hàm riêng của π theo Q1, Q2:

π1 = ∂π/∂Q1 = P1 – 4Q1 – Q2π2 = ∂π/∂Q2 = P2 – 4 Q2 – Q1Cho cả π1 = π2 = 0 ta được

4Q1 + Q2 = P1 Q1 + 4Q2 = P2Giả sử cho P1 = 12 và P2 = 18 thay vào hệ trên sau đó giải

4.2.5.2 Tối đa hoá lợi nhuận trong doanh nghiệp sản xuất 2 loại hàng hoá ở thị trường độc quyền

Ví dụ:

Giả sử doanh nghiệp độc quyền có hàm chi phí là TC = Q1 + Q1Q2 + Q2

Qua điều tra thị trường doanh nghiệp xác định hàm cầu về sản phẩm Q1,Q2 như sau:

Q1 = 14 – P1 + P2 P1 = 52 – 2Q1 – Q2

Q2 = 24 + P1 – 2P2 P2 = 38 – Q1 – Q2

Yêu cầu xác định Q1, Q2, P1, P2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối ưu

Doanh thu của doanh nghiệp độc quyền (TR)

TR = P1Q1 + P2Q2

Ta có:

π = TR – TC = -3 Q1 - 3 Q1 Q2 + 52 Q1 + 38 Q2 - 2 Q2+ Điều kiện cần để πMax ⇔ dπ = 0 ⇔ π’Q1 = π’Q2 = 0

Giải hệ phương trình trên ta được Q1 = 94/25, Q2 = 72/15

+ Kiểm tra điều kiện đủ:

f11 = -6 < 0

f11f22 = 24 > 9

Vậy hàm số đạt cực đại tại Q1 = 94/25 (đơn vị), Q2 = 72/15 (đơn vị)

4.2.5.3 Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất 1 loại sản phẩm đem bán ở 3 thị trường riêng biệt

Chúng ta có hàm tổng thu doanh thu và chi phí:

TR = TR1(Q1) + TR2(Q2) + TR3(Q3)

TC = TC(Q) ở đây Q = Q1 + Q2 + Q3

- Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là:

π = TR –TC = TR1(Q1) + TR2(Q2) + TR3(Q3) - TC(Q)Với đạo hàm riêng πi = ∂π/∂Qi (i = 1,2,3) ta có được

π1 = TR’ 1(Q1) – TC ’(Q1)π2 = TR’ 2(Q2) – TC ’(Q2)π3 = TR’ 3(Q3) – TC ’(Q3)

Để lợi nhuận đạt cực trị (cực đại) ⇔ π1 = π2 = π3 = 0

Ta có: TC’(Q1) = TR’ 1(Q1) = TR ’ 2(Q2) = TR ’ 3(Q3) điều này có nghĩa là:

MC = MR1 = MR2 = MR3Như vậy ở mỗi thị trường chúng ta luôn phải lấy MRi bằng với MC của cả khối lượng sản phẩm được bán ra ở cả 3 thị trường

- Tiếp tục ta tính đạo hàm cấp 2 của π ta được:

j

i Q Q

4.3 Tối ưu hoá với các ràng buộc đẳng thức

4.3.1 Ảnh hưởng của ràng buộc và liên hệ cực trị tự do

* Ảnh hưởng của ràng buộc

Từ trước chúng ta mới nghiên cứu về tính cực trị W = f(x1, x2, , xn) với các biến lựa chọn x1, x2, , xn độc lập với nhau, tức là giá trị của biến số này không ảnh hưởng đến các biến số khác Trên thực tế, nhiều khi ta phải chọn phương án tối ưu trong bối cảnh các biến chọn chi phối lẫn nhau bởi những điều kiện ràng buộc nhất định Chẳng hạn người tiêu dùng phải ra quyết định mua sắm hai loại hàng hoá và giả sử hàm lợi ích của người đó đối với 2 loại hàng hoá đó là

U = U(x,y)Trong đó biến số U chỉ mức độ thoả dụng của người đó khi có x đơn vị hàng hoá thứ nhất

và y đơn vị hàng hoá thứ hai Tâm lý chung của mọi người là nhiều hơn ít, tức là khi x và y càng lớn thì U càng lớn Tuy nhiên do túi tiền có hạn nên muốn mua được nhiều thứ này thì phải giảm bớt mua thứ khác Giả sử P1, P2 lần lượt là giá của mặt hàng muốn mua Khi đó để tối đa mức thoả dụng trong khuân khổ ngân sách có hạn thì:

P1x + P2y = b = G(x,y) (*)

* Liên hệ cực trị tự do

Với sự có mặt của phương trình ràng buộc miền biến thiên của hàm số f(x,y) bị thu hẹp lại, khái niệm cực trị có điều kiện được hiểu theo nghĩa địa phương giống như định nghĩa cực trị

tự do, chỉ khác ở chỗ tất cả các bộ giá trị của biến chọn phải thoả mãn điều kiện rằng buộc

Hệ thức (*) áp đặt sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các biến lựa chọn dưới dạng hàm ẩn Nếu

từ (*) ta biểu diễn cho y dưới dạng hàm hiện y = ϕ(x) thì bài toán cực trị có điều kiện nêu trên quy về bài toán cực trị tự do của hàm số 1 biến số

W = f[x,ϕ(x)] = h(x)

Ví dụ:

Hàm số W = xy +2x (1) với điều kiện 8x + 4y = 120 (2)

Từ (2) ta có y = 30 –2x thay vào (1) ta có W = 32x – 2x2 (3) dễ dàng thấy (3) đạt cực đại khi x = 8, khi đó y = 30 - 16 = 14

4.3.2 Phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực trị có điều kiện của hàm số

* Xét bài toán có 2 biến số và 1 phương trình ràng buộc

- Theo cách trên, ta giải quyết vấn đề bằng cách 1 trong 2 biến phụ thuộc vào biến kia Sau đó dùng phương pháp thế để giảm bớt ẩn số, nhưng thực tế biểu thức rằng buộc rất phức tạp,

do vậy phương pháp thế sẽ không còn hiệu quả Nhà toán học Lagrange đưa ra một phương pháp mới cho phép đưa bài toán cực trị có điều kiện về bài toán cực trị tự do mà vẫn giữ vai trò bình đẳng của các biến lựa chọn

Xuất phát từ hàm mục tiêu và điều kiện ràng buộc ta lập hàm số L, gọi là hàm Lagrange

L = L(λ,x,y) = f(x,y) + λ[b – g(x,y)] (1)

Hàm (1) có thêm 1 biến chọn λ, gọi là nhân tử Lagrange, chú ý rằng với tất cả các điểm M(x,y) thoả mãn điều kiện ràng buộc, tức là khi xét các biến chọn chỉ trong miền biến thiên đã bị thu hẹp bởi điều kiện ràng buộc, hàm mục tiêu đồng nhất với hàm số L