ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1 (2TC) DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN

Không gian véctơ Số tiết: 12 Lý thuyết: 8 tiết; bài tập, thảo luận: 4 tiết * Mục tiêu: - Sinh viên hiểu được khái niệm về không gian véctơ và các khái niệm liên quan: Hệ véctơ độc lập

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1 (2TC)

DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN

CHƯƠNG 1

Không gian véctơ

Số tiết: 12 (Lý thuyết: 8 tiết; bài tập, thảo luận: 4 tiết)

*) Mục tiêu:

- Sinh viên hiểu được khái niệm về không gian véctơ và các khái niệm liên quan: Hệ véctơ độc lập tuyến tính, hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính, hệ véctơ độc lập tuyến tính tối đại, hạng của hệ véctơ, hệ véctơ cơ sở, số chiều của không gian véctơ, không gian véctơ thương, giao và tổng của các không gian véctơ

- Sinh viên hiểu được các tính chất, định lý của không gian véctơ

- Sinh viên vận dụng giải các bài tập liên quan

1.1 Định nghĩa không gian vectơ

1.1.1 Định nghĩa: Cho tập V mà các phần tử được ký hiệu: , , , α β γ và trường K mà các phần

tử được ký hiệu: x, y, z,… Giả sử trên V có hai phép toán:

+ Phép toán trong, ký hiệu : +: V x V → V

( , )α β ֏α+β

+ Phép toán ngoài, ký hiệu: : K x V V

( )x,α →x.α Thỏa mãn các tính chất sau (cũng nói thỏa mãn các tiên đề sau): với mọi , , ∈α β γ K:

8) 1 α = α trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K

Khi đó V (cũng với hai phép toán xác định như trên) gọi là một không gian vectơ trên trường K, hay K- không gian vectơ, hay vắn tắt không gian vectơ

Khi K = ℝ , V được gọi là không gian vectơ thực Khi K = ℂ , V được gọi là không gian vectơ

phức

Các phần tử của V gọi là các vectơ, các phần tử của K còn gọi là vô hướng

Phép toán “+” gọi là phép cộng vectơ, phép toán “.” gọi là phép nhân vectơ với vô hướng Để

cho gọn, dấu “.” nhiều khi lược bỏ, thay thế cho xα ta viết xα

Bốn tiên đề đầu tiên chứng tỏ V là một nhóm giao hoán đối với phép cộng vectơ Các tiên đề 5, 6

và 7 theo thứ tự nói lên rằng phép nhân vectơ với vô hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng vô hướng, phân phối đối với phép cộng vectơ và có tính chất kết hợp

1.1.2 Các ví dụ

1) Tập các vectơ (“tự do”) trong không gian đối với các phép toán cộng và nhân vectơ với một

số thực trong chương trình toán phổ thông trung học là một không gian vectơ thực

2) Cho hai không gian vectơ trên trường K: V1 và V2 Xét tập hợp:

V1 x V2 = { (α β α, )| ∈V ,1 β∈V2}Với hai phép toán:

Dễ thấy Kn cùng với hai phép toán nói trên là một K- không gian vectơ

Khi n = 1 thì bản thân K cũng là một K- không gian vectơ

4) Tập K[x] các đa thức (một biến) với hệ số thuộc trường K với phép cộng đa thức và nhân đa thức với phần tử thuộc trường K là một K- không gian vectơ

5) Tập số phức ℂ với phép cộng số phức và nhân số phức là một ℂ không gian vectơ Trong khi đó ℂ cùng với phép cộng số phức và nhân số phức với một số thực là ℝ - Không gian vectơ 6) Tập ℝ các số thực với phép cộng số thực và nhân số thực với một số hữu tỷ là một ℚ -không gian vectơ

7) Tập gồm chỉ có một phần tử 0 0.+ α =0.α=(0 0).+ α =0.α+0.α{θ} với hai phép toán

θ+θ=θ, xθ=θ, x ∈K là một K- không gian vectơ (gọi là không gian vectơ không)

Thường ký hiệu là θ =0

8) X là một tập khác rỗng, V là một K- không gian vectơ Gọi Ω là tập các ánh xạϕ: X → V

Với hai phép toán:

Dễ thấy Ω là một K- không gian vectơ

Đặc biệt, khi V = ℝ thì tập các hàm số thực f:X→ ℝ là một ℝ - Không gian vectơ Khi V = ℂ

thì tập các hàm số phức X→C là một ℂ - không gian vectơ

9) Lấy (a,b) ⊂ ℝ thì tập các hàm số liên tục trên (a,b), tập các hàm số khả vi trên (a,b) ( tức

là có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a,b)) là những ℝ - không gian vectơ (với các phép toán như trong 8)

10) Trong nhóm cộng các ma trận cỡ (m.n) trên trường K ta đưa phép nhân với vô hướng sau, với A =( a ) ; i = ij 1, m , j = 1, n thì kA= (k a ), dễ thử thấy đó là một K- không gian vectơ ij

1.1.3 Một số hệ quả: Cho K- không gian vectơ V Vì V là một nhóm giao hoán đối với phép cộng vectơ nên ta suy ra ngay các tính chất sau:

1) Phần tử trung hòa 0của phép cộng vectơ nói trong tiên đề 2 là duy nhất và được gọi là vectơ không

2) Phần tử đối α nói trong tiên đề 3 là duy nhất gọi là vectơ đối của vectơ α Từ đây ta sẽ ký hiệu vectơ đối của α là −α Từ đó ta có định nghĩa:α−β =α+ −( β) Gọi là hiệu củaα và β 3) Qui tắc chuyển vế: từ + =α β γ suy ra = −α γ β

4) Luật giản ước: từ + = +α β γ β suy ra =α γ

Đối với phép nhân với vô hướng ta còn có các tính chất sau:

5) 0 α=0, ở đây 0 là phần tử không của trường K, còn 0 là vectơ 0 của V Thật vậy, ta có:

0 0.+ α =0.α =(0 0).+ α =0.α+0.α Từ đó theo luật giản ước: 0 α=0

Do tính kết hợp và giao hoán của phép cộng vectơ nên có thể định nghĩa được tổng của n vectơ

1.2 Tổ hợp tuyến tính Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

1.2.1 Định nghĩa: Một tổ hợp tuyến tính của một hệ vectơ ( ),αi i=1, 2, ,n với họ hệ số ( ),x i i=1, 2, ,n là: ∑x iαi=x1 1α +x2α2+ +x nαn

1, 1, 2, ,

x

=

=

∑ α kéo theo x i =0,i=1, 2, ,n

Hệ vectơ ( ),αi i=1, 2, ,n , gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính

Ví dụ: Trong R- không gian vectơ ℝ2 cho các vectơ : α1=(2, 0),α2 =(0, 1),− α3=(4, 2)

5) Nếu hệ ( ),αi i=1, 2, ,n độc lập tuyến tính thì hệ ( , ,α1 α βn, ) phụ thuộc tuyến tính khi

và chỉ khi β biểu thị tuyến tính theo hệ ( ),αi i=1, 2, ,n Ngoài ra cách biểu thị đó là duy nhất

Thật vậy, theo tính chất 4, nếu β biểu thị tuyến tính theo ( )αi thì hệ ( , ,α1 α βn, ) phụ thuộc tuyến tính

Ngược lại, nếu hệ ( , ,α1 α βn, ) phụ thuộc tuyến tính thì có họ hệ số ( , , , , )x x1 2 x y n không đồng thời bằng không để: x1α1+ +x nαn+yβ =0

Do đó hệ ( , ,α1 αn) độc lập tuyến tính nên y phải khác không Từ đó:

i I

x

∈

∑ α trong đó họ hệ số ( ) ,x i i I∈ , phải thỏa

mãn điều kiện “ triệt tiêu hầu khắp” (tức là chỉ có một số hữu hạn i I∈ mà x ≠ ) Khi đó các i 0tính chất trên vẫn đúng

Ví dụ:

1) Trong không gian vectơ ở chương trình học trung học:

Hệ hai vectơ ( , )α β độc lập tuyến tính khi và chỉ khi ,α β không cùng phương

Hệ ba vectơ ( , , )α β γ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi , ,α β γ không đồng phẳng

Mọi hệ bốn vectơ đều phụ thuộc tuyến tính

2) Trong R- không gian vectơ các đa thức một biến với hệ số thực R[x], hệ các đa thức:

1.3 Hạng của một hệ hữu hạn vectơ

1.3.1 Hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ vectơ

Định nghĩa: Cho một hệ vectơ ( ),αi i I∈ , trong đó K- không gian vectơ V Hệ con

( ),αj j J∈ ⊂I, gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ đã cho nếu nó là hệ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất cứ vectơ αk nào, k I J∈ \ , vào hệ con đó thì ta đều được một hệ phụ thuộc

tuyến tính

Tính chất:

a) Nếu hệ con ( ,α α1 2, ,αn) của hệ ( )αi i I ∈ , là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì mọi vectơ αi,i I∈ đều biểu thị tuyến tính một cách duy nhất qua hệ con đó

b) Cho hệ hữu hạn vectơ αi,i I∈ ={1, 2, ,n}, và cho hệ con độc lập tuyến tính ( ),αj j J∈ ⊂I (J có thể rỗng) thì có thể xây dựng một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ αi,i I∈ , sao cho

hệ đó chứa hệ con đã cho

Thật vậy, nếu ( ),αj j J∈ , không phải là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ ,αi i I∈ , thì ắt

có vectơ

o

i

α , i o∈I J\ , không là tổ hợp tuyến tính của hệ ( ),αj j∈J o, trong đó J o = ∪I { }i o

Dễ thấy hệ ( ),αj j∈J ođộc lập tuyến tính Nếu hệ này chưa phải là hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì lại làm tương tự như trên Do số phần tử N hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước ta xây dựng được hệ phải tìm

1.3.2 Hạng của một hệ hữu hạn vectơ

Bổ đề: Trong không gian vectơ V, cho hai hệ vectơ :

Thay β1 trong (2) bởi α1, ta được hệ: ( ,α β1 2, , )βs (4)

mà theo giả thiết, từ công thức (3) và nhận xét ở §2.I.1, suy ra mọi vectơ của hệ (1) đều biểu thị tuyến tính qua hệ (4) Do đó: α2 =y1α1+y2β2+ +y sβs

Do (1) độc lập tuyến tính nên trong số các hệ số y2, ,y s phải có một hệ số khác không, giả sử

2 0

y ≠ Khi đó: β2 = −( /y y1 2)α1+(1/y2) ( /− y3 y2)β3− − (y s/y2)βs (5)

Ta lại thay β2 trong hệ (4) bởi α2 và được hệ: ( ,α α β1 2, , , ) (6)3 βs

Mà từ (3) và (5) suy ra mọi vectơ của hệ (1) đều biểu thị tuyến tính qua hệ (6)

Nếu r > s thì tiếp tục qua trình trên sau một số hữu hạn bước, hệ (2) sẽ được thay thế bởi hệ:

1 2( ,α α , ) (7)αs

Trong đó mọi vectơ của hệ (1) đều biểu thị tuyến tính qua hệ (7) Điều này trái với giả thiết hệ

(1) độc lập tuyến tính Do đó r s≤

Định lý và định nghĩa: Cho hệ hữu hạn vectơ ( ,α α1 2, αm) trong không gian vectơ V thì số phần tử của mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ trên bằng nhau Số đó được gọi là hạng của hệ vectơ ( ,α α1 2, αm)

1.4 Cơ sở, số chiều của không gian vectơ

1.4.1 Định nghĩa: Giả sử V là một K- Không gian vectơ

1) Một hệ vectơ trong V gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính

1.4.2 Định lý: Giả sử ( ),αi i=1, 2, ,n là một hệ hữu hạn vectơ trong không gian vectơ, khi đó

các mệnh đề sau tương đương:

1) ( )αi là cơ sở của V

2) ( )αi là hệ sinh độc lập tuyến tính của V

3) ( )αi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của V

Chứng minh:

1) ⇒ 2) Chỉ còn chứng minh hệ ( )αi độc lập tuyến tính Vì mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến

tính duy nhất qua ( )αi nên x1α1+ +x nαn=0 và 0α1+ 0+ αn =0 kéo theo x1= =x n= 0Vậy hệ ( )αi , i=1, 2,…, n độc lập tuyến tính

2) ⇒ 3) Hiển nhiên khi xem V như là một hệ vectơ trong V

3) ⇒ 1) Do tính chất a mục 1.1.3

1.4.3 Định lý và định nghĩa: V là một không gian vectơ hữu hạn sinh thì V có cơ sở hữu hạn và

số phần tử của các cơ sở trong V đều như nhau gọi là số chiều của không gian vectơ V

Khi V là một K - không gian vectơ có số chiều n ta viết dimV = n (hay dimK V = ) n

Chứng minh:

Giả sử ( )αi , i I ∈ , I hữu hạn, là một hệ sinh của V, ( ,α α1 2, ,αn) là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của ( )αi , i I∈ Dễ thấy khi đó ( ,α α1 2, ,αn) cũng là một hệ sinh của V Hệ đó lại độc lập tuyến tính nên nó là một cơ sở của V Theo bổ đề ở mục 1.3.2, mọi hệ m vectơ với m > n

đều phụ thuộc tuyến tính Như vậy nếu ( ),βj j J∈ , là một cơ sở khác của V thì số phần tử của

( )βj phải n ≤ Đổi vai trò của hai cơ sở cho nhau ta sẽ thấy số các phần tử của mọi hệ cơ sở V bằng nhau và bằng n

Nhận xét:

a) Nếu V là không gian vectơ n chiều thì mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính đều có thể bổ sung

để trở thành một cơ sở của V

b) V là không gian vectơ n chiều thì hệ n vectơ độc lập tuyến tính của nó đều là cơ sở

c) Đối với không gian vectơ không hữu hạn sinh cũng có thể chứng minh các cơ sở của nó cùng lực lượng Sau đây thường chỉ nói về các không gian vectơ hữu hạn sinh tức là các không gian vectơ hữu hạn chiều

1.4.4 Tọa độ của vectơ đối với một cơ sở

Định nghĩa: Cho cơ sở α =( ,α α1 2, ,αn) của K- không gian vectơ n chiều V thì mọi vectơ V

∈

α viết được một cách duy nhất dưới dạng:

1,

n

i i i i

α α α α , x i gọi là tọa độ thứ i của α đối với cơ sở nào đó

Dễ thấy, nếu ,α β theo thứ tự có tọa độ ( , )x y i i trong cơ sở α thì +α β có tọa độ (x i+y i) và

kα có tọa độ ( )k x i , k K∈ trong cơ sở đó

Giả sử còn có cơ sở α' ( ' , ' , , ' )= α α1 2 α n của V thì ta có khai triển

ij ij 1

Trong công thức (1) chỉ số lấy tổng (còn gọi là: chỉ số “câm”) là chỉ số trước của c , còn trong ij

công thức (2) chỉ số lấy tổng là chỉ số sau của c Công thức (2) gọi là công thức đổi tọa độ ứng ij

với công thức đổi cơ sở (1)

Ví dụ 2:

Trong ℝ - không gian vectơ 2

ℝ , cho cơ sở α=( ,α α1 2)a) Chứng minh rằng hệ α' ( ' , ' )= α α1 2 với α'1=α1+α2, α'2=α2−α1 là một cơ sở của R2 b) Giả sử trong cơ sở α, vectơ β∈ ℝ có tọa độ (2,4) Tìm tọa độ của 2 β trong cơ sở α'

b) Giả sử tọa độ β trong cơ sở 'α là ( ' , ' )x x1 2 Vì công thức chuyển cơ sở là

1 1 2

2 1 2

''

1.5 Không gian vectơ con và không gian vectơ thương

1.5.1 Không gian vectơ con

Định nghĩa: Tập con W của một K- không gian vectơ V được gọi là không gian vectơ con của V

nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) W ổn định (hay đóng) đối với hai phép toán của V, nghĩa là:

1) Điều kiện i) tương đương với điều kiện sau:∀α β, ∈W,∀x y K x, ∈ , α+yβ∈W

2) Từ điều kiện ii) suy ra W phải chứa vectơ 0 , tức là W ≠ ∅

Định lý: Cho K- không gian vectơ V, W ⊂V là không gian con của V khi và chỉ khi W ≠ ∅ và

W ổn định đối với hai phép toán của V

Chứng minh

Điều kiện cần suy ra từ nhận xét 2) Để chứng điều kiện đủ, chỉ cần chứng minh W là một K- không gian vectơ Các tiên đề 1, 4, 5, 6, 7, 8 thỏa mãn với mọi phần tử của V nên thỏa mãn với mọi phần tử của W

Vì W ≠ ∅ nên có α∈W Từ đó 0α= ∈0 W ( do W ổn định đối với phép nhân vô hướng) rõ ràng vectơ 0 này thỏa mãn tiên đề 2 đối với mọi vectơ của W Mặt khác ∀ ∈α W , ( 1)− α = − ∈α W và α+ −( α) 0= nên tiên đề 3 cũng thỏa mãn đối với W Vậy W là một K-

không gian vectơ

Ví dụ:

a) Tập { }0 và V rõ ràng là những không gian vectơ con của không gian vectơ V Chúng gọi là những không gian vectơ con tầm thường của V

b) Coi ℂ là ℝ - không gian vectơ thì ℝ⊂ℂ là không gian vectơ con của ℂ Nếu coi ℂ là ℂ - không gian vectơ thì ℝ không phải là một không gian vectơ con của ℂ ( vì ℝ không ổn định đối với phép nhân với một số phức)

1.5.2 Giao của một họ không gian vectơ con

Giao của một họ ( ),W i i I ∈ , những không gian vectơ con của không gian vectơ V là một không gian vectơ con của V Thật vậy, rõ ràng chúng khác rỗng (vì chứa 0 ) và ổn định đối với các phép toán của V Giao đó được ký hiệu i

a) Rõ ràng X là không gian vectơ con bé nhất ( theo quan hệ bao hàm ) của V chứa X

b) Vì ∅ là tập con của mọi tập hợp nên ∅ ={ }0

c) Nếu W là một không gian vectơ con của V thì W =W

Định lý: Giả sử X là tập con khác rỗng của không gian vectơ V Khi đó X là tập các tổ hợp

tuyến tính của các hệ (hữu hạn) vectơ trong X

Chứng minh:

Gọi W là tập các tổ hợp tuyến tính của các hệ ( hữu hạn ) vectơ trong X Vì mỗi vectơ của X là tổ hợp tuyến tính của chính nó nên X ⊂W Dễ thấy W ≠ ∅ (vì X ≠ ∅ ) và W ổn định đối với các phép toán của V Do đó W là một không gian vectơ con của V Vì X ⊂W nên

X ⊂ W =W Mặt khác X là không gian vectơ chứa X nên nó chứa mọi tổ hợp tuyến tính của các hệ (hữu hạn) vectơ trong X tức là X ⊃W Vậy W = X

Dễ thấy ( ,α α1 2) là cơ sở của W1, ( ,β β1 2) là cơ sở của W2

Nếu γ∈W1∩W2 thì γ =xα1+yα2=uβ1+vβ2 từ đó suy ra:

(0,1,0) (1,1,3) (0, 0,1) (1, 2,1)( , ,3 ) ( , 2 , )

Hay γ =v(1, 2,3),v∈ℝ Từ đó {(1,2,3)} là một cơ sở của W1∩W2

1.5.3 Tổng của một họ không gian vectơ con

Định nghĩa: Cho ( ),W i i I ∈ là một họ các không gian vectơ con của V thì ∪W i gọi là tổng của

Ví dụ: Trong không gian vectơ ℝ3 cho

(1, 0,0), (0,1, 0)(0, 0,1), (1,1, 0)

W W

Vì cách khai triển α là duy nhất nên α=0 Từ đó suy ra W1∩W2 ={ }0

Ngược lại nếu W1∩W2={ }0 và có α =α1+α2=β1+β2, α β1, 1∈W1,α β2, 2∈W2 thì

là cơ sở của Z Ta sẽ chứng minh ( , , , , ,α1 α βr 1 β γm, , , )1 γk là cơ sở của W + Z Rõ ràng nó sẽ

là một hệ sinh của W + Z Nếu: a1 1α + +a rαr+b1 1β + +b mβm+c1 1γ + +c kγk =0 thì

Vậy hệ ( , , , , ,α1 α βr 1 β γm, , , )1 γk là độc lập tuyến tính và là cơ sở của W + Z

Từ đó suy ra: dim (W Z+ )= +r m k+ =(r m+ ) (+ r k+ )− =r dimW+dimZ−dim(W∩Z)

Hệ quả: dim(W⊕Z) dim= W+dimZ

Thật vậy, vì W Z W+ = ⊕Z nên W∩Z ={ }0 Áp dụng định lý trên suy ngay ra hệ quả

Định nghĩa: Nếu V W= ⊕Z thì Z gọi là bù tuyến tính của W trong V Bậy giờ

dimZ =dimV−dimW gọi là số đối chiều của W trong V

1.5.4 Không gian vectơ thương

Giả sử W là một không gian vectơ con của K- không gian vectơ V Xét quan hệ ℜ trong V như

Ký hiệu tập thương theo quan hệ tương đương đó (tức tập các lớp tương đương của quan hệ đó là

V/W Lớp tương đương chứa α∈V được ký hiệu là   α

Định lý và định nghĩa: Tập hợp V/W với các phép toán :

[ ]+[ ]=[ + ],[ ]=[ ],

thuộc W, tức [α+β]=[ 'α +β'] ngoài ra (k α α− ')=kα−kα' cũng thuộc W nên [ kα] [= kα']

Dễ rằng các phép toán đó trên V/W thỏa mãn 8 tiên đề của K- không gian vectơ, trong đó [0] là

vectơ không, vectơ đối của [ ]α là [ ']α

Chú ý: Nếu W = V thì V/W={ }[0]

Định lý: Nếu W là một không gian vectơ con của K- không gian vectơ hữu hạn chiều V thì

dim /V W =dimV −dimW

Chứng minh:

Lấy một cơ sở ( ,α α1 2, ,αm) của W ( nếu W={ }0 , thì coi m = 0) rồi bổ sung để được cơ sở

( ,α α , ,α βm, , ,βn)của V (nếu W = V thì coi n = 0) Ta sẽ chứng minh ([ ], [ ])β1 βn là một

cơ sở của V/W Thật vậy, với mọi [ ]α ∈V W/ ta có α =x1 1α + +x mαm+y1 1β + +y nβn,

Nên [ ]α = y1[ ]+ + [ ]β1 y n βn , tức hệ ([ ], [ ])β1 βn là hệ sinh của V/W Hệ đó là độc lập tuyến tính

Ví dụ: Trong không gian vectơ 4

suy ra T + U =<α α α α1, 2, ,3 5 >=ℝ4 Hơn nữa, vì T∩U ={ }0 nên T U T+ = ⊕U

W Z+ =<α α α α α α >=<α α α α > nên ( ,α α α α1 2, ,3 5) là một cơ sở của W + Z

c) Từ định lý về số chiều của giao và tổng các không gian vectơ con ta có:

dimW∩Z =dimW +dimZ−dim(W Z+ ) 2= Khai triển α α6, 7 trong cơ sở ( ,α α α5 6, 7) của Z theo ( ,α α α α1 2, ,3 5) ta được:

6= −2 1−4 ;3 7 = 2−2 3

Vậy α α6, 7∈W∩Z Chúng lại độc lập tuyến tính nên tạo thành một cơ sở của W∩Z

d) Vì ( ,α α α1 2, 3)là cơ sở của W và ( ,α α α α1 2, ,3 5) là cơ sở của ℝ4 nên có thể chọn cơ sở của ℝ4/ W là lớp tương đương { 4 }

[ ]α = β∈R |β α− ∈W

*) Tài liệu học tập:

[1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Đại số tuyến tính

và Hình học giải tích, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội

[2] Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Bài tập Đại số tuyến tính và Hình học giải tích, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận:

1 Với các phép toán cộng vectơ và nhân vectơ với một vô hướng trong K- không gian vectơ K , n

các tập hợp sau có phải là K - không gian vectơ không?

n

x x x ∈K sao cho:x1+x2+ +x n = 1

2

a) Tập hợp các số thực ℝ với phép cộng số thực và phép nhân một số thực với một số hữu tỷ

có phải là một ℚ - không gian vectơ không?

b) Cũng câu hỏi đó khi thay ℝ bằng tập các số phức ℂ

3 Lấy số phức z ∈ ℂ Gọi ℚ( )z ={a bz a b+ | , ∈ℚ} Với phép cộng là cộng hai số phức thuộc ( )z

ℚ và phép nhân là phép nhân số phức thuộc ( )ℚ z với một số hữu tỷ, ( )ℚ z có phải là một

ℚ- không gian vectơ không?

4 Xét các hàm số thực xác định trên đoạn [ , ]a b ⊂ ℝ , với phép cộng hai hàm số và phép nhân

hai hàm số thực Tập các hàm số sau có phải là ℝ - không gian vectơ không?

a) Tập các hàm số liên tục trên [a,b]

b) Tập các hàm số khả vi trênn [a,b] (tức là các hàm số có đạo hàm trên [a,b])

g) Tập các hàm số trên [a,b] sao cho f(a)=0\

h) Tập các hàm số trên [a,b] sao cho f(a)=1

i) Tập các hàm số đơn điệu tăng trên [a,b]

k) Tập các hàm số đơn điệu giảm trên [a,b]

5 ,V i i =1, ,n là những K- không gian vectơ Xét tính Đềcac V x xV1 n với hai phép toán :

Chứng minh rằng V1× × V n là K- không gian vectơ

6 Chứng minh rằng có thể chứng minh được tiên đề 4 từ các tiên đề khác của định nghĩa không

gian vectơ

7 Chứng minh rằng không thể chứng minh được tiên đề 8 từ các tiên đề khác trong định nghĩa

không gian vectơ

8 Cho hệ vectơ (( , ,α α1 2 αn) trong K- không gian vectơ V Xét xem hệ này độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính trong các trường hợp sau:

c) Tìm tọa độ của đa thức 0 1 n

n

a +a x+ +a x theo các cơ sở trên

10 Trong ℝ - không gian vectơ các đa thức một biến x với hệ số thực, chứng minh rằng hệ vectơ

2

(1, , , , , )x x x n là độc lập tuyến tính và là hệ sinh của không gian đó

11 Trong ℝ - không gian vectơ các hàm số thực liên tục trên ℝ , hệ hàm số sau phụ thuộc tuyến

13 Giả sử ( , , )ε1 εn là một cơ sở của K- không gian vectơ V và

1

n

i i i

x

=

=∑

α ε Chứng minh rằng

nếu có chỉ số k để x ≠ thì hệ vectơ k 0 ( , ,ε1 εk− 1, ,α εk+ 1, , )εn cũng là một cơ sở của V

14 Giả sử ( , , )ε1 εn là một cơ sở của K- không gian vectơ và ( , ,α1 αp) là một hệ độc lập

tuyến tính Chứng minh rằng có thể thay thế p vectơ trong cơ sở trên bằng các vectơ α1, ,αp để

được một hệ mới cũng là một cơ sở của V

15 Không gian vectơ ℝ trên trường ℚ có phải là một không gian vectơ hữu hạn sinh không?

16 Trong các trường hợp sau, chứng minh rằng ( , , )ε ε ε1 2 3 là một cơ sở của ℝ3 và tìm tạo độ của α trong cơ sở đó biết rằng:

a) ε1=(2,1,1),ε2=(6, 2,0), ε3=(7,0, 7),α =(15,3,1)

b) ε1=(0,1,1),ε2 =(2,3,0), ε3=(1, 0,1),α=(2,3, 0)

17 Chứng minh:

a) Nếu hai hệ vectơ ( ,α α1 2, ,αn) và ( ,β β1 2, ,βm) của K- không gian vectơ V mà mỗi

vectơ của hệ này đều biểu thị tuyến tính qua hệ kia thì hai vectơ đó có cùng hạng

b) Hạng của hệ vectơ ( ,α α1 2, ,αn) (n ≥ 2) trong V không đổi khi:

α) Nhân một vectơ của hệ với λ∈K\{0} tùy ý

β) Cộng vào một vectơ của hệ vectơ khác của hệ nhân với một phần tử tùy ý của K

Từ đó suy ra: Hạng của hệ vectơ không đổi khi ta cộng vào một vectơ của hệ một tổ hợp tuyến tính của các vectơ vào hệ

c) Xét một hệ vectơ cột (coi là phần tử của K n) của ma trận

(Ký hiệu X nói rằng đó là những phần tử nào đó của K)

Chứng minh rằng hạng của hệ vectơ cột của A bằng hạng của hệ vectơ cột của A’ Hãy tính hạng

đó

18 V là một K- không gian vectơ n chiều, W là một tập có m phần tử Hãy tính số chiều của

không gian vectơ các ánh xạ từ W đến V

19 Trong ℝ - không gian vectơ ℝ4, tính hạng của các hệ vectơ sau:

21 Trong R- không gian vectơ ℝ3 hỏi các bộ phận sau có phải là không gian vectơ con không?

Hãy tìm số chiều của những không gian vectơ con trong bài

22 Chứng minh rằng số chiều của không gian vectơ con sinh bởi hệ vectơ ( ,α α1 2, ,αn) bằng hạng của hệ vectơ đó

23 Trong ℚ - không gian vectơ 3

ℚ , chứng minh rằng bao tuyến tính của {(1, 2, 4), (1,1,3) và }

bao tuyến tính của {(0,1,1), ( 1,1, 1)− − } bằng nhau

24 Trong ℝ - không gian vectơ 3

là những không gian vectơ con Hãy xác định A B A B∩ , + ,ℝ3 A và tìm số chiều của chúng

25 Trong ℚ3 - không gian vectơ ℝ , hãy chứng minh rằng bộ phận

A= a b+ +c +d a b c d Q∈ là một không gian vectơ con, hãy tìm dim A Xét bao

tuyến tính của các tập con X ={1, 2, 3} và Y ={1, 6}, hãy xác định

,

< > ∩ < > < > + < > và hãy tìm số chiều của chúng

26 Trong không gian vectơ ℝ4 xét các không gian vectơ con của W sinh bởi (1,0,0,2), 1), (-1,6,3,7) và Z sinh bởi (3,2,0,1), (1,2,1,1) Tìm số chiều của W, Z, W + Z, W∩Z R W, 4/