ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN LÝ THUYẾT TẬP HỢP (Dùng cho sinh viên đại học sư phạm Toán)

CHƯƠNG 1 Những cơ sở của lý thuyết tập hợp Số tiết: 15 Lý thuyết: 10 tiết; bài tập, thảo luận: 05 tiết * Mục tiêu: - Sinh viên cần hiểu được một số khái niệm về tập hợp, cách xác định m

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

LÝ THUYẾT TẬP HỢP (Dùng cho sinh viên đại học sư phạm Toán)

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 Những cơ sở của lý thuyết tập hợp 3

1.1 Tập hợp 3

1.1.1 Tập hợp và phần tử của tập hợp 3

1.1.2 Cách xác định một tập hợp 3

1.1.3 Tập hợp rỗng, tập hợp đơn tử, tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn 3

1.1.4 Tập con và quan hệ bao hàm 3

1.1.5 Tập hợp bằng nhau 4

1.1.6 Các phép toán và tính chất trên tập hợp 4

1.1.7 Tích Đềcác của các tập hợp 5

1.2 Quan hệ 6

1.2.1 Quan hệ hai ngôi 6

1.2.2 Quan hệ tương đương 6

1.2.3 Quan hệ thứ tự 7

1.3 Ánh xạ 8

1.3.1 Định nghĩa ánh xạ và ví dụ 8

1.3.2 Đồ thị của ánh xạ 9

1.3.3 Ánh xạ bằng nhau, thu hẹp và mở rộng ánh xạ 9

1.3.4 Ảnh và tạo ảnh 10

1.3.5 Tích ánh xạ 11

1.3.6 Đơn ánh – Toàn ánh – Song ánh 11

1.3.7 Ánh xạ ngược 12

1.4 Giải tích tổ hợp 13

1.4.1 Chỉnh hợp lặp 13

1.4.2 Chỉnh hợp không lặp 13

1.4.3 Hoán vị 14

1.4.4 Tổ hợp 14

1.4.5 Nhị thức Newtơn 15

CHƯƠNG 2 Những cơ sở của lôgíc Toán 23

2.1 Lôgic mệnh đề 23

2.1.1 Mệnh đề 23

2.1.2 Các phép toán lôgic trên mệnh đề 23

2.1.3 Công thức của lôgic mệnh đề 25

2.1.4 Giá trị của công thức 25

2.1.5 Sự bằng nhau của hai công thức 26

2.1.6 Phép biến đổi công thức 27

2.1.7 Luật của lôgic mệnh đề 28

2.2 Lôgic vị từ 28

2.2.1 Hàm mệnh đề 28

2.2.2 Các phép toán trên các hàm mệnh đề 29

2.2.3 Lượng từ 30

2.2.4 Quy tắc suy luận trong lôgic vị từ 30

2.3 Suy luận và chứng minh 31

2.3.1 Suy luận 31

2.3.2 Chứng minh 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

CHƯƠNG 1 Những cơ sở của lý thuyết tập hợp

Số tiết: 15 (Lý thuyết: 10 tiết; bài tập, thảo luận: 05 tiết)

*) Mục tiêu:

- Sinh viên cần hiểu được một số khái niệm về tập hợp, cách xác định một tập hợp, các phép toán trên trên tập hợp; Quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự, ánh xạ (ánh xạ tích, đơn ánh, toàn ánh, song ánh); lôgíc lượng từ

- Vận dụng vào giải các bài toán liên quan

1.1 Tập hợp

1.1.1 Tập hợp và phần tử của tập hợp

- Khái niệm “ Tập hợp” là một trong những kháI niệm cơ bản nhất của Toán học

Ví dụ Tập hợp các số tự nhiên, tập các điểm cách đều một điểm cho trước, tập nghiệm của một

phương trình…

- Khái niệm tập hợp là khái niệm nguyên thuỷ không định nghĩa Quan niệm tập hợp như sự tụ tập các đối tượng có chung những tính chất nào đó Các cá thể tạo thành tập hợp gọi là phần tử của tập hợp

- Để chỉ: a là phần tử của tập A ta viết: a A∈ , đọc là a thuộc A

a không là phần tử của tập hợp A, ta viết a A∉ , đọc là a không thuộc A

1.1.2 Cách xác định một tập hợp

a, Phương pháp liệt kê

- Liệt kê đầy đủ các phần tử của tập hợp

- Liệt kê không đầy đủ: Liệt kê một số phần tử của tập hợp đủ để biết các phần tử nào đó có thuộc tập hợp hay không

b, Phương pháp chỉ rõ thuộc tính đặc trưng

- Thuộc tính đặc trưng là thuộc tính mà dựa vào đó có thể biết đối tượng thuộc tập hợp hay không

Định nghĩa 1 Cho hai tập hợp A và B Nếu mọi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B thì

ta nói rằng A bao hàm trong B hay A là tập con của B

Định nghĩa 2 Giả sử A là một tập hợp, tất cả các tập con của A là phần tử của một tập hợp mới,

kí hiệu: p( )A , được gọi là tập tất cả các tập con của A

Ví dụ A= a, b Khi đó: { } p( )A = ∅{ , a , b , a, b{ } { } { } }

1.1.5 Tập hợp bằng nhau

Định nghĩa 3 Hai tập A và B được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi mỗi phần tử của A đều là

phần tử của B và ngược lại mỗi phần tử của B đều là phần tử của A Kí hiệu: A = B

Định nghĩa 4 Cho hai tập hợp A và B Hợp của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A B∪ là một tập

hợp gồm các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B Vậy A B∪ ={x x A x B/ ∈ ∨ ∈ }

Định nghĩa 5 Cho hai tập hợp A và B Giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A B ,∩ là một

tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B Vậy A B = x x A, x B∩ { ∈ ∈ }

Ví dụ

A = a, b, c, d, e ,{ } B = c, d, e, f { }

Suy ra: A B = c, d, e∩ { }

c, Tính chất của phép hợp và phép giao ( Xem tài liệu [1])

d Hiệu và phần bù của hai tập hợp

- Cặp sắp thứ tự Cho hai đối tượng a, b bất kỳ, từ hai đối tượng này ta có thể lập thành đối

tượng thứ ba kí hiệu: (a, b) và gọi là cặp (a, b)

Chú ý: Hai cặp (a, b) và (c, d) gọi là bằng nhau khi và chỉ khi a = c, b = d

Nếu a ≠ b thì cặp (a, b) ≠ (b, a)

Ta nói rằng: Một cặp (a, b) là một dãy có thứ tự của hai phần tử a, b

- Tích Đềcác của hai tập hợp Cho hai tập hợp X và Y khác rỗng Ta gọi tập gồm tất cả các cặp

sắp thứ tự (x, y) với x thuộc X và y thuộc Y là tích Đềcác của tập X và tập Y

Kí hiệu: X x Y hoặc X.Y

3.ℝ : Tập biểu thị tập các điểm của không gian ba chiều 3

1.2 Quan hệ

1.2.1 Quan hệ hai ngôi

Định nghĩa 7 Giả sử X và Y là hai tập hợp tuỳ ý khác rỗng Ta gọi mỗi tập con R của tập tích

ĐềCác X Y × là một quan hệ trên X Y ×

Nếu (x, y) R∈ ta nói “ x có quan hệ R với y” và viết xRy Nếu (x, y) R∉ ta nói “ x không có

quan hệ R với y” và viết xRy

Ví dụ Cho X là tập hợp những người đàn bà, Y là tập những người đàn ông của làng nọ R là tập

các cặp sắp thứ tự (x, y) trong đó x X y Y∈ , ∈ sao cho x là mẹ đẻ của y

Định nghĩa 8 Cho X là tập không rỗng tuỳ ý Ta gọi mỗi tập con R của bình phương Đề Các

X X× là một quan hệ hai ngôi xác định trên tập X

Nếu (x , ) R1 x ∈ ta nói “ 2 x1 có quan hệ R với x2” và viết x Rx1 2.Nếu (x , ) R1 x ∉ ta nói “ 2

1

x không có quan hệ R với x2” và viết x Rx1 2

Ví dụ Quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên tập số thực R xác định bởi tập con

R={( , )x x ∈R2/x≤ y}

là một quan hệ hai ngôi trên R

Một số tính chất thường gặp Giả sử R là một quan hệ trên một tập hợp X Ta bảo:

2. R có tính chất phản xạ trong X nếu và chỉ nếu x X , (x, x) R∀ ∈ ∈

(ii) R có tính chất đối xứng trong X nếu và chỉ nếu x X , y X∀ ∈ ∀ ∈ , (x, y) R∈ ⇒(y, x) R∈

(iii) R có tính chất phản đối xứng trong X nếu và chỉ nếu

x X , y X

∀ ∈ ∀ ∈ , (x, y) R hay (y, x) R∈ ∈

Ví dụ

1 Quan hệ “ bằng nhau” trong một tập hợp X nào đó có tính phản xạ

2 Quan hệ “ chia hết cho” trong tập N các số tự nhiên có tính phản xạ

3 Quan hệ “ nguyên tố cùng nhau” trong tập N các số tự nhiên không có tính phản xạ

4 Quan hệ “ ≤ ” trên tập R các số thực có tính phản xạ

1.2.2 Quan hệ tương đương

Định nghĩa 9 Giả sử X là một tập hợp , S là một bộ phận của X X× Thế thì S gọi là một quan

hệ tương đương trong X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây thoả mãn:

Ví dụ

1 Quan hệ “=” là quan hệ tương đương

2 Gọi X là tập các đường thẳng trong mặt phẳng, quan hệ cùng phương là một quan hệ tương đương

3 Gọi X là tập các tam giác khi đó quan hệ đồng dạng giữa các tam giác là một quan hệ tương đương

Định nghĩa 10 Giả sử S là một quan hệ tương đương trong X và a X∈ Tập hợp:

Bổ đề Với hai phần tử bất kì a và b ta đều có hoặc C(a) C(b) = ∩ ∅ hoặc C(a)=C(b)

Định nghĩa 11 Ta bảo ta thực hiện một sự chia lớp trên một tập hợp X khi ta chia nó thành

những bộ phận A, B, C, … khác ∅ , rời nhau từng đôi một sao cho mọi phần tử của X thuộc một trong các bộ phận đó

Định lý 1 Giả sử X là một tập hợp, S là một quan hệ tương đương trong X Thế thì các lớp

tương đương phân biệt của X đối với S thành lập một sự chia lớp trên X

Định nghĩa 12 Giả sử X là một tập hợp, S là một quan hệ tương đương trong X Tập hợp các

lớp tương đương phân biệt của X đối với S gọi là tập thương của X trên quan hệ tương đương S

và kí hiệu là X/S

Ví dụ Cho X là tập người trên trái đất Nếu chia X thành các tập con U, V, W,… sao cho các tập

con đó là tập các người cùng quốc tịch, coi rằng không có ai có hai quốc tịch và bất kì ngươig nào cũng thuộc một quốc tịch nào đó thì ta có một sự phân lớp trên tập X

1.2.3 Quan hệ thứ tự

Định nghĩa 13 Giả sử X là một tập hợp, S là một bộ phận của X X× Thế thì S được gọi là một

quan hệ thứ tự trong X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây thoả mãn:

1 Quan hệ “ ≤ ” trong tập N là một quan hệ thứ tự

2 Quan hệ “chia hết” trong N không là một quan hệ thứ tự

3 Quan hệ bao hàm giữa các bộ phận của một tập hợp X

- Nếu S là một quan hệ thứ tự trong X thì người ta thường kí hiệu S bằng “ ≤ ” và đọc “ a b≤ ” là

“a bé hơn b”

Định nghĩa 14 Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự Một phần tử a X∈ gọi là phần tử tối tiểu

( phần tử tối đại) của X nếu quan hệ x a≤ ( a≤ ) kéo theo x x = a

3 Trong tập hợp các hệ vectơ độc lập tuyến tính của không gian vectơ ℝn sắp thứ tự theo quan

hệ bao hàm, các hệ vectơ gồm n vectơ là tối đại

Định nghĩa 15 Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự Một phần tử a X∈ gọi là phần tử bé nhất

( phần tử lớn nhất) của X nếu với mọi x X∈ ta có a x≤ ( x≤ ) a

Định nghĩa 17 Giả sử X và Y là hai tập hợp tuỳ ý Ánh xạ f đi từ X đến Y là một quy tắc nào đó

cho ứng mỗi phần tử x X∈ với một phần tử duy nhất y Y∈

trong đó, y = f(x) : y là giá trị của f tại x

Tập X: Tập nguồn (miền xác định) của ánh xạ f

Tập Y: Tập đích (miền giá trị) của ánh xạ f

Phép trừ là một ánh xạ từ × →ℤ ℤ ℤ hay × →ℝ ℝ ℝ?

Tương tự xét với phép nhân và phép chia

3 X là một tập hợp bất kỳ Tương ứng mỗi phần tử x X∈ với chính nó là một ánh xạ từ tập X đến X

Ta thường kí hiệu ánh xạ này là 1X hay id X và gọi là ánh xạ đồng nhất

+ Trong một ánh xạ mỗi phần tử thuộc nguồn đều có ảnh duy nhất điều đó có nghĩa là nếu: f:X→Y là một ánh xạ thì từ x1=x (x , x2 1 2∈X)

Là hai ánh xạ không bằng nhau

- Sự thu hẹp một ánh xạ Giả sử cho ánh xạ f:X→Y, A⊂X Khi đó ta xác định một ánh xạ g:A→Y sao cho x A: g(x) = f(x).∀ ∈ Ánh xạ g xác định như vậy gọi là ánh xạ thu hẹp của f

vào tập con A và thường được kí hiệu: g = f A

Ví dụ Ánh xạ g = f A:ℕ→ℤ ֏,n 2n+1 là thu hẹp của ánh xạ :f ℤ→ℤ,n֏2n+1

- Sự mở rộng một ánh xạ Giả sử g:A→Y là ánh xạ xác định trên tập con A của X và giả sử

có f:X→Y sao cho f A =g. Khi đó ta nói rằng ánh xạ f là mở rộng của ánh xạ g trên toàn tập

X

Ví dụ Mở rộng ánh xạ g trong ví dụ trên

1.3.4 Ảnh và tạo ảnh

Cho ánh xạ f:X→Y Giả sử x và y là các phần tử của X và Y sao cho y = f(x) ta gọi phần tử y

là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f, còn phần tử x gọi là một tạo ảnh của phần tử y

a, Ảnh của một tập hợp

Định nghĩa 20 Cho ánh xạ f:X→Y và A là một tập con của X Tập con của Y gồm ảnh của tất

cả các phần tử của A gọi là ảnh của A qua ánh xạ f, kí hiệu f(A)

Từ định nghĩa ta thấy rằng: y Y, y f(A) ∈ ∈ ⇔ ∃ ∈ x A: y = f(x)

Định nghĩa 22 Giả sử cho hai ánh xạ f:X→Y, g :Y→Z Ánh xạ: X→Z, x֏ g(f(x)) được

gọi là tích của hai ánh xạ f và g, kí hiệu bởi: g f hoặc gf

1 Tích của hai đơn ánh là một đơn ánh

2 Tích của hai toàn ánh là một toàn ánh

3 Tích của hai song ánh là một song ánh

Định lý 6 Cho f:X→Y, g :Y→U và h = g f

1 Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh

2 Nếu h là đơn ánh và f là toàn ánh thì g là đơn ánh

3 Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh

4 Nếu h là toàn ánh và g là đơn ánh thì f là toàn ánh

1.3.6 Đơn ánh – Toàn ánh – Song ánh

a, Đơn ánh

Định nghĩa 23 Ta gọi ánh xạ f:X→Y là đơn ánh nếu với hai phần tử khác nhau bất kì x , x1 2của X và x1≠x2 ta luôn có f(x ) f(x )1 ≠ 2

Nói khác đi f:X→Y là đơn ánh nếu mọi phần tử của Y có tối đa một tạo ảnh trong X

Đơn ánh f:X→Y còn được gọi là ánh xạ một- một từ X đến Y Ta có thể phát biểu định nghĩa dưới dạng tương đương: f:X→Ylà đơn ánh nếu từ f(x ) f(x )1 = 2 ta luôn có x1=x2

Định nghĩa 25 Ánh xạ f:X→Y là một song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh

Nói khác đi: ánh xạ f:X→Y là một song ánh nếu với mọi y Y∈ có một và chỉ một x X∈ sao cho f(x) = y ( Mọi y Y∈ tạo ảnh f (y)− 1 bao giờ cũng là tập một phần tử)

Song ánh: f:X→Ycòn gọi là ánh xạ một – một từ X lên Y

1 là các ánh xạ đồng nhất) Khi đó g gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f

Do tính chất đối xứng trong định nghĩa nên nếu g là ánh xạ ngược của f thì f cũng là ánh xạ ngược của g

Ví dụ Ánh xạ ngược của ánh xạ f:ℝ→ℝ là ánh xạ f:ℝ→ℝ

x֏x3 x֏3 x

Điều kiện để một ánh xạ có ánh xạ ngược

Định lý 7 Ánh xạ f:X→Y có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh

Định lý 8 Giả sử g :Y→X và g :Y′ →X đều là ánh xạ ngược của ánh xạ f:X→Y Khi đó:

g = g′

1.4 Giải tích tổ hợp

1.4.1 Chỉnh hợp lặp

Định nghĩa 27 Cho X là một tập hợp n phần tử Một bộ sắp thứ tự m các phần tử của X trong đó

mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần, gọi là một chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử của X

Như vậy theo định nghĩa, hai chỉnh hợp lặp chập m được coi là khác nhau nếu chúng chứa những phần tử không hoàn toàn giống nhau hoặc chúng chứa những phần tử như nhau nhưng thứ tự sắp xếp khác nhau

Ví dụ Cho X ={a b c, , } Ta có {a a b c b, , , , } {, , , , ,b a b c c}là hai chỉnh hợp lặp của X

Ta thấy số biển đăng ký bẳng chỉnh hợp lặp chập 3 của 10 phần tử

Vậy số biển đăng ký có thể có là, 103=1000.10

1.4.2 Chỉnh hợp không lặp

Cho tập X gồm có n phần tử, k là một số nguyên dương 1≤k n≤

Định nghĩa 28 Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập hợp X theo một thứ tự nhất định được gọi là

một chỉnh hợp không lặp chập k của n phân tử đã cho

Mỗi danh sách có xếp thứ tự 5 cầu thủ được gọi là một chỉnh hợp chập 5 của 11 cầu thủ

Huấn luyện viên của mỗi đội có thể chon một trong 11 cầu thủ để đá quả đầu tiên Tiếp theo có 10 cách chọn cầu thủ đá quả thứ hai, rồi có 9 cách chọn cầu thủ đá quả thứ ba, rồi lại có

8 cách chọn cầu thủ đá quả thứ tư và cuối cùng có 7 cách chọn cầu thủ đá quả thứ năm theo quy tắc nhân huấn luyện viên của mỗi đội sẽ có: 11 10 9 8 7 = 55440 cách chọn

Định lý 10 Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp n phần tử (1≤k≤n)bằng số đơn ánh từ tập k phần tử vào tập n phần tử và bằng:

( 1)( 2) ( 1)

k n

Định nghĩa 29 Mỗi cách sắp xếp của n phần tử của tập hợp X theo một thứ tự nhất định được

gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho

Ví dụ Cho X ={a b c, , }

Có 6 hoán vị khác nhau của X: (a b c, , , , , , , , , , ,) (a c b) (b a c) (b c a) (, , , , , ,c a b) (c b a)

Ký hiệu số các hoán vị khác nhau của n phần tử là P n

Định lý 10 Số hoán vị của tập n phần tử bằng số các đơn ánh ( đồng thời cũng là song ánh) từ

Định nghĩa 30 Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 k n≤ ≤ Mỗi tập con của A có k

phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A

+ Với 1 k n≤ ≤ ta có thể viết công thức trên dưới dạng !

k n

n C

k n k

=

− + Ta quy ước C = n0 1

Ví dụ

1 Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm 7 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh đều thuộc P?

2 Có bao nhiêu cách phân công 5 người đi lao động trong số 50 học sinh?

3 Trong một lớp có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ đi tham gia chiến dịch “Mùa hè xanh” của Đoàn Thanh niên Cộng sản

Hồ Chí Minh Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Giải

1 Với mỗi tập con gồm 3 điểm bất kỳ của P, ta tạo được một tam giác với các đỉnh là 3 điểm đó Ngược lại, mỗi tam giác có 3 đỉnh thuộc P tương ứng với một tập con gồm 3 điểm của P Vậy số tam giác có 3 đỉnh thuộc P chính bằng số các tổ hợp chập 3 của tập P, tức là bằng:

C = = cách chọn 4học sinh nam trong số 20 học sinh nam và có

[2] Ngô Thúc Lanh (1995), Đại số và số học, NXB Giáo dục

[3] Vương Thụy (2001), Giáo trình tập hợp và lôgic , Đại học Sư phạm Hà Nội II

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận

c) C = {x ∈ N | x là số nguyên tố không lớn hơn 16}

Cho A là tập hợp gồm các ước số chung của a & b Gọi d là ước số chung lớn nhất của a & b

và B là tập hợp các ước số của d Chứng minh A = B Cho ví dụ minh hoạ

c) A là tập hợp các nghiệm của phương trình x = 3 2x−

B là tập hợp các nghiệm của phương trình x2 = 3 – 2x

b) A – (A – B) = A ∩ B

c) A – B = A – (A ∩ B)

d) (A – B) ∪ (B – A) = (A ∪ B) – (A ∩ B)

1.20

Giả sử A, B là các tập con của tập X Chứng minh rằng:

CX(A) = B khi và chỉ khi A ∪ B = X và A ∩ B = ∅

Hãy liệt kê tất cả các phần tử của quan hệ S Xét xem quan hệ S có những tính chất nào

b) Trong tập các số thực R cho quan hệ S xác định như sau: x S y khi và chỉ khi

x2 + y2 + 4x = 6y – 15 Chứng minh rằng quan hệ S là tập rỗng

1.24

Trên tập ℤ các số nguyên xác định quan hệ S như sau:

a S b khi và chỉ khi a + b chia hết cho 2 Hãy xem quan hệ này có tính chất gì ?

1.25

Trên tập ℤ các số nguyên xác định quan hệ ρ như sau: a ρ b khi và chỉ khi a – b chia hết cho

3 Hãy xem quan hệ này có tính chất gì ?

1.26

Trong mặt phẳng cho đường thẳng a cố định Trên tập X các điểm của mặt phẳng xác định quan hệ ρ như sau: Với M, N ∈ X, M ρ N khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới đường thẳng a bằng khoảng cách từ N tới đường thẳng a

a) Chứng tỏ rằng ρ là một quan hệ tương đương

b) Cho A là điểm cố định Hãy xác định tập [A] bằng cách sử dụng ngôn ngữ quỹ tích

1.27

Giả sử X là tập các điểm trên mặt phẳng, O là điểm cố định thuộc X Trên X xác định quan hệ S như sau:

M S N khi và chỉ khi M, N, O cùng nằm trên đường thẳng nào đó

a) S có phải là quan hệ tương đương trên X không ?

b) S có phải là quan hệ tương đương trên X – {O} không ? Nếu phải, xác định lớp tương đương chứa điểm A Hãy mô tả tập thương X – {O}/ S

1.28

Trong tập các số thực ℝ xác định quan hệ S như sau: x S y ⇔ |x| = |y|

a) Chứng tỏ S là quan hệ tương đương

b) Cho a là số thực, tìm [a]

1.29

Trong tập × ℝ ℝ ta xác định quan hệ S như sau: (x1, y1) S (x2, y2) ⇔ x1 = x2

Chứng tỏ S là quan hệ tương đương Hãy xác định lớp [a, b] và tập thương ×ℝ ℝ/ S Sau đó minh hoạ bằng hình vẽ (coi (x, y) là điểm có toạ độ (x, y) trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy)

1.30

Trong tập ℤ×ℕ* ta xác định quan hệ ~ như sau: (a, n) ~ (b, m) ⇔ a.m= b.n

a) Chứng minh rằng ~ là quan hệ tương đương

b) Hãy xác định tập thương ℤ×ℕ*/ ~

1.31

Trong tập các số thực R Chứng minh rằng quan hệ S trên R xác định bởi:

x S y khi và chỉ khi x3 – y3 = x – y là quan hệ tương đương

Tuỳ theo giá trị của a, tìm các phần tử trong lớp tương đương [a]

1.32

Cho X = {1, 2, 3} và một quan hệ hai ngôi S trên X

a) Chứng minh rằng nếu S là quan hệ tương đương trên X chứa các phần tử

(1, 2) và (1, 3) thì S = X× X

b) Trong trường hợp S là tập con thực sự của X× X, chứa (1, 2), hãy tìm S sao cho S là một quan

hệ tương đương trên X

1.33

a) Trong tập R các số thực xét quan hệ S như sau: x S y ⇔ x3 ≤ y3 S có là quan hệ thứ tự

không ? Tập R cùng với quan hệ S có là tập sắp thứ tự tuyến tính không ?

b) Cũng trong tập R xét quan hệ T như sau: x T y ⇔ x2 ≤ y2 Quan hệ T có là

quan hệ thứ tự không ?

1.34

Trong tập các số nguyên Z xét quan hệ S như sau: n S m ⇔ |n| ≤ |m| Quan hệ S có là quan hệ

thứ tự không ? tại sao ?

c) Tìm chặn trên nhỏ nhất, chặn dưới lớn nhất (nếu có) của các tập A, B

d) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu của X

Gọi X là tập hợp tất cả những người đã và đang sống trên trái đất

Hãy xét xem những quy tắc đặt tương ứng dưới đây , quy tắc nào là ánh xạ , quy tắc nào không phải là ánh xạ từ X đến X

a) Quy tắc ứng mỗi người với mẹ đẻ của mình

m : X → X

x֏m(x) = mẹ đẻ của x

b) Quy tắc ứng mỗi người với anh ruột của mình

a : X → X

x֏a(x) = anh ruột của x

c) Quy tắc ứng mỗi người với con đẻ của mình

b) ảnh của tập các điểm trên đoạn [–1, 2]

c) Tìm tạo ảnh toàn phần của 1 , –1