ĐỀ CƯƠNG bài GIẢNG học PHẦN lý THUYẾT GALOA (đại học sư PHẠM TOÁN)

- Sinh viên nắm được định nghĩa và tính chất của một số mở rộng trường như:Mở rộng trường, mở rộng đơn, mở rộng hữu hạn, mở rộng đại số, trường phân rã, mở rộng chuẩn tắc và mở rộng tách

Mục lục

1.1 Các kiến thức liên quan 3

1.1.1 Nhóm các phép thế, nhóm giải được 3

1.1.2 Trường các thương, trường con nguyên tố 6

1.1.3 Đặc số của trường 7

1.1.4 Các đa thức trên một trường 8

1.2 Mở rộng trường Mở rộng đơn 9

1.2.1 Mở rộng trường 9

1.2.2 Mở rộng đơn 10

1.3 Mở rộng đại số 12

1.4 Trường phân rã của đa thức Mở rộng chuẩn tắc 13

1.4.1 Trường phân rã của đa thức 13

1.4.2 Mở rộng chuẩn tắc 14

1.5 Mở rộng tách được 15

1.5.1 Nghiệm bội của đa thức bất khả quy 15

1.5.2 Đa thức tách được, mở rộng tách được 16

1.5.3 Trường hoàn chỉnh 17

2 Lý thuyết Galois 20 2.1 Nhóm Galois Mở rộng Galois 20

2.1.1 Nhóm Galois 20

2.1.2 Mở rộng Galois 23

2.2 Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 24

2.2.1 Nhận xét 24

2.2.2 Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 24

2.2.3 Một số định lý khác 26

2.3 Áp dụng định lý Galois vào trường chia đường tròn 26

2.3.1 Căn của đơn vị 26

2.3.2 Trường chia đường tròn 26

2.3.3 Áp dụng 27

2.4 Mở rộng xyclic 28

3 Ứng dụng 32

3.1 Giải phương trình bằng căn thức 32

3.1.1 Định nghĩa 32

3.1.2 Tiêu chuẩn giải được bằng căn thức 33

3.2 Phương trình tổng quát bậc n 33

3.2.1 Định nghĩa 33

3.2.2 Nhóm Galois của phương trình tổng quát bậc n 34

3.3 Dựng hình bằng thước kẻ và compa 34

3.3.1 Tiêu chuẩn dựng được bằng thước kẻ và compa 34

3.3.2 Dựng đa giác đều bằng thước kẻ và compa 35

- Sinh viên nắm được định nghĩa và tính chất của một số mở rộng trường như:

Mở rộng trường, mở rộng đơn, mở rộng hữu hạn, mở rộng đại số, trường phân

rã, mở rộng chuẩn tắc và mở rộng tách được

- Sinh viên hiểu được mối quan hệ giữa các mở rộng trường

- Sinh viên tích cực, chủ động nghiên cứu giáo trình

B) NỘI DUNG

1.1 Các kiến thức liên quan

1.1.1 Nhóm các phép thế, nhóm giải được

Định nghĩa 1.1 Giả sử H là một nhóm con của nhóm G Khi đó tập

aH = {ah|h ∈ H} được gọi là một lớp ghép trái của H trong G Tương tự, tập

Ha = {ha|h ∈ H} được gọi là một lớp ghép phải của H trong G

Bổ đề 1.1 Giả sử H là một nhóm con của nhóm G Khi đó hai lớp ghép tráicủa H trong G hoặc giao nhau bằng rỗng hoặc bằng nhau

Định lý 1.1 Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc của G Khi đó

(i) G = S

a∈GaH,

(ii) Với mỗi a ∈ G, thì ánh xạ f : H → aH cho bởi x 7→ ax là một song ánh.(iii) Nếu H hữu hạn thì các lớp ghép của H trong G có cùng số phần tử.Định nghĩa 1.2 Giả sử H là một nhóm con của nhóm G Số các lớp ghéptrái khác nhau của H trong G được gọi là chỉ số của H trong G và kí hiệu là

Trong học phần này, ta dùng kí hiệu |S| để chỉ lực lượng của tập hợp S.Định lý 1.2 (Định lý Lagrange) Giả sử H là một nhóm con của nhómhữu hạn G Khi đó cấp của H là ước cấp của G Hơn nữa |G| = |H|[G : H].Định nghĩa 1.3 Cho n là một số nguyên dương, và tập T = {1, 2, , n}.Gọi Sn là tập tất cả các song ánh trên T Với mỗi σ ∈ Sn được gọi là một phépthế bậc n và viết là

σ =



1 2 nσ(1) σ(2) σ(n)

được gọi là độc lập tuyến tính nếu {i1, i2, i3 , ik} ∩ {j1, j2, j3 , jk} = ∅.

Phép thế đồng nhất được gọi là một vòng xích cấp 1 và kí hiệu là (1)

Định nghĩa 1.5 Một phép thế σ ∈ Sn được gọi là chẵn (tương ứng lẻ) nếu

nó phân tích được thành một tích của một số chẵn (tương ứng một số lẻ) cácchuyển vị

Theo Hệ quả 1.2, mọi phép thế của Sn hoặc là chẵn hoặc là lẻ Đặt An là tậptất cả các phép thế chẵn của Sn Khi đó An là một nhóm con của Sn Nhóm

An được gọi là nhóm thay phiên bậc n

Định lý 1.4 Cho n > 1 khi đó An là một nhóm con chuẩn tắc của Sn có cấp

Nhóm Dn được gọi là nhóm nhị diện bậc n

Định lý 1.5 Với n ≥ 3, nhóm Dn có cấp 2n sinh bởi hai phần tử σ và τ thỏamãn:

nó là một tháp xyclic, đồng thời các nhóm thương Gi−1/Gi có cấp nguyên tố vớimọi i Nhóm G được gọi là một nhóm giải được nếu tồn tại một tháp Abel (1)của G

Ví dụ 1.1 (i) Mọi nhóm Abel đều là nhóm giải được

(ii) Nhóm S3 là nhóm giải được vì tồn tại một tháp Abel S3 ⊃ h(123)i ⊃ {(1)}.Định lý 1.6 Cho G là một nhóm Abel hữu hạn Khi đó các mệnh đề sau làtương đương:

(i) G là một nhóm giải được

(ii) Tồn tại một tháp xyclic của G

(iii) Tồn tại một tháp xyclic cấp nguyên tố của G

Định lý 1.7 (i) Mọi nhóm con của một nhóm giải được là một nhóm giải được.(ii) Ảnh đồng cấu của một nhóm giải được là một nhóm giải được.

(iii) Nhóm thương của một nhóm giải được cũng là một nhóm giải được.Định lý 1.8 Mọi nhóm cấp pn (p là một số nguyên tố) đều là nhóm giải được

1.1.2 Trường các thương, trường con nguyên tố

Giả sử vành A là vành giao hoán có đơn vị 1 6= 0

Định nghĩa 1.7 Tập con S của vành A được gọi là một tập đóng nhân nếu

0 /∈ S, 1 ∈ S và S là đóng với phép nhân, nghĩa là, xy ∈ S, với mọi x, y ∈ S

Ví dụ 1.2 A là một miền nguyên, tập A∗ là các phần tử khác 0 của A là mộttập đóng nhân của A

Định lý 1.9 Cho S là tập đóng nhân của vành A Khi đó trên tập tích Đề các

A × S, quan hệ ∼ xác định bởi: (x, s) ∼ (y, t) ↔ ∃u ∈ S, u(xt − ys) = 0 vớimọi (x, s) và (y, t) thuộc A × S, là một quan hệ tương đương trong A × S

Để cho gọn ta sẽ ký hiệu lớp tương đương (x, s) chứa cặp (x, s) của A × S

là x

s và ký hiệu AS là tập thương gồm các lớp tương đương đó.

Định lý 1.10 Tập thương AS cùng với các phép toán

là một vành giao hoán có đơn vị Ta gọi AS là vành các thương của vành A theo

Hệ quả 1.3 Nếu A là một miền nguyên và S = A∗ là tập tất cả các phần tửkhác 0 của A thì AA∗ là một trường.

Trong trường hợp này ta có AS = {a

s 6= 0 thì a 6= 0 và a

s có nghịch đảo là

s

a Bởi vậy AA∗ là một trường.

Định nghĩa 1.8 TrườngAA∗ của miền nguyên A được gọi là trường các thươngcủa miền nguyên A

Ví dụ 1.4 Trường các thương của vành số nguyên Z là trường các số hữu tỷQ

Mệnh đề 1.3 Nếu A là một miền nguyên thì A nhúng được vào trường cácthương AA∗ của nó bởi đơn cấu ϕ(a) = a

1. Hơn nữa, mỗi phần tử của AA∗ được

viết dưới dạng ϕ(a)ϕ(b)−1, với a ∈ A, b ∈ A∗

Tính chất phổ dụng của vành các thương được phát biểu trong mệnh đề sau.Mệnh đề 1.4 Cho S là một tập con đóng nhân của vành A Khi đó mọi đồngcấu vành f : A → K, có tính chất f (s) là khả nghịch trong K với mọi s ∈ S,đều tồn tại duy nhất một đồng cấu h : AS → K sao cho f = h◦ϕ, với ϕ(a) = a

Mệnh đề 1.6 Giả sử A là một vành có đơn vị và char(A) = n > 0 Khi đó

m1 = 0 nếu và chỉ nếu n là ước của m

Định lý 1.11 Giả sử A là một vành có đơn vị 1 Khi đó

(i) Tập P = {m1/m ∈Z} là một vành con của A

(ii) Nếu A có đặc số 0 thì P ∼= Z

(iii) Nếu A có đặc số n thì P ∼= Zn

Do trường cũng là một vành có đơn vị nên những định nghĩa và tính chấttrên về đặc số của vành A vẫn đúng với trường A tương ứng Hơn nữa ta có kếtquả thú vị sau:

Hệ quả 1.4 (i) Mọi trường có đặc số 0 đều là trường vô hạn và chứa mộttrường con đẳng cấu với trường số hữu tỷ Q

(ii) Mọi miền nguyên có đặc số nguyên tố p, đều chứa một trường con đẳngcấu với Zp

Nhận xét Từ hệ quả trên ta rút ra rằng, mỗi trường nguyên tố, thì hoặcđẳng cấu với trường các số hữu tỷ Q, hoặc đẳng cấu với Zp

1.1.4 Các đa thức trên một trường

Giả sử K là một trường K[x] là vành đa thức của ẩn x trên trường K Đathức f (x) gọi là một ước của đa thức g(x) nếu có một đa thức q(x) sao cho

g(x) = f (x).q(x) Một đa thức là ước của đơn vị khi và chỉ khi nó là một phần

tử khác 0 của trường K

Vì vành K[x] là một miền nguyên nên các khái niệm và các tính chất của phần

tử bất khả quy được chuyển sang cho đa thức bất khả quy

Định nghĩa 1.11 Hai đa thức f (x) và g(x) được gọi là liên kết với nhau nếu

f (x) = ag(x) với a là ước của đơn vị

Đa thức q(x) được gọi là một ước thực sự của f (x) nếu q(x) là một ước của

f (x), khác ước của đơn vị và không liên kết với f (x)

Định nghĩa 1.12 Đa thức p(x) ∈ K[x] được gọi là một đa thức bất khả quynếu nó khác 0, khác ước của đơn vị và không liên kết với f (x)

Định nghĩa 1.13 Hai đa thức p(x) và q(x) thuộc K[x] được gọi là nguyên tốcùng nhau nếu 1 là một ước chung lớn nhất của chúng

Định lý 1.12 Hai đa thức p(x) và q(x) thuộc K[x] nguyên tố cùng nhau khi

và chỉ khi tồn tại hai đa thức h(x) và k(x) sao cho

p(x)h(x) + q(x)k(x) = 1

Mệnh đề 1.7 Giả sử p(x) là một đa thức bất khả quy thuộc vành K[x] Nếu

f (x) ∈ K[x] thì f (x) chia hết cho p(x) hoặc nguyên tố cùng nhau với p(x).Định lý 1.13 Với mỗi đa thức bất khả quy p(x) ∈ K[x], bậc p(x) = n > 0,đều tồn tại một trường F sao cho:

(i) K ⊂ F;

(ii) p(x) có một nghiệm u ∈ F;

(iii) Mỗi phần tử c ∈ F đều biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng:

c = b0 + b1u + + bn−1un−1, bi ∈ K

Hệ quả 1.5 Giả sử f (x) ∈ K[x], bậc f (x) = n > 0 Thế thì tồn tại mộttrường F chứa K và chứa n nghiệm của f (x).

Định lý 1.14 (Tiêu chuẩn Eisenstein) Giả sử

f (x) = anxn + an−1xn−1+ + a0

là một đa thức với hệ số nguyên Nếu có một số nguyên tố p sao cho:

(i) an không chia hết cho p;

(ii) Các hệ số còn lại chia hết cho p;

(iii) a0 không chia hết cho p2;

thì f (x) là đa thức bất khả quy trong Q[x]

Một tháp các trường là một dãy các trường K1, K2, , Kn sao cho K1 ⊂

K2 ⊂ ⊂ Kn, Ki+1 là mở rộng của Ki với i = 1, 2, , n − 1

Ví dụ 1.7 (i) Trường số phức C là một mở rộng bậc 2 của trường số thực R.(ii) Trường Q[√

2] = {a + b√

2 : a, b ∈ Q} là một mở rộng bậc 2 của trường sốhữu tỷ Q Tương tự, trường Q[i] = {a + bi : a, b ∈ Q} cũng là một mở rộng bậc

2 của Q

Định lý 1.15 Cho một tháp trường K ⊂ E ⊂ F Khi đó F là một mở rộngbậc hữu hạn của K nếu và chỉ nếu F là một mở rộng bậc hữu hạn của E và E

là một mở rộng bậc hữu hạn của K Hơn nữa, [F : K] = [F : E][E : K]

Hệ quả 1.6 Cho một tháp các trường K = K1 ⊂ K2 ⊂ ⊂ Kn = F Khi đónếuF là một mở rộng bậc hữu hạn của K thì [F : K] = [F : Kn−1] [K2 : K1]

Cho F là một trường và X ⊂ F Khi đó giao của tất cả các trường con của

F chứa X được gọi là trường con của F sinh bởi tập X Nếu F là một mở rộngcủa K và X ⊂ F thì trường con sinh bởi X ∪ K được gọi là trường con sinhbởi X tên K và ký hiệu là K(X) Trong trường hợp X là một tập hữu hạngồm n phần tử u1, u2, , un thì ta viết K(X) = K(u1, u2, , un) Trường

K(u1, u2, , un) được gọi là một mở rộng hữu hạn sinh của K

Định lý 1.16 Giả sử F là một mở rộng của K và X ⊂ F Khi đó trường

K(X) gồm tất cả các phần tử có dạng:

f (u1, u2, , un)g(v1, v2, , vm),

Chú ý Với các ký hiệu như ở Định nghĩa 1.15 Khi đó

(i) KE = K(E) = E(K)

(ii) K1, K2, , Kn = K1(K2( (Kn−1(Kn))))

1.2.2 Mở rộng đơn

Định nghĩa 1.16 Giả sử F là một mở rộng của K Khi đó ta nói rằng F làmột mở rộng đơn của K nếu tồn tại một phần tử u ∈ F sao cho F = K(u),còn u được gọi là phần tử nguyên thủy của F

Ví dụ 1.8 (i) Q(√

2,√3) là một mở rộng đơn của Q vì Q(√

2,√3) = Q(√

2 cũng là một mở rộng đơn của Q vì Q(w,√3

2) =

Q(w +√3

2)

Định nghĩa 1.17 Giả sử F là một mở rộng của trường K và u ∈ F Phần tử

u được gọi là đại số trên K nếu tồn tại một đa thức bậc dương f (x) ∈ K[x] saocho f (u) = 0 Trong trường hợp u không là nghiệm của bất kỳ một đa thức bậcdương nào trên K, thì u được gọi là phần tử siêu việt trên K

Ví dụ 1.9 (i) Phần tử i ∈ C là đại số trên trường số thực R

(ii) Phần tử √

2 ∈ R là đại số trên trường số hữu tỷ Q

(iii) Với mọi a ∈ K đều là đại số trên trường K

(iv) Các số thực π, e đều là siêu việt trên trường số hữu tỷ Q

Định lý 1.17 Cho F là một mở rộng của trường K và u ∈ F là đại số trên

K Khi đó tồn tại một đa thức p(x) ∈ K[x] bất khả quy nhận u làm nghiệm.Hơn nữa, nếu u là một nghiệm của một đa thức f (x) ∈ K[x] thì f (x) chia hếtcho p(x) Đa thức p(x) được gọi là đa thức tối tiểu của u trên K Các đa thứctối tiểu của u thì liên kết với nhau

Ví dụ 1.10 (i) x2 − 2 là một đa thức tối tiểu của √

2 ∈ R trên trường số hữu

tỷ Q

(ii) x2 + 1 là một đa thức tối tiểu của i ∈C trên trường số thực R

(iii) x4 − 10x2 + 1 là đa thức tối tiểu của √

2 +√

3 ∈ R trên trường số hữu tỷ

Q

Định lý 1.18 Cho F là một mở rộng của trường K và u ∈ F là phần tử đại

số trên trường K Giả sử p(x) là một đa thức tối tiểu bậc n của u trên K Khiđó

(i) K[u] = K(u) ∼= K[x]/(p(x))

(ii) {1, u, u2, , un−1} là một cơ sở của K(u) trên trường K

(iii) [K(u) : K] = n = deg(p(x))

Ví dụ 1.11 (i) Đa thức tối tiểu của √

(ii) Đa thức tối tiểu của √

2 +√

3 trên Q là x4−10x2+ 1, [Q(√

2 +√3) : Q] = 4

K[x] → E[x] cho bởi:

f (x) = a0 + + anxn 7−→ σf (x) = σ(a0) + + σ(an)xn

cũng là một đẳng cấu Dễ thấy, nếu p(x) là một đa thức bất khả quy trong

K[x] thì σp(x) cũng là một đa thức bất khả quy trong E[x] Do đó ta có hệquả sau

Hệ quả 1.7 Cho σ : K → E là một đẳng cấu Giả sử u là một phần tử đại sốcủa một mở rộng nào đó trên K và p(x) là một đa thức tối tiểu của u trên K,giả sử v là một phần tử đại số của một mở rộng nào đó trên E và σp(x) là đathức tối tiểu của v trên K Khi đó tồn tại một đẳng cấu σ : K(u) → E(v) saocho σ(u) = v và σ(c) = σ(c) với mọi c ∈ K

Hệ quả 1.8 Giả sử F là một mở rộng của trường K và u, v ∈ F là hainghiệm của cùng một đa thức tối tiểu p(x) trên K Khi đó tồn tại một đẳngcấu τ : K(u) → K(v) sao cho τ (u) = v và τ (c) = c với mọi c ∈ K

Ví dụ 1.12 Đa thức x3−2 bất khả quy trên Q bởi tiêu chuẩn Eisenstein với p =

1.3 Mở rộng đại số

Định nghĩa 1.18 Giả sử F là một mở rộng của trường K Trường F được gọi

là một mở rộng đại số của K nếu mọi phần tử của F đều đại số trên K

Ví dụ 1.13 (i) Trường Q(√

2) là một mở rộng đại số của trường số hữu tỷ Q.(ii) Trường số phức C là một mở rộng đại số của trường số thực R

(ii) Các trường C và R không là mở rộng đại số của trường số hữu tỷ Q

Mỗi phần tử u ∈ F đại số trên K đều thuộc vào một trường mở rộng của K

có bậc hữu hạn (đó là trường K(u)) Ngược lại, nếu cho trước một trường mởrộng bậc hữu hạn của trường K thì ta có khẳng định sau:

Định lý 1.19 Cho F là một mở rộng bậc hữu hạn của trường K Khi đó F làmột mở rộng đại số của K

Chú ý Nếu F là một mở rộng của K và F chứa một phần tử siêu việt u

trên K thì F phải là một mở rộng bậc vô hạn của K Chẳng hạn C và R là các

mở rộng bậc vô hạn của Q vì chúng chứa các phần tử siêu việt e, π

Định lý 1.20 Giả sử F là một mở rộng bậc hữu hạn của trường K Khi đó F

là một mở rộng hữu hạn sinh của K

Định lý 1.21 Giả sử F = K(u1, u2, , un) là một mở rộng hữu hạn sinh củatrường K và các phần tử ui (i = 1, 2, , n) đều là đại số trên K Khi đó F làmột mở rộng đại số bậc hữu hạn của K

Ví dụ 1.14 Các phần tử √

2,√

3 là đại số trên Q nên Q(√

2,√3) là một mởrộng đại số có bậc hữu hạn của Q Ta có thể tính bậc mở rộng của Q(√

2,√3)

trên Q như sau: Xét tháp các trường Q ⊂Q(√

2) ⊂ Q(√

2)(√3) = Q(√

2,√3)

Khi đó

[Q(√

2,√3) : Q] = [Q(√

2,√3) : Q(√

2,√3) trên Q(√

2) ta cần tìm đa thức tối tiểu của √

2,√3) : Q(√

2)] = 2 Vậy [Q(√

2,√3) : Q] = 4 và {1,√3}

là một cơ sở của Q(√

2,√3) trên Q Do đó {1,√2,√

3,√6} là một cơ sở của

Hệ quả 1.10 Cho F là một mở rộng của trường K Giả sử E là tập tất cả cácphần tử của F đại số trên K Khi đó E là một trường con của F và E là một

mở rộng đại số của K

Ví dụ 1.15 F = C và K = Q trong Hệ quả 1.10 Khi đó người ta gọi tập E

là trường các số đại số Trường các số đại số là một mở rộng đại số bậc vô hạncủa trường hữu tỷ Q

1.4 Trường phân rã của đa thức Mở rộng chuẩn tắc

1.4.1 Trường phân rã của đa thức

Định nghĩa 1.19 Giả sử F là một mở rộng của trường K và f (x) ∈ K[x] làmột đa thức bậc n ≤ 1 Đa thức f (x) được gọi là chẻ ra trên F nếu nó phântích được thành tích những nhân tử tuyến tính (đa thức bậc nhất) trong F [x],nghĩa là

5) Tuy nhiên f (x)

không chẻ ra trên Q(i)

Như vậy một đa thức f (x) ∈ K[x] chẻ ra trên F thì F chứa tất cả cácnghiệm của f (x) Sau đây ta sẽ nghiên cứu một trường mở rộng nhỏ nhất chứatất cả các nghiệm của đa thức f (x) Trước hết ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.20 Cho F là một mở rộng của trường K và f (x) ∈ K[x].Trường F được gọi là một trường phân rã (hoặc trường nghiệm) của đa thức

f (x) trên K nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Đa thức f (x) chẻ ra trên F, nghĩa là

f (x) = a(x − u1)(x − u2) (x − un)

(ii) F = K(u1, u2, , un)

Ví dụ 1.17 (i) C = R(i) là trường phân rã của đa thức x2 + 1 trên trường

số thực R Tuy nhiên C không phải là trường phân rã của đa thức x2 + 1 trêntrường số hữu tỷ Q

(ii) Q(√

2) là trường phân rã của đa thức x2 − 2 trên trường số hữu tỷ Q

đa thức bất khả quy trên K Khi đó tồn tại một trường E là một mở rộng của

K làm cho p(x) có nghiệm trong E

Giả sử f (x) là một đa thức trên một trường K Khi đó tồn tại một mởrộng K(u) của K sao cho u là một nghiệm của f (x) Ta có thể viết f (x) =(x − u)(g(x)), trong đóf (x) ∈ K(u)[x] Tương tự tồn tại một mở rộng K(u)(v)

của K(u)sao cho v là một nghiệm củag(x) Rõ ràng v cũng là một nghiệm của

f (x) Tiếp tục quá trình này ta sẽ tìm được một trường phân rã F của f (x)

trên K Như vậy trường phân rã của một đa thức f (x) trên K luôn luôn tồntại Ta có thể chứng minh nhận định này bằng quy nạp theo bậc của đa thức

f (x) Điều này thể hiện ở định lý sau

Định lý 1.23 Giả sử K là một trường và đa thức f (x) ∈ K[x] có bậc n ≤ 1.Khi đó tồn tại một trường phân rã F của đa thức f (x) trên K Hơn nữa ta luôn

có [F : K] ≤ n!

Vớif (x)là một đa thức trên trường K, ta có thể xây dựng được nhiều trườngphân rã khác nhau cho f (x) trên K Vấn đề đặt ra là quan hệ giữa các trườngnày như thế nào? Để trả lời, ta có định lý sau

Định lý 1.24 Cho K và E là hai trường và σ : K → E là một đẳng cấu Giả

sử F là một trường phân rã của đa thức f (x) trên K và L là trường phân rã của

đa thức σf (x) trên E Khi đó σ được mở rộng thành một đẳng cấu σ : F → L

Hệ quả 1.11 Hai trường phân rã của cùng một đa thức f (x) ∈ K[x] thì đẳngcấu

1.4.2 Mở rộng chuẩn tắc

Định nghĩa 1.21 Cho F là một mở rộng đại số của trường K Khi đó ta nóirằng F là một mở rộng chuẩn tắc của K (hoặc chuẩn tắc trên K) nếu mọi đathức khả quy trong K[x] có một nghiệm trong F thì nó chẻ ra trên F

Nhận xét Trường F là một mở rộng của trường K nếu và chỉ nếu đa thứctối tiểu của mỗi phần tử của F chẻ ra trên F

Từ định nghĩa mở rộng chuẩn tắc, người ta có thể cho rằng, việc kiểm tra mộttrường là một mở rộng chuẩn tắc trên trường K là một việc khó khăn Nhưng

ta có định lý sau

Định lý 1.25 Giả sửF là một mỏ rộng của trường K Khi đó F là một trườngphân rã của một đa thức f (x) trên K nếu và chỉ nếu F là một mở rộng bậc hữuhạn và chuẩn tắc của K.

Ví dụ 1.18 (i) Trường Q(√

2,√3) là một mở rộng chuẩn tắc của trường các

số hữu tỷ Q vì nó là trường phân rã của đa thức (x2 − 2)(x2 − 3) trên Q

(ii) Trường Q(√3

2) chứa nghiệm thực √3

2 của đa thức x3− 2 bất khả quy trên Q

Đa thức này không chẻ ra trên Q(√3

2) vì nó có các nghiệm phức √3

2w,√3

2w2,trong đó w = (−1 + i√

3)/2 Vậy Q(√3

2) không là mở rộng chuẩn tắc của Q và

do đó nó không là trường phân rã của bất kỳ đa thức nào trong Q[x]

Hệ quả 1.12 Cho một tháp các trường K ⊂ E ⊂ F Khi đó nếu F là một mởrộng bậc hữu hạn và chuẩn tắc của K thì F là một mở rộng chuẩn tắc của E

Giả sử E là một mở rộng bậc hữu hạn của trường K Vấn đề đặt ra là cóhay không một mở rộng F của E sao cho F là một mở rộng chuẩn tắc tối tiểu(theo quan hệ bao hàm) của K hay không? Để trả lời cho câu hỏi đó ta có định

lý sau

Định lý 1.26 Giả sử E là một mở rộng bậc hữu hạn của trường K Khi đótồn tại một mở rộng F của E sao cho

(i) F là một mở rộng chuẩn tắc bậc hữu hạn của K

(ii) Nếu có một tháp các trường K ⊂ E ⊂ L ⊂ F và đồng thời L là một mởrộng chuẩn tắc của K thì L = F Khi đó trường F được gọi là một bao đóngchuẩn tắc của E trên K

Ví dụ 1.19 Lấy K = Q và E = Q(√3

2) Ta biết rằng Q(√3

2, w) với w =(−1 + i√

3)/2 là trường phân rã của x3− 2 trên Q và do đó nó là một mở rộngchuẩn tắc của Q Rõ ràng, Q(√3

1.5.1 Nghiệm bội của đa thức bất khả quy

Định nghĩa 1.22 Cho K là một trường và f (x) ∈ K[x] Một nghiệm u ∈ K

của f (x) được gọi là có bội m nếu (x − u)m là ước của f (x) nhưng (x − u)m+1

không là ước của f (x) Nếu m > 1 thì ta nói rằng u là nghiệm bội của f (x).Đặc biệt m = 2 thì u được gọi là nghiệm kép, m = 1 thì u được gọi là nghiệmđơn

Định nghĩa 1.23 Giả sử f (x) = a0 + a1x + a2x2+ + anxn là một đa thứctrên trường K Đa thức f0(x) = a1+ 2a2x + + nanxn−1 được gọi là đạo hàmhình thức của f (x)

Nếu f (x) và g(x) là hai đa thức trên trường K thì đạo hàm hình thức củatổng và tích của chúng có các tính chất sau:

(f + g)0(x) = f0(x) + g0(x);

(f g)0(x) = f0(x)g(x) + f (x)g0(x)

Định lý 1.27 Cho F là một mở rộng của K Một phần tử u ∈ F là mộtnghiệm bội của f (x) ∈ K[x] nếu và chỉ nếu u là một nghiệm chung của f (x)

1.5.2 Đa thức tách được, mở rộng tách được

Định nghĩa 1.24 Giả sử K là một trường Một đa thức f (x) ∈ K[x] bậc n

được gọi là tách được nếu f (x) có n nghiệm phân biệt trong một trường phân

rã của nó

Ví dụ 1.20 (i) Đa thức x2 + 1 ∈ Q[x] là tách được

(ii) Đa thức x2 − 2 ∈ Q[x] là tách được

(iii) Đa thức x4 − 4x2 − 5 ∈ Q[x] là tách được

Định nghĩa 1.25 Giả sử F là một mở rộng đại số của trường K Một phần

tử u ∈ F được gọi là tách được trên K nếu đa thức tối tiểu của u trên K là đathức tách được Trường F được gọi là một mở rộng tách được của K nếu mọiphần tử của u đều tách được trên K

Ví dụ 1.21 (i) Mọi mở rộng đại số của một trường có đặc số 0 đều là táchđược vì mọi đa thức bất khả quy đều tách được

Ví dụ 1.22 Trường Q(√

2,√3) là một mở rộng hữu hạn sinh và tách được của

Q Áp dụng định lý trên, ta có Q(√

2,√3) = Q(√

2 +√

3) là một mở rộng đơncủa Q và √2 +√

3 là phần tử nguyên thuỷ của mở rộng này

Định lý 1.29 (Định lý về phần tử nguyên thuỷ) Giả sử F là một mởrộng hữu hạn sinh và tách được của K Khi đó F là một mở rộng đơn của K.1.5.3 Trường hoàn chỉnh

Định nghĩa 1.26 Một trường K gọi là hoàn chỉnh nếu mọi đa thức có hệ tửtrong K đều là tách được

Định lý 1.30 Một trường có đặc số 0 là hoàn chỉnh Một trường có đặc số p

là hoàn chỉnh khi và chỉ khi mọi phần tử của K đều có căn bậc p trong K

Ví dụ 1.23 Mọi trường hữu hạn đều là trường hoàn chỉnh

D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN

Ta luôn giả sử rằng trường F là mở rộng trường của trường K

Bài 1.1 Xác định bậc của các mở rộng trường sau:

Bài 1.3 a) Chứng minh rằng mọi mở rộng bậc 2 trên Q đều đẳng cấu với

Q(√

d) với d ∈ Z là một số không chính phương

b) Chứng minh rằng mọi mở rộng bậc 2 trên R đều đẳng cấu với C

Bài 1.4 Chứng minh rằng các trường sau là mở rộng đơn trên Q:

a) Q(√

3,√5); b) Q(i,√

2); c) Q(√

2,√3

5); d) Q(i,√3

2).Bài 1.5 Chứng minh rằng các phần tử sau là đại số trên Q :

a) 3 + 5i; b) pi −√

2; c) 1 +√3

2; d) p3 2 +√

5.Bài 1.6 Giả sửulà phần tử đại số trênK Chứng minh rằngu+1vàcu(c ∈ K)

với K(x) là trường các thương của vành K[x]

Bài 1.9 Giả sử p là một số nguyên tố và [F : K] = p Chứng minh rằng nếu

u ∈ F là phần tử đại số trên K thì F = K(u) hoặc K(u) = K

Bài 1.10 Chứng minh rằng mọi mở rộng đại số của R đều đẳng cấu với Rhoặc với C

Bài 1.11 Xét mở rộng trường F ⊂ F (x) với biến x siêu việt trên F Cho mởrộng M ⊂ F (x) với M chứa F như một trường con thực sự Chứng minhrằng M ⊂ F (x) là một mở rộng đại số

Bài 1.12 Cho F ⊂ K là một mở rộng đại số và f ∈ K[x] là một đa thức khác

0 Chứng minh rằng tồn tại g ∈ F [x] khác 0 sao cho f là ước của g.Bài 1.13 Cho E : F là một mở rộng đại số Chứng minh rằng E là bao đóngđại số của F nếu mọi đa thức f ∈ F [x] có bậc lớn hơn 0 đều phân rã trong

E

Bài 1.14 Cho K : F là một mở rộng hữu hạn với F là một trường vô hạn.Chứng minh rằng K : F là mở rộng đơn khi và chỉ khi K chỉ có hữu hạncác trường con chứa F

Bài 1.15 Xây dựng trường phân rã của các đa thức x3+2x+1vàx3+x2+x+2

trên Z3 Chúng có đẳng cấu với nhau không?

Bài 1.16 a) Cho F là trường có đặc số p và a ∈ F Chứng minh rằng nếu đathức xp− x − a khả quy trong F [x] thì phân rã trong F,

b) Với mọi số nguyên tố p, chứng minh rằng đa thức xp − x − 1 bất khảquy trên Q

Bài 1.17 Cho F là trường có đặc số 0, cho f, g ∈ F [x] và d = (f, g) Chứngminh rằng tập nghiệm của f và h = f /d là trùng nhau