ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN: Toán học

- Thiết lập các phép toán trên tập hợp và ánh xạ - Vận dụng các kiến thức về tập hợp và ánh xạ trong toán học - Tìm được các lớp tương đương, tập thương theo quan hệ tương đương.. - Tì

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂN TRÀO

KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

HỌC PHẦN: Toán học I LỚP DẠY: Đại học Tiểu học chính quy

Họ và tên giảng viên: Nguyễn Tuyết Nga

Bộ môn: Toán

1 Kiến thức: Người học cần đạt được

- Hiểu được các khái niệm về tập hợp, quan hệ, ánh xạ và biết xây dựng các ví dụ minh học cho mỗi khái niệm đó

- Nắm được định nghĩa của các phép toán trên tập hợp và ánh xạ Phát biểu

và chứng minh các tính chất của chúng

- Chứng minh các quan hệ tương đương và thứ tự Lí giải một số quan hệ thứ tự thường gặp như quan hệ “chia hết”, quan hệ “chia hết cho” trên tập hợp N*, quan hệ “bao hàm” trên một tập hợp những tập hợp, quan hệ  (nhỏ hơn hoặc bằng) theo nghĩa thông thường trên tập hợp R

2 Kỹ năng: Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng:

- Kỹ năng cơ bản về xác định tập hợp và các phép toán trên tập hợp, giải quyết các bài toán áp dụng đơn giản

- Chứng minh A = B  ABvà B A, hay    x A x B và ngược lại

- Thiết lập các phép toán trên tập hợp và ánh xạ

- Vận dụng các kiến thức về tập hợp và ánh xạ trong toán học

- Tìm được các lớp tương đương, tập thương theo quan hệ tương đương

- Tìm được các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, tối đại, tối tiểu theo quan hệ thứ tự (chủ yếu là quan hệ chia hết trên tập hợp số tự nhiên N) Biểu diễn một số quan hệ thứ tự và quan hệ thứ tự nghiêm ngặt bằng lược đồ hình tên

- Tài liệu tham khảo:

[2] Trần Diên Hiển, Nguyễn Xuân Liêm, Cơ sở lý thuyết tập hợp và logic toán, Nhà xuất bản Giáo dục & Nhà xuất bản Đại học sư phạm, 2007

+ Nội dung kiến thức cần chuẩn bị:

- Tập hợp (Khái niệm; cách xác định tập hợp; các phép toán trên tập hợp; tích Đề-Các của các tập hợp)

- Quan hệ hai ngôi (Định nghĩa; một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi; quan hệ tương đương; quan hệ thứ tự)

- Ánh xạ (định nghĩa và ví dụ; đơn ánh, toàn ánh, song ánh; tích các ánh xạ; ánh xạ ngược; ảnh và tạo ảnh)

+ Tài liệu:

- Vở ghi, giấy nháp, bút viết

- Đề cương chi tiết học phần môn học

- Đề cương bài giảng của giảng viên

- Như tài liệu của giảng viên

C Nội dung

Phần: TẬP HỢP

I Tập hợp:

1 Khái niệm: Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không được định nghĩa,

mà được hiểu một cách trực giác như sau: “Một tập hợp là một sự quần tụ các đối tượng có cùng thuộc tính nào đó"; những đối tượng này được gọi là các phần

Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp A, ta viết aA và đọc là “a thuộc A” Nếu

b không phải là phần tử của A thì ta ký hiệu bA và đọc là “b không thuộc A”

Chú ý: Tập rỗng là tập hợp không có phần tử nào, ký hiệu: 

2 Cách xác định một tập hợp:

- Phương pháp liệt kê: Một tập hợp có thể xác định bằng cách liệt kê ra hết các phần tử thuộc tập hợp đó Phương pháp này chỉ dùng đối với tập hợp hữu hạn

4

- Phương pháp chỉ ra thuộc tính đặc trưng: Một tập hợp có thể nhận biết bằng cách chỉ ra thuộc tính của đối tượng và dựa vào thuộc tính này ta có thể biết phần tử nào đó có thuộc tập hợp này hay không

- Phương pháp dùng biểu đồ Ven

3 Sự bằng nhau của hai tập hợp: Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau khi

và chỉ khi mọi phần tử của A đều là phần tử của B và ngược lại Khi đó ta viết

ii) Với mọi tập hợp A thì   A;

iii) Nếu ABvà BC thì AC (tính chất bắc cầu);

iv) Nếu AB và B A thì AB

c Tập các tập con của một tập hợp hữu hạn: Cho A là một tập hợp, ký hiệu P A( )

là tập các tập con của tập A Nếu A có n phần tử thì P(A) sẽ có 2n

phần tử

II Các phép toán trên tập hợp

1 Hợp của các tập hợp

a Định nghĩa: Cho A và B là hai tập hợp tùy ý, ta gọi tập hợp C gồm các phần tử

thuộc ít nhất một trong hai tập A, B là hợp của hai tập A, B

Ký hiệu:C A BhoặcA B { |x xA hoặc xB}

AB

A

AB

5

a Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý Ta gọi tập hợp C gồm các phần tử thuộc

cả hai tập hợp A, B là giao của hai tập hợp A, B

Ký hiệu: C  A B { |x xA v x à B}

b Định lý: Với A, B, C là các tập hợp tùy ý thì ta có các khẳng định sau:

i) Nếu BA thìA B B Với mọi tập hợp A thì A   và A A A; ii)A  B B A;

3 Hiệu của hai tập hợp

a Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý Ta gọi tập hợp C gồm các phần tử thuộc

A và không thuộc B là hiệu của tập A và tập B

Ký hiệu: C = A\B hoặc A B\  { |x xA và xB}

6

iv) Nếu ABthì với tập C bất kỳ ta có C B\ C A\

c Phần bù: NếuB Athì A\B được gọi là phần bù của B trong A, ký hiệu C B A( )

hayC B A( )   {x A x| B}

d Hiệu đối xứng của A và B, ký hiệu: A B  ( \ )A B  ( \ )B A

Biểu đồ Ven:

5 Tích Descartes của các tập hợp

a Cặp sắp thứ tự: Giả sử a và b là hai đối tượng bất kỳ, từ hai đối tượng này ta

thành lập đối tượng thứ ba ký hiệu (a; b) và gọi là cặp (a; b) Hai cặp (a; b) và

(c; d) được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi a = c và b = d Nếu ab thì cặp (a;

b) và (b; a) được coi là khác nhau

b Định nghĩa: Tích Descartes của n tập hợp A A1, 2, ,A nlà tập hợp gồm tất cả các

dãy sắp thứ tự ( ;a a1 2; ;a n)trong đó a1A a1, 2A2, ,a nA n

Ta ký hiệu tích Descartes trên là A1A2  A n Nếu A1 A2   A nthì tích

Descartes của chúng được ký hiệu là n

A

c Tích Descartes của 2 tập hợp A và B: A B = {(a, b): a A, b B}

Phần: QUAN HỆ

I Quan hệ hai ngôi

1 Định nghĩa: Cho 2 tập hợp X và Y Tập con S của tích Đề các X  Y gọi là

một quan hệ 2 ngôi trên XY Khi đó ta cũng có thể nói S là một quan hệ trên

X Y

2 Một số tính chất thường gặp của quan hệ: Giả sử S là quan hệ trên X Khi đó

S gọi là có tính chất:

i) Phản xạ: x S x với  x  X

ii) Đối xứng: Nếu x S y  y S x với  x , y  X

iii) Phản đối xứng: Nếu xSy và y S x  x = y với  x , y  X

iv) Bắc cầu: Nếu xSy và ySz  xSz với x, y, z  X

II Quan hệ tương đương Lớp tương đương Tập thương

1 Quan hệ tương đương:

\

A B

7

a Định nghĩa: Quan hệ S trên tập hợp X được gọi là quan hệ tương đương trên

X nếu nó thoả mãn đồng thời 3 tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu

b Ví dụ: Giả sử x là một số thực, kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Trên tập R các số thực, quan hệ S được định nghĩa như sau:

x, y R: xSy [x] = [y]

Khi đó S là quan hệ tương đương trên R Thật vậy:

i) Phản xạ: Rõ ràng với x R, ta luôn có [x]= [x] xSx

ii) Đối xứng: x, y R: Nếu xSy  [x]= [y] hay [y] =[x] ySx

iii) Bắc cầu:x, y, z R:Nếu xSy [x] = [y] và ySz [y] = [z]

Từ đó:[x] = [z]xSz

2 Lớp tương đương Tập thương:

a Định nghĩa: Giả sử X tập rỗng và S là một quan hệ tương trên X, với mỗi x

 X, ta kí hiệu x là tập hợp các phần tử y  X sao cho x S y Tập hợp x gọi là lớp tương đương của quan hệ S trên X có đại diện là phần tử xX Tập các lớp tương đương của quan hệ S trên X gọi là tập thương và kí hiệu là X / S

b Các tính chất cơ bản của các lớp tương đương của quan hệ S được cho trong định lí sau:

i) Với x  X, x  x

ii) Với  x1 , x2  X, x1 = x2  x1 = x2

iii) Với  x1 , x2  X, nếu x1  x2 thì x1  x2 = 

Chứng minh:

i) Vì quan hệ ~ là phản xạ nên với  x  X , x ~ x Do đó x  x

ii) Giả sử x1= x2 Theo (i) ta có x  x1 ; do đó x  x2.Vậy x1 ~ x2 Đảo lại , giả sử x1 ~ x2 Khi đó nếu x  x1 thì x ~x1 , do đó x ~ x2 vì quan hệ ~ là bắc cầu, vậy x1  x2 Tương tự ta có x2  x1.Từ đó có đpcm

iii) Chứng minh tương tự

III Quan hệ thứ tự

1 Định nghĩa: Giả sử X là một tập hợp, S là một bộ phận của X X Thế thì S được gọi là quan hệ thứ tự trên X (hay người ta còn gọi S là một quan hệ thứ tự giữa các phần tử của X) nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

- Phản xạ: xSx với x X

8

- Phản đối xứng: Nếu xSy và yS x  x = y với x, y X

- Bắc cầu: Nếu xSy và ySz  xSz với  x, y, z  X

Người ta nói tập X là tập sắp thứ tự nếu trong nó có một quan hệ thứ tự và thường kí hiệu quan hệ thứ tự là “≤” Như vậy x R y được viết là x ≤ y, đọc là x nhỏ hơn hoặc bằng y, hay y lớn hơn hoặc bằng x

Nếu ≤ là một quan hệ thứ tự trên tập hợp X thì cặp (X, ≤) gọi là một tập hợp sắp thứ tự Người ta cũng gọi X là một tập hợp sắp thứ tự khi chỉ nói tới một quan hệ thứ tự nào đó trên X

2.Ví dụ: Quan hệ hai ngôi “chia hết” trên tập hợp N* là một quan hệ thứ tự trên N* vì:

- Với mọi số nguyên dương n, ta có n / n (n chia hết n)

a Định nghĩa: Quan hệ thứ tự  trên tập hợp X gọi là toàn phần nếu với 2 phần

tử bất kì x, y của X , ta có x  y hoặc y  x Nếu tồn tại ít nhất 2 phần tử x y của

X sao cho cả 2 điều kiện x  y và y  x đều không xảy ra thì  gọi là quan hệ thứ tự bộ phận

b Ví dụ: Kí hiệu ≤ là quan hệ “chia hết” trên tập hợp N*: Với m, n nguyên dương, m ≤ n khi và chỉ khi m chia hết n Tập hợp sắp thứ tự N* không có phần

tử tối đại vì với mọi n ≤ N*, ta có n chia hết 2n và 2n ≠ n, tức là n ≤ 2n và 2n ≠

n

c Định lí: Tập hợp sắp thứ tự (X,  ) có nhiều nhất là một phần tử lớn nhất Phần tử lớn nhất là tối đại

Chú ý: Phần tử lớn nhất, hoặc nhỏ nhất ( nếu có) là duy nhất

1 Định nghĩa 1: Cho hai tập hợp X và Y Một quy tắc tương ứng f mỗi phần tử

xX với một và chỉ một phần tử yY được gọi là ánh xạ từ tập X vào tập Y Ký

4 Định nghĩa 3: Cho f và g là hai ánh xạ từ X vào Y Ánh xạ f được gọi là bằng

ánh xạ g nếu f(x) = g(x) với mọi xX

- Nếu với mọi xX đều có f x( ) a với a là một phần tử xác định của Y, thì ta nói f là một ánh xạ không đổi, hay ánh xạ hằng số

- Nếu X = Y và f x( ) x,với mọi xX thì f được gọi là ánh xạ đồng nhất của X Ký hiệu 1X

nếu mọi phần tử của tập đích chỉ có tối đa một tạo ảnh trong tập nguồn

Từ định nghĩa trên, để chứng minh f là một đơn ánh ta chứng minh:

2 Toàn ánh: Ánh xạ f X: Y được gọi là một toàn ánh nếu f(X) = Y Nói cách

khác f X: Ylà toàn ánh nếu với mọi yY đều tồn tại xX sao cho f(x) = y

b Ví dụ: Ánh xạ đồng nhất 1 :X X X là một song ánh

IV Tích các ánh xạ:

1 Định nghĩa: Cho hai ánh xạ f X: Y vàg Y: Z.Ánh xạ h: X  Z được gọi

là ánh xạ tích của hai ánh xạ f và g Ký hiệu hg f hay h = gf

Nhận xét: Theo định nghĩa ta chỉ xác định được tích gf khi tập đích của f

chứa trong tập nguồn của g

2 Định lý: Cho f X: Y, g Y: Tvà h T: U thì h(gf)=(hg)f

3 Định lý: Giả sử f X: Y vàg Y: T là hai ánh xạ và hgf X: T Khi đó:

a Nếu f, g là các đơn ánh thì h là đơn ánh;

b Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh;

c Nếu h là đơn ánh và f là toàn ánh thì g là đơn ánh;

d Nếu f, g là toàn ánh thì h là toàn ánh;

e Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh;

g Nếu h là toàn ánh và g là đơn ánh thì f là toàn ánh

4 Hệ quả: Giả sửf X: Yvàg Y: T là các song ánh thì gf cũng là song ánh

V Ánh xạ ngƣợc

1 Định nghĩa: Giả sử f X: Y và g Y: Xlà hai ánh xạ thỏa:gf  1Xvà

1Y

fg thì khi đó g được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f

2 Định lý: Ánh xạ f X: Y có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh Nếu f

là song ánh thì 1

f cũng là song ánh

3 Định lý: Ánh xạ ngược của một ánh xạ là duy nhất

4 Định lý: Nếu f E: F và g F: G là những song ánh, thì g f E: G là song ánh và   1 1 1

g f   f g

5 Thu hẹp và thác triển (hoặc mở rộng) ánh xạ:

12

a Thu hẹp ánh xạ: Cho X và Y là hai tập hợp và f X: Y là một ánh xạ, gọi A

là một tập con của X Khi đó thu hẹp của f vào A là ánh xạ ký hiệu là f |A xác định bởi:

| : ( )

A

x f x



b Thác triển (mở rộng) ánh xạ: Cho X và Y là hai tập hợp và f X: Y là một

ánh xạ, X’ là tập hợp sao cho X X' Khi đó, mở rộng của f trên X’ là ánh xạ

: '

g X Ysao cho  x X g x, ( )  f x( )

D Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận

1 Khảo sát xem các số sau đây:

4

1 : 2

13

4 Hướng dẫn sinh viên chứng minh bài tập sau: Trên tập R các số thực, cho hai

tập con X và Y của R như sau:

X = xR: 0 x 1

và Y = xR: 1  x 2

Hãy xác định các tập hợp: XY, XY, X-Y, Y-X ?

5 Trên tập hợp N các số tự nhiên, quan hệ có cùng chữ số hàng đơn vị giữa các

số là một quan hệ tương đương Thật vậy:

- Tính phản xạ: Rõ ràng với aN ta luôn có a có cùng chữ số hàng đơn

vị với a

- Tính đối xứng: Với a, b  N, nếu a có cùng chữ số hàng đơn vị với b thì b luôn có cùng chữ số hàng đơn vị với a

- Tính bắc cầu: Với  a, b, c  N, nếu a có cùng chữ số hàng đơn vị với b

và b có cùng chữ số hàng đơn vị với c thì a có cùng chữ số hàng đơn vị với c

6 Đối với quan hệ tương đương có cùng chữ số hàng đợn vị giữa các số tự nhiên, chú ý cách viết các lớp tương đương như sau:

7 Hướng dẫn sinh viên chúng minh bài tập sau: Trên tập R các số thực, quan hệ

S được định nghĩa như sau:

x, y R: xSy x = y (trị số tuyệt đối của x bằng trị số tuyệt đối của y)

Chứng minh rằng S là quan hệ tương đương trên R

8 Phân biệt rõ giữa quan hệ “chia hết” (ký hiệu “\” với quan hệ “chia hết cho” (ký hiệu ) dẫn đến các sai lầm khi xác định các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, tối đại, tối tiểu của một tập hợp với các quan hệ này

Ví dụ 1: Cho N* cùng với quan hệ thứ tự “chia hết cho” và tập hợp A = {1; 2; 5; 7; 35; 70} Tìm phần tử lớn nhất, bé nhất của A

Đã có nhiều sinh viên xác định phần tử bé nhất là 1và phần tử lớn nhất là

70 Nhưng thực ra 70 lại là phần tử bé nhất, còn 1 mới là phần tử lớn nhất Sai lầm này xảy ra do 2 nguyên nhân, thứ nhất do các em nhầm lẫn quan hệ này với quan hệ “chia hết”(với ký hiệu “\”), thứ hai là do các em chủ quan không thử lại các điều kiện của định nghĩa Ở ví dụ này các em cần xét như sau:

+ a A là phần tử nhỏ nhất nếu a chia hết cho x với x  A, vậy a = 70

14

+ a A là phần tử lớn nhất nếu x chia hết cho a với x A, vậy a = 1

Ví dụ 2: Cho tập hợp A = {2; 3; 5; 7} với quan hệ “chia hết” Tập hợp A không

có phần tử bé nhất và cũng không có phần tử lớn nhất, nhưng nó lại có 4 phần tử tối đại và 4 phần tử tối tiểu, đó là: 2; 3; 5; 7, tức là trùng vớii tập hợp A Tuy nhiên có nhiều sinh viên cho rằng tập hợp A không có phần tử tối đại, không có phần tử tối tiểu

Ví dụ 3: Cho tập hợp X = {2; 5; 8; 10; 20; 40} và quan hệ thứ tự “chia hết” Sinh viên đã tìm được phần tử tối đại là 40 và phần tử tối tiểu là 2, tuy nhiên phần tử tối tiểu ở đây còn một phần tử nữa là 5

9 Tập hợp sắp thứ tự (X, :), trong đó X là tập hợp các số nguyên lớn hơn 1 và:

là quan hệ“chia hết” trên X, không có phần tử nhỏ nhất vì với mọi n X, n không chia hết n + 1 Nhưng tập hợp sắp thứ tự này có vô số phần tử tối tiểu

10 Hướng dẫn sinh viên chúng minh bao hàm thức về ánh xạ Giả sử

( ( ))

f f A A, với mọi A X khi và chỉ khi f là đơn ánh

( ( ))

f f B B, với mọi BY khi và chỉ khi f là toà n ánh

Hướng dẫn: Dùng định nghĩa nghịch ảnh của hàm số để chứng minh các bao hàm thức

( ) ' : ' ( )

xf B   y B y  f x Nhận thấy y’ = y suy ra điều phải chứng minh

Chương I: Cơ sở lí thuyết tập hợp

Phần thứ hai : Bài tập

Số tiết: 5

A Mục tiêu

1 Kiến thức: Người học cần đạt được

- Tìm hợp, giao, hiệu, tích Đêcac của 2 tập hợp với các dạng của tập hợp

đã cho dưới dạng liệt kê, tính chất đặc trưng, sơ đồ Ven Từ đó, xây dựng các ví

dụ cụ thể cho mỗi phép toán

- Chứng minh các quan hệ tương đương và thứ tự Đặc biệt chú ý phần tử lớn nhất với phần tử tối đại, phần tử nhỏ nhất với phần tử tối tiểu

- Củng cố kiến thức về phép toán trên tập hợp

- Xác định được tích gf khi tập đích của f chứa trong tập nguồn của g

15

- Các bài tập về ánh xạ: Các loại ánh xạ, tích ánh xạ, ảnh và tạo ảnh bao

hàm thức về ánh xạ, tức là A = B  A  B và B  A

2 Kỹ năng: Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng:

- Tìm hiểu bản chất dấu tương đương trong toán học

- Áp dụng định nghĩa về tập con để chứng minh các bao hàm thức

- Tìm ảnh, tạo ảnh của phần tử qua ánh xạ

- Chứng minh ánh xạ là ánh xạ ngược trên cơ sở tích ánh xạ

- Tìm được các lớp tương đương, tập thương theo quan hệ tương đương Tìm được các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, tối đại, tối tiểu theo quan hệ thứ tự (chủ yếu là quan hệ chia hết trên tập hợp số tự nhiên N)

3 Thái độ:

- Nghiêm túc trong học tập và tự nghiên cứu

- Chủ động trong khai thác các bài toán để có thể áp dung trong dạy học toán ở bậc Tiểu học

- Trao đổi tích cực trong nhóm học tập về các nội dung nói trên

- Chủ động tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của các phép về tập hợp trong việc dạy học toán

- Cẩn thận và kiên trì trong giải toán

- Tài liệu tham khảo:

[2] Trần Diên Hiển, Nguyễn Xuân Liêm, Cơ sở lý thuyết tập hợp và logic toán, Nhà xuất bản Giáo dục & Nhà xuất bản Đại học sư phạm, 2007

[3] Phan Hữu Chân- Nguyễn Tiến Tài, Tập hợp và logic Số học, Nhà xuất bản Giáo dục, 1999

[4] Hoàng Xuân Sính, Tập hợp và lôgíc, Nhà xuất bản Giáo dục, 1999

2 Người học:

+ Nội dung kiến thức cần chuẩn bị:

- Các phép toán trên tập hợp; tích Đề-Các của các tập hợp Chú ý về tập hợp rỗng (Tập hợp chữ m trong cum từ Đại học Giáo dục Tiểu học; tập hợp các nghiệm thực của phương trình x2

+ 3 = 0, ) Lưu ý giữa tập hợp vô hạn và tập hợp hữu hạn

16

- Kiểm tra tính phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu của quan hệ

- Cách chứng minh một ánh xạ là đơn ánh, toàn ánh, song ánh; cách tìm tích các ánh xạ; ánh xạ ngược; ảnh và tạo ảnh)

+ Tài liệu:

- Vở ghi, giấy nháp, bút viết

- Đề cương chi tiết học phần môn học

- Đề cương bài giảng của giảng viên

- Như tài liệu của giảng viên

- Các bài tập đã được giảng viên giao về chuẩn bị

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

2 Chứng minh với mọi tập A, B, C ta luôn có:

4 Trong tập N N xác định quan hệ hai ngôi R như sau:

 (a b)  (c d) N N : (a b) R (c d)  a + d = b + c Chứng minh rằng

R là quan hệ tương đương

Do đó R là quan hệ tương đương

5 Cho F là tập hợp các hàm số thực liên tục trên [a b] xét xem quan hệ sau trên F có là quan hệ thứ tự không:f g, F f: R g f x( ) g x( ),  x [ , ]a b

Do đó  là quan hệ thứ tự trên F

6 Trong tập các số nguyên xác định các quan hệ R và T như sau:

18

- a R b khi và chỉ khi a + b lẻ

- a T b khi và chỉ khi a + b chẵn

Hãy xét xem các quan hệ trên có những tính chất gì?

Hướng dẫn: Kiểm tra xem các quan hệ R , T có thỏa những tính chất của quan

hệ tương đương không?

7 Ký hiệu Nchỉ tập hợp số tự nhiên khác không trong tập N N xác định quan

hệ hai ngôi R như sau:

Nếu a c e đều khác 0 thì ta có adcf bcdeaf be (a b)R (e f)

Nếu trong a c e có một số bằng 0 giả sử a = 0 thì: a = 0  ad = 0

 bc = 0  c = 0  cf = 0  e = 0  af = be  (a b)R(e f) Do đó

R là quan hệ tương đương

8 Cho tập X  0 Trên tập P X( )các tập con của X xác định các quan hệ P, Q, R,

Hãy xét xem những quan hệ trên có những tính chất gì?

9 Trong các ánh xạ từ X vào Y sau, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh Trong trường hợp song ánh, hãy tìm ánh xạ ngược

(Các câu còn lại sinh viên làm tương tự)

10 Cho ánh xạ f : X  Y A và B là các tập con của X Chứng minh:

11 Cho f X: Y là ánh xạ, A và B là các tập con của X, C và D là các tập con của Y Chứng minh:

a) Lấy y f A( B)khi đó, tồn tại x A Bsao cho y f x( ) Khi đó,

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

D Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận

1 Trên tập hợp N các số tự nhiên xác định quan hệ 2 ngôi R như sau:

a, b N: a R b  a  b ( mod 5)

Chứng minh rằng R là một quan hệ 2 ngôi trên N Tìm N / R

Hướng dẫn: Trước hết ta chứng minh R là quan hệ tương đương trên N Thật vậy:

- Tính phản xạ: Rõ ràng với a N ta luôn có a  a (mod 5) tức là a R a Vậy R có tính phản xạ

- Tính đối xứng: a, b N, nếu a R b  a  b (mod 5) hay b  a (mod 5)

2 Cho tập hợp X = {1; 2; 3; 4; 5} và P = P(X) là tập hợp tất cả các tập con của

X Gọi R là quan hệ 2 ngôi trên P xác định bởi: A R B  N(A) = N(B) trong đó

N (C) là số phần tử của tập hợp C  X

a Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên P

b Tìm lớp tương đương của quan hệ R trên P, có đại diện là pt {1; 3} của P Chứng minh :

21

a Ta chứng minh R là quan hệ tương đương trên P

- Tính phản xạ: Rõ ràng A  X ta có N(A) = N(A) tức là ARA Vậy R

có tính phản xạ

- Tính đối xứng: A, B  X, nếu ARB  N(A) = N(B) hay N(B) = N(A)

 BRA Vậy R có tính‎ chất đối xứng

- Tính bắc cầu: A, B, C  X, nếu ARB  N(A) = N(B) và B R C  N(B) = N(C) hay N(A) = N(C)  ARC Vậy R có tinh‎ chất bắc cầu

Quan hệ R nói trên thoả mãn cả 3 tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu nên nó là quan hệ tương đương trên P

HD: Để chứng minh f là song ánh, ta chứng minh f là đơn ánh và là toàn ánh

y  f x  x  x   x       x R Với

5,

4

yR y   , chẳng hạn y 2, thì không tồn tạixR y,  f x( ). Vậy f

không là toàn ánh

Suy ra f không là song ánh

5 Hướng dẫn sinh viên chúng minh bao hàm thức về ánh xạ Giả sử f X: Ylà ánh xạ và AX B; Y, chứng minh:

f f B B, với mọi BY khi và chỉ khi f là toàn ánh

Hướng dẫn: Dùng định nghĩa nghịch ảnh của hàm số để chứng minh các bao hàm thức

Chương II: Cơ sở Logic Toán Phần thứ nhất: Lí thuyết

Số tiết: 10

A Mục tiêu

1 Kiến thức: Người học cần đạt được

- Kiến thức cơ bản về mệnh đề: mệnh đề mở và mệnh đề xác định; các phép toán trên mệnh đề: phép hội, phép tuyển, phép kéo theo, phép tương đương

- Định nghĩa quy tắc suy luận, khái niệm hàm mệnh đề và các phép toán trên hàm mệnh đề, công thức; luật logic

- Nắm được các đẳng thức về logic (23 đẳng thức); các quy tắc cơ bản của chứng minh toán Tiểu học

2 Kỹ năng:

- Sinh viên lấy được ví dụ minh họa về mệnh đề và hiểu bản chất các câu cảm thán, câu nghi vấn, câu hỏi không phải mệnh đề

- Kết hợp nhuần nhuyễn các phép toán trên mệnh đề

- Biết cách dùng các đẳng thức về logic để chúng minh công thức, chúng minh quy tắc suy luận bằng cách lập bảng giá trị chân lí

- Tìm giá trị chân lí của các mệnh đề được thành lập từ các phép toán

- Thành thạo trong diến giải suy luận bắc cầu và quy tắc tam đoạn luận

3 Thái độ:

- Chủ động tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của logic mệnh

đề trong việc dạy và học toán

- Nghiêm túc, cẩn thận trong giải các bài tập

- Có ý thức chuẩn bị kiến thức theo yêu cầu của giảng viên

B Chuẩn bị

1 Giảng viên:

- Tài liệu chính:

23

[1] Nguyễn Tiến Trung, Cơ sở lý thuyết tập hợp logic Toán, Nhà xuất bản Giáo

dục, 2008

- Tài liệu tham khảo:

[2] Trần Diên Hiển, Nguyễn Xuân Liêm, Cơ sở lý thuyết tập hợp và logic toán, Nhà xuất bản Giáo dục & Nhà xuất bản Đại học sư phạm, 2007

[3] Phan Hữu Chân- Nguyễn Tiến Tài, Tập hợp và logic Số học, Nhà xuất bản Giáo dục, 1999

[4] Hoàng Xuân Sính, Tập hợp và lôgíc, Nhà xuất bản Giáo dục, 1999

2 Người học:

+ Nội dung kiến thức cần chuẩn bị:

- Mệnh đề (Khái niệm; ví dụ; các loại mệnh đề; các phép toán trên mệnh đề; giá trị chân lí của mệnh đề)

- Công thức; luật logic; quy tắc suy luận; hàm mệnh đề (chú ý trong logic không có khái niệm bằng nhau mà chỉ có khái niệm tương đương logic)

- Các phép chứng minh toán học thường gặp (chứng minh trực tiếp; chứng minh phản chứng; chứng minh quy nạp)

+ Tài liệu:

- Vở ghi, giấy nháp, bút viết

- Đề cương chi tiết học phần môn học

- Đề cương bài giảng của giảng viên

- Như tài liệu của giảng viên

chân lí 1 là mệnh đề đúng, mệnh đề có giá trị chân lí 0 là mệnh đề sai

Kí hiệu: Người ta thường dùng các chữ cái a, b, c, để kí hiệu cho các mệnh đề

2 Trong thực tế có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc địa điểm khác Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng

luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai Chẳng hạn:

- Sáng nay bạn An đi học

- Trời mưa

có thể nói: "Mệnh đề là một câu khẳng định có tính chất hoặc đúng hoặc sai".

Ví dụ:

+ "Paris là thủ đô của nước Pháp" ← là mệnh đề đúng

+ "Nước Việt Nam nằm ở châu Âu" ← là mệnh đề sai

Bảng giá trị chân lí của phép phủ định

a

Ví dụ : Nếu a "Paris là thủ đô của nước Pháp" thì mệnh đề phủ định có thể

diễn đạt như sau:

"Không phải Paris là thủ đô của nước Pháp"

hoặc "Paris không phải là thủ đô của nước Pháp"

2 Phép hội: Hội của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề, đọc là a và b, kí hiệu

a  b (hoặc a.b), đúng khi cả hai mệnh đề a, b cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại

Bảng giá trị chân lí của phép hội

3 Phép tuyển: Tuyển của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề đọc là a hoặc b, kí

hiệu là a ν b, sai khi cả hai mđ cùng sai và đúng trong trường hợp còn lại

Bảng giá trị chân lí của phép tuyển

Ta đã xét năm phép toán trên các mệnh đề Như vậy, nếu có các mệnh đề

a, b, c, khi dùng các phép toán lôgic tác động vào, chúng ta sẽ nhận được những mệnh đề ngày càng phức tạp hơn Mỗi mệnh đề như thế và cả những mệnh đề xuất phát ta gọi là công thức Hay nói cách khác:

+ Mỗi mệnh đề gọi là một công thức

+ Nếu P, Q là những công thức thì , P  Q, P ν Q, P Q, P Q cũng đều là công thức

+ Mọi dãy kí hiệu khác không xác định theo quy tắc a), b) đều không phải

là công thức

Cho P và Q là hai công thức Ta nói rằng hai công thức P, Q tương đương

lôgic với nhau, kí hiệu là P ≡ Q, nếu với mọi hệ chân lí gán cho các mệnh đề có mặt trong hai công thức đó thì chúng luôn nhận giá trị chân lí như nhau

Đặc biệt, hai mệnh đề a, b gọi là tương đương lôgic, kí hiệu là a ≡ b, nếu chúng cùng đúng hoặc cùng sai

Sau đây là một số đẳng thức về logic

(22) a ν ≡ 1 (luật bài trung)

(23) a  ≡ 0 (luật mâu thuẫn)

IV Quy tắc suy luận

1 Định nghĩa: Cho A, B, C là những công thức Nếu tất cả các hệ chân lí của các biến mệnh đề có mặt trong công thức đó làm cho A, B nhận giá trị là 1 mà C nhận giá trị là 1 thì ta nói có 1 quy tắc suy luận từ các tiền A, B dẫn tới hệ quả lôgic C, kí hiệu: A,B

C 2.Ví dụ: Chứng minh rằng ta có quy tắc suy luận:

p

q q

p ,

Giải Lập bảng giá trị chân lí

28

Nhìn vào bảng giá trị chân lí ta thấy

p

q q

p ,

là quy tắc suy luận

V Hàm mệnh đề

Ta xét 2 câu nói sau:

+ "Số tự nhiên n chia hết cho 5"

+ "x + 3 > 7"

Về phương diện ngôn ngữ thì đây là một câu Nhưng câu này chưa phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào, cho nên nó chưa phải là mệnh đề Song nếu ta thay n và x bằng những giá trị cụ thể, chẳng hạn:

- Thay n = 100 ta được mệnh đề đúng: "Số 100 chia hết cho 5"

- Thay n = 101 ta được mệnh đề sai: "Số 101 chia hết cho 5"

- Thay x = 0 ta được mệnh đề sai: "0 + 3 > 7"

- Thay x = 5 ta được mệnh đề đúng: "5 + 3 > 7"

Từ các ví dụ trên ta đi đến định nghĩa: Những câu có chứa các biến mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề nhưng khi ta thay các biến đó bởi các phần tử thuộc tập xác định X thì nó trở thành mệnh đề (đúng hoặc sai), ta sẽ gọi là hàm

mệnh đề (hoặc vị từ, hàm phán đoán, mệnh đề không xác định, mệnh đề chứa

biến) Tập X gọi là miền xác định của hàm mệnh đề đó

Ta dùng kí hiệu: T(n), F(x), để chỉ các hàm mệnh đề Chẳng hạn:

Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X Nếu ta đặt thêm cụm từ

"Tồn tại sao cho " vào trước hàm mệnh đề T(x) ta được mệnh đề:

"Tồn tại sao cho T(x)"

Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là mệnh đề tồn tại Kí hiệu làx:T(x)

Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X Nếu ta đặt thêm cụm từ

"Với mọi ta có " vào trước hàm mệnh đề T(x) ta được mệnh đề:

29

b Suy luận nghe có lí: Suy luận nghe có lí (hay còn gọi là suy luận có lí)

là suy luận không theo một quy tắc suy luận tổng quát nào Nó chỉ xuất phát từ những tiền đề đúng để rút ra một kết luận Kết luận này có thể đúng mà cũng có thể sai

Trong toán học, hai kiểu suy luận nghe có lí thường sử dụng là :

- Phép quy nạp không hoàn toàn

Ví dụ : Từ các tiền đề:

- Tiền đề 1: 42 chia hết cho 3

- Tiền đề 2: 72 chia hết cho 3

- Tiền đề 3: 132 chia hết cho 3

Ta rút ra kết luận: Những số có chữ số hàng đơn vị bằng 2 thì nó chia hết cho 3 Đây là phép quy nạp không hoàn toàn Trong phép suy luận này, xuất phát từ những tiền đề đúng mà kết luận rút ra lại sai

2 Chứng minh: Trong suy luận diễn dịch, từ các tiền đề A, B ta rút ra kết luận C bằng cách vận dụng các quy tắc suy luận tổng quát Ta gọi phép suy luận dạng này là suy luận hợp lôgíc, ở đây chúng ta chỉ quan tâm đến hình thức hay cấu trúc của suy luận mà không quan tâm đến nội dung, ý nghĩa của các mệnh đề trong suy luận đó

Một phép chứng minh gồm ba phần:

Phần 1: Luận đề là mệnh đề ta phải chứng minh

Phần 2: Luận cứ là những mệnh đề mà tính đúng đắn của nó đã được khẳng định (thường là các định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó ) dùng làm tiền đề trong mỗi bước suy luận

Phần 3: Luận chứng là những quy tắc suy luận tổng quát được sử dụng trong mỗi bước suy luận của chứng minh đó

Như vậy chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết luận B là:

- Thiết lập một dãy các bước suy luận diễn dịch

Rút ra kết luận 5 = -5 Hoặc, từ hai tiền đề:

+ Nếu tổng các chữ số của một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3 + 125 có tổng các chữ số chia hết cho 3

Rút ra kết luận 125 chia hết cho 3

Trong cả hai suy luận này, rõ ràng kết luận rút ra đều sai (vì tiền đề 1 của suy luận thứ nhất và tiền đề 2 của suy luận thứ hai đều sai) Vậy chúng là suy luận hợp lôgíc nhưng không phải là một chứng minh

3 Các phương pháp chứng minh toán học thường gặp

a Phương pháp chứng minh trực tiếp: Cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp là quy tắc suy luận bắc cầu

Khi chứng minh từ tiền đề A đến kết luận B bằng phương pháp chứng minh trực tiếp, ta tiến hành theo sơ đồ sau:

31

- Áp dụng luật giản ước đối với phép nhân ta có x1 = x2 Như vậy x1 vừa

khác lại vừa bằng x2 Điều này trái với luật mâu thuẫn Vậy ta có ĐPCM

c Phương pháp chứng minh quy nạp

+ Phương pháp chứng minh quy nạp không hoàn toàn: Là phương pháp đi

từ những tiền đề đúng mà kết luận có thể đúng hoặc sai

+ Phương pháp chứng minh quy nạp toán học: Để chứng minh tính chất

T(n) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc với mọi số tự nhiên n  n0), tức là phải

chứng minh mệnh đề tổng quát  n N, T(n) (hoặc  n  n0, T(n) đúng)

4 Suy luận và chứng minh trong giải toán ở Tiểu học

a Trong dạy học mạch số học

+ Suy luận quy nạp: Tính chất giao hoán của phép cộng: khi đổi chỗ các

số hạng trong một tổng thì tổng đó không thay đổi

+ Suy diễn: Phép suy diễn được sử dụng trong các tiết luyện tập

+ Phép tương tự

b Trong dạy học mạch yếu tố hình học

+ Suy luận quy nạp: Suy luận quy nạp được sử dụng rộng rãi trong quá

trình dạy học xây dựng công thức tính chu vi, diện tích và thể tích

+ Suy diễn: Được sử dụng rộng rãi trong quá trình giải các bt về hình học

D Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận

5 Mảnh vườn nhà bạn Vi có một phần diện tích trồng 3 loại hoa: hoa hồng, hoa

lan, hoa cúc được phân chia như sau:

- 60% diện tích trồng hoa hồng

32

- 30% diện tích trồng hoa lan

- 20% diện tích trồng hoa cúc

- 15% diện tích trồng hoa hồng và hoa lan

- 5% diện tích trồng hoa lan và hoa cúc

- 2% diện tích trồng hoa hồng và hoa cúc

- 1% diện tích trồng cả 3 loại hoa trên

Hãy tính xem có bao nhiêu phần trăm diện tích trên mảnh vườn nhà Vi không trồng hoa?

Hướng dẫn: Gọi diện tích trồng hoa hồng là H, diện tích trồng hoa lan là

L, diện tích trông hoa cúc là C rồi sau đó bằng phép suy luận quen thuộc rằng diện tích trồng hoa hồng và hoa lan là (HL),…sẽ nhanh chóng tìm ra đáp số của bài toán là 11%

6 Nhà bạn An nuôi 3 con trâu: trâu đen, trâu trắng và trâu khoang Để chuẩn bị cho vụ mùa, 3 con trâu được phân đi cày ruộng từ thứ 2 đến thứ 7 theo nguyên tắc mỗi ngày không quá 2 con trâu đi cày, riêng ngày thứ 7 chỉ lấy 1 con trâu đi cày Nhà An quy định như sau:

- Nếu không lấy trâu đen đi cày thì lấy trâu trắng đi cày

- Trâu đen và trâu khoang không đồng thời cùng đi cày hoặc không đồng thời không đi cày

Hướng dẫn: Kí hiệu đ là mệnh đề “trâu đen đi cày”, t là mệnh đề “trâu trắng đi cày”, k là mệnh đề “trâu khoang đi cày” Bởi vì trong tuần ngày nào cũng phải

có trâu đi cày cho nên ít nhất 1 trong 3 con trâu phải tham gia công việc này Vì vậy, mệnh đề đ  t  k luôn luôn đúng

Cứ tiếp tục lập luận như vậy, cuối cùng sẽ tìm ra con trâu đi cày ngày thứ 7

7 Tìm hiểu phương pháp chứng minh trực tiếp:

- Nêu cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp

- Phân tích sơ đồ của phương pháp chứng minh trực tiếp

- Xây dựng ví dụ về phương pháp chứng minh trực tiếp trong: số học, hình học và đại số

8 Tìm hiểu phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn

- Nêu cơ sở của phép chứng minh quy nạp hoàn toàn

- Trình bày phương pháp chứng minh một luận đề bằng phép chứng minh quy nạp hoàn toàn

Chương II: Cơ sở Logic toán

33

Phần thứ hai: Bài tập

Số tiết: 4

A Mục tiêu

1 Kiến thức: Người học cần đạt được

- Tìm đúng giá trị chân lí của các mệnh đề có được từ các phép toán: Phép hội, phép tuyển, phép phủ định, phép kéo theo, phép tương đương

- Làm các bài tập về quy tắc suy luận, chứng minh quy nạp, chứng minh phản chứng, phủ định của hàm mệnh đề có chứa các lượng từ

- Bản chất của 23 đẳng thức về logic, luật logic

2 Kỹ năng: Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng:

- Lập bảng giá trị chân lí chứng minh quy tắc suy luận

- Trình bày các suy luận toán học một cách hợp lí

- Hiểu được phép suy diễn, suy luận hợp lí

- Chủ động tìm tòi phát hiện và khám phá các ứng dụng của lôgic mệnh

đề trong dạy và học toán

- Trao đổi tích cực trong nhóm học tập về các nội dung nói trên

- Tài liệu tham khảo:

[2] Trần Diên Hiển, Nguyễn Xuân Liêm, Cơ sở lý thuyết tập hợp và logic toán, Nhà xuất bản Giáo dục & Nhà xuất bản Đại học sư phạm, 2007

[3] Phan Hữu Chân- Nguyễn Tiến Tài, Tập hợp và logic Số học, Nhà xuất bản Giáo dục, 1999

[4] Hoàng Xuân Sính, Tập hợp và lôgíc, Nhà xuất bản Giáo dục, 1999

2 Người học:

+ Nội dung kiến thức cần chuẩn bị:

- Vở ghi, giấy nháp, bút viết

- Đề cương chi tiết học phần môn học

- Đề cương bài giảng của giảng viên

- Như tài liệu của giảng viên

d) Hôm nay là thứ năm

e) Không được đi qua

f) Bây giờ là mấy giờ?

Dùng p, q và các phép toán lôgic viết các mệnh đề dưới đây:

a) Nhiệt độ không khí dưới 00

và tuyết rơi

b) Nhiệt độ không khí dưới 00

và không có tuyết rơi

c) Nếu tuyết không rơi thì nhiệt độ không khí không dưới 00

d) Nhiệt độ không khí dưới 00 hoặc không có tuyết rơi

e) Nếu nhiệt độ không khí dưới 00

thì có tuyết rơi

f) Nhiệt độ không khí dưới 00

là điều kiện cần và đủ để có tuyết rơi

3 Chúng minh rằng ta có quy tắc suy luận:

q

q p

p, 

p, 

là quy tắc suy luận

4 Ba học sinh A, B, C gặp nhau sau giờ học Cả ba bạn đều bị dính phấn màu lên mặt Khi gặp nhau, ba bạn nhìn nhau và cùng cười Mỗi bạn đều nghĩ rằng hai bạn cười nhau, còn mặt mình không bị dính phấn màu Bỗng nhiên bạn A không cười nữa vì biết mặt mình cũng bị dính phấn Hỏi bạn đã suy luận như thếnào?

Giải: Nếu mặt bạn A không bị dính phấn thì khi bạn B cười, bạn C sẽ biết mặt mình bị dính phấn, điều tương tự khi bạn C cười Nhưng vì cả hai bạn B và

C đều cười nên bạn A suy luận thấy cả ba bạn mặt đều dính phấn, tức là mình cũng bị nên khôngcườinữa

5 Sáu đội bóng A,B,C,D,E và F tham dự một giải vô địch Dưới đây là năm khẳng định từ (a) đến (e) khác nhau về hai đội có mặt trong trận chung kết

6 Trong một ngôi đền cổ có ba vị thần giống hệt nhau Thần Thật thà luôn nói thật, thần Dối trá luôn nói dối và thần Khôn ngoan lúc nói thật lúc nói dối Có một nhà hiền triết đến thăm đền Ông đã hỏi các vị thần và nhận được câu trả lời khi hỏi thần bên trái: - Ai ngồi cạnh ngài? - Đó là thần Thật thà Ông hỏi thần ngồi giữa: - Ngài là ai? - Ta là thần Khôn ngoan Sau cùng ông hỏi thần bên phải: - Ai ngồi cạnh ngài? - Đó là thần Dối trá Nghe xong, nhà hiền triết đã xác định được các vị thần Hỏi nhà hiền triết đã suy luận như thế nào?

7 Cho 2 mệnh đề:

36

p: Tôm đã mua vé tháng xe buýt tuần này

q: Ngày mai Tôm có thể đi học bằng xe buýt

Hãy diễn tả các mệnh đề sau đây bằng các câu thông thường

a) p

b) p → q

c) p v q

d) p ↔ q

8 Chuyển các câu sau sang dạng mệnh đề:

a) Nếu người đi bộ băng qua đường thì hoặc là đèn điều khiển đang xanh hoặc là sức khỏe người đi bộ không tốt

b) Người đi xe máy không thể vượt đèn đỏ nếu anh ta thấy công an trừ khi

anh ta quá liều

9 Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100 Chứng minh rằng

luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác

Giải: Trước hết sắp xếp các đoạn đã cho theo thứ tự tăng dần của độ dài

a1, a2, , a7, và chứng minh rằng trong dãy đã xếp luôn tìm được 3 đoạn liên tiếp sao cho tổng của 2 đoạn đầu lớn hơn đoạn cuối (vì điều kiện để 3 đoạn có thể ghép thành một tam giác là tổng của 2 đoạn nhỏ hơn đoạn thứ ba)

Giả sử điều cần chứng minh là không xảy ra, nghĩa là đồng thời xảy ra các bất đẳng thức sau:

Từ giả thiết a1, a2 có giá trị lớn hơn 10, ta nhận được a3 > 20 Từ a2 >10 và

a3 > 20, ta nhận được a4 > 30 , a5 > 50, a6 > 80 và a7 > 130 Điều a7 > 130 là mâu thuẫn với giả thiết các độ dài nhỏ hơn 100 Có mâu thuẫn này là do giả sử điều cần chứng minh không xảy ra.Vậy luôn tồn tại 3 đoạn liên tiếp sao cho tổng của

2 đoạn đầu lớn hơn đoạn cuối Hay nói cách khác là 3 đoạn này có thể ghép thành một tam giác

10 Ba bạn tên Đỏ, Xanh, Vàng mặc áo màu đỏ, xanh, vàng đến một buổi dạ hội Bạn mặc áo màu xanh nói với bạn tên Vàng: "Cả ba chúng ta đều không mặc màu áo đúng với tên của mình" Hỏi màu áo của mỗi bạn đang mặc?

37

Giải: Vì bạn Vàng không mặc áo màu xanh và màu vàng nên mặc áo màu

đỏ Từ đó bạn Xanh không mặc áo màu xanh và màu đỏ nên mặc áo màu vàng Bạn Đỏ mặc áo xanh

11 Bằng phương pháp chứng minh trực tiếp chứng minh rằng :“Hình bình hành

có 2 đường chéo cắt nhau ở trung điểm mỗi đường”

Giải:

- Suy luận 1: Hình bình hành có các cặp cạnh đối song song (đn)

- Suy luận 2: Hai góc so le trong của 2 đường thẳng song song bị cắt bởi 1 cát tuyến thì bằng nhau (định lí)

- Suy luận 3: Hai đa giác có 1 cặp cạnh bằng nhau và các góc kề cạnh đó bằng nhau đôi một thì bằng nhau (định lí)

- Suy luận 4: Hai tam giác bằng nhau có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau (định lí)

- Suy luận 5: Hai tam giác có một cặp cạnh bằng nhau các cặp góc kề cạnh đó bằng nhau thì bằng nhau (định lí)

- Suy luận 6: Hai tam giác bằng nhau có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau

12 Bằng phương pháp quy nạp chứng minh rằng:

1.2 +

12.3 +…+

1n.(n+1) =

nn+1,  n  2 Giải: Với n = 2 ta có : 1

1.2 +

12.3 =

1k(k+1) =

kk+1, với k  2

Ta có: 1

1.2 +

12.3 + …+

1k(k+1) +

1(k+1)(k+2) =

kk+1 +

1(k+1)(k+2)

38

là ước của a, 1 < b < a) Từ b là ước của a mà a lại là ước của n ta suy ra b là ước của n Vậy giả sử a không phải là số nguyên tố là sai, tức là a phải là số nguyên

tố (đpcm)

D Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận

1 Từ hai mệnh đề: a = “Mỗi năm có 12 tháng” và b = “Mỗi năm có bốn mùa” ta thiết lập mệnh đề: c = “Mỗi năm có 12 tháng và bốn mùa”, hoặc từ hai mệnh đề:

a = “36 là số chẵn” và b = “36 chia hết cho 9”, ta thiết lập mệnh đề: c = “36 là số chẵn chia hết cho 9”

2 Mệnh đề “Số e lớn hơn 2 nhưng nhỏ hơn 3” là hội của hai mệnh đề a “e > 2”

và b “e < 3” Ở đây G(a) = G(b) = 1 nên G (a  b) = 1

3 “Mỗi năm có bốn mùa hoặc mỗi tuần có bảy ngày” là tuyển của hai mệnh đề a

“Mỗi năm có bốn mùa” và b “Mỗi tuần có bảy ngày” Ở đây G(a) = G(b) = 1 nên G (a v b) = 1

4 Từ 2 mệnh đề a “Mỗi năm có 12 tháng”và b “Mỗi năm có 52 tuần”

Ta thiết lập mệnh đề a v b “Mỗi năm có 12 tháng hoặc 52 tuần”

5 Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn đạt bằng nhiều hình thức phong phú Chẳng hạn:

“Bao giờ bánh đúc có xương Bấy giờ dì ghẻ mới thương con chồng”

hoặc: “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa,

Bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”

6 Ôn tập chương trinh cho thi hết học phần với những nội dung sau:

a Tập hợp:

- Chứng minh bao hàm thức về tập hợp

- Viết các tập hợp dưới dạng: Liệt kê, tính chất đặc trưng, biểu đồ Ven

- Chứng minh quan hệ tương đương Tìm các lớp tương đương, tập thương theo quan hệ tương đương

- Chứng minh quan hệ thứ tự Tìm các phần tử: lớn nhất, nhỏ nhất, tối đại, tối tiểu theo quan hệ thứ tự

- Chứng minh bao hàm thức về ánh xạ

- Tìm ảnh, tạo ảnh, tích ánh xạ, ánh xạ ngược Chứng minh các ánh xạ đặc biệt

b Logic Toán

- Các phép toán trên mệnh đề, hàm mệnh đề

- Chứng minh quy tắc suy luận, luật logic

- Giá trị chân lí của công thức

39

- Một số phép chứng minh toán học

40