6 Nếu nhân mỗi thành phần của dòng thứ i với một số c, rồi cộng vào thành phần cùng cột ở dòng thứ k thì ta ñược một ñịnh thức mới bằng ñịnh thức ñã cho.. Hệ phương trình tuyến tính gồm
Trang 1ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG
HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP A1
Trang 2- Sinh viên có thể cộng, nhân ma trận, tính ñịnh thức bằng nhiều cách khác nhau thành thạo
- Sinh viên nắm ñược và biết cách giải hệ phương trình tuyến tính, hệ Cramer
1.1 Ma trận và ñịnh thức
1.1.1 Các ñịnh nghĩa và ví dụ
a Khái niệm:
Có m x n số, ta có thể xếp thành 1 bảng chữ nhật m hàng, n cột Bảng ñó ñược gọi là một ma trận
m1
2n 22
21
1n 12
11
a
a a
a a
a
a a
ñược gọi là ma trận A cỡ m x n (m,n ∈ N, m,n ≥ 1)
Quy ước: xét ma trận thực, aij ∈ R Kí hiệu: Matmxn (R)
+ aijlà phần tử của ma trận A nằm ở giao ñiểm của hàng i, cột j
KH: [ ], (viết bằng chữ in hoa) + A là ma trận cỡ mxn có phần tử nằm ở hàng i, cột j là: aij Ta viết A= [aij]mxn
ðặc biệt: Khi m = n thi ta nói: A là ma trận vuông với m hàng, m cột (n hàng, n cột) hay còn gọi
0 0
a 0
a
a a
2n 22
1n 12
11
có tính chất: aij= 0 nếu i>j ñược gọi là ma
trận tam giác trên
+ Tương tự aij= 0 nếu i< j ñược gọi là ma trận tam giác dưới
+ Trường hợp aij= 0 nếu i ≠ j ñược gọi là ma trận chéo
+ a11= a22 = a33 = …= ann =1 thì A= I và gọi là ma trận ñơn vị Khi ñó:
Trang 32n 22
21
1n 12
11
a
a a
a a
a
a a
Mỗi phần tử aij, ñược gọi là một thành phần hay phần tử của ma trận, nó nằm ở dòng thứ i và cột thứ j Người ta thường ký hiệu ma trận bởi các chữ in hoa A, B, C, Ma trận có thể viết gọn
A = (aij)m × n Ma trận chỉ có một dòng (một cột), ñược gọi là ma trận dòng (ma trận cột) Nếu
m = n thì ma trận cấp n × n gọi là ma trận vuông cấp n Tập hợp các ma trận cấp m × n với phần
tử thực, ñược ký hiệu là Mat m × n(R) ðặc biệt nếu m = n ta thường ký hiệu Matn(R)
m1
2n 22
21
1n 12
11
a
a a
a a
a
a a
1n
m2 22
12
m1 21
11
a
a a
a a
a
a a
301
là ma trận thực cấp 2 × 3 Khi ñó ma trận chuyển vị của A là
50
21
Trang 4+ +
+
+ +
+
mn mn m2
m2 m1 m1
2n 2n 22
22 21 21
1n 1n 12
12 11 11
b a
b a b a
b a b a
b a
b a b a
m1
2n 22
21
1n 12
11
ka
ka ka
ka ka
ka
ka a
k
Như vậy nhân một ma trận với một số ta chỉ việc nhân số ñó với mọi thành phần của ma trận
Chú ý 1.1: Trong phép nhân ma trận với một số, nếu k = –1 thì kA = (–1)A, gọi là ma trận ñối
của ma trận A và thường ký hiệu là –A Như vậy –A = (–1)A
c Phép trừ: Cho hai ma trận A, B cùng cấp Ta gọi là hiệu của A và B là ma trận cùng cấp:
A + (–B) và thường ñược ký hiệu là A – B Như vậy A – B = A + (–B)
d Phép nhân các ma trận: Cho các ma trận A = (aij)m × n và B = (bjk)n × p Ma trận C = (cik)m × p , với c a b ; i 1, m , k 1, p
n 1 j
jk ij
+ Tích AB và BA chỉ tồn tại khi chúng có cấp m × n và n × m Khi tồn tại AB và
BA thì nói chung AB ≠ BA (phép nhân ma trận nói chung không giao hoán)
41
53
741
Khi ñó AB tồn tại và là ma trận vuông cấp
3, còn BA cũng tồn tại nhưng là ma trận vuông cấp 2
−+
+
−
−+
−
−+
−
+
−+
−+
49287
19129
6327
3.0)7.(
74.04.7)2.(
14.44.1)2.(
34.54.3)2.(
2150
Trang 54) A + (-A) = O
- Phép nhân 5) k(A + B) = kA + kB
3) k(AB) = (kA)B = A(kB)
4) Nếu A là ma trận vuông cấp n và I là ma trận vuông cấp n (ta gọi là ma trận ñơn vị) thì AI = IA = A
Trang 6• Cho tập hợp X ≠ ∅ Mỗi một song ánh σ : X → X, ñược gọi là một phép thế của tập X Nếu X có n phần tử thì ta có thể viết X = {1, 2, , n} Khi ñó mỗi phép thế của X thường ñược
biểu diễn dưới dạng:
σ(2)σ(1)
n
21
σ → ) Thông thường ta chỉ xét X hữu hạn, nên giả sử Xn = {1, 2, , n} với
( n > 0) Song ánh ñồng nhất ñược gọi là phép thế ñồng nhất
• Phép thế τ gọi là một chuyển trí nếu τ (i) = j ; τ (j) = i ; τ (k) = k ; ∀i, j,k∈X,
e n
n ch u
e n
σ
σˆ1
321
321
, thì sign(σ ) = 1
Các hệ quả: 1) sign(σ ) =
i,j
i j σ(i) σ(j)
−
−
2) ∀ σ , µ ∈ Sn ; sign(σ µ) = sign(σ ) sign(µ )
3) Mọi chuyển trí ñều là phép thế lẻ
Trang 7hay
nn n2
n1
2n 22
21
1n 12
11
a
a
a
a
a
a
Với cách ký hiệu này ta cũng nói mỗi aij là một thành phần (phần tử) của ñịnh thức, các
ai 1, ai 2, , ai n tạo thành dòng thứ i , các a1j , a2j, , anj tạo thành cột thứ j của ñịnh thức Hơn nữa A cũng gọi là ñịnh thức cấp n
Chú ý 1.2: Mỗi hạng tử của A là một tích gồm n thành phần với một dấu xác ñịnh, trong mỗi tích không có hai thành phần nào cùng dòng hoặc cùng cột
12 11aa
aa
dòng thứ i của D2 là: bi1, bi2, , bin, còn các dòng khác của D1, D2 là các dòng của D
41
b5a3
41
53
41
ba
41
3 −b
+
41
5a
2) Nếu dòng thứ i của ñịnh thức D có dạng: aai1, aai2, , aain thì có thể ñưa nhân tử chung a ra ngoài ñịnh thức, tức là:
Trang 8D =
nn n3
n2 n1
in i3
i2 i1
1n 13
12 11
a
a a a
aa aa aa
a a a
=
nn n3
n2 n1
in i3
i2 i1
1n 13
12 11
a
a a a
a a a
a a a a
3) Nếu ñổi chỗ hai dòng (2 cột) cho nhau thì ñịnh thức ñổi dấu
4) Nếu ñịnh thức có hai dòng (2 cột) giống nhau, thì ñịnh thức bằng không
5) Nếu ñịnh thức có hai dòng (2 cột) có các thành phần cùng cột tương ứng tỷ lệ, thì ñịnh thức
bằng không
6) Nếu nhân mỗi thành phần của dòng thứ i với một số c, rồi cộng vào thành phần cùng cột ở
dòng thứ k thì ta ñược một ñịnh thức mới bằng ñịnh thức ñã cho
Chẳng hạn: D =
974
831
152
Nhân dòng thứ hai với (–2) rồi cộng vào dòng thứ nhất ta ñược
ñịnh thức D1 =
97
4
83
1
)16(1)6(5)2(
=
974
831
151
= D ( = 52)
7) Nếu t A là ma trận chuyển vị của ma trận vuông A thì tA = A Nói cách khác ñịnh
thức không thay ñổi qua một phép chuyển vị, hay ñịnh thức không thay ñổi khi ta ñổi dòng thành cột và cột thành dòng
Chú ý 1.3: Từ tính chất này ta suy ra các tính chất nào ñã ñúng với dòng thì cũng ñúng với cột và ngược lại
1.1.5 Một số phương pháp tính ñịnh thức
• ðịnh thức con và phần bù ñại số
Cho ñịnh thức D cấp n
+ Nếu chọn r dòng: i1, i2, , ir và r cột: j1, j2, , jr ( r < n ), của ñịnh thức D, thì các thành phần nằm ở giao của r dòng và r cột ñó lập thành một ñịnh thức cấp r, ký hiệu bởi:
M , và gọi là một ñịnh thức con cấp r của ñịnh thức D
+ Nếu chọn r dòng: i1, i2, , ir và r cột: j1, j2, , jr ( r < n ), của ñịnh thức D, và xoá ñi r dòng
và r cột ấy thì các thành phần còn lại lập nên một ñịnh thức cấp n – r, ký hiệu bởi: 11 22 rr
j , , j , j i , , i , i
và gọi là ñịnh thức con bù của ñịnh thức Mij11,,ij22,, ,,ijrr trong ñịnh thức D
+ Biểu thức A ij11,,ij22,, ,,ijrr = ( − 1)i 1 + + i r + j 1 + + j r. 1 2 r
r 2 1
j ,
, j , j i ,
, i , i
M , ñược gọi là phần bù ñại
số của Mij11,, ij22,, ,,ijrr Trường hợp r = 1, ta thường viết
1
1 j i
M , Mi1j1, Ai1j1
Trang 9Ví dụ 1.5: Cho D =
7016
0140
9202
1538
−
−
− Mỗi ñịnh thức con cấp 1 của D là một phần tử của D
ðịnh thức con bù của a32 = 4 là:
7 0 6
9 2 2
1 5 8
• ðịnh lý 1.1 (Khai triển ñịnh thức theo một dòng):
Cho ñịnh D cấp n mà phần tử là ai J Với mỗi i ∈ { 1 , 2 , , n }, ta luôn luôn có:
D = ai 1Ai 1 + ai 2Ai 2 + + ai nAi n = ∑
=
n
1 j
ij
ijA
+ ai 1Ak 1 + ai 2Ak 2 + + ai nAk n = 0 , nếu k ≠ i
+ Nhờ ñịnh lý trên, ñể tính ñịnh thức cấp n ta có thể ñưa về tính ñịnh thức cấp nhỏ hơn n
• ðịnh lý 1.2 Laplace (Khai triển ñịnh thức theo r dòng):
Nếu trong ñịnh thức D cấp n ta ñã chọn ra r dòng cố ñịnh i1, i2, , ir ( r < n); M1, M2, , Ms là tất cả các ñịnh thức con cấp r của D chọn trong r dòng này và A1, A2, , As là những phần bù
0210
2316
0530
−
− Chọn hai dòng là dòng 1 và dòng 3, ñó
là:
02
1
0
05
3
0
− Từ hai dòng này ta có thể lập ñược
2 4
50
− ; M3 = 0 0
00
; M4 =
21
53
− ; M5 = 1 0
03
; M6 =
02
05
Trang 10• Một số phương pháp tính ñịnh thức:
i1 ðối với ñịnh thức cấp 3 ta có quy tắc Sarus ñể tính ñịnh thức cấp 3
i2 Khai triển ñịnh thức theo các phần tử của một dòng hoặc một cột
(ðể phép tính ñược ñơn giản ta nên khai triển theo dòng (hoặc cột) có nhiều thành phần bằng 0 hoặc là những số ñơn giản)
Ví dụ 1.7: Tính ñịnh thức D =
9204
10001
3607
0523
−
−
Nhận thấy dòng (cột) có nhiều số không
nhất là cột thứ 2, do ñó ta khai triển D theo cột 2 Vậy D = (–2)(–1)1 + 2
924
1001
367
−
= 2
92
67.)1.(
1092
36.)
i3 ðưa ñịnh thức về dạng tam giác
D = a ij với ai j = 0 nếu i < j (ñịnh thức tam giác dưới), hoặc ai j = 0 nếu i > j (ñịnh thức tam giác trên), tức là D có dạng:
D =
nn n2
n1
22 21
11
a
aa
0
0
aa
0
0a
hoặc D =
nn
2n 22
1n 12
11
a
0 0
a 0
a
a a
Khi ñó D = a11.a22 ann
Ví dụ 1.8:
200
960
97
1210
12587
4120
21
53
31
12
Trang 11D =
20
1210
12587
4120
10
65
31
12
−
−
−
Ta thấy định thức mới cĩ hai dịng thứ hai và thứ tư tỉ lện Theo tính chất 5, D = 0
i5 Phương pháp quy nạp và phương pháp truy hồi
Phương pháp truy hồi là phương pháp biểu diễn định thức cần tính qua những định thức cĩ cấp thấp hơn cĩ dạng xác định và theo một cơng thức xác định Tính định thức cấp thấp hơn ta sẽ lần lượt tính được những định thức cấp cao hơn
Ví dụ 1.10. Dùng phương pháp quy nạp, Tính định thức cấp n + 1 sau đây:
Dn =
1 1
1 1 1
a a
0 0 0
a 0 0
0 0
a a 0
0 0
0 a
a
n n
3
2 2
1 1
1 1 1
a a
0 0 0
a 0
0
0 0
a a 0
0 0
0 a
a
a a
0 0
a 0
0
a a
1 n 1 n
3
2 2
1 1
n
n
2
1 1
−
=
−
Với n = 2 thì D2 = a1a2 + a1a2 + 0 + 0 + a1a2– 0 = 3a1a2
Dự đốn Dn = (–1)n ( n + 1) a1.a2 .an Ta sẽ chứng minh dự đốn này là đúng Thật vậy với n
= 1 và n = 2 điều cần chứng là đúng Với n > 2, giả sử mệnh đề đúng với n – 1, tức là Dn - 1 = (–1)n - 1 .n.a1.a2 .an - 1 Khi đĩ:
54200
05420
00542
00054
Khai triển định thức này theo
dịng 1 ta được: D5 = 4D4 – 5.2.D3 Nhưng D2 = 6 , D3 = 4D2 – 5.(2.4 – 0.5) = 24 – 40 = –16, nên
D5 = 4D4 – 10D3 = 4(4D3 – 10D2) – 10D3 = 6D3 – 40D2
Trang 12= 6(– 16) – 40.6 = –336
i6 Tính ñịnh thức bằng máy tính bỏ túi và máy tính ñiện tử (Tham khảo)
Máy tính bỏ túi: “ CASIO fx - 570 MS ” tính ñược ñịnh thức cấp 1, 2, 3
Máy tính ñiện tử cần cài ñặt chương trình “ Mathematica 4.0 ” chẳng hạn, mới tính ñược ñịnh thức có cấp tuỳ ý
1.2 Hệ phương trình tuyến tính
1.2.1 Các khái niệm cơ bản
• ðịnh nghĩa 1.3
+ Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn là hệ có dạng:
= + + + = + + + = + + + m n mn 2 m2 1 m1 2 n 2n 2 22 1 21 1 n 1n 2 12 1 11 b x a
x a x a
b x a
x a x a b x a
x a x a (1) hay viết gọn ∑ = = = n 1 j i j ijx b i 1, m a , trong ñó x1, x2, , xn là các ẩn; aij , bi ∈ R, i = 1, m; j = 1, n Các aij gọi là các hệ số của ẩn xj còn bi gọi là hạng tử tự do Các ma trận: A = mn m2 m1 2n 22 21 1n 12 11 a
a a
a
a a a
a a và B = m mn m2 m1 2 2n 22 21 1 1n 12 11 b a
a a
b a
a a b a
a a thứ tự gọi là ma trận các hệ số của hệ và ma trận bổ xung của hệ phương trình ñã cho + ðặt X = n 2 1 x
x x ; C = m 2 1 b
b
b
là ma trận cột thì hệ (1) có dạng AX = C (2) mà ta gọi là dạng
ma trận của hệ phương trình (1)
• Hệ tương thích và hệ tương ñương
+ Ta gọi là một nghiệm của hệ phương trình (1) hoặc phương trình (2), là bộ n số thực (c1, c2, , cn) sao cho khi thay chúng vào các ẩn tương ứng x1, x2, , xn thì hai vế của các phương trình trong hệ (1) trở thành ñồng nhất thức (ñẳng thức ñúng)
+ Hệ phương trình (1) ñược gọi là có nghiệm (hệ tương thích), nếu tập nghiệm của nó là khác rỗng Ngược lại hệ gọi là vô nghiệm (tập nghiệm là tập rỗng)
+ Hai hệ phương trình của cùng n ẩn ñược gọi là tương ñương nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau
1.2.2 Hệ phương trình Crame
• ðịnh nghĩa 1.4 Hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình, n ẩn có ñịnh thức D các hệ số
của ẩn khác không, gọi là hệ Crame
• ðịnh lí và công thức. Hệ phương trình Crame:
Trang 13
= + + + = + + + = + + + n n nn 2 n2 1 n1 2 n 2n 2 22 1 21 1 n 1n 2 12 1 11 b x a
x a x a
b x a
x a x a b x a
x a x a có nghiệm duy nhất c1, c2, , cn ñược cho bởi công thức: , j 1, n D D c j j = = , trong ñó Dj là ñịnh thức thu ñược từ ñịnh thức D bằng cách thay cột thứ j bởi cột số hạng tự do b1, b2, , bn Ví dụ 1.12. Giải hệ phương trình:
= − − = − − − = + − 17 7 11 3 4 9 2 7 4 5 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x Ta có: = − − − − − = 7 11 3 1 9 2 4 5 1 D 19 36 17 0 19 4 0 9 1 0 4 5 1 ≠ = + − = − − − Vậy hệ ñã cho là hệ Crame = 1 D 17; 0; 34 7 11 17 1 9 4 4 5 7 3 2 = =− = − − − − − − D D Vậy x1 = 1; x2 = 0; x3 = –2 1.2.4 Cách giải hệ phương trình tuyến tính • Phương pháp Gauxơ (phương pháp khử dần ẩn số) + ðịnh lí 1.3 Nếu cho một hệ phương trình tuyến tính thì bằng cách: - ñổi chỗ một phương trình trong hệ ta sẽ ñược một hệ phương trình mới tương ñương với hệ ñã cho - nhân một phương trình trong hệ với một số khác không ta sẽ ñược một hệ phương trình mới tương ñương với hệ ñã cho - nhân một phương trình trong hệ với một số khác không rồi cộng vào một phương trình trong hệ ta sẽ ñược một hệ phương trình mới tương ñương với hệ ñã cho Chú ý 1.5. Ba phép biến ñổi như trên gọi là các phép biến ñổi sơ cấp + ðịnh lí 1.4 Nếu ta thực hiện trên các véc tơ dòng của ma trận bổ xung của một hệ phương trình tuyến tính những phép biến ñổi sơ cấp , thì ta sẽ ñược một hệ phương trình mới tương ñương với hệ ñã cho Chú ý 1.6 Thực chất 2 ñịnh lí trên chỉ là một Trong thực hành ta thường ñưa hệ ñã cho về dạng chéo trên ma trận bổ xung + Ví dụ 1.13 Giải hệ phương trình:
=
−
−
=
−
−
−
= +
−
17 7x 11x 3x
4 x 9x 2x
7 4x 5x x
3 2 1
3 2 1
3 2 1
Ta lập ma trận bổ xung B và biến ñổi như sau:
Trang 14B = →
−
−
−
−
−
17 4 7
7 11
3
1 9
2
4 5
1
→
−
−
−
38 18 7
19 4 0
9 1 0
4 5 1
−
−
−
−
34 18 7
17 0 0
9 1 0
4 5 1
Vậy hệ ñã cho tương ñương với hệ sau ñây:
= = − = ⇔ − = = − − = + − 1 x 0 x 2 x 34 17x 18 9x x 7 4x 5x x 1 2 3 3 3 2 3 2 1 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x1, x2, x3) = (1, 0, – 2) • Phương pháp dùng ñịnh thức Giả sử hệ phương trình tuyến tính (1) có hạngA = hạngB = r Khi ñó luôn có thể giả thiết ñịnh thức con cấp cao nhất khác không của A và B là D nằm ở góc trên bên trái (của A cũng như của B)
rr r2 r1 2r 22 21 1r 12 11 a
a a
a
a a a
a a D= + Nếu r = n, thì (1) là hệ Crame do ñó nó có nghiệm duy nhất + Nếu r < n thì (1) tương ñương với hệ: (1*)
x a
x a b x a
x a x a
x a
x a b x a
x a x a x a
x a b x a
x a x a n rn 1 r 1 rr r r rr 2 n2 1 n1 n 2n 1 r 1 2r 2 r 2r 2 22 1 21 n 1n 1 r 1 1r 1 r 1r 2 12 1 11 − = − = + + + − − − = + + + − − − = + + + + + + + + + Các ẩn xr + 1, xr + 2, , xn ñược gọi là ẩn tự do Rõ ràng mỗi nghiệm của hệ (1) cũng là một nghiệm của hệ (1*) Ngược lại mỗi véc tơ dòng của ma trận bổ xung B là tổ hợp tuyến tính của r véc tơ dòng ñầu, vì thế một nghiệm của (1*) cũng là một nghiệm của các phương trình thứ r + 1, , n của (1) do ñó cũng là nghiệm của (1) Với mỗi bộ n – r số (cr + 1, , cn) ∈ Rn – r hệ (1*) là hệ Crame nên nó có nghiệm duy nhất (x1, x2, , xr) = (c1, c2, , cr) Khi ñó (c1, c2, , cr, cr + 1, , cn) là một nghiệm của (1) Các giá trị c1, c2, , cr, phụ thuộc vào n – r tham số cr + 1, , cn Suy ra (1) có nghiệm phụ thuộc vào n – r tham số Nếu coi cr + 1, , cn nhận giá trị tuỳ ý thì nghiệm (c1, c2, , cr, cr + 1, , cn) gọi là nghiệm tổng quát, còn nếu coi cr + 1, , cn nhận giá trị cụ thể thì nghiệm (c1, c2, , cr, cr + 1, ,
cn) gọi là nghiệm riêng Ví dụ 1.14. Giải hệ phương trình sau:
−
=
− +
−
−
=
− + +
= +
−
−
= +
−
−
10 2x
x 2x 12x
9 6x 3x x x
5 4x 2x x x
1 2x x x 3x
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
Trang 15Dễ dàng thấy rằng 2 0
11
13
con cấp 3 ñều bằng không, do ñó hệ tương ñương với hệ:
=
−
− +
=
−
4 3 2
1
4 3 2
1
4x 2x 5 x x
2x x 1 x 3x
ðặt x3 = c, x4 = d thì hệ có nghiệm là x1 =
2
4 2d
4 2d c
− +
−
d c, , 2
14 10d 5c
, với c, d ∈ K và một nghiệm riêng chẳng hạn là (–1, –2, 0, 1)
Ví dụ 1.15. Giải và biện luận hệ phương trình sau:
= + +
= + +
2
a az y x
a z ay x
1 z y ax
+
+
−
2a
1)(a,2a
1,2a
1
+ Nếu a = 1, thì 3 phương trình là một và do ñó hệ tương ñương với một phương trình Hệ có nghiệm là (– c – d + 1, c, d) với c, d ∈ R
+ Nếu a = – 2, thì dễ thấy hạngA = 2 còn hạngB = 3, do ñó hệ vô nghiệm, bởi vì:
1
2121
111
2
331
032
0014
21
212
111
74
23
15
04
08
72
5710
381
Tìm ma trận X sao cho: a) A – X = B; b) 3B + 2X = A; c) 5X – 2A = 4B
1.3 Cho hai ma trận :
Trang 1615
04
B
Tìm ma trận X trong mỗi trường hợp sau ñây:
a) X = A + tB ; b) 3tB – 2X = 2A ; c) 3X + tA – 2B = O ( O là ma trận không) 1.4 Nhân các ma trận sau:
5106
53
745124
159
91
75
56
3
70
4
17
4 3 2 1
x x x
x a a a a
6 2
2 0 4
02
75
xxx
axx
aa
aax
11
111
111
011
1
101
1
110
B=
1.7 Tính các ñịnh thức :
a)
a0
00b
0a
0b0
a00
0b
0a0
b0
00a
n
222
322
2
222
2
221
c)
x
a a a
x a a
a
a x a
a
a a x
C
3 2 1
n 2
1
n 2
1
n 2
1
n n 2
1
n 2
2 1
n 2
1 1
n 2
1
b a
a a
1
a
b a a 1
a
a b a 1
a
a a
1 D
+
+ +
=
Trang 17e)
0111
1110
1101
a f)
641641
27931
8421
x x x
1.8 Chứng minh rằng
''''''
'''''''''''''''
''''''
c b a
c b a
c b a
b a a c c b
b a a c c b
b a a c c b
=++
+
++
+
++
=+
+
=+
25x -4x
3
52x2x
4 x
-
3x
2
3 2
1
3 2
1
3 2
+
=
−+
=
−
=+++
4- x-3x2x
6- x x-3x2
4-2x - x
- x3
13x2x x
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
x x x x
=
−
−
=++
−
=+
−
22x3x
2x
72xx
3x
1xx2x
123x
2x
x
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2
−
−
=
−+
−
=
−++
129x
x4xx
12x
2x2x3x
05xx2xx
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
−
−
=
−+
=++
−
−
=
−++
33x8xx4x
55x2x11x
22x2x3xx
1x4x5x2x
4 3 2 1
4 3 2
4 3 2 1
4 3 2 1
−+
−
=
−+
−+
=+
−+
−
=
−+
−+
38x5x7x2x
3x
37x5x2x3x
x
25x3x7xx
2x
1xx2xx
3x
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
=
−
−++
=
−
−++
93x3x3x4xx
82x2x2x3x2x
7xxx2x3x
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
1.11 Tìm các giá trị của tham số a, b ñể hệ có nghiệm
+
= +
+
= + +
2
a az y
x
a z ay
x
1 z y
= + +
= + +
4 z 2by x
3 z by x
4 z y ax
1.12 Tìm ñiều kiện cần và ñủ ñể hệ phương trình sau có nghiệm
=++
=++
1z
y
x
1 z
ay
x
1 z
=++
=+
+
3 2
3 2
3 2
cz
y
x
b z
by
x
a z
y
x
c c b a a
Trang 18CHƯƠNG 2
ðại số vectơ và phương pháp tọa ñộ
Số tiết: 05 (Lý thuyết: 03 tiết; bài tập: 02 tiết)
+ Một ñoạn thẳng trên ñó có quy ñịnh hai ñiểm mút ñược gọi là một véc tơ (hay ñoạn thẳng có
ñịnh hướng) ðiểm mút ñầu ñược gọi là ñiểm gốc, ñiểm mút sau ñược gọi là ñiểm ngọn của véc
tơ Kí hiệu véc tơ có gốc A, ngọn B là AB Người ta còn kí hiệu véc tơ là a, b ,
+ ðường thẳng ñi qua A, B gọi là giá của véc tơ AB
+ Một véc tơ có ñiểm gốc và ñiểm ngọn trùng nhau gọi là véc tơ - không và ñược ký hiệu là 0
+ ðộ dài của ñoạn thẳng AB cũng gọi là ñộ dài (hay mô ñun) của véc tơ AB và ñược kí hiệu
là AB Véc tơ có ñộ dài 1 gọi là véc tơ ñơn vị
+ Nếu hai giá của hai véc tơ là song song hoặc trùng nhau ta nói rằng hai véc tơ ñó là cộng tuyến hay cùng phương ðặc biệt nếu hai véc tơ AB và CD cùng phương và khi tịnh tiến véc tơ CD
sao cho C ≡ A mà B, D cùng phía ñối với A thì ta gọi hai véc tơ ñó là cùng hướng, và gọi là ngược hướng trong trường hợp ngược lại ðặc biệt hai véc tơ cùng mô ñun nhưng ngược hướng ñược gọi là hai véc tơ ñối nhau ðối của véc tơ a
ñược kí hiệu là véc tơ – a
2.2 Các phép toán trên véc tơ
2.2.1 Phép cộng
Trang 19• ðịnh nghĩa Cho a và blà hai véc tơ bất kì Khi ñó tồn tại một véc tơ c
gọi là tổng của hai véc tơ ñã cho, kí hiệu c = + a b , ñược xác ñịnh như sau: Lấy A, B, C là các ñiểm sao cho AB=
a
, BC= b
thì AC = c
Dễ thấy véc tơ c
không phụ thuộc vào vị trí của ñiểm A
Quy tắc xác ñịnh tổng hai véc tơ như trên còn gọi là quy tắc ba ñiểm Cũng có thể xác ñịnh tổng hai véc tơ theo quy tắc hình bình hành
Ta cũng có thể mở rộng ñịnh nghĩa trên cho tổng của n véc tơ a a a n
,
, , 2
A
CB
2.2.3 Phép nhân véc tơ với một số thực
• ðịnh nghĩa 2.2 Cho một véc tơ a
và một số thực k Khi ñó tồn tại một véc tơ gọi là tích của véc tơ a
và số thực k, kí hiệu là k a
ñược xác ñịnh như sau: Véc tơ k a
cùng phương với véc tơ
+ b
) = pa
+ pb
+ (p + q)a
= pa
+ qa
Trang 20
• Một số quy tắc thông dụng
+ Quy tắc ba ñiểm Với ba ñiểm A, B, C bất kì ta có: AB+ BC = AC
+ Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì: AB+ AD = AC
+ Quy tắc hiệu Với ba ñiểm O, A, B bất kì ta có: AB= OB − OA
• Chú ý 2.1 Tập hợp các véc tơ trong mặt phẳng hoặc trong không gian cùng với các phép
toán ñã ñịnh nghĩa như trên lập thành một không gian véc tơ
2.3 Hệ véc tơ ñộc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
ðịnh nghĩa 2.3.
+ Cho m véc tơ a a a m
,
,
1 và các số thực k1, k2, , km Khi ñó véc tơ α = k1a 1 + k2a 2 + + kma m ñược gọi là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ a a a m
,
,
1 và véc tơ α Nếu tồn tại các số thực k1, k2, , km sao cho
α = k1a 1 + k2a 2 + + kma m, thì ta nói rằng véc tơ α biểu thị tuyến tính ñược qua các véc
tơ a a a m
,
* ðịều kiện ñể các véc tơ ñộc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Các ñịnh lí ñưa ra dưới ñây SV tự chứng minh xem như những bài tập
• ðịnh lí 2.1 Hệ k véc tơ (k > 1) a a a k
,
,
1 là ñộc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu không tồn tại một véc tơ nào của hệ biểu thị tuyến tính ñược qua các véc tơ còn lại của hệ ñó
• ðịnh lí 2.2 ðiều kiện cần và ñủ ñể hai véc tơ phụ thuộc tuyến tính là chúng cùng phương
• Hệ quả 2.3 ðiều kiện cần và ñủ ñể hai véc tơ ñộc lập tuyến tính là chúng không cùng phương
• ðịnh nghĩa 2.4 Ba véc tơ trong không gian ñược gọi là ñồng phẳng nếu giá của chúng cùng
song song với một mặt phẳng nào ñó (hay giá của chúng nằm trên những mặt phẳng song song hoặc trùng nhau)
Trang 21Ớ Hệ quả 2.2 Cho hai véc tơ không cùng phương: e 1, e 2
Bất kì véc tơ a
nào ựồng phẳng với 2
1, e
e
cũng biểu thị tuyến tắnh ựược một cách duy nhất dưới dạng: a = x1e 1 + x2e 2
đặc biệt trong mặt phẳng 3 véc tơ bất kì nào cũng phụ thuộc tuyến tắnh
Ớ định lắ 2.3 điều kiện cần và ựủ ựể ba véc tơ phụ thuộc tuyến tắnh là chúng ựồng phẳng
Ớ Hệ quả 2.3 Cho ba véc tơ không ựồng phẳng: e 1, e 2, e 3
Bất kì véc tơ a
nào trong không gian cũng biểu thị tuyến tắnh ựược một cách duy nhất dưới dạng: a = x1e 1 + x2e 2 + x3e 3 đặc biệt trong không gian 4 véc tơ bất kì nào cũng phụ thuộc tuyến tắnh
2.4 Vectơ trong một hệ tọa ựộ
2.4.1 Hệ toạ ựộ đềcác vuông góc
định nghĩa 2.5
+ Hệ trục toạ ựộ đêcác vuông góc trong mặt phẳng gồm hai ựường thẳng vuông góc x Ox′ và
y Oy′ , trên ựó ựã chọn hai véc tơ ựơn vị e 1 = OE1, e 2 = OE2 Hai ựường thẳng ựó gọi là hai trục toạ ựộ, trục x Ox′ gọi là trục hoành còn trục y Oy′ gọi là trục tung Hai véc tơ e 1, e 2
gọi là hai véc tơ cơ sở, ựiểm O gọi là gốc toạ ựộ Hệ trục toạ ựộ này còn gọi là hệ toạ ựộ trực chuẩn hay mục tiêu trực chuẩn và còn kắ hiệu là (O, e 1, e 2
2.4.2 Các phép toán của vectơ trong mặt phẳng
đối với một mục tiêu trực chuẩn nào ựó cho hai véc tơ u = ( a1, a2) và v = ( b1, b2) Thế thì
ta có: u
.v = a1b1+ a2b2 Từ ựó suy ra:
+ Nếu u = ( b a , ), thì u 2
= a2 + b2 + Với mỗi ựiểm M, toạ ựộ của véc tơ OM cũng gọi là toạ ựộ của ựiểm M
+ Nếu u
= (a, b), v
= (c, d), thì góc ϕ tạo bởi u
và v ựược tắnh theo công thức
Trang 22cos 2 2 2 2
d c b a
bd ac
++
+
=
2.4.3 ðổi hệ toạ ñộ trực chuẩn
Xét hai mục tiêu trực chuẩn (O, e 1, e 2
2 1 2
′
=
+
′+
′
=
−
′+
′
=
−
q y d x b y
p y x a x y
d x b q
y
y x a p
x
(*)
Hệ (*) ñược gọi là công thức ñổi mục tiêu từ mục tiêu (1) sang mục tiêu (2)
2.4.4 Hệ toạ ñộ ðềcác vuông góc trong không gian
ðịnh nghĩa 2.6 Mục tiêu (O, e 1, e 2, e 3
), có các véc tơ cơ sở (e 1, e 2, e 3
) gồm những véc tơ ñơn vị và ñôi một vuông góc với nhau, tức là: e 12 = e 22 = e 32 = 1
, và
0
.2.4.5 ðổi hệ toạ ñộ trực chuẩn
Cho hai hệ toạ ñộ ñềcác vuông góc (O, e 1, e 2, e 3
Trang 23′ +
′
=
+
′ +
′ +
′
=
+
′ +
′ +
′
=
0 3 2 1
0 3 2 1
0 3 2 1
c z c y c x c z
b z b y b x b y
a z a y a x a x
3 2 1
3 2 1
c c c
b b b
a a a
Công thức (3) ñược gọi là công thức ñổi mục tiêu từ mục tiêu (1) sang mục tiêu (2), còn ma trận
A gọi là ma trận của phép biến ñổi mục tiêu (3) Do A là ma trận chuyển mục tiêu (chuyển cơ sở) nên detA ≠0 Nếu detA > 0, thì ta nói rằng hai hệ toạ ñộ (1) và (2) là cùng hướng, còn nếu detA
< 0, thì ta nói rằng hai hệ (1) và (2) là ngược hướng
2.4.6 Các phép toán của véc tơ trong không gian
+ Cho một hệ toạ ñộ (O, e 1, e 2, e 3
e
u= + + Bộ ba có thứ tự ñó (x, y, z) gọi là toạ ñộ của véc tơ u
ñối với hệ toạ ñộ (O,
= (kx, ky, kz),∀ k ∈ R
- ðộ dài véc tơ u
z y x
cos
z y x z y x
z y x
′+
′+
′+
+
′+
′+
Trang 24một trong hai véc tơ a
2.5.2 Tích có hướng của hai vectơ
+ Ta gọi là tích có hướng của hai véc tơ bất kì a b
, trong không gian là một véc tơ u
và b , tức là [a b
cơ sở (e 1, e 2, e 3
) của mục tiêu trực chuẩn (O, e 1, e 2, e 3
) (xác ñịnh chiều), ñộ dài )
, sin(
]
- [ka b
, ] = k.[a b
Trang 25- [a b
, + c
] = [a b , ] + [a
x z z y
z y
].
, [ và ñược kí hiệu
, , ) (tính chất hoán vị vòng quanh)
,
- (a a b c
, ,′
+ ) = (a b c
, , ) + (a b c
z y x
z y x
- Tính diện tích tam giác
Cho A(x1, y1, z1); B(x2, y2, z2); C(x3, y3, z3) Khi ñó diện tích S ABC của tam giác ABC ñược tính theo công thức sau ñây:
1 2 1 2 2
1 3 1 3
1 2 1 2 2
1 3 1 3
1 2 1 22
1
y y x x
y y x x x x z z
x x z z z z y y
z z y y
−
−
−
−+
−
−
−
−+
1 2 1 2
2
1
y y x x
y y x x
1 3 1 3 1 3
1 2 1 2 1 26
1),,(
6
1
z z y y x x
z z y y x x
z z y y x x AD
AC AB
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
2.1 Cho tam giác ABC và ba trung tuyến AD, BE, CF Hãy tính BC AD + CA BE + AB CF ?
Trang 262.2 Chứng minh rằng nếu A, B, C, D là bốn ñiểm bất kỳ trong không gian thì
Từ ñó suy ra a) Ba ñường cao trong tam giác ñồng quy
b) Nếu một tứ diện có hai cặp cạnh ñối vuông góc thì cặp thứ ba cũng vuông góc
2.3 Chứng minh rằng nếu A, B, C, D là bốn ñiểm bất kỳ trong không gian còn P và Q là trung ñiểm của AC và BC thì AB2+ BC2+ CD2+ DA2= AC2+ DB2+ PQ2
2.4 Xét sự ñộc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau
2.6 Cho hai vec tơ a (3, 1,5) − , b (1,2, 3) − Tìm vec tơ X
biết rằng nó vuông góc với trục Oz
Trang 27CHƯƠNG 3 Hình học giải tích trong mặt phẳng
Số tiết: 10 (Lý thuyết: 07 tiết; bài tập: 03 tiết)
*) Mục tiêu:
-
-
-
3.1 Phương trình ñường thẳng, góc, khoảng cách
3.1.1 Phương trình ñường thẳng trong hệ toạ ñộ ñềcác vuông góc
• ðịnh nghĩa 3.1 Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ ðềcác vuông góc Oxy, cho ñường thẳng
at x x
b
y y a
• Phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm
ðường thẳng AB ñi qua hai ñiểm A(x1, y1), B(x2, y2) phân biệt có phương trình là:
1 2
1 1
2
1
y y
y y x x
2 2
1
y x
y x
y x
Chú ý Nếu x1 = x2 và y1≠y2 thì phương trình AB là x = x1 Còn nếu x1≠x2, y1 = y2 thì phương trình AB là
Trang 28(3), và nó gọi là phương trình ñoạn chắn
• ðiều kiện ñể 3 ñiểm thẳng hàng
ðiều kiện cần và ñủ ñể 3 ñiểm M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3), thẳng hàng là:
0
1 1 1
3 3
2 2
1 1
=
y x
y x
y x
• Phương trình tổng quát
Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng (∆): Ax + By + C = 0, trong ñó các hệ số A, B thoả mãn A2 + B2 ≠0 (4) biểu thị một ñường thẳng trong mặt phẳng Oxy và ngược lại mỗi ñường thẳng trong mặt phẳng toạ ñộ ñều có dạng (4) Người ta gọi ñó là phương trình tổng quát của ñường thẳng trong mặt phẳng
Véc tơ n
= (A, B) ≠ 0 , chính là véc tơ pháp tuyến của ñường thẳng (∆), còn véc tơ u
= (B, – A) ≠ 0 , là véc tơ chỉ phương của ñường thẳng (∆)
Nếu C = 0, thì ñường thẳng (∆) ñi qua gốc toạ ñộ
Từ phương trình tổng quát của ñường thẳng (∆): Ax + By + C = 0, nếu B ≠0 thì (∆) là:
b kx B
C x
Trang 29Cho hai ñường thẳng (d1): A1x + B1y + C1 = 0 và (d2): A2x + B2y + C2 = 0 Khi ñó
+ (d1) // (d2) nếu
2
1 2
1 2
1
C
C B
B A
1 2
1
C
C B
B A
2 2 2
1 1 1
=
C B A
C B A
C B A
2 1
2 1
2 1 2 1
.
cos
B A B A
B B A A
+ +
1 2
1 k k
k k tg
C By Ax M
d h
+
+ +
=
∆
Trang 30
1ϕ2
ϕ
ϕ
)(∆1
)
x y
3.2 Phương trình ñường bậc hai trong hệ toạ ñộ vuông góc Dạng chính tắc
3.2.1 Khử số hạng chữ nhật
Giả sử ñối với mục tiêu trực chuẩn (O, e 1, e 2
), ñường bậc hai (S) có phương trình:
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (1)
Nếu B = 0, thì (1) không có số hạng chữ nhật xy
Nếu B ≠0, ta sẽ tìm một mục tiêu trực chuẩn mới sao cho phương trình của (S) không có số hạng chữ nhật xy Muốn vậy dùng phép ñổi mục tiêu trực chuẩn:
α α
cos sin
sin cos
y x
y
y x
x
sao cho phương trình của (S) trong hệ toạ ñộ mới O ′ x ′ y ′ là phương trình bậc hai ñối với x′và
y′không có hệ số của x ′ ′ y , tức là B ′ = 0 Nhưng ta có:
α α
α α α
α α
2
1 cos sin sin
cos cos
.
B A
C C
B B
2 2
cot α = − hay Btg α (C A)tgα B 02 − − − = Như vậy ta luôn luôn tìm ñược góc α sao cho phương trình của (S) có dạng:
A ′ x ′2 + C ′ y ′2 + 2 D ′ x ′ + 2 E ′ y ′ + F ′ = 0 (2)
Như vậy ñối với ñường bậc hai (S) ñã cho, luôn luôn chọn ñược mục tiêu trực chuẩn sao cho phương trình của (S) có dạng không chứa số hạng chữ nhật
3.2.2 Phương trình chính tắc của ñường bậc hai trong hệ trực chuẩn
Theo chứng minh trên, giả sử phương trình ñường bậc hai (S) có dạng:
D x
X = + ; = +
ta ñưa phương trình (S) về dạng: AX2 + CY2 = H Có 2 khả năng xảy ra ñối với H
Trang 31+ Nếu H ≠0, ta ñặt: a2 =
A
H và b2 =
C
H , thì tuỳ theo dấu của A, C, H, phương trình (3) có
một trong 3 dạng (I), (II), (III) sau ñây:
2 1
2 2
X
(I), (S) là ñường elíp (a > 0, b > 0)
ðặc biệt nếu a = b thì (S) là ñường tròn tâm ở gốc toạ ñộ mới, bán kính R = a và phương trình là:
X2 + Y2 = R2
2 1
2 2
X
(II), (S) là ñường elíp ảo
ðặc biệt nếu a = b thì (S) là ñường tròn ảo
2 1
2 2
X
2 2
2
= +
−
b
Y a
2 0
2 2
X
(IV), (S) là một cặp ñường thẳng cắt nhau
2 0
2 2
X
(V), (S) là một cặp ñường thẳng ảo
• Trường hợp một trong hai số A và C bằng 0, giả sử C = 0
+ Nếu A ≠0, C = 0, E ≠0, thì (S) có phương trình: Ax2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (4)
Phương trình (4) có thể viết:
222
022
2
2 2
F y E A
D x A E
F y E x A
D x
F y Y
A
D x X
22
=
−+
D x
A
D x X
thì phương trình của (S) trở thành: X2 – K = 0 (6)
Trang 32- Nếu K > 0, ta ñặt K = a2 thì (S) có phương trình: X + a = 0 và X – a = 0 (VII), (S) là cặp ñường thẳng song song
- Nếu K = 0, thì (S) có phương trình: X2 = 0 (VIII), (S) là cặp ñường thẳng trùng nhau
- Nếu K < 0, ta ñặt K = – a2 thì (S) có phương trình: X + ia = 0 và X – ia = 0 (IX), (S) là cặp ñường thẳng ảo song song
Tóm lại: Ta luôn luôn có thể chọn ñược một hệ toạ ñộ trực chuẩn thích hợp sao cho có thể ñưa phương trình của ñường bậc hai về một trong 9 dạng nói trên, gọi là các dạng phương trình chính tắc của ñường bậc hai trong hệ toạ ñộ trực chuẩn Hơn nữa có thể chứng minh ñược rằng mỗi ñường bậc hai (S) có một và chỉ một dạng phương trình chính tắc Các dạng chính tắc ñó là:
2 2
2
= +
2
= +
b
Y
a
X
(V), (S) là một cặp ñường thẳng ảo cắt nhau
6 X2 = 2pY (VI), (S) là ñường parabôn
7 X2 – a2 = 0 (VII), (S) là cặp ñường thẳng song song
8 X2 = 0 (VIII), (S) là cặp ñường thẳng trùng nhau
9 X2 + a2 = 0 (IX), (S) là cặp ñường thẳng ảo song song
Chú ý 3.1 Nếu ñặt 2
δ=AC B− , thì :
- với δ > 0, ñường bậc hai ñã cho là elíp (thực, ñiểm hay ảo)
- với δ < 0, ñường bậc hai ñã cho là hypebol hoặc cặp ñường thẳng cắt nhau
- với δ = 0, ñường bậc hai ñã cho là parabol hoặc cặp ñường thẳng song song, hoặc cặp ñường thẳng trùng nhau
Ví dụ 3.1 ðưa ñường bậc hai sau về dạng chính tắc và chỉ rõ dạng của nó:
5x2 + 8xy + 5y2 – 18x – 18y + 9 = 0
Giải
Ta có δ=AC B− 2 =5.5 4− 2 = >9 0 Do ñó ñường bậc hai này là một elíp Xét phương trình: Btg α (C A)tgα B 02 − − − = , hay 4tg α 4 02 − = Chọn α = 450và dùng công thức ñổi hệ toạ ñộ:
Trang 333/53/5
X
Y
x'y'
Chú ý các giao ñiểm với các trục toạ ñộ Oxy ban ñầu là (3/5; 0), (3; 0), (0; 3/5), (0; 3) Tâm của elíp là ñiểm I(1; 1)
3.3 Tâm và tiếp tuyến của ñường bậc hai
3.3.1 Giao của ñường bậc hai và ñường thẳng
Trong mặt phẳng với mục tiêu trực chuẩn (O, e 1, e 2
), cho ñường bậc hai (S) có phương trình: f(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, với A2 + B2 + C2 ≠0 (1),
và cho ñường thẳng (d) có phương trình tham số: x = x0 + at, y = y0 + bt (2)
Giao ñiểm của (S) và (d) là ñiểm mà toạ ñộ của nó nghiệm ñúng cả (1) và (2) Thay (2) vào (1)
có hai nghiệm phân biệt, hoặc trùng nhau, hoặc vô nghiệm (tức chỉ có nghiệm phức)
Trang 34+ Trường hợp P = 0
- Nếu Q ≠ 0 thì phương trình (3) có nghiệm duy nhất, do ñó (d) cắt (S) tại một ñiểm duy nhất
- Nếu Q = 0, R ≠0 thì (3) vô nghiệm, do ñó ñường thẳng (d) không cắt (S)
- Nếu Q = R = 0 thì (3) vô số nghiệm, do ñó ñường thẳng (d) nằm trên (S)
Chú ý 3.2 Có thể viết (*) cho gọn như sau:
R = Ax02 + 2Bx0y0 + Cy02 + 2Dx0 + 2Ey0 + F = f(x0, y0)
Ngoài ra xem f(x, y) như hàm hai biến thì: fx′ ( x , y )= 2(Ax + By + D) và fy′ ( x , y )= 2(Cy +
Bx + E), nên 2Q = a fx′ ( x0, y0)+ b fy′ ( x0, y0)
3.3.2 Tâm của ñường bậc hai
• ðịnh nghĩa 3.2 ðiểm I ñược gọi là tâm của ñường bậc hai (S) nếu ñối với một mục tiêu trực
chuẩn nào ñó mà I là gốc, phương trình của (S) có dạng: Ax2 + 2Bxy + Cy2 + F = 0
Một ñường bậc hai gọi là có tâm nếu nó có duy nhất một tâm
Từ ñó suy ra nếu M(x, y) nằm trên (S) thì ñiểm M ′(– x, – y) cũng nằm trên (S), do ñó suy ra tâm I của ñường bậc hai (S) chính là tâm ñối xứng của nó
• Cách tìm tâm của ñường bậc hai.
Giả sử ñối với mục tiêu trực chuẩn (O, e 1, e 2
) nào ñó, ñường bậc hai (S) có phương trình: f(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, với A2 + B2 + C2 ≠0 (1)
Với ñiểm I(x0, y0) ta xét mục tiêu mới (I, e 1, e 2
) tức là dùng phép tịnh tiến mục tiêu x = x’+ x0;
y = y’+ y0 Trong mục tiêu mới này phương trình của (S) là:
A(x′+ x0)2 + 2B(x′+ x0)(y′+ y0) + C(y′+ y0)2 + 2D(x′+ x0) + 2E(y′+ y0) + F = 0 ðiểm I là tâm của (S) khi và chỉ khi trong phương trình trên hệ số của x’và y’ bằng 0, tức là:
=++
0),(
0),(0
0
y x f
y x f E
Cy Bx
D By Ax
y x
• ðiều kiện ñể ñường bậc hai có tâm
Tâm I của (S) tồn tại khi và chỉ khi hệ phương trình nói trên có nghiệm, do ñó:
B B
A = = , thì hệ vô số nghiệm, do ñó (S) có vô số tâm nằm trên một ñường thẳng
+ Nếu
E
D C
B B
A
≠
= , thì hệ vô nghiệm, do ñó (S) không có tâm
3.3.3 Tiếp tuyến của ñường bậc hai
• ðịnh nghĩa 3.3 ðường thẳng (d) ñược gọi là tiếp tuyến của ñường bậc hai (S), nếu hoặc nó cắt ñường bậc hai (S) tại hai ñiểm trùng nhau, hoặc (d) nằm trên (S) Khi ñó ñiểm chung của (d)
và (S) gọi là tiếp ñiểm
Trang 35• Phương trình tiếp tuyến
Giả sử ñối với mục tiêu trực chuẩn (O, e 1, e 2
) nào ñó, ñường bậc hai (S) có phương trình:
f(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, với A2 + B2 + C2 ≠0 (1)
Cho M0(x0, y0) thuộc (S) ðường thẳng (d) ñi qua ñiểm M0 với véc tơ chỉ phương u
Nếu hai giá trị Ax0 + By0 + D và Bx0 + Cy0 + E ñều bằng 0 (tức là M0 là tâm của (S)), thì a và
b có thể lấy tuỳ ý Khi ñó mọi ñường thẳng ñi qua M0(x0, y0) có véc tơ chỉ phương u
= (a, b)
≠ 0 , ñều là tiếp tuyến của (S)
Nếu hai giá trị Ax0 + By0 + D và Bx0 + Cy0 + E không ñồng thời bằng 0, thì ta có thể lấy a =
Bx0 + Cy0 + E và b = – (Ax0 + By0 + D)
Vậy phương trình tiếp tuyến (d) tại M0 là: a(x – x0) + b(y – y0) = 0, hay:
(Ax0 + By0 + D)(x – x0) + (Bx0 + Cy0 + E)(y – y0) = 0, hay
fx′ ( x0, y0)(x – x0) + fy′ ( x0, y0)(y – y0) = 0
3.4 Các ñường cônic
3.4.1 ðường tròn
3.4.1.1 Phương trình ñường tròn trong hệ toạ ñộ trực chuẩn
+ ðường tròn tâm I(a, b), bán kính R có phương trình:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2.(1)
+ Ngược lại trong hệ toạ ñộ trực chuẩn mọi phương trình bậc hai ñối với các biến x, y có dạng: x2 + y2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (2), trong ñó D2 + E2 – F > 0, ñều là phương trình của một ñường tròn nào ñó ðường tròn ñó có tâm là ñiểm I(– D, – E) và bán kính R = D2 +E2 −F Chú ý là nếu D2 + E2 – F < 0, ta có ñường tròn ảo, còn nếu D2 + E2 – F = 0 ta có ñường tròn ñiểm
+ Phương trình tiếp tuyến với ñường tròn (C): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0, tại ñiểm
M0(x0; y0)∈(C) là: x0x + y0y + a(x + x0) + b(y + y0) + c = 0
3.4.1.2 Phương trình ñường tròn trong hệ toạ ñộ cực
+ Nếu ñường tròn (O, R) có tâm trùng với gốc cực thì phương trình tham số của nó là:
Trang 36cos
(0 2 )sin
I
M
x y
O
x y
π ϕ
),(x y M
)0,(
2 c
F − F1(c,0)
y
xO
+ Phương trình elíp có dạng: 2 1
2 2
x
, trong ñó b2 = a2 – c2 Phương trình ñó gọi là phương trình chính tắc của elíp Elíp có tâm ñối xứng O, trục ñối xứng Ox, Oy Elíp nằm trong hình chữ nhật cơ sở:
– a ≤ x ≤ a, – b ≤ y ≤ b
+ Elíp không có phương tiệm cận, ñường kính liên hợp với phương u
= (p, q) ≠ 0 , là một ñường thẳng ñi qua gốc toạ ñộ O và có phương trình: 2 + 2 = 0
b
qy a
px
(áp dụng trực tiếp công thức)