ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN GIẢI TÍCH TOÁN HỌC 3 DÀNH CHO HỆ ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VẬT LÝ

Từ định nghĩa ta có tích phân đường loại một có các tính chấtnhư các tích phân của tích phân xác định.Tính chất 1... Tích phân đường trong không gian Nếu đường cong AB nằm trong không gi

Mục lục 2

Chương 1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 4 1.1 Đường cong trong Rn 4

1.2 Tích phân đường loại một 6

1.2.1 Định nghĩa 6

1.2.2 Tính chất 6

1.2.3 Cách tính 7

1.2.4 Tích phân đường trong không gian 9

1.3 Tích phân đường loại hai 9

1.3.1 Định nghĩa 9

1.3.2 Tính chất 10

1.3.3 Cách tính 10

1.3.4 Tích phân đường loại hai trong không gian 12 1.4 Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai 13

1.5 Công thức Green 13

Chương 2 TÍCH PHÂN MẶT 22 2.1 Khái niệm về mặt cong 22

2.2 Định hướng mặt cong 23

2.3 Tích phân mặt loại 1 25

2.3.1 Định nghĩa 25

2.3.2 Cách tính tích phân mặt loại một 26

2.4 Tích phân mặt loại 2 28

2.4.1 Định nghĩa 28

2.4.2 Cách tính tích phân mặt loại hai 29

2.4.3 Công thức Stokes 33

2.4.4 Công thức Gauss - Ostrogradski 35

Chương 3 ÁNH XẠ KHẢ VI 39 3.1 Cấu trúc không gian Banach - Mêtric trong Rn 39 3.1.1 Không gian Mêtric 39

3.1.2 Sự hội tụ trong không gian mêtric 40

3.1.3 Lân cận của một điểm 40

3.1.4 Tập hợp mở và tập hợp đóng 41

3.2 Không gian Banach 42

3.2.1 Không gian tuyến tính 42

3.2.2 Không gian tuyến tính định chuẩn 44

3.2.3 Không gian các ánh xạ tuyến tính 45

3.3 Ánh xạ khả vi 46

3.3.1 Khái niệm đạo hàm 46

3.3.2 Đạo hàm cấp cao 49

Chương 4 GIẢI TÍCH VECTƠ 57 4.1 Lý thuyết trường 57

4.1.1 Trường vô hướng 57

4.1.2 Trường véctơ 57

4.1.3 Dạng véctơ của công thức Ostrogradski 59

4.1.4 Dạng véctơ của công thức Stokes 59

4.1.5 Trường thế 60

4.2 Dạng vi phân 61

4.2.1 Khái niệm về dạng vi phân 61

4.2.2 Biểu diễn tọa độ của dạng vi phân trên Rn 61 4.2.3 Thay biến trong dạng vi phân 61

4.2.4 Vi phân ngoài dạng vi phân 62

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

Mục tiêu

- Nắm được các kiến thức cơ bản về tích phân đường để học cácmôn tiếp theo Nắm được thế nào là tích phân đường loạimột, cách tính tích phân đường loại một? Tích phân đườngloại hai, cách tính tích phân đường loại hai?

- So sánh và rút ra được mối liên hệ giữa tích phân đường loạimột và tích phân đường loại hai

- Nắm được kiến thức để có thể phân tích và giải quyết các bàitoán phức tạp hơn về tích phân đường

- Rèn luyện cho sinh viên kỹ năng tư duy, sáng tạo; kỹ năng pháthiện và giải quyết vấn đề

1.1 Đường cong trong Rn

Cho x(t), y(t) là các hàm liên tục trên đoạn [a, b] Khi đó tậpcác điểm

L = {(x(t), y(t)); t ∈ [a, b]}

gọi là một đường cong (liên tục) trong mặt phẳng Oxy

Ký hiệu A = (x(a), y(a)); B = (x(b), y(b)) Khi đó nếu t biếnthiên từ a tới b (ký hiệu t : a → b) thì A gọi là điểm đầu, B làđiểm cuối Hệ

(

x = x(t)

gọi là phương trình tham số của đường cong L Trong một sốtrường hợp, có thể cho L dưới dạng

y = y(x), x : a → b hoặc x = x(y), y : c → d

Đường cong gọi là trơn nếu các hàm x(t), y(t) có các đạo hàm liêntục không đồng thời bị triệt tiêu tại mọi t ∈ [a, b] Đường conggọi là trơn từng khúc nếu nó gồm một số hữu hạn cung trơn

Một đường cong gọi là khép kín hay đóng nếu các điểm đầu

và cuối trùng nhau Một đường cong gọi là không có điểm tự cắtnếu với mọi t1 6= t2 ∈ [a, b] đều có

(x(t1), y(t1)) 6= (x(t2), y(t2))trừ trường hợp t1 = a, t2 = b

Một đường cong không có điểm tự cắt gọi là chu tuyến

Một chu tuyến đóng, trơn từng khúc γ giới hạn một miền Dđóng, bị chặn Dγ trong mặt phẳng Oxy Miền Dγ xác định nhưvậy gọi là miền đơn liên

Nếu từ Dγ bỏ đi một số miền Dγ1, Dγ2, , Dγn−1 ⊂ Dγ thìmiền D thu được gọi là miền n−liên Ta quy ước gọi chiều dươngbiên của miền D là chiều mà đi trên biên theo chiều đó thì D nằm

Vectơ τ = (x0(t), y0(t), z0(t)) là vectơ tiếp tuyến của đường congtại điểm có tọa độ (x(t), y(t), z(t))

Giả sử L là đường cong trơn hay trơn từng khúc, có phươngtrình tham số

ds = px02(t) + y02(t) + z02(t)dtđược gọi là vi phân cung Ta có

AB thành n cung nhỏ bởi các điểm A0 =

A, A1, A2, , An = B Gọi độ dài cung Ai−1Ai là ∆si Trên cung

Ai−1Ai lấy một điểm tùy ý Mi(ζi, ηi)

Nếu khi cho n → ∞ sao cho max ∆si → 0, tổng

Độ dài cung không phụ thuộc vào hướng của cung, do đó từđịnh nghĩa ta có

Từ định nghĩa ta có tích phân đường loại một có các tính chấtnhư các tích phân của tích phân xác định.

Tính chất 1 Giả sử L là đường cong trơn hay trơn từngkhúc; f (x, y, z), g(x, y, z) là những hàm khả tích trên L

(

x = x(t)

y = y(t), a ≤ t ≤ btrong đó các hàm x(t), y(t) có đạo hàm liên tục thì

I1 =Z

2 Tính tích phân

I2 =Z

x2 + y2 = a

cos t2

L

(x2 + y2 + z2)ds

trong đó L là đường xoắn ốc có phương trình tham số

1.2.4 Tích phân đường trong không gian

Nếu đường cong AB nằm trong không gian Oxyz thì hoàntoàn tương tự trong mặt phẳng, ta cũng có tích phân đường loạimột của hàm f (x, y, z) xác định trên cung AB và có công thứctính như sau

Ai−1Ai lên hai trục Ox, Oy là ∆xi, ∆yi; Mi(ζi, ηi)

là một điểm tùy ý chọn trên cung Ai−1Ai Nếu khi n → ∞ saocho max ∆xi → 0, max ∆yi → 0, tổng

n

X

i=1

[P (ζi, ηi)∆xi + Q(ζi, ηi)∆yi]

dần tới một giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia cung

AB và cách chọn điểm Mi trên cung Ai−1Ai thì giới hạn đó được

dọc theo cung AB và được ký hiệu là

Z

_

AB

Chú ý : Khác với tích phân đường loại một, trong tích phân

đường loại hai, chiều trên đường lấy tích phân đóng vai trò quan

trọng Nếu ta đổi chiều trên đường lấy tích phân thì hình chiếu

của vectơ Ai−1Ai lên hai trục Ox, Oy đổi dấu, do đó

Giả sử các hàm số P (x, y), Q(x, y) liên tục trên cung AB Khi đó

độ của A, b là hoành độ của B, ta có

Ví dụ

1 Tính tích phân

I =Z

t ≤ 2π, chiều tăng của t ứng với chiều dương của L Ta có

dx = −a sin tdt, dy = b cos tdt, do đó



|10 = 43



|10 = 23

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t : a → bKhi đó tích phân đường loại hai của các hàm P, Q, R trêncung AB được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng và

+Q(x(t), y(t), z(t))y0(t) + R(x(t), y(t), z(t))z0(t)]dt

1.4 Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân

đường loại hai

Ký hiệu −−→

M T là tiếp tuyến với cung đường cong AB tại điểm

M (x, y) theo hướng tăng của cung

Gọi α là góc giữa trục Ox và −−→

M T , α = α(x, y) cũng là mộthàm xác định trên AB

Công thức trên vẫn còn đúng trong trường hợp (AB) là đườngcong trơn từng khúc

Dễ thiết lập được công thức tương tự cho tích phân đường lấytheo đường cong ghềnh Kết quả ta có công thức

(P cos α + Q cos β + R cos γ) ds

trong đó cos α, cos β, cos γ là các cosin chỉ phương của tiếp tuyếnvới giả thiết là hướng của nó ứng với hướng của đường cong

• Trong mục này ta sẽ xét trường hợp tích phân đường lấytheo đường cong kín, nó đóng vai trò khá quan trọng trongthực tiễn

y = ϕ1(x) và hai bên sườn bởi các đường thẳng x = a, x = b.

Ta giả thiết rằng các hàm ϕ1(x), ϕ2(x) liên tục trên [a, b].Giả sử P (x, y) là một hàm liên tục và có các đạo hàm riêngliên tục ở trong và cả trên biên của miền (D) Trong nhữngđiều kiện đó, tích phân hai lớp

Z Z

(D)

∂P

∂ydxdytồn tại và có thể biểu diễn dưới dạng

y = ϕ2(x), tích phân thứ hai là tích phân của hàm P (x, y)lấy dọc theo cung (AB) của đường cong y = ϕ1(x) Do đó

trong đó (L) là chu tuyến của miền (D)

Bây giờ ta thay đổi vai trò của x và y cho nhau và giả sửQ(x, y) là hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trongmột miền (D) mới có dạng như hình sau

Bằng lý luận và tính toán tương tự như đã làm đối với P ta

(xarctgx + y2)dx + (x + 2xy + y2e−y)dy

L là đường tròn x2 + y2 = 2y

• Công thức Green cho ta công thức tính diện tích hình phẳng

D nhờ vào tích phân đường loại hai như sau:

Lấy trong (1.8) các hàm P (x, y) = −y, Q(x, y) = x thì ∂P∂y =

−1, ∂Q∂x = 1

Suy ra: S = 12 HLxdy − ydx trong đó S là diện tích miền D

Ví dụ 1: Tính diện tích ellip với các bán trục a, b

Giải: Có thể coi ellip có phương trình xa22 + yb22 = 1 hay dạngtham số:

x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2πKhi đó ta có:

S = 1

2Z

(ab cos2t + ab sin2t)dt = πab

Ví dụ 2: Tính I = HL(xarctgx+y2)dx+(x+2xy +y2e−y3)dy;

L là biên nửa hình tròn cho bởi bất phương trình x2 + y2 ≤2y, x > 0

Giải: Đường L cho trên hình vẽ đó là biên của nửa hìnhtròn bán kính là 1 Đặt:

P = xarctgx + y2 ⇒ ∂P

∂y = 2y

Hình 1.5

Q = x + 2xy + y2e−y3 ⇒ ∂Q

∂x = 2y + 1Vậy:

C

(xarctgx + y2)dx + (x + 2xy + y2e−y3)dy

với C là nửa đường tròn bên phải đi từ gốc tọa độ đếnA(0, 2) : x2 + y2 = 2y, x ≥ 0

Giải: Gọi L là đường cong gồm nửa đường tròn C và đoạn

OA Rõ ràng:

I = J +

Z

d AO

(xarctgx + y2)dx + (x + 2xy + y2e−y3)dy

trong đó I là tích phân của ví dụ 2 ở trên Đoạn thẳng AO

BÀI TẬP

Bài 1: Tính các tích phân đường

1 RAB, AB là đoạn thẳng nối hai điểm A(0, 0), B(4, 3)

2), (a > 0)Bài 2: Tính các tích phân đường

1 RABC(x − y)2dx + (x + y)2dy, ABC là đường gấp khúc,A(0, 0), B(2, 2), C(4, 0)

2 RLydx − (y + x2)dy, L là cung parabol y = 2x − x2 nằm ởtrên trục Ox theo chiều kim đồng hồ

bằng công thức Green

1 RL(2xy − x2)dx + (x + y2)dy, L là đường kín gồm hai cungparabol y = x2 và x = y2 theo chiều dương

2 RL(2x3 − y3)dx + (x3 + y3)dy, L là đường tròn x2 + y2 = 1theo chiều dương

3 ROABO(x2 + y2)dx + (x2 − y2)dy, OABO là đường gấp khúckín với các đỉnh O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1)

Bài 4: Tính các tích phân đường

1 RABC2(x2 + y2)dx + (4y + 3)xdy, ABC là đường gấp khúcvới các đỉnh A(0, 0), B(1, 1), C(0, 2)

2 RL(xy +x+y)dx+(xy +x−y)dy, L là đường tròn x2+y2 = axtheo chiều dương (a > 0)

3 RL(xy + exsin x + x + y)dx + (xy − e−y + x − sin y)dy, L làđường tròn x2 + y2 = 2x theo chiều dương

Bài 5: Tích phân đường

x +

y

xcos

yx

dy

có phụ thuộc đường lấy tích phân không? Tính tích phân ấy từđiểm A(1, π) đến điểm B(2, π) theo một đường không cắt trụcOy

Bài 6: Tính các tích phân đường

1 RL(y2 − z2)dx + 2yzdy − x2dz, C là đường x = t, y = t2, z =

t3, (0 ≤ t ≤ 1) theo chiều tăng của tham số t

2 RLydx + zdy + xdz, L là đường đinh ốc

x = a cos t, y = a sin t, z = bt, (0 ≤ t ≤ 2π) theo chiều tăngcủa tham số

3 RL(y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz, L là đường tròn x2 +

y2 + z2 = a2, y = xtgα, theo chiều dương nếu nhìn từ hướng

x > 0

4 RLzdx+xdy +ydz, L là đường tròn x2+y2+z2 = 1, x+z = 1,theo chiều dương nếu mặt phẳng x + z = 1 được định hướngbởi vectơ pháp (1, 0, 1)

TÍCH PHÂN MẶT

Mục tiêu

- Giúp sinh viên nắm được các khái niệm cơ bản như mặt congtrong R3, định hướng mặt cong, mặt pháp tuyến, mặt tiếptuyến

- Sinh viên nắm được khái niệm về tích phân mặt loại một, tíchphân mặt loại hai và cách tính chúng

- Nắm được kiến thức để có thể phân tích và giải quyết các bàitoán phức tạp hơn về tích phân đường

- Rèn luyện cho sinh viên kỹ năng tư duy, sáng tạo; kỹ năng pháthiện và giải quyết vấn đề

Giả sử D là một tập đo được theo Jordan có phần trong

o

D 6= ∅trong mặt phẳng R2,

γ : D → R3(u, v) 7→ γ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

là một ánh xạ liên tục Ký hiệu S = γ(

o

D) ⊂ R3Tập S được gọi là một mặt cong; ánh xạ γ được gọi là một biểudiễn tham số hay là một phép tham số hóa của mặt cong S, haynói cách khác: hệ phương trình:

là hệ phương trình tham số của mặt cong S.

Mặt cong S được gọi là mặt cong trơn nếu ánh xạ: γ :

o

DMặt cong S được gọi là mặt cong trơn từng mảnh nếu miền

D có thể chia thành một số hữu hạn các miền con D1, D2, , Dk

• Mặt một phía và mặt hai phía

Giả sử S là mặt cong trơn trong R3 có phương trình thamsố:

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ Dtrong đó x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) là các hàm khả

D(x, y)D(u, v)

6= −→θ

Khi điểm M (x, y, z) biến thiên liên tục trên mặt S thì pháptuyến −→

N cũng biến thiên liên tục

Giả sử M0(x0, y0, z0) ∈ S là một đường cong kín nằm hoàntoàn trên mặt cong S, đi qua điểm M0

Hình 2.1

Cho điểm M biến thiên liên tục trên đường cong l bắt đầu

từ điểm M0 sau đó trở về điểm M0 Khi đó vecto pháp tuyến

n0(M0) = −−→n (M

0) = −−→n

0.Khả năng thứ hai xảy ra có nghĩa là khi trở về điểm M0 thìvecto pháp tuyến đổi hướng Từ đó ta đi đến phân loại cácmặt cong như sau:

Trường hợp 1: Nếu với bất kỳ điểm M0 ∈ S, với mọi đườngcong kín l nằm hoàn toàn trên mặt S, đi qua điểm M0 Chođiểm M chạy liên tục trên đường cong l bắt đầu từ điểm M0,rồi trở về điểm M0, vecto pháp tuyến −→n (M ), cũng chạy đủmột vòng, khi trở về điểm M0 thì −→

n0(M0) = −→n

0 Trong trườnghợp này ta nói mặt cong S là mặt hai phía hay là mặt địnhhướng được

Trường hợp 2:Tồn tại dù chỉ một điểm M0 ∈ S và dù chỉmột đường cong kín l0 nằm hoàn toàn trên mặt S, đi quađiểm M0, nếu cho điểm M biến thiên liên tục trên đườngcong l0 bắt đầu từ điểm M0, thì vecto pháp tuyến −→n (M )cũng biến thiên liên tục, nhưng khi trở về điểm M0, −→n (M )trở thành vecto −→

n0(M0) = −−→n

0 Trường hợp này, ta nói S

là mặt cong một phía, hay là mặt cong không định hướngđược

• Định hướng mặt cong

Giả sử S là mặt cong trơn hai phía Khi đó tại mỗi điểm Mthuộc mặt S có hai vecto pháp tuyến xác định, ngược chiềunhau Nếu ta chọn một hướng của pháp tuyến là hướng dươngthì hướng ngược lại là hướng âm Ta gọi việc chọn hướngdương của vecto pháp tuyến là chọn hướng dương của mặt

S Tại mỗi điểm có hai cách chọn hướng dương của vectopháp tuyến nên cũng có hai cách chọn hướng dương của mặthai phía

• Biểu diễn tham số phù hợp với định hướng của mặt

Cho S là mặt cong trơn, hai phía được định hướng dươngbởi pháp tuyến −→n của mặt S Ta xét biểu diễn tham số củamặt S

D(x, y)D(u, v)

phù hợpvới hướng dương của mặt S

2.3 Tích phân mặt loại 1

2.3.1 Định nghĩa

Cho một mặt cong S và một hàm số f (M ) = f (x, y, z) xácđịnh trên S Chia S thành n mảnh nhỏ Gọi tên và cả diện tíchcủa các mảnh ấy là ∆S1, ∆S2, , ∆Sn Trong mỗi mảnh ∆Si lấymột điểm tùy ý Mi(ξi, ηi, ζi)

Nếu khi n → ∞ sao cho maxdi → 0, di là đường kính của ∆Si,tổng Pni=1f (Mi).∆Si dần tới một giới hạn xác định không phụ

đó được gọi là tích phân mặt loại một của hàm số f (x, y, z) trênmặt S và được ký hiệu là

Nếu mặt S có khối lượng riêng tại M (x, y, z) là ρ(x, y, z) thìkhối lượng của mặt S bằng RRS ρ(x, y, z)dS

Tích phân mặt RRS dS cho ta diện tích của mặt S

Tích phân mặt loại một có các tính chất giống như tích phânkép

2.3.2 Cách tính tích phân mặt loại một

Giả sử mặt S được cho bởi phương trình z = z(x, y), trong

đó z(x, y) là một hàm số liên tục, có các đạo hàm riêng p =

zx0(x, y), q = zy0(x, y) liên tục trong một miền đóng giới nội D,hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy Cho hàm số f (x, y, z) liêntục trên mặt S Chia S thành n miền nhỏ ∆S1, ∆S2, , ∆Sn

Mi(ξi, ηi, z(ξi, ηi)) là một điểm tùy ý chọn trên ∆Si Gọi ∆σi làhình chiếu của ∆Si lên mặt phảng Oxy Nếu đường kính của ∆Sikhá nhỏ, có thể xấp xỉ ∆Si bởi mảnh ∆Ti của tiếp diện của mặt

S tại Mi mà hình chiếu của nó lên mặt phẳng xOy cũng là ∆σi

Do đó

∆Si =

q

1 + p2i + q2i.∆σitrong đó pi = zx0(ξi, ηi), qi = zy0(ξi, ηi) Vậy

trải trên miền D Do đó

phần tư thứ nhất Chuyển sang tọa độ cực để tính tích phân kép,

I = 2πa

6

152.4 Tích phân mặt loại 2

2.4.1 Định nghĩa

Cho mặt cong S đã định hướng

Chia mặt cong S thành n mảnh không dẫm lên nhau ∆Si, i =

1, n Ký hiệu đường kính của mảnh thứ i là di, 1, n Gọi ∆Di làhình chiếu của ∆Si lên mặt tọa độ Oxy kèm theo dấu xác địnhtheo quy tắc: S định hướng theo phía trên thì ∆Di có dấu dương,còn S định hướng theo phía dưới thì ∆Di có dấu âm, 1, n

Lấy tùy ý Mi(xi, yi, zi) ∈ ∆Si, 1, n

Lập tổng In = Pn

i=1R(xi, yi, zi)∆Di gọi là tổng tích phân mặtloại hai của hàm R(x, y, z) lấy trên mặt cong S đã định hướngứng với một cách cheia và một cách chọn Mi ∈ ∆Si, 1, n

Nếu khi n → ∞ sao cho maxdi → 0 mà In hội tụ về số I khôngphụ thuộc cách chia S và cách chọn Mi ∈ ∆Si thì số I gọi là tíchphân mặt loại hai của biểu thức R(x, y, z)dxdy trên mặt cong S

Tương tự, nếu chiếu lên các mặt phẳng Oyz, Ozx và thêm cáchàm P (x, y, z), Q(x, y, z) xác định trên S thì ta gọi:

• Tích phân mặt loại hai cũng có các tính chất như tích phânđường loại hai

2.4.2 Cách tính tích phân mặt loại hai

Định lý 2.1 Giả sử R(x, y, z) liên tục trên mặt cong định hướng

S trơn cho bởi phương trình z = z(x, y), (x, y) ∈ D Khi đó

Dấu + khi lấy tích phân mặt loại hai theo phía trên của mặt S

Dấu - khi lấy tích phân mặt loại hai theo phía dưới của S

R(x, y, z(x, y)) cos γ dxdy

|cos γ|, nếu cos γ 6= 0

Khi lấy theo phía trên của mặt S, tức là cos γ ≥ 0 thì cos γ =

phía ngoài của mặt nón x2 + y2 = z2, 0 ≤ z ≤ h (h không

đổi) Ta tìm cách chuyển tích phân này sang tích phân mặt

Hình 2.4

loại một Lấy đạo hàm hai vế phương trình z2 = x2 + y2 lần

lượt đối với x và y, ta được

2zzx0 = 2x, 2zzy0 = 2y ⇒ p = z0 =0x= x

z, q =

yz

vì mặt S đối xứng đối với các mặt phẳng x = 0, y = 0 và

hàm số dưới dấu tích phân là lẻ đối với x và y

- Nắm kiến thức để phân tích giải bàitốn phức tạp tích phân đường

- Rèn luyện cho sinh viên kỹ tư... RRS dS cho ta diện tích mặt S

Tích phân mặt loại có tính chất giống tích phânkép

2 .3. 2 Cách tính tích phân mặt loại

Giả sử mặt S cho phương trình z = z(x,... y2e−y3< /sup>)dy

trong I tích phân ví dụ Đoạn thẳng AO

BÀI TẬP

Bài 1: