ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN)

- Vận dụng các phép toán cơ bản trên đa thức trong thực hành tính toán... Các phần tử của K X [ ]cũng được gọi là đa thức hình thức... Trong thực hành tính toán P x khi biết P và x, ta

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

HỌC PHẦN ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN)

Mã số môn học: TN2216

Số tín chỉ: 02

Lý thuyết: 24 tiết Bài tập, thảo luận: 12 tiết

CHƯƠNG 1 Đại số K x [ ] và số học trong K x [ ]

Số tiết: 08 (Lý thuyết: 06 tiết; bài tập, thảo luận: 02 tiết)

A) MỤC TIÊU:

- Biết về một số khái niệm về đại số K x [ ](Phép cộng, phép nhân, luật ngoài, phép hợp đa thức; phép đạo hàm, hàm đa thức và hàm đa thức nhiều ẩn) và số học trong K x [ ](Phép chia hết; ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, đa thức nguyên tố cùng nhau, đa thức bất khả quy và phép

chia theo lũy thừa tăng)

- Hiểu được mối quan hệ giữa các khái niệm về đại số K x [ ]và số học trong K x [ ]

- Vận dụng các phép toán cơ bản trên đa thức trong thực hành tính toán

Trong thực tế thì thông thường là K = ℝ hoặc K = ℂ

1.1 Đại số K X [ ]

1.1.1 Phép cộng, phép nhân

a) Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1

1) Với mọi dãy( ) an n∈ℕ thuộc Kℕ,

ta gọi tập hợp các n thuộc ℕsao cho a ≠n 0 là giá

của ( ) an n∈ℕ

2) Đa thức (một ẩn và lấy hệ tử trong K) là dãy( ) an n∈ℕ bất kì thuộc Kℕ

có giá hữu hạn

Tập hợp các đa thức một ẩn và lấy hệ tử trong K được kí hiệu là K X [ ](hoặc K( )ℕ

)

Như thế, K X ⊂ [ ] Kℕ

và với mọi dãy ( ) an n∈ℕthuộc Kℕ

: ( ) an n∈ℕ∈ K X [ ] ⇔ ( ∃ ∈ N ℕ , ∀ ∈ n ℕ , ( n N > ⇒ an = 0 ) )

Các phần tử của K X [ ]cũng được gọi là đa thức hình thức

Ta kí hiệu 0 là dãy hằng không thuộc Kℕ

(xác định bởi: ∀ ∈ ℕ n , a =n 0), được gọi là đa thức không

Đa thức hằng là các đa thức( ) an n∈ℕthuộc K X [ ]sao cho: ∀ ≥ n 1, a =n 0

Đơn thức là các đa thức ( ) an n∈ℕthuộc K X [ ]bất kì sao cho tồn tại n ∈ ℕ0 thỏa mãn:

không thuộc K X [ ]

Định nghĩa 1.1.3 Cho P = ( ) an n∈ℕ∈ K X [ ]

1) Ta nói rằng P là chẵn khi và chỉ khi: ∀ ∈ ℕ p , a2p+1 = 0

2) Ta nói rằng P lẻ khi và chỉ khi: ∀ ∈ ℕ p , a =2p 0

deg P ≠ deg Q ⇒ deg P Q + = M ax deg P ,deg Q

2) val P Q ( + ) ≥ Min val P val Q ( ( ) , ( ) );

val P ≠ val Q ⇒ val P Q + = Min val P val Q .

Nhận xét: Theo Mệnh đề 1.1.2, nếu deg ( ) P < deg ( ) Q , thì hạng tử có bậc cao nhất của

Các mệnh đề sau đây có thể chứng minh dễ dàng

Mệnh đề 1.1.8 Cho λ ∈ K , P = ( ) an n∈ℕ∈ K X [ ].Ta kí hiệu, λ P = ( λ an n) ∈ℕvà ta có: λ ∈ P K X [ ]

Mệnh đề 1.1.9.∀ ∈ λ K − { } 0 , ∀ P ∈ K X [ ], ( ) ( )

deg P deg P val P val P

λ λ

∀ n ∈ ℕ∗, X =n ( 0, ,0,1,0, ,0, )trong đó 1 ở vị trí thứ n (số 0 đầu tiên ở vị trí thứ 0)

Cho P = ( ) an n∈ℕ∈ K X [ ], N ∈ ℕ sao cho N ≥ deg ( ) P ; ta có:

( 0, , , ,0, ,0, 1 n )

P = a a a

= a0( 1,0, ,0, ) + a1( 0,1,0, ,0, ) + + aN ( 0, ,0,1,0, ,0, )

a X

∈

∑ℕ

hoặc

0

n n n

a X

∈

∑ℕ

∈ K X [ ]và n ∈ ℕ, phần tử ancủa Kđược gọi là hệ tử của

K- kgv K X [ ], gọi là cơ sở chính tắc của K X [ ].

Với n∈ℕ, cố định, tập hợp { P K X ∈ [ ] ;deg ( ) P ≤ n } rõ ràng là một K- không gian véc tơ con của K X [ ], thường được kí hiệu K Xn[ ] Họ hữu hạn ( 1, , X X2, , Xn) là một cơ sở của K Xn[ ], gọi là cơ sở chính tắc của K Xn[ ] Vậy ta có:

Trong trường hợp này, ( ) Pi i∈ℕlà một cơ sở của K X [ ] và , với mọi n thuộc ℕ, ( ) Pi 0≤ ≤i nlà một cơ sở của K Xn[ ]

Với mọi n thuộc ℕ, ma trận chuyển cơ sở chính tắc ( 1, , X X2, , X n) của K Xn[ ] sang

cơ sở ( ) Pi 0≤ ≤i n là ma trận tam giác trên có tất cả các hạng tử chéo khác không Như vậy có thể tính nghịch đảo của nó theo “bậc thang”

∀ ∈ − deg ( P Q ) = deg ( ) P deg ( ) Q

Mệnh đề 1.1.15 Với mọi α thuộc K và P, Q, R thuộc K X [ ]:

=

Trong thực hành tính toán P x ( ) khi biết P và x, ta có thể sử dụng thuật toán sau đây, được

gọi là lược đồ Horner

=

= ∑ (cũng kí hiệu là P f ( )), được gọi là đa thức tự đồng cấu

• Tương tự, với mọi

0

N

n n n

=

= ∑ (cũng kí hiệu P A ( )), được gọi là đa thức ma trận

• Phép hợp đa thức cũng là một dạng tổng quát hóa:

Nhận xét : Với mọi Pthuộc ℝ [ ] X ta có: ' P = P ', trong đó:

• P ' là hàm đa thức liên kết với P'

• P ' là đạo hàm của hàm đa thức liên kết với P

Theo 1) và 2) của Mệnh đề trên (và φ ( ) 1 = 1), φ là một đồng cấu những K- đại số có đơn vị

Ta sẽ nghiên cứu tính đơn ánh của φ

1) Giả sử K hữu hạn; kí hiệu ( x1, , xN ) = K và xét ( )

1

N

k k

Điều này chứng tỏ φ không phải là đơn ánh

2) Giả sử K vô hạn và giả sử P ∈ K X [ ]sao cho P = 0 Giả sử P ≠ 0 , và kí hiệu

( )

deg

N = P Vì K vô hạn, nên tồn tại x1, , xN+1∈ K từng đôi khác nhau Vậy ta có:

là đơn ánh khi và chỉ khi K vô hạn

Nhận xét: Vậy khi K vô hạn, ta có thể đồng nhất P và P, tức là kí hiệu P thay cho P Trong thực hành, thường thường K = ℝ hoặc ℂ, điều đó cho phép ta đồng nhất P và P; trong trường hợp này, ta sẽ kí hiệu P hoặc Pcho thuận tiện

Định lí 1.1.1 ( Định lí Taylor đối với đa thức)

Cho P ∈ ℂ [ ] X , N ∈ ℕ thỏa mãn deg P ( ) ≤ N, a ∈ ℂ Ta có:

( )( )

n N

n n

3) Trong đại số ℂ [ X Y , ] các đa thức của hai ẩn trên ℂ, ta sẽ chứng minh một cách tổng quát hơn, rằng với mọi P thuộc ℂ [ ] X và N ∈ ℕ sao cho deg P ( ) ≤ N, thì :

( )( )

n N

n n

n n

n n

Ta chứng minh dễ dàng với kí hiệu 1 0 1 1 n 1

1.1.5 Khái niệm về đa thức nhiều ẩn

Lý thuyết trên ( từ 1.1.1 đến 1.1.4) có thể lặp lại một cách tổng quát hơn, với một vài sửa đổi, bằng cách thay thế Kbởi một vành giao hoán A Như vậy ta sẽ xây dựng vành A X [ ] các

đa thức của một ẩn và lấy hệ tử trong A

Đặc biệt, lấy A = K Y [ ], ta sẽ xây dựng đại số K X Y [ , ] = ( K Y [ ] ) [ ] X các đa thức của hai ẩn và lấy hệ tử trong K. Bằng cách lặp lại, với n ∗

∈ ℕ ,ta sẽ xây dựng đại số

( K X2, , Xn ) [ ] X1 các đa thức nẩn và lấy hệ tử trong K

Ta có thể chứng minh rằng K- không gian véc tơ K X [ 2, , Xn] nhận

K X ) và kí hiệu A P khi và chỉ khi tồn tại \ , Q K∈ [ ] sao cho P AQ=

Thay cho A chia hết P, ta cũng nói:A là một ước của P, hoặc: P là một bội của A

0, , deg 1, 0, deg 0

A + a X

=

=∑ , và xét:

n n p

Q a b− + = + và R n+1 =A BQ− n+1

Do cách chọn Q n+1 , các hạng tử bậc n +1 của A và BQ n+1 , là như nhau, và deg(R n+1)≤n Theo P n tồn tại (Q R n, n)∈(K X[ ] )2 sao cho R n+1=BQ n +R n và deg( )R n ≤deg( )B

Q −Q ≠ và deg(R1−R2)=deg( )B +deg(Q2−Q1)≥deg( )B điều này mâu thuẫn vớ

deg(R1−R2)≤Max(deg( )R1 ,deg( )R2 )≤deg( )B

Do đó Q1=Q2 và R1 =R2

Nhận xét: Rõ ràng rằng với mọi (A B, ) thuộc K X[ ]×(K X[ ] { }− 0 ), B chia hết cho A khi và

chỉ khi dư của phép chia Euclide A cho B là đa thức không

Cho P K X a K∈ [ ], ∈ Do phép chia Eclide P cho X a− , tồn tại (Q R, )∈(K X[ ] )2 sao cho

Chú ý. Cho L là một thể, K một thể con của L (trong thực hành K =ℝ,L=ℂ),

(A B, )∈(K X[ ] )2, ,Q R là thương và dư của phép chia Euclide A cho B trong K X[ ] Vì Q R,

cũng thuộc L X[ ], nên rõ ràng rằng Q R, cũng là thương và dư của phép chia Euclide A cho B

trong L X[ ] Đặc biệt B chia hết A trong K X[ ] khi và chỉ khi B chia hết A trong L X[ ]

1.2.3 UCLN, BCNN, đa thức nguyên tố cùng nhau

a) Iđêan của K X [ ]

Tổng quát hơn người ta đã định nghĩa khái niệm i đ êan c ủ a m ộ t vành giao hoán hoặc thậm chí cả

i đ êan trái, i đ êan ph ả i c ủ a m ộ t vành

Vậy tồn tại một đa thức chuẩn tắc ∆ , khác không, là ước chung của P1, , Pn, và có bậc cao nhất trong các ước chung của P1, , Pn Tương tự, tồn tại một đa thức chuẩn tắc M khác

không, là bội chung của P1, , Pn và có bậc thấp nhất trong các bội chung của P1, , Pn

Ta sẽ chứng minh rằng: [ ] [ ]

1

n i i

1) T ồ n t ạ i m ộ t và ch ỉ m ộ t đ a th ứ c∆, chu ẩ n t ắ c, khác không, là ướ c chung c ủ a P1, , Pn và

có b ậ c cao nh ấ t trong các ướ c chung c ủ a P1, , Pn ; ∆đượ c g ọ i là ướ c chung l ớ n nh ấ t (vi ế t t ắ t : UCLN ) c ủ a P1, , Pn và đượ c kí hi ệ u UCLN ( P1, , Pn) (ho ặ c : UCLN( ( ) Pi 1≤ ≤i n)) 2) T ồ n t ạ i m ộ t và ch ỉ m ộ t đ a th ứ c M , chu ẩ n t ắ c, khác không, là b ộ i chung c ủ a P1, , Pn

và có b ậ c th ấ p nh ấ t trong các b ộ i chung c ủ a P1, , Pn ; M đượ c g ọ i là b ộ i chung nh ỏ nh ấ t (vi ế t t ắ t: BCNN) c ủ a P1, , Pn và kí hi ệ u BCNN ( P1, , Pn) (ho ặ c: BCNN ( ( ) Pi 1≤ ≤i n))

Mệnh đề 1.2.7 Cho n ∗

∈ ℕ ,( P1, , Pn) ∈ ( K X [ ] − { } 0 )n, ∆= ƯCLN ( P1, , Pn), M =BCNN ( P1, , Pn), ( A B , ) ∈ ( K X [ ] − { } 0 )2 Ta có :

Mệnh đề trên chứng tỏ rằng ta có thể biểu thị UCLN (tương ứng: BCNN) của nhiều đa thức

mà chỉ dùng đến các UCLN (tương ứng: BCNN) của hai đa thức

Kí hiệu:

Vớ ( P Q , ) ∈ ( K X [ ] − { } 0 )2, ta kí hiệu: ( )

, ,

3) Thuật toán Euclid

Lập luận như trong khi khảo sát thuật toán Euclid trong ℤ, ta thấy rằng, với mọi ( P Q , ) thuộc [ ] { }

( K X − 0 )2, UCLN của Pvà Q là dư cuối cùng khác không chuẩn tắc hóa trong dãy các phép chia Euclid liên tiếp

2) Khẳng định đảo là sai : Nếu n ≥ 3, P1, , Pn có thể nguyên tố cùng nhau trong toàn thể

nhưng không nguyên tố cùng nhau từng đôi

Cho n ∈ ℕ∗,( P1, , Pn) ∈ ( K X [ ] − { } 0 )n Để ( P1, , Pn) nguyên t ố cùng nhau trong

toàn th ể , c ầ n và đủ là t ồ n t ạ i ( U1, , Un) ∈ ( K X [ ] )a sao cho

1

1

n

i i i

Mệnh đề 1.2.9 Cho A B K X , ∈ [ ] − { } 0 nguyên t ố cùng nhau và không đề u là h ằ ng T ồ n

t ạ i ( U V , ) ∈ ( K X [ ] )2 duy nh ấ t sao cho :AU + BV = 1, deg ( ) U < deg ( ) B ,

( ) ( )

deg V < deg A

Ví dụ: Chứng minh rằng (trong ℝ [ ] X ) các đa thức A X = 4 + 1và đa thức B X = 3 − 1

nguyên tố cùng nhau và tính một cặp ( U V , ) thuộc ( K X [ ] )2thỏa mãn AU + BV = 1

Ta thực hiện các phép chia Euclid liên tiếp ta được :

U = X − X + , 1 ( 3 2 )

1 2

Một đa thức P thuộc K X [ ] được gọi là đ a th ứ c b ấ t kh ả quy ( hoặc: đ a th ứ c nguyên t ố ) khi

và chỉ khi deg ( ) P ≥ 1 và Pchỉ có ước ( trong K X [ ]) là các α( α ∈ K − { } 0 ) và các β P

(β ∈ K − { } 0 )

Nhận xét: Cho L là một thể, K là một thể con của L(trong thực hành : K = ℝ và L=ℂ),

[ ]

P K X ∈

• Nếu P bất khả quy trong L X [ ], thì P bất khả quy trong K X [ ]

• Khẳng định đảo là sai : P có thể bất khả quy trong K X [ ], nhưng không bất khả quy trong L X [ ]

Ví dụ: X2 + 1 bất khả quy trong ℝ [ ] X , nhưng không bất khả quy trong ℂ [ ] X :

( )( )

2 1

Mệnh đề 1.2.14. Cho P K X∈ [ ] b ấ t kh ả quy Ta có: A K X∈ [ ]−{ }0 P \ A ho ặ c P A∧ = 1

Mệnh đề 1.2.15 Cho b ấ t kh ả quy, khi đ ó: { }

ChoA K X∈ [ ] sao cho deg ( ) 1.A ≥ Theo định lý trên, tồn tại *

=

=∏ là các PTNT của A và B (trong đó *

( , ) 1

n Min r s i i i i n Max r s i i i i

Hệ quả 1.2.4.Trong A K X∈ [ ]−{ }0 , các luật ∧ và ∨ có tính phân phối luật này đối với luật kia

1.2.5 Phép chia theo lũy thừa tăng

Mệnh đề 1.2.17 Cho n ∈ ℕ, A K X∈ [ ], B K X∈ [ ] sao cho val ( )B = 0 (t ứ c là: B(0) 0)≠

Ch ứ ng minh: 1) Tồn tại Ta chứng minh bằng quy nạp theo n

Trường hợp n = Ta ký hi0 ệu a b0, 0 là các hạng tử hằng tương ứng của ( , )A B (tức là:

sao cho A BQ XR− = Vậy: A BQ XR= + và deg ( ) 0Q ≤

Giả sử n ∈ ℕ và giả sử tồn tại ( , ) (Q R ∈ K X[ ])2 sao cho: A BQ X= + n i+R và deg ( )Q ≤ n

Theo sự khảo sát trường hợp n = , áp d0 ụng cho R thay vì A , tồn tại [ ] 2

1

( , ) (q R ∈ K X ) sao cho: R Bq XR= + 1 và deg ( ) 0q ≤ Đặt Q Q X n i+q

Nếu (Q1−Q2) 0≠ , thì: n+ ≥ deg(Q1−Q2)≥ + , mâu thun 1 ẫn.Vậy Q1=Q2, nên R1=R2

Ví dụ: Thực hiện phép chia A = 2 + X - 3X2 + X3 cho B = 1 + 4X - X2 + X3 (trong ℝ[ ]X ) theo

lũy thừa tăng đến cấp 2 Suy ra thương Q = 2 - 7X + 27X2 và dư R = - 116 + 34X - 27X2

C) TÀI LIỆU HỌC TẬP

1 Jean – Marie Monier (2009), Đại số 1 (Giáo trình Toán – T ậ p 5), NXB Giáo dục

D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN CỦA CHƯƠNG

16 Cho , *, 2 2 cos 1, nsin sin sin( 1 )

17 Tìm các a ∈ ℝ sao cho X2−aX +1X4−X a+ trong ℝ[ ]X

18 Vớ (n,θ )∈ℕ*×ℝ cốđịnh, tìm dư của phép chia Euclide (Xsinθ +cosθ)n cho X + 2 1trong ℂ[ ]X

19 Cho (k n, )∈ ℕ( )* 2,r là dư của phép chia Euclide k cho n.Chứng minh rằng dư của phép chia Euclide k

21 Cho P K X∈ [ ] sao cho deg( )P ≥1

a) Cho Q và R là thương và dư của phép chia Euclid A cho B Chứng minh rằng

thương và dư của phép chia Euclid A P cho B P là Q P và R P

24 Cho A B C K X, , ∈ [ ] Chứng minh rằng, nếu , ,A B Cnguyên tố cùng nhau từng đôi thì

AB BC CA+ + và ABC nguyên tố cùng nhau

25 Cho (A B, )∈(K X[ ]−{ }0 )2 Chứng minh rằng hai tính chất sau tương đương:

a) A và B không nguyên tố cùng nhau

b) ( ) ( [ ] { } )

( ) ( ) ( ) ( )

CHƯƠNG 2 Không điểm của đa thức

Số tiết: 14 (Lý thuyết: 12 tiết; bài tập, thảo luận: 02 tiết)

A) MỤC TIÊU:

- Biết về một số khái niệm về không điểm của đa thức, bao gồm: không điểm của đa thức

một ẩn, nhiểu ẩn; sự ồn tại không điểm, số lượng không điểm; không điểm cấp bội; đa thức tách

và không điểm trong ℝ[ ]X và ℂ[ ]X Ngoài ra, sinh viên cũng cần biết về một vài loại đa thức

2.1 Không điểm của đa thức

2.1.1 Khái niệm không điểm của đa thức một ẩn, nhiều ẩn

Định nghĩa 2.1.1 Cho P K X a K∈ [ ], ∈ Ta nói rằng a là một không điểm (hoặc: m ộ t nghi ệ m) của P khi và chỉ khi: P a = ~( ) 0

Ta nhắc lại rằng L x =~i( )i 0 là ánh xạđa thức liên kết với P và nếu K vô hạn thì có thể

đồng nhất P và P

Mọi phương trình P x = , có ~( ) 0 ẩn x K∈ , trong đó P K X∈ [ ] cố định, gọi là ph ươ ng trình đạ i s ố

2.1.2 Sự tồn tại không điểm, số lượng không điểm, trường đóng đại số

Theo mệnh đề 1.2.1, ta có a là một không điểm của P khi và chỉ khi X a − chia hết cho P

Theomệnh đề 1.2.1, ∀ ∈i {1, ,n X}, −x P i Vì x1, ,x n từng đôi khác nhau, nên các đa

thức X - x1, ,X - x n nguyên tố cùng nhau từng đôi, vậy:

1

( )

n

i i

n∈ℕ x x ∈K từng đôi khác nhau Với mỗi i thuộc {0, , n}, tồn tại một đa

thức L i thuộc K X[ ] và chỉ một sao cho:

Các đa thức (0L i ≤ ≤i n) được gọi là các đa thức nội suy Lagrange tại các điểm x0, ,x n

Với mọi b0, ,b n thuộc K n+ 1, tồn tại một đa thức P thuộc K X[ ] và chỉ một sao cho:

deg( ) 0, , , ( )i i

và ta có:

0

n

i i i

=

=∑

Định nghĩa 2.1.2. Trường K được gọi là tr ườ ng đ óng đạ i s ố nếu mọ đa thức f X( )∈K X[ ],

bậc dương đều có nghiệm trong K

Ta chứng minh được rằng: Trường K là trường đóng đại số khi và chỉ khi mọi đa thức trong

[ ]

K X đều phân tích được thành tích những nhân tử tuyến tính

Ví dụ. Trường số phức ℂ là trường đóng đại số, còn trường số thực ℝ không là đóng đại số

2.1.3 Không điểm cấp bội

duy nh ấ t sao cho a là không đ i ể m c ấ p b ộ i đ úng b ằ ng α c ủ a P , và ta nói r ằ ng αlà c ấ p b ộ i

c ủ a không đ i ể m a trong (ho ặ c: c ủ a) P

X −x X −x nguyên tố cùng nhau từng đôi, nên ta kết luận \A B

Định lí 2.1.1. Cho P K X∈ [ ]−{ }0 ,a K≠ , a là không đ i ể m b ộ i k c ủ a P khi và ch ỉ khi

=

= ∏ − ,

với , ,x i x n không nhất thiết khác nhau từng đôi

Nhận xét Cho L là một thể, K là một thể con của L P K X, ∈ [ ] P có thể tách được trên L

nhưng không tách được trên K Ví dụ: K =ℝ,L=ℂ,P= X2+1

=∑ Gi ả thi ế t P tách đượ c trên

K và ký hi ệ u x1, ,x là các không n đ i ể m c ủ a P (không nh ấ t thi ế t t ừ ng đ ôi khác nhau), sao cho:

1

1, , ( 1)k n , , ( 1)n

2.1.6 Không điểm của đa thức trong ℂ[ ]X

Do thể ℂ là vô hạn, ởđây ta đồng nhất đa thức P thuộc ℂ[ ]X và hàm đa thức P

Định lí 2.1.3 (Định lý d’Alembert)

M ọ i đ a th ứ c khác h ằ ng thu ộ c ℂ[ ]X có ít nh ấ t m ộ t không đ i ể m trong ℂ Ta nói r ằ ng th ể

ℂ là đ óng đạ i s ố

Hệ quả 2.1.3 M ọ i đ a th ứ c khác h ằ ng thu ộ c ℂ[ ]X đề u tách đượ c trên ℂ

Hệ quả 2.1.4. Các đ a th ứ c b ấ t kh ả quy thu ộ c ℂ[ ]X là các đ a th ứ c b ậ c 1

2.2 Công thức nội suy

2.2.1 Công thức nội suy Abel

Cho bộ sốđôi một khác nhau : x x1, , ,2 x n∈R Chứng minh rằng mọi đa thức P X( ) với

Việc chứng minh tính duy nhất được suy ra từ tính chất của đa thức bậc n là nó

có không quá n nghiệm (kể cả bội)

Cho x x1, , ,2 x n là các sốđôi một khác nhau Tìm tất cả các đa thức bậc n n≤ −1 thỏa mãn điều

≤ − nhận giá trị như nhau tại n điểm thì chúng trùng nhau

2.2.4 Công thức nội suy Newton

x t

Sau đây ta sẽ xét các dạng đặc biệt khác nhau của bài toán nội suy Hermite

2.2.5 Công thức nội suy Hermite

Cho hai số phân biệt x0 và x1 Tìm tất cả các đa thức P X( ) với degP X( )≤ +n 1, (n∈ ℕ *)

0 1

,1

11

Sau đây ta sẽ nêu một số bài toán như là những ví dụ áp dụng trực tiếp của các công thức nộsuy trong đại số và số học

2.3 Một vài loại định thức đặc biệt

Mục này dành để xét một vài loại đa thức đặc biệt gắn liền với nhiều lĩnh vực toán số học

Ch ứ ng minh. Bởi h x h x0( ), 1( ), ,h x n( ) lập thành một cơ sở của ℝ không gian các vecto các đa

thức có bậc không vượt quá n trên ℝ , nên tồn tại các phần tử a ∈ ℝ i để

( ) 0 0( ) 1 1( ) n n( )

f X =a h X +a h X + +a h X

Bây giờ ta chỉ ra cách xác định cụ thể các sốa i Cho X =0 ta được a0 = f ( )0 Giả sửđã xác

Định lí 2.3.1. N ế u đ a th ứ c f X( )∈ ℝ[ ]X b ậ c n nh ậ n các giá tr ị nguyên t ạ i n +1 s ố nguyên liên ti ế p thì f X là m( ) ộ t đ a th ứ c s ố

Ch ứ ng minh. Giả sử f X( ) nhận giá trị nguyên tại X =m, ,m n Z+ ∈ Đặt g X( )= f X m( + )

biểu diễn g X( )=a h X0 0( )+a h X1 1( )+ +a h X n n( ) Ta có a0 =g( )0 = f m( ) nguyên, còn các

hệ số khác được xác định qua biểu thức truy hồi:

( ) 0 1 ( ) 1

1 , 1, ,

1 1.2

i i i

a =g i −a − a − − − −ia− i= n

Vì g i( )= f m i( + ) và a0, ,a i−1 nguyên, nên a i nguyên Như vậy tất cả các hệ số a i i, =0, ,n

đều nguyên Vì h X i( ) nhận giá trị nguyên tại mọ X ∈ℤ nên f X( ) nguyên với mọ X ∈ℤ □

Ví dụ. Tìm điều kiện cần và đủđểđa thức

từ

2 cosnα+2 cos n−2 α =2 cos cosα n−1 α

Ta suy ra 2 cosnα =2 cos cosα (n−1)α−2 cos(n−2)α Bây giờ ta chỉ việc chọn đa thức T X n( )= XT n−1( )X −T n−2( )X Khi đó ta thấy ngay degT X n( )=n và

n n

z z− nα