ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 (2TC) DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN

Gọi A V là tập các dạng n- tuyến tính thay phiên trên K- không gian vectơ n chiều V.. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính n phương trình n ẩn số mà ma trận các hệ số của nó không suy

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 (2TC) DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN

- Sinh viên vận dụng giải các bài tập liên quan

1.1 Phép thế và dấu của phép thế (hay hoán vị)

1.1.1 Định nghĩa: Phép thế bậc n là một song ánh σ từ tập {1,2,…, n} lên chính nó Ta thường

viết:

(1) (2) ( )

n n

S Nhóm này gọi là nhóm đối xứng Nó gồm có n! phần tử

Khi n >1, cặp số (không thứ tự) phân biệt {i, j} ⊂ {1,2,…, n} gọi là một nghịch thế của σ nếu

i− và ( )j σ i −σ( )j trái dấu, tức là nếu 0

ký hiệu sgn(σ), được định nghĩa bởi:

1sgn( )=

Ví dụ 2: Phép thế τ∈S n mà ( )τ i = j, ( )τ j =i i( ≠ j), ( )τ k =k k i j, ≠ , gọi là một chuyển trí (hay

chuyển vị) bậc n Dễ thấy mỗi chuyển trí là một phép thế lẻ Thật vậy, giả sử i < j và

Chú ý: Tập các phép nghịch thế bậc 1 chỉ có một phần tử đó là ánh xạ đồng nhất Ta coi ánh xạ

này là phép thế chẵn

{ , }

( ) ( )sgn( )=

2 Mọi chuyển thế bậc n (n 2)≥ là tích của một số hữu hạn chuyển trí

Thực vậy, nếu phép thế là ánh xạ đồng nhất thid có thể viết nó dưới dạng τ τ τ0 , là một chuyển trí

tùy ý, nếu phép thế giữ bất động đúng n – 2 phần tử thì nó phải là một chuyển trí

Giả sử tính chất 3 đúng với mọi phép thế giữ bất động ≥ m phần tử (m ≤ n – 2 ) Ta sẽ chứng

minh nó đúng với mọi phép thế σ giữ bất động m – 1 phần tử Giả sử có ( )σ i = ≠ Gọi j i τ là

Gọi là đa tuyến tính đối với từng thành phần (trong V V× × × V ) Khi đó ta còn nói η là ánh xạ

p - tuyến tính từ V đến W Khi W = K thì η gọi là một dạng p- tuyến tính trên V

Ví dụ:

a) Ánh xạ không: V V V× × × →W; ( , ,α α )֏0 là p tuyến tính

b) Trong chương trình hình học trung học, gọi E3 là tập các vectơ trong không gian, ( , , )ε ε ε1 2 3

là các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ Đề- các vuông góc Nếu:

j i

=

+

∑

− η từ V đến W gọi là thay phiên (hay phản đối

xứng) nếu giá trị của η trên p vectơ trong đó có 2 vectơ bằng nhau (p 2≥ ) là 0 Tức là:

Dễ thấy Dε là n- tuyến tính Ta sẽ chứng minh nó là thay phiên Giả sử có j < k mà αj =αk Gọi

τ là chuyển trí bậc n, đổi chỗ j với k và gọi H là tập cácµ∈S n mà ( )µ j <µ( )k thì với mọi

(1).1 ( ) (1).1 ( ) (1).1 ( ).

\ (1).1 ( ) ( )(1).1 ( )( ) (1).1 ( ).

Vậy nếu αj =αk(j k< ) thì Dε( , ,α1 αn) 0= Do đó D3 thay phiên

c Giả sử V là K- không gian vectơ n chiều Ánh xạ đa tuyến tính thay phiên

:

n

Còn được gọi là dạng n- tuyến tính thay phiên trên V

Gọi A V là tập các dạng n- tuyến tính thay phiên trên K- không gian vectơ n chiều V n( )

Dễ thấy A V với các phép toán cộng ánh xạ và nhân ánh xạ với một vô hướng thuộc K là một n( )

K- không gian vectơ

Định lý: dim A V = 1 n( )

Thật vậy, giả sử α=( , , )ε1 εn là một cơ sở của V Khi đó theo ví dụ trên Dε∈A V n( ) vì

1

( , , ) 1n

Dε ε ε = nên Dε ≠ Ta sẽ chứng minh (0 Dε) là cơ sở của A V n( )

Với mọi η= A V n( ), lấy

1

, 1, 2, ,

n

i ji j j

Ví dụ: Mọi dạng 3- tuyến tính thay phiên trên không gian các vectơ trong hình học ở trung học

đều tỷ lệ với tích hỗn tạp của ba vectơ

1.3 Định thức

1.3.1 Định thức của hệ vectơ trong một cơ sở

Định nghĩa: Cho K- không gian vectơ n chiều V, ε =( , , )ε1 εn là một cơ sở của nó Giả sử

d) Hệ α=( , ,α1 αn) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi Dε( , ,α1 αn) 0=

Điều kiện cần dễ dàng được suy ra từ tính thay phiên của D3

Điều kiện đủ tương đương với mệnh đề: Nếu hệ α độc lập tuyến tính thì Dε( , ,α1 αn) 0≠ Thật vậy, nếu hệ α độc lập tuyến tính thì nó sẽ là một cơ sở của V, do đó theo cách chứng minh tính

chất c) ở trên Dε( , ,α1 αn) 0≠

Tính chất d) tương đương với tính chất

d’) α =( , ,α1 αn) là cơ sở của V khi và chỉ khi Dε( , ,α1 αn) 0≠

Ví dụ: Trong không gian vectơ trong hình học ở trung học thì Dε( ,α α α1 2, )3 với ε =( , , )ε ε ε1 2 3

là cơ sở nói trong ví dụ b) mục 1.2.2 chính là tích hỗn tạp của ba vectơ ( ,α α α1 2, )3

1 1 1 1 1

( ( ), , ( ))f f n a ( ( ), , ( ))f f n a ( , , n)a a b ( , ( )f n b ( , , n)

Đặt b=det f suy ra điều phải chứng minh

Định nghĩa: det f nói trong định lý trên gọi là định thức tự đồng cấu f

c) det( )gf =det det ,g f ∀g f, ∈EndV

Thật vậy, giả sử ε =( , , )ε1 εn là một cơ sở của V

1

det( ) ( ( ( )), , ( ( )) det ( ( ), , ( ))det det ( , , ) det det

Thật vậy, ε =( , , )ε1 εn là cơ sở của V thì detf 0≠ ⇔ D fε( ( ), , ( ))ε1 f εn ≠ ⇔0 f( ), , ( )ε1 f εn

độc lập tuyến tính ⇔ f đẳng cấu Vậy GL(V)= {f∈ EndV|det f 0≠ }

d) det( ) det det , ,B A = B A A B∈Mat(n,K)

e) A khả nghịch khi và chỉ khi det A ≠ 0

Ma trận A gọi là không suy biến nếu det A ≠ Vậy A khả nghịch khi và chỉ khi nó không suy 0

biến Do đó: GL(n, K) = {A∈Mat(n, K)| det A ≠ } 0

Các tính chất c) d) e) được suy ra trực tiếp từ những tính chất tương ứng của định thức của một

Xét ma trận vuông (con) cấp q của A tạo bởi các phần tử của A ở giao các dòng thứ j j1, , ,2 j q

với các cột thứ i i1, , ,2 i Ký hiệu định thức của nó là: q 1

Nếu ta xóa các dòng thứ j1, ,j q , các cột i1, ,i q của A thì được ma trận vuông (con) cấp n – q

của A mà định thức của nó nhân với 1

( )

( 1)

q

p p p

j A = − + a =a

∆ (ở đây 'a ji là định thức của ma trận

vuông cấp n – 1 của A có được do bỏ dòng j cột i của A)

Định lý Laplace: Lấy q dòng j j1, , ,2 j của A ∈ M(n, K) thì det A bằng tổng của tích các định q

thức con cấp q của A nằm trong q dòng đó với phần bù đại số của chúng Tức là:

1 1

Ta cũng có công thức tương tự khi thay chữ “dòng” bằng chứ “cột”, “cột” bằng “dòng” trong định lý trên, tức:

1 1

2 số hạng đó là đối nhau do thừa số ( 1)i1 + + i q

− Vậy η là thay phiên

=

=

∑

1.3.4.1 Định nghĩa: Cho A∈ Mat(m x n, K) Hạng của ma trận A, ký hiệu hạng A, là hạng của

hệ vectơ cột (xem mỗi vectơ cột là một vectơ thuộc K ) của nó n

1.3.4.2 Cho A∈ Mat(m x n, K) Ma trận vuông cấp p + 1 có được từ A do xóa đi một số dòng và

một số cột gọi là ma trận vuông con cấp p + 1 của A Nếu xóa thêm một dòng, một cột nữa thì được ma trận vuông con cấp p của A bao bởi ma trận vuông con cấp p + 1 vừa xét

1.3.4.3 Định lý: Hạng của ma trận A bằng cấp p của ma trận vuông con không suy biến mà mọi

Chứng minh: Có thể coi ma trận vuông con cấp p đó nằm ở góc trên bên trái của A (bằng cách

đánh số lại dòng và cột) và gọi nó là C Khi đó p cột đầu của A độc lập tuyến tính, vì nếu chúng phụ thuộc tuyến tính thì các cột của C phụ thuộc tuyến tính, nên det C = 0 trái giả thiết C không suy biến Ta sẽ chứng minh mọi cột của A là một tổ hợp tuyến tính của p cột đầu của A Với mỗi

k =1,2,…, m và mỗi s = p + 1, p + 2,…, n xét ma trận vuông cấp p + 1 sau

a) Từ định lý trên suy ra hạng của A cũng bằng hạng của hệ vectơ dòng của nó

b) Cho hệ vectơ ( , ,α1 αn) trong K- không gian vectơ m chiều V với cơ sở

∑

Trong đó a b ki, k cho trước (k = 1,…, m; i = 1,…, n) ∈ K, ( x i i =1, , )n là ẩn số gọi là hệ phương

trình tuyến tính tổng quát (gồm m phương trình, n ẩn số) a ki gọi là những hệ số, b k gọi là hệ số

n

x x x

m

b b

n

i i i

a Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính n phương trình n ẩn số mà ma trận các hệ số của nó

không suy biến gọi là một hệ Cramer

b Định lý: Hệ Cramer có một và chỉ một nghiệm

Chứng minh:

Cách 1: Viết hệ phương trình dưới dạng ma trận Ax=β Do A không suy biến nên phương trình

trên tương đương với x A− 1β

Cách 2: Dùng phương pháp vectơ

Vì A không suy biến nên hệ vectơ ( , ,α1 αn) độc lập tuyến tính Từ đó vectơ β khai triển được một cách duy nhất qua cơ sở ( , ,α1 αn) thuộc K n Nói cách khác có duy nhất hệ ( , , )x1 x n sao cho

1.4.2.2 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

a Định lý: (Kronecher – Capelli hay Gauss) Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

1

( 1, , )

n

ki i k i

=

∑

có nghiệm khi và chỉ khi hạng A= hạng A bs

Chứng minh: Viết hệ phương trình đã cho dưới dạng vectơ :

1

n

i i i

Giả sử định thức tạo bởi p tọa độ đầu của p vectơ α1, ,αp khác 0 (tức coi định thức của ma trận

vuông con cấp p ở góc trên bên trái của A khác 0) thì vẫn đề được đưa về giải hệ Cramer gồm p

phương trình đầu của hệ đã cho đối với p ẩn số: x1, ,x (còn p x p+1, ,x n coi tùy ý cho trước

1.4.2.3 Phương pháp khử (hay thế) của Gauss

Định nghĩa: Hai hệ phương trình tuyến tính cùng có số ẩn số n gọi là tương đương nếu các tập

nghiệm của chúng (coi là tập con của K ) trùng nhau n

1

( 1, , )(1)

n

ki i k i

- Nhân 1 phương trình của hệ với k ≠ thuộc K 0

- Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính của các phương trình còn lại thì ta vẫn được hệ phương trình tuyến tính tương đương hệ đã cho

Như vậy bằng cách thực hiện hai điều trên và đổi chỉ số các ẩn số (nếu cần) có thể biến đổi hệ (1) thành hệ: ∑n a x' =b' (k=1, , )(1')m

Tương đương với nó mà ma trận 'A có dạng bs

+ Khi một trong các b' , , 'p+1 b m khác 0 thì hệ vô nghiệm

+ Khi b' , , 'p+1 b m = thì hệ có nghiệm Để tìm nghiệm cho 0 x' , , 'p+1 x n tùy ý thuộc K thì có duy

nhất x' , , ' ; '1 x p x suy ra từ phương trình thứ p, p x'p−1suy ra từ phương trình p – 1 và ' x p

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau

1.4.2.4 Chú ý: Có thể dùng việc giải hệ phương trình tuyến tính để tìm ma trận nghịch đảo của

một ma trận khả nghịch A=( )aij (i, j = 1,…, n) trên trường K

Ví dụ 4: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

1.4.3 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

1.4.3.1 Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính mà các hệ số tự do của nó đều bằng 0 gọi là hệ

phương trình tuyến tính thuần nhất

Như vậy hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng:

Trong đó a ki cho trước thuộc K (k = 1,…, m; i = 1,…, n)

Để giải hệ (1) ta có thể dùng các phương pháp giải ở mục 1.4.2

1.4.3.2 Ý nghĩa hình học của tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Coi ma trận ( )a ki xác định bởi hệ (1) như là ma trận của ánh xạ tuyến tính

1

(2) :( , , ) ( ' , , ' ); ' , 1, ,

b Hệ (1) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng ( ) a ki = p n <

Thật vậy, a là hiển nhiên vì ker f ≠ ∅ (luôn chứa 0 )

b Hệ (1) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi dim Kerf = n – p> 0 hay n > p

Nhận xét:

a Rõ ràng nếu m < n thì hệ (1) có nghiệm không tầm thường

b Nếu m = n thì hệ (1) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi det( ) 0 a ki =

c Ta đã xem mỗi nghiệm của hệ (1) như là phần tử của K n vì vậy để cho tiện ta sẽ gọi mỗi phần

tử như thế là một vectơ nghiệm của hệ (1)

Lấy một cơ sở của kerf : ( , ,β1 βn p− ) (gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1)) thì mọi nghiệm của hệ (1) có dạng : t1 1β + +tn p− βn p− ( , ,t1 t n p− tùy ý

thuộc K) nghiệm đó gọi là nghiệm tổng quát của hệ (1)

1.4.3.3 Quan hệ giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát (3)

1

, 1, ,

n

ki i k i

=

∑

Gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ứng với hệ (3)

Định lý: Giả sử α =( , ,α1 αn) là một nghiệm nào đó của hệ phương trình tuyến tính tổng quát ( 3), ( , ,β1 βn p− ) là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng

1 1 n p n p

Nói cách khác nghiệm tổng quát của một hệ phương trình tuyến tính tổng quát bằng tổng của

một nghiệm riêng của nó với nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng

Chứng minh: Giả sử ( )a ki là ma trận của ánh xạ tuyến tính :f K n →K m trong các cơ sở chính tắc, nói trong mục 2, ( , , )1 m

m

b= b b ∈K , khi đó f( )α =b f t, (1 1β + +t n p− βn p− ) 0=

Từ đó suy ra :f(α+t1 1β + +t n p− βn p− )=b

Hay α+t1 1β + +t n p− βn p− là nghiệm của hệ (3)

Ngược lại, giả sử γ là nghiệm bất kỳ của hệ (3) thì ( )f γ = Từ đó suy ra b

Hay γ α− =t1 1β + +t n p− βn p− Từ đó suy ra γ =α+t1 1β + +t n p− βn p−

Ví dụ: Giải hệ phương trình

[1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Đại số tuyến tính

[2] Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Bài tập Đại số

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận:

1 Tìm dấu của các phép thế sau và phân tích chúng thành tích một số hữu hạn phép chuyển trí

2 Gọi T là tập các ánh xạ p- tuyến tính từ K- không gian vectơ V đến K- không gian vectơ W

Chứng minh rằng T với hai phép toán cộng ánh xạ và nhân ánh xạ với vô hướng (thuộc K) là một

K - không gian vectơ Tìm số chiều của T nếu biết dim V = n, dim W = m

3 Gọi A V p( ) là tập các dạng p- tuyến tính thay phiên trên K- không gian vectơ V Chứng minh

rằng A V với hai phép toán cộng ánh xạ và nhân ánh xạ với vô hướng (thuộc K là một K- p( )không gian vectơ Tìm dim A V nếu biết dim V = n p( )

4 Giả sử V, W là những K- không gian vectơ, K = ℚ ℝ ℂ … là những ánh xạ p- tuyến tính từ V , ,

đến W Chứng mnh rằng:

a Nếu ( , ,α1 αp) là hệ phụ thuộc tuyến tính trong V thì ( ( , ,ϕ α1 αp) 0= ∈W

b Nếu cộng thêm vào một vectơ trong hệ ( , ,α1 αp) của V một tổ hợp tuyến tính của các

vectơ còn lại thì giá trị của ϕ (trên các hệ đó) không thay đổi

5 V là một ℝ - không gian vectơ n chiều Cơ sở ε =( , , )ε1 εn của V gọi là cùng hướng với cơ

sở α=( , ,α1 αn) của V nếu Dε( , ,α1 αp) 0>

Chứng minh rằng quan hệ “cùng hướng” là một quan hệ tương đường trong tập các cơ sở của V

Trong không gian vectơ thực 2

ℝ , hỏi các cơ sở ((2,1), ( 2,1))− và ((1, 2), (2, 1))− có cùng hướng không?

7 Chứng minh rằng với a, b, c∈ ℝ phương trình a x b 0

9 Không khai triển định thức, chứng minh rằng

a)

2 2 2

11

11 A là một ma trận vuông cấp n phản đối xứng, tức A t = − Chứng minh rằng nếu n lẻ thì A A

suy biến

12 A là một ma trận vuông phức sao cho aij=a ji, ,∀i j Chứng minh rằng det A là một số thực

13 A là một ma trận vuông cấp n 2 ≥ A là ma trận phụ hợp của A Chứng minh rằng

I C

k l n I

k l

25 Nghiên cứu hạng của một ma trận (vuông) dạng tam giác trên

26 Giải và biện luận hệ phương trình (theo các tham số a, b, c):

ℝ và tìm mối liên hệ của cùng một vectơ trong hai cơ sở đó

33 Giả sử L và 1 L là những không gian vectơ con của2 ℝ Tìm cơ sở của 4 L1+L2 và L1∩L2

trong các trường hợp sau:

a L1 sinh bởi các vectơ :α1=(1, 2,1, 2),− α2 =(2,3,1,0), α3=(1, 2, 2, 3)−

2

L sinh ra bởi các vectơ β1=(1,1,1,1), β2 =(1,0,1, 1),− β3 =(1,3,0, 4)−

b L1 sinh bởi các vectơ α1=(1,1,0,0), α2=(0,1,1,0), α3=(0,0,1,1),α4=(1, 2,3, 4)

2

L sinh ra bởi các vectơ β1=(1,0,1, 0), β2 =(0, 2,1,1), βus 3p =(1, 2,1, 2)

34 Phép biến đổi tuyến tính f của 3

CHƯƠNG 2

Cấu trúc của một tự đồng cấu

Số tiết: 6 (Lý thuyết: 4 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)

*) Mục tiêu:

- Sinh viên hiểu được các khái niệm: đa thức đặc trưng, giá trị riêng, không gian riêng của một tự đồng cấu, tự đồng cấu chéo hóa được

- Sinh viên hiểu được các tính chất không gian riêng, tự đồng cấu chéo hóa được

- Sinh viên vận dụng giải các bài tập liên quan

2.1 Không gian riêng của một tự đồng cấu tuyến tính

2.1.1 Không gian vectơ con bất biến

Giả sử :f V →V là một tự đồng cấu của một không gian vectơ trên trường K, U là một không gian vectơ con của V U gọi là không gian vectơ con bất biến đối với f (hay f- bất biến) nếu

( )

Khi V hữu hạn chiều, chọn một cơ sở {ε ε1, , ,2 εm} của U rồi bổ sung để được cơ sở

{ε ε1, , ,2 εn}của V Vì f( ),εi i=1, 2, ,m chỉ biểu thị tuyến tính qua các vectơ ε ε1, , ,2 εm nên trong cơ sở {ε ε1, , ,2 εn} của V, f có ma trận dạng sau

(Phần gạch chéo X là những phần tử có thể khác 0 của K) Nếu còn có không gian vectơ con W

f - bất biến mà U⊕W V= thì có các tự đồng cấu f U1: →U f W, 2: →W sao cho