Chứng minh rằng ta có thể cắt chúng ra thành một số phần để từ các phần đó có thể ghép lại thành một hình vuông mới... tìm csc đó Bài 4: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bi
Trang 1QUY NẠP TOÁN HỌC Bài số 1: Chứng minh rằng 2n>n2 với các số tự nhiên n≥5
2) Chứng minh rằng: (2n+5.34 n+52 n+1)⋮37 với ∀n∈N
Bài số 2: Chứng minh rằng với các số dương a; b bất đẳng thức sau đúng với ∀n∈N¿
2n−1 ( a n+bn)>(a+b ) n
Bài số 3: 1) Chứng minh rằng : (52n+1+2n+4+2n+1)⋮3 với n∈N
2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, đồng nhất thức sau đúng:
(n+1)(n+2) (n+n)=2n 1.3.5 (2n−1)
3) Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi n≥2;n∈N
(1+ x) n>1+nx với x > -1
Bài số 4 1) Chứng minh với ∀n∈N : (2n+2.3n+5n−4 )⋮25
2) Chứng minh rằng: 2 1
2 +3 22+ +(n+1) n2=n (n+1)(n+2 )(3 n+1)
12
Bài số 5 Chứng minh rằng:
S n=1+x+ x2+x3+ +x n=x n+1−1
x−1 (1) với mọi giá trị của x≠1
Bài số 6 Chứng minh rằng với tất cả các giá trị có thể có của x, đồng nhắt thức sau luôn
đúng:
S n=(x−1
x)
2 +(x2 − 1
x2)
2 + +( xn− 1
x n)
n= 1
x2−1.( x
2 n+2− 1
x 2n)−2 n−1 (1)
Bài số 7 Chứng minh rằng :
S n=3+33+ +333 3nchuso =10n+1−9 n−10
Bài số 8 Chứng minh rằng:
1
1+x+
2
1+x2+
4
1+x4+ +
2n
1+x2n=
1
x−1+
2n+1
1−x2n+1 với | x|≠1 .
Bài số 9: Chứng minh bất đẳng thức sau với ∀n∈N¿
:
1
n+1+
1
n+2+
1
n+3+ .+
1
3 n+1>1 (1)
Bài số 10: Cho n hình vuông bất kỳ Chứng minh rằng ta có thể cắt chúng ra thành một
số phần để từ các phần đó có thể ghép lại thành một hình vuông mới
Bài số 12: Chứng minh rằng tổng các góc trong của một n-giác lồi bằng ( n – 2 ) 1800
Bài số 13: Cho v0=2, v1=3 và với mỗi số tự nhiên k có đẳng thức như sau
v k+1=3vk−2vk−1 chứng minh rằng v n=2n+1
Bài số 14: cho dãy số
1 1
2
u
Trang 2chứng minh: 3
n n
Trang 3BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ CỘNG Bài 1: tìm CSC biết
a/
3 7 4
2 6
10 8
u u
7 3
2 7
8 75
u u
u u
2 5 3
4 6
10 26
u u
17 20
2 2
17 20
9
153
Bài 2: hãy tính các tổng sau:
a/ tổng tất cả các số hạng của 1 cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102, số thứ 2 bằng 105, số cuối bằng 999
a/ tổng tất cả các số hạng của 1 cấp số cộng có số hạng đầu bằng 1/3, số thứ 2 bằng -1/3, số cuối bằng -2007
Bài 3: cho csc có d > 0: và có u13u153 302094 và tổng 15 số hạng đầu bằng 585 tìm csc đó
Bài 4: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20
và tổng bình phương của chúng bằng 120
Bài 5: Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 25 và
tổng bình phương của chúng bằng 165
Bài 6: Cho một cấp số cộng u n có u5 + u19 = 90 Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của u n
Bài 7: Cho một cấp số cộng u n có u2 + u5 = 42 và u4 + u9 = 66 Hãy tính tổng 346
số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó
Bài 8: Cho cấp số cộng (U) có U-U =9 và U- U=153 Hãy xác định số hạng đầu và
công sai của cấp số cộng đó
Bài 9: Cho cấp số cộng (U) có d>0, U+U=11 và U+ U=101 Hãy tìm số hạng tổng
quát của cấp số cộng đó
Bài 10: Tìm điều kiện của tham số m để pương trình sau có 3 nghiệm lập thành
một cấp số cộng: x-3mx+ 2(m-4)x+ 9m–m=0
Bài 11 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình x– 2(m+1)x+ 2m +1=0 có 4
nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng
Trang 4BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN
Bài 1: Tìm CSN biết
a)
4 2
5 3
60 180
u u
u u
7 1
1 3 5
728 91
u u
u u u
7 1
1 3
1460 20
u u
u u
7 1
1 3 5
325 65
u u
u u u
Bài 2: Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau:
a)
5
9
96 192
u
u
90 240
u u
u u
8 272
u u
u u
u u
Bài 3: Cho 5 số lập thành một cấp số nhân Biết công bội bằng ¼ số hạng đầu tiên
và tổng 2 số hạng đầu bằng 25
Bài 4 Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có công bội bằng 2
Tìm 4 góc ấy
Bài 5 Một cấp số nhân có số hạng đầu là 9 số hạng cuối là 2187, công bội q = 3
Hỏi cấp số nhân ấy có mấy số hạng
Bài 6 Xác định cấp số nhân có công bội q = 3, số hạng cuối là 486 và tổng các số
hạng là 728
Bài 7 Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu bằng 31 và
tổng của 5 số hạng sau bằng 62
Bài 8 Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng
cuối bằng 27 và tích của hai số hạng còn lại bằng 72
Bài 9: cho 3 số x, y, z, theo thứ tự lập thành 1 CSN, đồng thời chúng là số hạng
đầu, số hạng thứ 3 và thứ 9 của 1 CSC Tím 3 số đó, biết tổng của chúng bắng 13
Bài 10: cho 3 số x,y,z, theo thứ tự lập thành 1 CSN với công bội q khác 1, đồng
thời các số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành 1 CSC với công sai khác 0 Tìm q
Bài 11: cho 3 số x,y,z, theo thứ tự lập thành 1 CSN, 3 số x, y-4, z theo thứ tự lập
thành 1 CSN, và các số x, y-4, z-9 theo thứ tự lập thành 1 CSC Tìm x,y,z
Bài 12 : Giả sử phương trình: x3 + ax2 + bx + c = 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3 Chứng minh rằng các nghiệm ấy theo thứ tự nào đó lập thành 1 cấp số nhân thì b3 = ca3
Bài 13: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21 Nếu số thứ hai trừ đi 1
và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân Tìm ba số đó