Bài 11. Phương pháp quy nạp toán học

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 11A Chương: III Trong chương này chỳng ta sẽ nghiờn cứu về một phương phỏp chứng minh nhiều khẳng định trong toỏn học liờn quan tập hợp số tự nhiờ

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG

VÀ CẤP SỐ NHÂN

11A

Chương: III

Trong chương này chỳng ta sẽ

nghiờn cứu về một phương phỏp

chứng minh nhiều khẳng định trong

toỏn học liờn quan tập hợp số tự

nhiờn đú là “ Phộp quy nạp toỏn học.”

Tiếp đú chỳng ta sẽ nghiờn cứu về

“dóy số” và cuối cung cỏc em sẽ

được tỡm hiểu một số vấn đề xung

quanh 2 dóy số đặc biệt là “cấp số

cộng” và “cấp số nhõn ”

Tiết 37: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP

TOÁN HỌC

Xét 2 mệnh đề chứa biến

a Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

( ) :"3n 3 1"& ( ) :"2n ", *

P n > + n Q n > n n ∈ ¥

*

n ∈ ¥

Trả lời:

n ? 3n+1 1

2 3 4 5

1 2 3 4 5

2n

b Với mọi P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định

chắc chắn là đúng hay sai.

*

n ∈ ¥

3 9 27 81 243

4 7 10 13 16

<

>

>

>

>

2

8 16

32 5

4 3 2

1 4

>

>

>

>

>

Đ Đ Đ Đ

Đ Đ Đ Đ Đ

S

Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

1 Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các

bước sau: n ∈ ¥ *

1

n k = ≥

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1

B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

2 Ví dụ áp dụng:

Ví dụ1 : Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có: ( 1)

1 2 3 (1)

2

n n

+ + + + =

Ví dụ1 : Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có:

( 1)

2

n n

+ + + + =

Lời giải:

+) Với n = 1, ta có ,đẳng thức (1) đúng.VT(1) 1 1(1 1) VP(1)

2

+

+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là ( ( 1) GTQN )

1 2 3

2

k k

+ + + + =

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:

( 1)[( 1) 1]

1 2 3 ( 1) (2)

2

k k

+ + + + + + =

Thật vậy: VT (2) (1 2 3 = + + + + + + k ) ( k 1)

( 1)

( 1) 2

k k

k

+

( 1) ( 1) 1

2

k + k + +

=

(2)

VP

= Vậy với mọi n ∈ N*, ta có: ( 1)

2

n n

+ + + + =

Xét 2 mệnh đề chứa biến

a Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai?n∈ ¥ *

Trả lời:

a P(n) n ? 3n+1

1 2 3 4 5

3n

b Với mọi P(n) sai; n∈ ¥ *

3 9 27 81 243

4 7 10 13 16

<

>

>

>

>

c

( ) :"3n 3 1"& ( ) :"2n ", *

P n > n+ Q n > n n∈¥

n ≥ ∀ ∈ n N cã > n +

c Dự đoán kết quả tổng quát của P(n)

§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

1 Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các bước sau:

*

n ∈ ¥

1

n k = ≥

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1

B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

2 Ví dụ áp dụng:

Chú ý: (SGK- 82)

HOẠT ĐỘNG NHÓM

: n ≥ ∀ ∈ 2, n N : 3n > 3 n + 1

2

CMR

n

( )

CMR

Với n = 1, ta có VT(1) = 1.(3.1+1) =4 = 1.(1+1)2=VP(1), đẳng thức đúng

Giả sử đẳng thức đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:

2

1.4 2.7 + + + k k (3 + = 1) k k ( + 1)

Ta phải chứng minh đúng với n = k+ 1, tức là :

1.4 2.7 + + + k k (3 + + + 1) ( k 1) 3( k + + = + 1) 1 ( k 1) ( k + + 1) 1 2

Thật vậy:

(2) [1.4 2.7 (3 1)] ( 1) 3( 1) 1

VT = + + + k k + + + k k + +

2

( 1) ( 1) 3( 1) 1

= + + + + +

( k 1)[ ( k k 1) 3 k 4]

= + + + +

2

( k 1)( k 4 k 4)

= + + +

2

( k 1)( k 2)

= + +

(2)

VP

=

(GTQN)

Vậy với mọi n ∈ N*, ta có: 1.4 2.7 + + + n n (3 + = 1) n n ( + 1)2 ( ) 1

2

( k 1)( k 2)

= + +

: ∀ ∈ n N * un = 13n − 1 6 (2) M

1

1 13 1 12 6

1

k

Với n = 1 ta có: (Mệnh đề (2) đúng)

Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:

Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k+ 1, tức là :

Thật vậy:

13k 1 6

k

1

k

13(13k 1) 12

13 uk 12 6

Vậy với mọi n ∈ N*, ta có: un = 13n − 1 6 M

3k > 3 k + 1

( )

Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3) đúng

Giả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:

Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là :

Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có:

1

3k+ > 3( k + + 1) 1

1

3k > 3 k + ⇔ 1 3k+ > 3(3 k + 1)

1

3k+ 9 k 3

1

3k+ 3 k 4 6 k 1

1

Vậy: n ≥ ∀ ∈ 2, n N cã : 3n > 3 n + 1