[toanmath.com] Bài tập phương pháp quy nạp toán học Lê Bá Bảo

[toanmath.com] Bài tập phương pháp quy nạp toán học Lê Bá Bảo tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, b...

Chuyên : DÃY S - C P S C NG – C P S NHÂN

-

I- LÝ THUY T:

ch ng minh m t m nh úng v i m i n ∈ *b ng ph ng pháp quy n p toán h c,

ta th c hi n các b c sau:

B c 1: Ki m tra m nh úng v i n =1

B c 2: Gi s m nh úng v i n=k≥ (gi thi t quy n p) 1

B c 3: C n ch ng minh m nh úng v i n=k+ 1 Chú ý: Trong TH ph i ch ng minh m t m nh úng v i m i s t nhiên n p≥ ( p là s t nhiên) thì thu t toán là:

B c 1: Ki m tra m nh úng v i n= p

B c 2: Gi s m nh úng v i n= p≥ (gi thi t quy n p) 1

B c 3: C n ch ng minh m nh úng v i n=k+ 1 II- BÀI T P MINH H A:

D ng toán 1: CH NG MINH NG TH C- B T NG TH C

Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i *

1 3 5 + + + + 2n−1 =n (1) Bài gi i:

Ki m tra khi n =1: m nh (1) tr thành: 1 1= 2 = ( úng) 1

Gi s m nh (1) dúng khi n=k≥ , t c là: 1

1 3 5 2 1

k

S = + + + + k− =k (gi thi t quy n p)

C n ch ng minh m nh (1) úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1

k

S + =S + k+ − =k + k+ = k+

V y m nh (1) úng v i m i n ∈ *

Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i *

n ∈ thì 2 5 8 (3 1) (3 1)

2

n n

Bài gi i:

Ki m tra khi n =1: m nh (2) tr thành 2=2 ( úng)

Gi s m nh (2) dúng khi n=k≥ , t c là: 1

2 5 8 3 1

2 k

k k

S = + + + + k− = + (gi thi t quy n p)

C n ch ng minh m nh (2) úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1

1

2 k

2 1

Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11

3

V y m nh (1) úng v i m i n ∈ *

Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ≥2thì: 3n >3n+ 1

Bài gi i:

Ki m tra v i n =2 : 9>7 ( úng)

Gi s b t ng th c úng v i n=k (k ≥2), t c là: 3k >3k+ 1

Ch ng minh b t ng th c úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh b t 1 ng th c:

1

3k+ >3 k+1 + 1

Th t v y: 3k >3k+ ⇔1 3k+1>9k+3⇔3k+1>3k+ +3 6k+ − 1 1

3k+ 3 k 1 1 6k 1

V i k ≥2, khi ó 6k − >1 0 nên: 1 ( )

3k+ >3 k+1 + 1

V y 3n >3n+ v i m i 1 n≥2,n∈N*

Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ≥3ta có: 3n >n2+4n+ 5

Bài gi i:

Ki m tra v i n =3 : 27>26 ( úng)

Gi s b t ng th c úng v i n=k≥ , ngh a là: 3 3k >k2+4k+ (gi thi t quy n p) 5

C n ch ng minh b t ng th c úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1

1

3k+ > k+1 +4 k+1 + 5

Th t v y:

2

k

+

V i k ≥3, khi ó 2k2+6k+ nên: 5 1 ( )2 ( )

3k+ > k+1 +4 k+1 +5

V y: 3n >n2+4n+ v i 5 n ≥3

Bài t p 5: V i giá tr nào c a s nguyên d ng n ta có: n n

n

> + Bài gi i:

d) n > n+ n

Ta th v i n =1: 3>2 7+ (Sai), n =2 : 9>4 14+ (Sai), n =3 : 27> +8 21 (Sai)

4 : 81 16 28

n = > + ( úng), n =5 : 243>32 35+ ( úng)

D oán: n > n+ n ∀ ≥n Ch ng minh b ng qui n p toán h c

Ki m tra v i n =4 : 81 16> +28 ( úng)

Gi s b t ng th c úng v i n=k≥4, ngh a là: k > k + k (gi thi t quy n p)

C n ch ng minh b t ng th c úng v in=k+ , t c là c n ch ng minh: 1

k

> + +

3k >2k +7k ⇔3k+ >3 2k +7k =3.2k +21k

3.2k +21k>2k+ +7 k+1 ⇔ 2k +14k−7>0∀ ≥k 4 (2)

T (1) và (2) suy ra: k k ( )

k

> + +

V y: n > n+ n ∀ ≥n

Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n >1, ta có: 1 1 1 13

n+ +n+ + + n > (1) Bài gi i:

Ki m tra (1) v i n =2: 1 1 7 13

3+4 =12 > 24 ( úng)

Gi s (1) úng v i n=k > , t c là: 1 1 1 1 13

k S

C n c/m (1) úng v i n=k+ , t c là c n c/m: 1

1

k

S

Th t v y:

1

k

S

k+ +k+ + k+ + + k + k+ + k+ −k+

2k+1+2k+2−k+1> 13

24+

2k+1+2k+2−k+1

13

> +

24 2 k 1 2k 1

> +

+ + > 13

24 (k >1)

n+ +n+ + + n > úng v i m i n >1

D ng toán 2: BÀI TOÁN CHIA H T

Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i *

n ∈ thì n3−n chia h t cho 3

Bài gi i:

t An =n3− n

Ki m tra v i n =1, A =1 0 3 ( úng)

Gi s m nh An úng khi n=k ≥ , t c là: 1 Ak =k3−k 3 (gi thi t quy n p)

C n ch ng minh m nh An úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh m nh :

( )3 ( )

k

A+ = k+ − k+

k

A+ = k+ − k+ =k + k + k+ −k−

V y n3−n 3 v i m i n ∈ *

Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i *

n ∈ thì n7− chia h t cho 7 n

Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 Bài gi i:

t An =n7−n

B1: Ki m tra v i n=1:A1=0 7 ( úng)

B2: Gi s m nh Ak úng khi n=k≥ , t c là: 1 Ak =k7−k 7 (gi thi t quy n p)

B3: C n ch ng minh m nh An úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh m nh 1 :

( )7 ( )

k

A+ = k+ − k+

Th t v y:

1

k

V y n7−n 7 v i m i n ∈ *

Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i *

n ∈ thì 7n− chia h t cho 6 1 Bài gi i:

t A =n 7n−1

Ki m tra v i n=1:A1 =6 6 ( úng)

Gi s m nh Ak úng khi n=k ≥ , t c là: 1 A =k 7k −1 6 (gi thi t quy n p)

C n ch ng minh m nh An úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1 Ak+1 =7k+1−1 6

1 7k 1 7 7k 1 6 6 k

V y 7n−1 6 v i m i n ∈ *

M T S BÀI TOÁN

Bài t p 5: Cho t ng

n S

a) Tính S1, S2, S3, S4

b) Hãy d oán công th c tính Sn và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p

Bài gi i:

b) T k t qu câu a) ta d oán:

n

n S

n

= + (1) Ta ch ng minh công th c (1) b ng ph ng pháp quy n p

Ki m tra v i n =1: 1 1

3

S = ( úng)

Gi s bi u th c (1) úng v i n=k≥ , t c là: 1

k

k S

k

= +

C n ch ng minh bi u th c (1) úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1

1

1

k

k S

k +

+

=

Th t v y:

1

2

1

k k

+

=

V y

n

n

S

n

=

n

Bài t p 5: Gi s x x1, 2, xn∈R+ và x x1 2 x =n 1 Ch ng minh x1+x2+ +xn ≥n

Bài gi i:

V i n=1:x1 = M nh 1 úng

Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1)

( )

1 2 3 k 1 2 3 k 1 *

N u v i m i x =k 1 thì hi n nhiên : x1+x2+ + xk +xk+1≥k+ 1

N u trong k +1 s có ít nh t m t s l n h n 1, thì t ph i có s nh h n 1

Không gi m tính t ng quát , gi s x >k 1và xk+1< , khi ó ta có: 1

(1−xk+1)(xk −1)>0⇔ xk +xk+1 > +1 x xk k+1 ( )1

Do ó: x1+x2+ +xk +xk+1>x1+x2+ +xk−1+x xk k+1+1 ( )2

Theo gi thi t quy n p , ta suy ra t k s v ph i:

1 2 k 1 k k 1 3

x +x + +x − + x x + ≥k

T (2) và (3) suy ra : x1+x2+ +xk +xk+1 >k+ 1

Bài t p 5: Ch ng minh :

n

n n

a +b a+b

≥ v i : a≥0, b≥0, n∈ * Bài gi i:

V i n =1 M nh úng

Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1): ( )1

k

k k

a +b a+b

Ta ph i ch ng minh :

1

k

a + +b + a+b +

≥

Th t v y, ta nhân hai v c a (1) v i

2

a+b , ta có :

1

k k

a +b a+b a+b a+b a+b +

( )

1

2

k

a + +a b+ab +b + a+b +

Nh ng v i a>0, b> thì : 0 ( ) ( ) 1 1

0

a −b a−b ≥ ⇔a + +b + ≥a b+ab

Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11

3

a + +a b+ab +b + a + +b +

≤

So sánh (2) và (3) ta c i u ph i ch ng minh

Bài t p 1: Cho s th c a > −1 Ch ng minh r ng: ( ) ( *)

1+a n ≥ +1 na ∀ ∈n Bài gi i:

V i n=1: 1( +a)1≥ +1 a ( úng)

Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1): ⇔(1+a)k ≥ +1 ka ( )1

Ta c n ch ng minh B T úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1 (1+a)k+1≥ +1 (k+1)a

1+a k ≥ +1 ka ⇔ 1+a k+ ≥ 1+a 1+ka = +1 k+1 a+ka ≥ +1 k+1 a

1+a n ≥ +1 na ∀ ∈n ( p.c.m)

Bài t p 1: Cho n s th c x x1, 2, x3, , x ∈n (0;1) Ch ng minh r ng (∀ ≥n 2):

(1−x1)(1−x2) 1( −xn)> −1 x1−x2− −xn Bài gi i:

V i n=2 : 1( −x1)(1−x2)= −1 x1−x2+x x1 2 > −1 x1−x2 ( úng)

Gi s m nh úng v i n=k (k ≥2): ⇔(1−x1)(1−x2) 1( −xk)> −1 x1−x2− −xk ( )1

Ta c n ch ng minh B T úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1

(1 x1)(1 x2) 1( xk)(1 xk+1) 1 x1 x2 xk xk+1

Th t v y, ta có: (1−x1)(1−x2) 1( −xk)> −1 x1−x2− −xk

1 2

x x

+

k

+

> − − − −

V y (1−x1)(1−x2) 1( −xn)> −1 x1−x2− −xn (∀ ≥n 2) ( p.c.m)

Bài t p 1: Xác nh công th c t ng quát un c a các dãy ( )un sau:

( )

1 1

1

1

5

1 2

n

u u

+

+

=

= −

Bài gi i:

a) ( )

1

1

1 :

n

u

u

= −

= + ≥ Ta có: u2 = −1, u3 = −1, u4 = − D oán: 1 un = −1 (∀ ≥n 1)

Ch ng minh b ng qui n p toán h c

V i n=1:u1 = − ( úng) 1

Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1): u = −k 1

Ta c n ch ng minh B T úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1 uk+1 = − 1

Th t v y, ta có: uk+1=2uk + =1 2.( )−1 + = − 1 1

V y un = −1 (∀ ≥n 1) (y.c.b.t)

b) ( )

1

1

5 4 :

1

1 2

n

n n

u

u

u

=

+

Ta có:

1 1

1 2

n

+ +

+

Ch ng minh b ng qui n p toán h c

V i 1: 1 5

4

n= u = ( úng)

Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1):

1 1

2

k

u

+ +

+

=

Ta c n ch ng minh B T úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1

2

2

k

u

+

+

=

Th t v y, ta có:

1

k

u u

1 1

1 2

n

+

+

+

= ∀ ≥ (y.c.b.t)

Bài t p 1: Xác nh công th c t ng quát un c a các dãy ( )un sau:

n

n

Bài gi i:

Ta có:

2

D oán: 2 cos 1 ( 1)

2

Ch ng minh b ng qui n p toán h c

V i 1: 1 2 cos 2

4

Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1): 2 cos 1

2

Ta c n ch ng minh B T úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1 1 2 cos 2

2

Th t v y, ta có: 1

1

k

u +

+

Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11

2

V y 2 cos 1 ( 1)

2

u = + ∀ ≥n (y.c.b.t)

III- BÀI T P T LUY N:

Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i *

n ∈ , ta có các ng th c:

1) 1 1 1 1 2 1

n

−

2

3

n n

1.2+2.5 + +n 3n−1 =n n+1 4) 1 4 7 (3 2) (3 1)

2

n n

5) 1.4+2.7+3.10 +n(3n+1)=n n( +1)2 6) ( ) 2

1 3 5 + + + + 2n−1 =n

7)

n n n

+

+

2

n

9)

n

10) 1.2 2.3 3.4 ( 1) ( 1)( 2)

3

Bài t p 2: Ch ng minh r ng: V i m i n ∈ N*:

1) 1 2 3 ( 1)

2

n n

4

n n

1 3 5 + + + + 2n−1 =n

5)

n

−

n

n n +

−

9) 1 4 7 (3 2) (3 1)

2

n n

2

n n

6

3

Bài t p 3: Ch ng minh r ng: V i m i n∈N*:

!

n

−

−

Bài t p 4: Ch ng minh r ng n u ∆ABC vuông t i A, có s o các c nh là , ,a b c thì v i

m i s t nhiên n ≥ , ta có b t ng th c : bn+cn ≤an

Bài t p 5: V i giá tr nào c a s nguyên d ng n , ta có:

+

Bài t p 6: Ch ng minh r ng s !ng chéo c a m t a giác l"i n c nh là ( 3)

2

n n −

Bài t p 7: Cho t ng

n S

n n

+ , v i n∈N* a) Tính S1, S2, S3, S4

b) Hãy d oán công th c tính Sn và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p

Bài t p 8: Cho t ng

n S

− + , v i n ∈ * a) Tính S1, S2, S3, S4

b) Hãy d oán công th c tính Sn và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p

Bài t p 9: Cho n s th c ,a a , a , , an th a − <ai ≤ (i = ,n)

Ch ng minh r ng: ∀ ∈n * ta có:

( +a )( +a ) ( +an)≥ +a +a + +an

Bi t p 10: Ch ng minh r ng v i các s th c ,a a , a , , an (∀ ∈n *), ta có:

a +a + +a ≤ a + a + + a Bài t p 11: Ch ng minh r ng ∀ ∈n N*:

Bài t p 12: V i giá tr nào c a s nguyên d ng n ta có:

+

Bài t p 13: Cmr s !ng chéo c a m t a giác l"i n c nh (n ≥4) là ( 3)

2

n n −

Bài t p 14: Xác nh công th c t ng quát un c a các dãy ( )un sau:

( )

( )

1

1

1

1

1

n

n

u

u

+

=

+

áp s :

Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11

1

n