* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức
Trang 1* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây
1 a2 +b2 ≥ 2ab (a,b>0) (BĐT Cô-si)
2 (a+b)2 ≥ 4ab
3 2(a2 +b2)≥(a+b)2
4 + ≥ 2 ;a,b> 0
a
b b a
5 1 1 4 ; , > 0
+
≥
b a b a
6 a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ca
7 (ax+by)2 ≤(a2 +b2)(x2 +y2) ( Bu nhi a cop xki)
y x
b a y
b x
a
+
+
≥
2
z y x
c b a z
c y
b x
a
+ +
+ +
≥ + +
2 2
2 2
b
ca a
bc c
ab+ + ≥ + + (Với a,b,c > 0)
b
ca a
bc c
ab
2 2 2 2 2
+ − +
+ − +
b
a a
b c a
c c
a b b
c c
b a
Áp dụng bất đẳng thức + ≥ 2 ;a,b> 0
a
b b
a
.Ta có:2A - 2B ≥a(2 − 2) (+b 2 − 2) (+c2 − 2)≥ 0.Vậy A ≥ B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0
Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1
Chứng minh rằng : 1 2 2 2 ≥ 8
+
+
y x
4 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1
y xy x y
x xy y
x xy y
x
xy+ + = + + = + + ≥ + +
( 8 )2 =8
+
=
y
x Đẳng thức xảy ra khi
2
1
=
=y x
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức :
a
b b
c c
a a
c c
b b
a
+ +
≥ + + 22 22
2 2
Giải:
c
a c
b b
a c
b
b
a
2 2
2
2 2
2
=
≥
a
b a
c c
b a
c c
b
2 2
2
2 2
2
=
≥
b
c b
a a
c b
a a
c
2 2
2
2 2
2
=
≥ +
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
a
b b
c c
a a
c c
b b
a
a
b b
c c
a a
c c
b b
a
+ +
≥ + +
⇒
+ +
≥
+ +
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2 2
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Tiết 21-24
Ví dụ 12:Cho a > 0 và b > 0
Trang 2c b a c b a b a c a c b b a
a
c
c
b+ + + + + > + + + + + + + + = + +
3 1
1 1
1 1
1
Ví dụ 13: Chứng minh:
4
1 1
4
1 3
1 2
1
3 3
3
3 + + + + <
=
n
1 1
1 1
1
2 3
3 < k −k = k k − = k− k k+
Và : ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) 1) ( 1)
2 1
1
1 1
1
1 1
1
+
−
= +
−
−
− +
= +
−
n n
k k k
k
1 1
1 1
1
2 3
3 <k −k = k k − = k− k k+
k =21(k −11)k −(k +11)k
Suy ra: A <2111.2−21.3+21.3−31.4 + +(n−11)n−n(n1+1)
1 1
1 2
1
2
+
−
=
n n
==========o0o==========
Bài tập áp dụng:
38 Chứng minh:B =
2 1 2
1
3
1 2
1
− + + + + Với n là số tự nhiên và n≥ 2
39 Bài 29:Cho C a a b c b c b d c d c a+d+d a+b
+ +
+ + +
+ + +
=
(a,b,c,d >0) Chứng minh rằng :1 <C < 2
40 Chứng minh 1 1 1 1 1 1 ≥23
+
+ +
+ +
=
xz yz
xy
P Trong đó x , y , z là 3 số dương và
3
2 2
x
HƯỚNG DẪN:
1 2
1
3
1 2
1
− + + +
n n n
B
2
1 2
1
1 2
1 8
1
5
1 4
1 3
1 2
1
+ +
+
+ + +
n n
1 2
1
2
1 8
1
8
1 4
1 4
1 2
1
+
+
+ + +
<
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2
1 2
1 2
1
n
>
− +
=
− +
+ + + +
=
48
c b a d
d b
a d c
c a
d c b
b d
c b
a
a
C
+ + +
+ + + +
+ + + +
+ + +
+
>
c b a d
c d b a d c
b c a d c b
a b d c b a
d a C
+ + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+
<
49 Áp dụng BĐT 9 ta có ( 2 2 2)
9
P
+ + +
≥
Trang 3Tiết 25-28
* Với a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác ta cần nhớ các tính chất sau:
• a,b,c là các số dương
• Tổng 2 cạnh bất kì lớn hơn cạnh còn lại
• Tỉ số giữa 1 cạnh với 2 cạnh còn lại bé hơn 1
Ví dụ 14:Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh rằng :
c b a b c a a c b c b
a
1 1 1 1
1 1
+ +
≥
− +
+
− +
+
−
+
Giải:
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a + b - c > 0;
a + c - b > 0; b + c - a > 0
Áp dụng BĐT 1 1 4 ; , > 0
+
≥
b a b
b b a c b c b
a
2 2
4 1
− +
+
−
− +
+
−
− +
+
−
+ +
≥
− +
+
− +
+
− +b c b c a a c b a b c
a
1 1 1 2 1
1 1
c b a b c a a c b c b
a
1 1 1 1
1
− +
+
− +
+
−
Ví dụ 15:Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác Chứng minh rằng : < 2
+
+ +
+
c a c
b c b a
Giải:
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a < b + c
⇒
c b a
c a c b
a c
b
a
+ +
+
<
+
⇒
<
+ 1 tương tự b a c b a c< a+b a+c
+
⇒
<
+
2
1 ;a b c < a+b b+c
+
2
;
c b a
c b
a
c
+ +
<
+
2
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM
BÀI TẬP:
50 Chứng minh rằng :
(a + b -c)( a - b + c)(-a + b + c) ≤abc.Với a,b,c là 3 cạnh tam giác
51 Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh rằng a2 +b2 +c2 < 2(a+b+c)
52 Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh rằng
3
≥
− +
+
− +
+
−
c b c a
b a c
b
a
53 Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác
Chứng minh rằng a+1b,b+1c,a+1c cũng là 3 cạnh của 1 tam giác
==========o0o==========
Trang 4z = b + c - a Áp dụng bài tập 28 ta có ĐPCM Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b = c.Hay tam giác đã cho là tam giác đều
51 Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a < b + c
⇒a2 <ab+ac tương tự b2 <bc+ab;c2 <bc+acCộng từng vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM
52 Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; z = b + c - a Suy ra :
6
≥ + + + +
+
y
z x x
z y z
y
x
53 Ta cần chứng minh a c b c > a+b
+
+ +
1 1
1
; a b a c >b+c
+
+ +
1 1
1
; a b b c >a+c
+
+ +
1 1
1
Dựa vào tính chất tổng 2 cạnh lớn hơn cạnh còn lại ,chứng minh :
b a c b c
a+ + + > +
1 1
1
bằng cách làm trội 2 lần liên tiếp.Tương tự : a b a c >b+c
+
+ +
1 1
1
; a b b c > a+c
+
+ +
1 1
1
=========o0o==========
Trang 5Tiết 29-32
Ví dụ 14:Cho a2 +b2 ≤ 2 Chứng minh rằng a+b≤ 2
Giải:
Giả sử : a+b> 2 ( )2 2 2 2 4
>
+ +
= +
⇒ a b a b ab mặt khác:
2
2
2 +b + ab≤ a +b ⇒ a +b > ⇒a +b >
Điều này trái với giả thiết a2 +b2 ≤ 2.Vậy a+b≤ 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
Ví dụ 15: Cho 3 số dương a,b,c nhỏ hơn 2 Chứng minh rằng có ít nhất một trong các BĐT sau là
sai:
a(2 - a) > 1; b(2 - b) > 1; c(2 - c) > 1
Giải: Giả sử cả 3 BĐT trên đều đúng Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có: a(2 - a) b(2 - b) c(2 - c) >
1
Nhưng a(2 - a) = 1 - (a2 - 2a + 1) ≤ 1; tương tự:
b(2 - b) ≤ 1: c(2 - c) ≤ 1 Mâu thuẫn với điều giả sử.Vậy có ít nhất một trong ba BĐT trên là sai
Bài tập áp dụng
54 Cho a + b + c > 0 abc > 0; ab + bc + ca > 0,Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0
55 Cho 3 số dương a , b,c Chứng minh một trong 3 BĐT sau là sai:
2
1 <
+
b
a ; +1< 2
c
b ; +1 < 2
a c
56 Chứng minh không có các số dương a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau:
4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1
57 Chứng minh không có các số a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau:
;
a c
b− > c−a >b; a−b >c;
58 Cho ba số dương x,y,z và xyz = 1.Chứng minh nếu:
z y x z y
x+ + > 1+ 1+1 thì có một và chỉ một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
59 Cho 4 số dương a,b,c,d Chứng minh không thể đồng thời xảy ra các BĐT sau:
a + b < c + d ; (a + b)(c + d) < ab + cd; (a + b)cd < (c + d)ab
HƯỚNG DẪN :
54 Giả sử a≤ 0
*Nếu a = 0 Suy ra abc = 0 vô lí
*Nếu a < 0 Suy ra b + c > 0 Do abc > 0 ⇒ bc < 0
⇒ ab + bc + ca < 0.Chứng minh tương tự với b,c
55 Giả sử +1 < 2
b
a ; +1< 2
c
b ; +1 < 2
a c
Thì + 1+ +1+ +1 < 6
a
c c
b b
56 Giả sử: 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1
Thì : 64(1 - a)(1 - b) (1 - c) > 1 (*) và (1 - a) > 0; (1 - b) > 0:
(1 - c) > 0
Nhưng 4a(1 - a) ≤ 1; 4b(1 - b) ≤ 1; 4c(1 - c) ≤ 1
Khi đó: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) ≤ 1(**)
(*) mâu thuẫn với (**)
57 Giả sử cả 3 BĐT trên đều đúng Ta có từ
• b−c >a; ⇔(b−c)2 >a2 ⇔(b−c)2 −a2 > 0 ⇔(b−c+a)(b−c−a)> 0
>
−
− +
−
⇔
>
−
−
⇔
>
−
• a−b >c; ⇔(a−b)2 >c2 ⇔(a−b)2 −c2 > 0 ⇔(a−b+c)(a−b−c)> 0
Nhân theo vế 3 BĐT này ta suy điều vô lý
Trang 6I CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN :
• Khi chứng minh các BĐT có điều kiện dạng: a1+a2+ +a n ≥m,ta thường dùng ẩn phụ để đưa bài toán về dạng đơn giản hơn để đánh giá trực tiếp
• Các bước như sau:
1 Dự đoán đẳng thức xảy ra khi nào
n
m a x n
m a
x1 = 1− ; 2 = 2 − ; n = n −
Ví dụ 16: Cho a,b,c thoả mãn: a + b ≥ c ≥ 0
Chứng minh: 2 2 2
2
1
c b
a + ≥
Giải:
Đặt:
2
c
a
x= − ;
2
c b
y = − Vì a + b ≥ 0
Do đó x + y = a + b - c ≥ 0 Ta có:
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
1 2 1
4
1 4
1 2
2
c c y x
c
y
x
c cy y c cx x c y c
x
b
a
≥ + + +
+
=
+ + + + +
=
+ +
+
=
+
Ví dụ 17: Cho a,b thoả mãn: a3 +b3 ≤ 2
Chứng minh: a+b≤ 2
Giải:
Đặt: x=a− 1;y =b− 1.Ta có: ( ) ( )
1 1
2 2 2
2
3 3
3 3
+ + + + +
− +
=
= + + +
= +
y x y
xy x y x
y x
b a
4
3 2
2 2 2
2
≤ + + +
+ +
−
+
0 3
; 0 3 4
3
2
2 2 2
2
≤ +
⇒
≤
+
⇒
≥ +
>
+ +
−
b a y
x
y x y
y
x
BÀI TẬP:
Bài 40:
Đặt: x=a− 1; y =b− 1; z =c− 1
Suy ra : x , y , z ∈[− 1 ; 1] ;x + y + z = 0
Ta có:
( )2 2 3
2
2
2 +b +c = −z +z +
a
Bài 41:
5
1 1
x x x
x
b
a
x b
x
a
+ +
=
− + +
=
+
−
=
⇒
+
=
Bài 42:
Đặt a=x+ 1 ⇒b=y+ 1 ⇒c= 1 −x−y
6 4
3 2
2 2 2
2
+
= + + +
+
a
Bài 43:
Đặt c=a+x⇒ d =b−x
ab x x b a cd
d
4
3 2
2 2 2
− +
=
+
+
Bài 44: Cho a,b thoả mãn:a+b≥ 2 Chứng minh rằng:
⇒
Trang 7( ) ( ) ( 1)
2
1 1
2
2
3 3
3 3
4
4
+
=
− + +
=
−
−
+
x
x
x x x x b
a
b
a
Bài 47: Cho a , b > 0.Thoả mãn a + b = 1
Chứng minh rằng: 2 2 3 2 ≥ 14
+
+
b a
Bài 48: Cho a + b + c + d = 1
Chứng minh rằng: ( )( )
2
1 2
+ + +c b d ac bd a
Bài 49: Cho a + b = 8 và b ≥ 3
Chứng minh rằng: 27a2 + 10b2 > 945
II MỘT CÁCH KHÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN :
• Dạng: Cho A≥B Chứng minh C≥D
• Ta chứng minh (C−D) (+ B−A)≥ 0
• Từ (B−A)≤ 0 ⇒(C−D) ≥ 0
Ví dụ 18: Cho a + b ≥ 1 Chứng minh rằng:
2
1 2
2 +b ≥
a
Giải:
0 2
1 2
1 4
1 4
1
1 2
1
2 2
2 2
2
2
≥
− +
−
=
− + +
=
−
− +
a a
b b a
a
b a b
a
Nhưng a + b ≥ 1 nên a2 +b2 ≥21.Đẳng thức xảy ra khi a = b = 0,5
Ví dụ 19: Cho a,b thoả mãn:a+b≥ 2 Chứng minh rằng: a3 +b3 ≤a4 +b4
Giải:
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1
1
1 1
1 1
2
2 2 2
2
3 3
3
3
3 3
4
4
+ +
− + + +
−
=
−
− +
−
−
=
−
−
−
−
− +
−
=
+
− + +
−
+
b b b a
a
a
b b a
a
b a
b b
a
a
b a b
a
b
a
Do (a2 +a+ 1)> 0và (b2 +b+ 1)> 0
Nên (a4 +b4) (− a3 +b3)+ 2 −(a+b)≥ 0
Mà a+b≥ 2 Suy ra: a3 +b3 ≤a4 +b4.Đẳng thức xảy ra khi
a = b = 1
Bài tập áp dụng
Bài 50: Cho x , y là các số dương thoả mãn x3 +y4 ≤x2 +y3Chứng minh rằng:
a) x3 +y3 ≤x2 +y2
b) x2 +y3 ≤x+y2
Bài 51:Chứng minh rằng: Nếu a+b+c≥ 3
Thì a4 +b4 +c4 ≥a3 +b3 +c3
Bài 52: Cho x2 +y2 ≤x+y Chứng minh rằng:x+y≤ 2
Bài 53: Cho x3 +y3 =x−y Chứng minh rằng:x2 +y2 < 1
Bài 54: Cho ab ≥ 1 Chứng minh rằng:a2 +b2 ≥a+b
Bài 55: Cho x2 +y2 ≤x Chứng minh rằng:y(x+ 1)≥ − 1
========o0o========
n
n n
n
x x
x
a a
a x
a x
a x
a
+ + +
+ + +
≥ + + +
2 1
2 2
1 2
2
2 2 1
2 1
`
Bài 56: Cho các số dương x,y thoả mãn x + y = 1
Chứng minh rằng: 1 2 2 2 ≥ 8
+
+
y x xy
Trang 8Bài 58: Cho các số dương a,b,c,d
+
+ + +
+ + +
+ + +
+
a d
b d d c
a c c b
d b b a
c a
Bài 59: Cho các số dương x,y,z Chứng minh rằng:
y x z x z y z y x x z z
y
y
1 2
1 2
1 3
1 3
1
3
1
Bài 60: Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc = ab + bc + ca.
Chứng minh rằng: 21 3 21 3 21 3 <163
+ +
+ + +
+ +
a