Tìm tất cả các số có ba chữ số chia hết cho 11 sao cho thương số trong phép chia số đó cho 11 bằng tổng bình phương các chữ số.. Chứng minh rằng M là một tập hợp của tất cả các ước của
Trang 11 LÝ THUYẾT CHIA HẾT
1 (Hanoi 2002) Cho a b,
sao cho a2 b ab2 Tính
A
ab
2 (Kvant, Russia) Cho 1 2
*
, ,.a , n 1;1 ,n
a a a a a a Chứng minh rằng: n 4
3 (IMO 2001) Cho a b c d là những số nguyên dương và giả sử
ac bd b d a c b d a c Chứng minh rằng: ab cd không phải là số nguyên tố
4 (Spanish MO 1996) Cho ,a b sao cho: a 1 b 1
Chứng minh rằng ước chung lớn nhất của a và b không vượt quá a b
5 (Russia 2001) Cho ,a b và a b thỏa: ab a b chia hết cho a2 ab b 2 Chứng minh rằng: a b 3ab
6 (HMMT 2002) Hãy tính 2002 2;2002 2 2;20023 2;
7 (K
u rschák 1953) Cho n d,
sao cho d n Chứng minh rằng 2 2 n2 d không thể
là số chính phương
8 (IMO 1960) Tìm tất cả các số có ba chữ số chia hết cho 11 sao cho thương số trong
phép chia số đó cho 11 bằng tổng bình phương các chữ số
9 (VMO 2007) Cho x y , \ 1 sao cho
Chứng minh rằng:
4 44
x y x
10 (IMO 1967) Cho k m n , , * sao cho m k 1 là số nguyên tố lớn hơn n 1 Đặt
1
s
c s s Chứng minh rằng: 1 2
1
n n m i k
i
11 (Romania 1999) Cho , ,a b c là những số nguyên khác không, a sao cho c
Chứng minh rằng:
a b c không phải là số nguyên tố
12 (Romania 1999) Cho p q r, , là các số nguyên tố và n là một số nguyên dương sao
cho p n q n r2 Chứng minh rằng: n 1
13 (IMO 1969) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương a thỏa z n4 a không phải là số nguyên tố với mọi số nguyên dương n
14 (IMO 1984) Tìm hai số nguyên dương ,a b thỏa mãn hai điều kiện:
(i) ab a b không chia hết cho 7 ; (ii) a b 7 a7 b7 chia hết cho 7 7
Trang 215 (Vietnam 1983).Cho n,n 3 Chứng minh rằng nếu 2n 10a b 0 b 10
thì tích ab chia hết cho 6
16.(Romania 2003) Cho n là một số nguyên dương chẵn và cho , a b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau Tìm a và b nếu a b a n b n
17 Chứng minh rằng 345 456 là một tích của hai số nguyên mà mỗi số này lớn hơn
2002
10
18 Cho p là một số lẻ và n là một số nguyên dương Chứng minh rằng 2
n
19 Tìm tất cả các cặp số nguyên m n sao cho những số ,
An mn m B n mn m C n mn m
có một ước chung lớn hơn 1
20 Cho M là một tập hợp tất cả các giá trị ước chung lớn nhất của d của các số
A n m B n m C n m với m n, là những số nguyên dương Chứng minh rằng M là một tập hợp của tất cả các ước của một số nguyên k
21 (St Petersburg City MO 1998) Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n , giữa n 2
và n 12 có thể tìm được ba số tự nhiên , ,a b c sao cho a2 b2 chia hết cho c
22 (India 1998) Tìm tất cả các bộ ba x y n nguyên dương sao cho , , x n , 1 và 1
1
1
23 (APMO 1999) Tìm số nguyên lớn nhất chia hết cho tất cả các số nguyên dương bé
hơn căn bậc ba của nó
24 (Russia 2001) Tìm số nguyên dương lẻ n 1 sao cho a và blà hai ước nguyên tố
cùng nhau bất kì của n thì a b 1 cũng là ước của n
25 (Vietnam 1979) Cho m n, là hai số nguyên tố cùng nhau Hãy tìm m n m, 2 n2
26 Cho , , ,a b c d là các số nguyên dương thỏa mãn ab cd Chứng minh rằng
A a b c d là hợp số với mọi n nguyên dương
27 Có tồn tại hay không 2013 số nguyên dương a a1, , ,2 a2013 sao cho các số
1 2, 1 2 3, , 1 2 2013
a a a a a a a a đều là số chính phương?
30 (Vietnam TST 1992) Chứng minh rằng:
125 25
không phải là số nguyên tố
31 Cho x y p, , là các số nguyên và p sao cho mỗi số 1 x2012 và y2013 đều chia hết cho
p Chứng minh rằng: A 1x y không chia hết cho p
32 Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước số tự nhiên của p4 là một
số chính phương
33 Chứng minh rằng một số nguyên tố tùy ý có dạng 22n 1,n không thể biểu diễn được dưới dạng hiệu các lũy thừa bậc 5 của hai số tự nhiên
Trang 334 Chứng minh rằng với m 2 , giữa m và m! có ít nhất một số nguyên tố Từ đó suy
ra rằng có vô số số nguyên tố
35 Có tồn tại một số tự nhiên n có thể viết dưới dạng: n x!y! với x y,
và
x y bằng hai cách khác nhau hay không?
36 Chứng tỏ rằng số 444444 303030 3 không thể biểu diễn dưới dạng xy 32 với ,
x y
37 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 ta có:
1
2 1 0
n
n k
n n k k
chia hết cho 4n 1
38 Tìm tất cả các số hữu tỉ dương x y, sao cho x y và 1 1
x y là các số nguyên
39 Cho p là số tự nhiên lẻ và các số nguyên , , , ,a b c d e thỏa mãn các điều kiện:
a b c d e ; a2 b2 c2 d2 đều chia hết cho p Chứng minh rằng số
a b c d e abcde cũng chia hết cho p
40 Cho 5 số nguyên phân biệt tùy ý a a a a a1, , , ,2 3 4 5 Xét tích sau đây:
1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5
P a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Chứng minh rằng: P chia hết cho 288
41 Giả sử phương trình x2003 ax2 bx c 0 với các hệ số nguyên , ,a b c có ba
nghiệm nguyên x x x1, ,2 3 Chứng minh rằng: , ,a b c có ba nghiệm nguyên
a b c 1x1 x2x2 x3x3 x1 chia hết cho 2003
42 Cho ba số nguyên dương khác nhau x y z, , Chứng minh rằng:
x y 5 y z 5 z x5 chia hết cho 5 x y y z z x
43 Giả sử rằng số nguyên tố p có thể được viết thành hiệu hai lập phương của hai số
nguyên dương khác nhau Chứng minh rằng khi đem 4p chia cho 3, nếu loại bỏ phần dư
đi thì sẽ nhận được số là bình phương của một số nguyên lẻ
44 (Komal - Hungary C.640, 2001) Tìm tất cả các số tự nhiên thỏa mãn tính chất sau:
Nếu thay đổi hai chữ số cuối cùng của bình phương số tự nhiên đó, ta nhận được bình
phương của số tự nhiên liền sau nó
45 (Komal - Hungary C.676, 2002) Tìm số nguyên ,a b sao cho a4 a b 4 b4 là
số chính phương
46 (Komal - Hungary B.3525, 2002) Chứng minh rằng trong dãy 1; 31; 331; 3331; có
vô hạn các hợp số
47 (Komal - Hungary B.3474, 2001)
Xác định chữ số thứ 73 tính từ bên phải của số : 2
112
111 1
48 (Komal - Hungary A.243, 2000) Xác định tất cả các số nguyên tố p q, sao cho:
Trang 42 1 1 3 1
n
với n 1,n
49.(Komal - Hungary A.244, 2000) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho
n a b với ,a b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và ab chia hết cho mọi số nguyên tố bé hơn hoặc bằng n
50 (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1995) Chứng minh rằng với
mọi số nguyên dương n , mệnh đề sau đây đúng: “ Số 7 là một ước số của 3n n3 nếu chỉ nếu 7 là một ước số của 3n n ” 3 1
51 (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1995)
Cho
2
1
A
và
2
x B
Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao
cho 2
3
A B
C là một số nguyên
Giải
52 (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1996) Cho số nguyên dương
n và số thực sao cho cos 1
n
Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho cos k
là một số nguyên
53 (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1997) Tìm tổng tất cả các số
tự nhiên dạng: a a a sao cho: 1 2 2n
(i) Không có một chữ số a i nào bằng 0
(ii) Tổng a a1 2 a a3 4 a2n1 2a n là một số chẵn
54.(The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1999) Tìm số tự nhiên n
nhỏ nhất sao cho tổng bình phương các ước số của nó ( kể cả 1 và n ) bằng n 32
55.(The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 2000)
Chứng minh rằng chữ số hàng trăm của số 21999 22000 22001 là một số chẵn
56 Viết tổng
n
n
thành phân số tối giản p
q Chứng minh rằng: p 8
với mọi n 4
57 (APMO 1999) Xác định tất cả các cặp số nguyên a b sao cho hai số ; a2 4b và
b a đều là những số chính phương
58 (Singapore 1995-1996) Với mỗi số nguyên dương k Hãy chứng minh rằng tồn tại một số chính phương có dạng: n2k , trong đó n là số nguyên dương 7
59 (Singapore 1996-1997) Ta viết bốn số nguyên a b c d0, , ,0 0 0 trên một đường tròn theo chiều kim đồng hồ Bước đầu tiên ta thay a b c d0, , ,0 0 0 bằng các số a b c d1, , ,1 1 1 với
a a b b b c c c d d d a Ở bước tiếp theo ta thay a b c d1, , ,1 1 1 bằng các số a b c d2, , ,2 2 2 sao cho a2 a1 b b1, 2 b1 c c1, 2 c1 d d1, 2 d1 a1
Trang 5Tổng quát ở bước thứ k , ta nhận được các số a b c d k, , ,k k k trên đường tròn sao cho:
a a b b b c c c d d d a
Sau 1997 lần thay thế như trên ta đặt a a1997,b b1997,c c1997,d d1997
Hỏi tất cả các số bc ad ac bd ab cd , , có đồng thời là các số nguyên tố hay
không? Chứng minh cho câu trả lời
60 (Hungary 2000) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho với số p đó tồn tại các số nguyên dương n x y, , thỏa p n x3 y3
61 (China 2001) Cho 7 số nguyên tố khác nhau có thể được viết thành:
a b c a b c a b c a b c a b c trong đó, hai trong ba số ; ;a b c có tổng bằng 800 Gọi d là khoảng cách giữa số lớn nhất
và số nhỏ nhất trong 7 số nguyên tố Hỏi giá trị lớn nhất có thể có của d?
62 Cho đa thức P x có các hệ số nguyên, biết rằng tồn tại số nguyên dương c sao cho
không có số nào trong các số: P 1 ,P 2 , ,P c chia hết cho c Chứng minh rằng với
mọi số nguyên b, ta có: P b 0
63.Chứng minh rằng nếu x22y là một số chính phương với ,x y thì x2y là tổng của hai số chính phương
64 Tìm số nguyên tố p sao cho 2p là lập phương của một số tự nhiên 1
65 Chứng minh rằng đa thức:
9999 8888 7777 6666 4444 3333 2222 1111
1
chia hết cho đa thức: 9 8 7 6 5 4 3 2
1
Q x x x x x x x x x x
66 (Bulgaria MO 1995, Round 3 ).Tìm tất cả các số nguyên dương x y, sao cho
là số nguyên và nó là ước của 1995
67 (Bulgaria MO 1995, Round 4 ) Giả sử x y; là các số thực khác nhau sao cho có bốn
số nguyên dương n liên tiếp nhau để
là một số nguyên Chứng minh rằng:
n n
là một số nguyên với mọi số nguyên dương n
68 (Bulgaria MO 1996, Round 3) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 3, tồn tại các số nguyên dương lẻ x n và y n sao cho: 7 2 2 2n
n n
x y
69.(Bulgaria MO 1998,Round 4) Gọi m n, là các số tự nhiên sao cho
3 1
3
n
m
A
m
là số nguyên Chứng minh rằng A là một số nguyên lẻ
70 (diendantoanhoc.net) Cho a b c d; ; ;
thỏa mãn ac bd a 2 b2
Trang 6Chứng minh rằng: a2 b c2; 2 d2 1
71 Tìm n nguyên dương sao cho: 3 3 3 3
1 2 n 2n 4 7225
72 Tính: 1999
45 1999
, trong đó: a là ký hiệu phần nguyên của số a
73 Chứng minh rằng: 2 3n
là số lẻ với mọi số tự nhiên n
2 QUAN HỆ ĐỒNG DƯ
1 (Komal-Hungary C.691, 2002) Cho hình lập phương có ba cạnh là các số nguyên
Tổng thể tích của chúng bằng 2002 đơn vị được không?
2 (Komal - Hungary A.271, 2001)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p , số 5
2 0 3
k p p k
C p
chia hết cho p
3 (Komal - Hungary A.271, 2001)
Tìm các cặp số a b sao cho ; a b,
và a2 ab b 2 là bội số của 7 5
4 Cho p là số nguyên tố lẻ Chứng minh:
0
p
p p k k
C C
chia hết cho p 2
5 Chứng minh rằng số: 222555555222 chia hết cho 7
6 Tìm bộ số nguyên dương m n; sao cho pm2n2 là số nguyên tố và m3n3 4 chia hết cho p
7 Chứng minh rằng: 22 11 3
0
2
n
k k n k
C
không chia hết cho 5 với mọi n là số tự nhiên
8 Cho p là số nguyên tố khác 2 và a b là hai số tự nhiên lẻ sao cho , a b chia hết cho
p và a b chia hết cho p Chứng minh rằng: 1 a b b a chia hết cho 2 p
9 Cho số nguyên tố p và m, n là hai số nguyên tố cùng nhau sao cho 3
2
m
n p Chứng minh rằng m chia hết cho p
10 (Baltic 2001) Cho a là số nguyên dương lẻ, m và n là hai số nguyên dương phân
biệt Chứng minh rằng: a2n 2 ;2n a2m 22m 1
11 Cho n là số tự nhiên Chứng minh rằng: 5 n 1 !
n
chia hết cho n 1 Biết a
là ký hiệu phần nguyên của a
12 Tồn tại hay không một số nguyên x sao cho x2 x 1 2003?
Trang 713 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n là ước số của 312 nhưng n không 1
là ước số của 3i 1
với mọi i 1,2, 3, ,11 Có bao nhiêu số n chẵn và bao nhiêu số n
lẻ?
14 Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p , tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa
mãn: 2n n p
15 Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2 2
5p 1 0 modp
16 Cho ;a b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng tồn tại các
số nguyên dương m n, sao cho: a m b n 1 ab
17 Cho n là số nguyên dương lẻ và có các số nguyên tố là 5 p p1, , ,2 p k Chứng minh rằng 2 n 1
có ước số nguyên tố không thuộc tập p p1; ; ;2 p k
18 (IMO 1978) Cho m và n là những số tự nhiên với n m 1 Trong cách viết thập phân ba chữ số cuối cùng của 1978m
theo thứ tự bằng ba chữ số cuối cùng của 1978n
Tìm các số m và n sao cho tổng m n nhỏ nhất
19 (VMO 2001 A) Cho số nguyên dương n và hai số nguyên tố cùng nhau , a b lớn
hơn 1 Giả sử p q, là hai ước lẻ lớn hơn 1 của a6n b6n Hãy tìm số dư trong phép chia
6n 6n
p q cho 6.12n
20 (VMO 2008) Đặt m 20072008 Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà n m và
2 1 5 2
n n n chia hết cho m
21 Chứng minh rằng không tồn tại một dãy vô hạn tăng các số nguyên tố p thỏa mãn n
p p với mọi n 1
22 Cho p là số nguyên tố, r r1; ; ;2 r và p s s1; ; ;2 s là các hệ thặng dư đầy đủ p
modulo p Hỏi tập hợp r s r s1 1; 2 2; ;r s có phải là một hệ thặng dư đầy đủ modulo p p p
không?
23 Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố thì p2 ! 1 nhưng nếu p p thì 5
p 2 ! 1 không phải là một lũy thừa của p
24 Chứng minh rằng: 52013n 7 chia hết cho 12 với mọi số tự nhiên n
25 (Nordic 1998) Cho n là một số nguyên dương Chứng minh rằng các số
0;1;2; ;n
k thỏa mãn C lẻ là một lũy thừa của 2 n k
26 (Korea 1999) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2 n 1 3
và 2 1
3
n
là ước
số của một số nguyên có dạng 4m 2 1
Trang 827 (Bulgaria) Cho a n 74 3 ,n n 1 Chứng minh rằng trong biểu diễn thập phân của a n có ít nhất n chữ số 9 nằm sau dấu phẩy
28 (Ukraine 1976) Tìm bốn chữ số cuối cùng của số:
19761976 1974197419761975 19741973
29 Tìm ba chữ số tận cùng của số
10000 1995
1994
1993
3 DÃY SỐ VÀ SỐ HỌC
1 Cho dãy số u n xác định bởi :
1
1
1
u
Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy số đều là số nguyên
2 Cho dãy số u n xác định như sau :
1
1
! , n
n
Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy đều nguyên
3 Cho dãy số u n xác định bởi :
2
, n 1
n
u
Chứng minh rằng : u1u2 u40 là một số nguyên
4 Cho dãy số vô hạn u n xác định như sau : 2
n
u n n , *
n
Chứng minh rằng không có phần tử nào của dãy là lập phương của một số nguyên
5 Cho dãy số u n được xác định như sau:
2,
n
u n
Chứng minh rằng u2k1 , k là một số chính phương
6 Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy u n xác định bởi:
0
2 1
1
u
đều nguyên
7 Cho m Dãy u n được xác định theo công thức:
1
1
1
u
Tìm m để dãy u n là một dãy số nguyên
Trang 98 Dãy số u n được xác định theo công thức: 1 3 2
1
2
u
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì dãy các tổng tương ứng:
u u u đều chia hết cho p
9 (Putnam 1999) Dãy số nguyên u n được xác định như sau:
4
n
n n
u u
Chứng minh rằng u luôn là bội của n n
10 Dãy số u n được xác định như sau: 1
7
u
Chứng minh rằng u1996 chia hết cho 1997
11 Cho dãy số u n xác định như sau:
1
2012, 2013
Chứng minh rằng số 2 2 2
1 1 2 1 2013 1 1
A u u u là số chính phương
12 Cho dãy số u n xác định bởi: 1 1 1
3 7
5
n
u
Chứng minh rằng u luôn là số nguyên và chia hết cho 8 n
13 (VMO 1997) Cho dãy số nguyên u n được xác định như sau:
0 1, 1 45, n 2 45 n 1 7 n
u u u u u n
a) Tính số các ước dương của u n21u u n n2 theo n
b) Chứng minh rằng 1997u n27n1.4 là số chính phương với mỗi n
14 Cho dãy số u n xác định bởi:
2
1 1
1
0
2 1
n
n
u u
u
Chứng minh rằng u nguyên với mọi n n
15 Cho k và dãy số * u n thỏa mãn điều kiện: u0 1; u1 1; u n2 4u n1u n
Chứng minh rằng: u n 3k khi và chỉ khi n3k
16 Cho dãy số u n được xác định bởi công thức: 1 2
Chứng minh rằng u n không thể biểu diễn được dưới dạng tổng lũy thừa bậc 6 của ba số nguyên dương
Trang 1017 Gọi là nghiệm dương của phương trình: t22014t và dãy 1 0 u n được xác định như sau: u0 1,u n1 u n n , ở đây x là ký hiệu phần nguyên của số thực x Tìm số
dư u2014 khi chia cho 2014
18 Cho dãy số u n xác định như sau: 2 2 2 2 *
n
u n n n n n
Tìm tất cả các số hạng của dãy chia hết cho 10
19 Dãy số u n xác định như sau: u n n 2 n
Chứng minh rằng có vô số số hạng của dãy là số chính phương
20 Cho dãy số u n , v n xác định bởi: u0 3, u12, u n 3u n14v n1,v n 2u n13v n1
với mọi n Chứng minh rằng dãy * w n xác định bởi 2 2
1 4
w u v không chứa các
số nguyên tố
21 Cho dãy số u n xác định bởi: u0 u1 , 3 u n1 7u nu n1 Chứng minh n 1 rằng u là một số chính phương n 2 n 1
22 (VMO 2011)
Cho dãy số nguyên u n xác định bởi: u0 1,u1 1,u n 6u n15u n2 n 2
Chứng minh rằng: u20122010 chia hết cho 2011
23 Cho dãy số u n xác định bởi:
0
2 1
1
, 2
n
u
Chứng minh rằng:
a) u là số nguyên dương n n
b) u u n n1 là số chính phương 1 n
24 Cho dãy số u n xác định như sau: 2 3 2 3
,
2 3
n
a) Chứng minh rằng: u là số nguyên n n
b) Tìm tất cả các số hạng của dãy chia hết cho 3
25 Cho f x x thỏa f 0 f 1 1, x0, x n1 f x n n Chứng minh
rằng với mọi m n, ,mn ta luôn có: x m,x n1
26 Cho k , xét * 2 *
n
n
f k Chứng minh rằng n f đôi một nguyên tố n
cùng nhau
27 (Journal of Mathematical youth )
Cho dãy số a n với a1a2 và 1 a n2 a n1a n n1 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a b; , ab thỏa a n2na n chia hết cho b n 1
28 Cho dãy số x n 4n238 n n Tìm lim n
, x là phần lẻ của x
29 Xét dãy số u n , v n xác định bởi: