Cuc tri dai so _ BD HSG

Tổ chức II... Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:.

- Học sinh tích cực giải bài tập

B/Chuẩn bị của thầy và trò

*) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1

x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y

Hướng dẫn: Vì x > 0 và y > 0 nên 1 0; 1 0; x 0; y 0

x > y > > >

Vận dụng BĐT cô-si cho hai số dương 1 ; 1

x y tìm được xy ≥4Tiếp tục vận dụng BĐT cô-si cho hai số dương x và y

Ta có: A = x + y ≥2 x y =2 4 =4

Dấu “=” xảy ra  x = y = 4 Vậy Min A = 4  x = y = 4

Phương pháp 2: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó

*) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3x 5ư + 7 3xư

Hướng dẫn: ĐKXĐ: 5 x 7

Ta có A2 =(3x 5ư ) (+ 7 3xư )+2 (3x 5 7 3xư )( ư ) ≤2+(3x 5 7 3xư + ư )=4

Dấu “=” xảy ra  x = 2

Vậy Max A2 = 4 => Max A = 2  x = 2

Phương pháp 3: Nhân và chia cả tử và mẫu của một biểu thức với cùng một số khác 0

*) Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x 9

5x

ư

=Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 9≥

1) Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau

*) Bài tập 4: Cho x > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 3x43 16

*) Bài tập 5: Cho 0 x 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 9x 2

2Phương pháp 5: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho

*) Bài tập 6: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 y2 z2

Hướng dẫn: áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương x2 và y z

++

Cộng vế với vế của ba bất đẳng trên ta được P 1≥

Dấu “=” xảy ra  x = y = z = 2

3Vậy Min P = 1  x = y = z = 2

3

II

II –––– Luyện tập Luyện tập Luyện tập

*) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 và x + y = 2a (a > 0) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 1

B≥ 8 =>MinB= 8 (khi và chỉ khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12 ; y = 3)

Max B2 = 16 => Max B = 4 (khi và chỉ khi x = 8; y = 7)

*) Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2x2 6x 5

Vậy Max A2 = 4 suy ra Max A= 2 khi x = 2

- Học sinh tích cực giải bài tập

B/Chuẩn bị của thầy và trò

- GV:

- HS:

C/Tiến trình bài dạy

I Tổ chức

II Kiểm tra bài cũ

- HS1: Giải bài tập đã cho tiết trước

Cho a, b, x là những số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (x a x b)( )

III Bài mới

*) Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x 6 x 34

=

+Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 0≥

Min Q = 8 (khi vµ chØ khi x = 5 vµ y = 1 hoÆc x = - 1 vµ y = - 5)

*) Bµi tËp 5: Cho x > 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

*) Bµi tËp 7: Cho x, y, z > 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn x + y + z = a

a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = xy + yz + zx

b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc B = x2 +y2 +z2

B min  (xy + yz +zx ) max  xy + yz +zx = a2

3 (theo c©u a)

- Xem lại các bài tập đã chữa

- Giải bài tập sau:

*) Bài tập 1 : Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )( )( )

1 a 1 b 1 cA

VËy A 8 Min A = 8 <=> a = b = c = 1

3

≥

*) Bµi tËp 2 : §Ò thi vµo THPT tØnh B¾c Giang n¨m häc 2011 2012§Ò thi vµo THPT tØnh B¾c Giang n¨m häc 2011 2012 2012

Cho hai sè thùc d−¬ng x, y tho¶ mn: x3 +y3 − 3xy x( 2 +y2)+ 4x y x y2 2( + )− 4x y3 3 = 0

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = x + y

Tõ (*) vµ (**) suy ra a = M cã gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 khi x = y =1

*) Bµi tËp 3 : §Ò thi vµo THPT thµnh phè Hµ Néi n¨m häc 2011 2012§Ò thi vµo THPT thµnh phè Hµ Néi n¨m häc 2011 2012 2012

Víi x > 0, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M = 4x2 3x 1 2011

x

8

1 , 8

1 ,

2 ta có

4

3 8

1 8

1 3 8

1 8

2

=

≥ + +

x x

x x x

3

≥

M

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 2011 khi x = 1/2

*) Bµi tËp 4 :§Ò thi vµo THPT tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2011 §Ò thi vµo THPT tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2011 D−¬ng n¨m häc 2011 2012, ngµy thø hai 2012, ngµy thø hai

Cho ba sè x, y, z tho¶ m,n 0 < x, y, z ≤ 1 vµ x + y + z = 2

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A =

2

(x 1)z

− +

2

(y 1)x

− +

2

(z 1)y

−

*) Bµi tËp 5: §Ò thi vµo THPT tØnh L¹ng S¬n n¨m häc 2011 2012§Ò thi vµo THPT tØnh L¹ng S¬n n¨m häc 2011 2012

Cho hai số thực dương x, y thoả mãn 2011 x; y 2012.≤ ≤

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A (x y)(x22 y )2

Hay x = 2011, y = 2012

*) Bµi tËp 6 : §Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011 2012§Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011 2012

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 2x 20112

x

(với x ≠ 0) H−íng dÉn:

2

Nếu A 1 0 thì (*) luôn là phương trình bậc hai đối với ẩn x − ≠

x tồn tại khi phương trình (*) có nghiệm

( )/

*) Bµi tËp 7 : §Ò thi vµo THPT tØnh Thanh Hãa n¨m häc 2011 2012§Ò thi vµo THPT tØnh Thanh Hãa n¨m häc 2011 2012

Cho a, b lµ c¸c sè d−¬ng tháa m,n: a+b =1

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: T = 19 6 2011 ( 4 4 )

2

b a

H−íng dÉn:

ta có

) (

6 ) (

19 6

19

2 2

2 2 2

ab b

a b

a

+ +

= +

) (

2 2 1

) ( 3 ) (

16

2 2

2 2

2

b a ab

b a b

a

+

+ +

) (

2 2 1

3 ) (

16

2 2

2 2

b a ab

b a

⇒16 (a2+b2) ≥ 8.( a+b)2

ta có a > 0 ; b > 0 nên ab > 0 ; a2+b2 > 0 áp dụng co si ta có

2 2

2

2 2

2

b a ab ab

≥ dấu = khi a= b =

2 1

⇒

) (

2

.

2

1

3 ) (

16

2 2

2 2

b a ab

b a

+

+ +

2 2

2 2

2

2 2

1

3 8

ab b

a

b a

2

1 2 1

3 8

2 1

Vậy T ≥ 88 +

8

1.2011 khi va chỉ khi khi a= b =

2 1

*) Bµi tËp 8 : §Ò thi vµo THPT tØnh VÜnh Phóc n¨m häc 2011 §Ò thi vµo THPT tØnh VÜnh Phóc n¨m häc 2011 11 2012 2012 2012

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = ab bc ca

c ab + + a bc + + b ca + H−íng dÉn:

a c b c a b

a c b c a b P

Do đú: MinP = 3/2, xảy ra khi a = b= c = 1/2

*) Bài tập 9 : Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dương Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dương Hải Dương năm học 2009năm học 2009năm học 2009 2010 2010 2010

P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz

áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực dương là x(x+y+z) và yz ta có

P = (x+y)(x+z) = x(x+y+z) + yz ≥ 2 xyz(x+y+z) = 2 16 = 8;

dấu đẳng thức xẩy ra khi x(x+y+z) = yz Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8

Cách 2:

Vì

xyz z y x z

y x

0

16

= + +

⇒

= + +

ư

P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz = yz

yz

yz xyz

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8

*) Bài tập 11: Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh Tây NguTây NguTây Nguyên yên yên năm học 2009năm học 2009năm học 2009 2010 2010

Cho x, y >0 và x y 1 + ≤ Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A 21 2 1

*) Bµi tËp 12: §Ò thi vµo THPT tØnh §Ò thi vµo THPT tØnh H¶i D−¬ng H¶i D−¬ng H¶i D−¬ng n¨m häc 2009n¨m häc 2009n¨m häc 2009 2010 2010

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = 6 4x2

−+H−íng dÉn:

2 2

*) Bµi tËp 13 : §Ò thi vµo THPT tØnh §Ò thi vµo THPT tØnh H−ng Yªn H−ng Yªn H−ng Yªn n¨m häc 2009n¨m häc 2009n¨m häc 2009 2010 2010 2010

Cho hai sè a,b kh¸c 0 tho¶ m,n 2a2 + 2 12

4 +

b

a = 4 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = ab + 2009

m

n +np+ p = − (1)

⇔ … ⇔ ( m + n + p )2 + (m – p)2 + (n – p)2 = 2

⇔ (m – p)2 + (n – p)2 = 2 – B2

vế trái không âm ⇒ 2 – B2 ≥ 0 ⇒ B2 ≤ 2 ⇔ − 2 ≤B≤ 2

dấu bằng ⇔ m = n = p thay vào (1) ta có m = n = p = 2

x + y + z = 3 ⇒ Không xảy ra dấu đẳng thức

*) Bµi tËp 16 : §Ò thi vµo THPT tØnh §Ò thi vµo THPT tØnh Hµ TÜnh Hµ TÜnh Hµ TÜnh n¨m häc 20n¨m häc 20n¨m häc 2011 11 11 2012 2012

Cho các số a, b, c đều lớn hơn 25

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 (*) nên suy ra: 2 a − >5 0, 2 b − >5 0, 2 c − >5 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:

*) Bài tập 17 : Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh Vĩnh Phúc Vĩnh Phúc Vĩnh Phúc năm học 20năm học 20năm học 2011 11 11 2012 2012

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa món điều kiện a + b + c = 1

Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: P = ab bc ca

c ab + + a bc + + b ca + Hướng dẫn:

*) Bài tập 18 : Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh Hòa Bình Hòa Bình Hòa Bình nănănăm học m học m học 2010 2010 2010 2011 2011

Cho x, y > 0 và x2 +y2 ≤ 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A 1 1

Hướng dẫn:

x,y > 0 Theo BĐT Cosi và kết hợp với đề bài ta có: 2xy≤x2 +y2 ≤ 8 ⇒xy≤4

áp dụng BDT Cosi với hai số: 1 1,

Cho hai số thực dương x, y thỏa món 4xy = 1

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 2y2 12xy

2 ; x = y = 1

2

*) Bài tập 20 : Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010 Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010 Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010 2011 2011 2011

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 = 5 Hướng dẫn:

Trước hết chứng minh bất đẳng thức bunhia-côp-xki

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm,

−

⇒ ≤ (vì x dương) Và: 4 1 4( 4) 1 4 4

Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2 Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm một tổng :

Kết hợp các điều kiện đã cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0⇒ Một trong

các thừa số của tích (x + y)(y + z)(z + x) phải bằng 0

Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k: x + y + z = 1 ⇒ z = 1, l¹i kết hợp với

F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi t +1 = 0 hay t = -1

Vậy min F = 2 khi x = 3 5

2

− ±

*) Bµi tËp 27 : §Ò thi chÝnh thøc chän HSG TP Hµ Néi n¨m häc 2010 §Ò thi chÝnh thøc chän HSG TP Hµ Néi n¨m häc 2010 §Ò thi chÝnh thøc chän HSG TP Hµ Néi n¨m häc 2010 2011 2011 2011

1) Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng

2 lần tổng các bình phương của chúng

2) Cho các số thực không âm x y thay đổi và thỏa mãn x+y=1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:

* B=16x2y2 +12(x+y)3-2xy= …= 16(xy- 16 )1 2+ 19116

* B ≥ 19116 , B nhỏ nhất =19116 ⇔ xy= 16 Giải được: 1

y x

86+H−íng dÉn:

2 2 2

c b

10

=Μ

2

382

62

32

32

y

y x

2

623

áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho các số không âm ta có :

y

y x

.22

2.266.2

3

++

≥

Dấu bằng xảy ra khi x = 2; y = 4 ⇒ M nhỏ nhất bằng 19 (khi x = 2; y = 4)

*) Bài tập 29 : Cho 2 số dương x, y thỏa m,n x + y =1

2 2 2

) 1 ( ) 1 (

xy

xy y

x

y x

+

= +

b) áp dụng BĐT : A2 + B2 ≥

2 ) (A + B 2 , ta có :

=

2

) 1 1

N ≥

2

25 2

4 1

1 1 2

) 1 1 (

2 2

y x

y

⇔ x = y =

2 1

1 1

2 1

c Ta có: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy( x + y ) = 1 hay x3 + y3 + 3xy = 1

Thay vào biểu th−c A ta có:

A =

xy

xy y x y

x

xy y

+

xy

y x y x

3 3

3

+ +

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

xy

y x y x

3 3

+ +

≥

xy

y x y x

3 2 2 1 2

3 2 2 1 2

3 2 2 1

3 2 2 1 2

*) Bài tập 31 : Cho biểu thức f(x,y) = x2 + 26y2 -10xy + 14x – 76y + 11

Tìm giá trị x; y để f(x,y) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất

Hướng dẫn:

Ta có: f(x,y) = x2 + y2 + 25y2 – 10xy – 6y – 70y + 9 +14x + 2

= (x2 – 10xy + 25y2) + (y2- 6y + 9) + (14x – 70y) + 2

= (x-5y)2 + (y-3)2 + 14(x – 5y) +2

+ +

6823

x x

d/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M =

124

2++ x x x

+ Với y = 0 =>2x2 + 4x - 19 = 0 => x1, x2 ∉ Z (loại)

Vậy cặp nghiệm (x, y) của phương trình là: (4; 1); (4; -1); (-2; 1); (-2; -1)

x ≥ 1 + 3 = 4 Mặt khác : 4 – (x - 3)2 ≤ 4 Vậy vế trái “=” khi và chỉ khi x – 3 = 0 Từ đó ta có x = 3

Vậy nghiệm phương trình x = 3

c/ Có A =

2)1(

11

232

)1(

1)1(2)122(3

ư

x x

x

x x

M =

12

12

1++ 

M đạt giá trị lớn nhất khi 2 12

D/Bæ sung

*******************************