số học nâng cao cực hay

Viết lại phương trình đã cho thành... Chứng minh dãy đó là không tuần hoàn... Bây giờ xét x≠1 thì phương trình đã cho trở thành... Rõ ràng là phương trình này vô nghiệm trong [0,1.. Rõ

Các bài toán theo mục:

Lý thuyết số

Phương trình ngiệm nguyên

 Tìm tất cả các số nguyên m sao cho 4 3

Vậy nghiệm của phương trình là ( , , )x y z ∈∪u∈¡{( , , )}u u u

 Tìm tất cả các số hữu tỉ dương r=/1 sao cho r r1− 1 cũng là số hữu tỉ

Nếu r=3 và p=2 thì q2 =171 vậy thì q sẽ là một số vô tỉ (vô lí)

Nếu r=5 và q=2 thì p=169 không là số nguyên tố

(x y+ ) =( 2 )xy + ⇒ + >1 x y 2xy⇒2x> 2xy⇒ 2 > y

Vậy y=1, thay vào phương trình ban đầu ta được 2 2

(x+1) −2x =1 và từ đó tìm được2

x=

Vậy nghiệm của phương trình là ( , ) {(1, 2);(2,1)}x y ∈

Cách khác: Giả sử rằng y x> , rõ ràng x≠ y Viết lại phương trình đã cho thành

 Chứng minh rằng tồn tại các số , ,a b c phân biệt và thỏa mãn a100+b100 =c101.Giải: Ví dụ, ta có ( 100 100 ) (100 100 100 ) (100 100 100)101

Với y= ⇒ =2 z 3x và nghiệm của phương trình là ( , , ) ( , 2,3 )x y z = t t ,t∈¥

Vậy các nghiệm của phương trình là ( , , ) {(2,1, 2);(2,3,18);(1, 2 ,3 );( , 2,3 )}x y z ∈ t t t t , trong đó t∈¥

 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2

Nếu y2 = ⇒ −0 (x y)2 =2009 lại vì 2009 không là số chính phương

Nếu y2 = ⇒ −1 (x y)2 =1884 loại vì 1884 không là số chính phương

Nếu y2 = ⇒ −4 (x y)2 =1509 loại vì 1509 không là số chính phương

Nếu y2 = ⇒ −9 (x y)2 =884 loại vì 884 không là số chính phương

Nếu y2 =16⇒ −(x y)2 =9, từ đây ta tìm được các nghiệm của phương trình là( , ) {( 7, 4);( 1, 4);(1, 4);(7, 4)}x y ∈ − − − −

 Cho x= −2272,y=103+102c+10b a z+ , =1 thỏa mãn phương trình

a) Nếu b=8 thì phương trình (*) trở thành 8639 801+ c=2264a chỉ có nghiệm với

1≤ ≤a 7 Thử trực tiếp thấy a=7;c=9 thỏa mãn

b) Nếu b=7 thì phương trình (*) trở thành 7489 701+ c=2265a không có nghiệm với 1≤ ≤a 6

c) Nếu b=6 thì phương trình (*) trở thành 6359 601+ c=2266a không có nghiệm với 1≤ ≤a 5

d) Nếu b=5 thì phương trình (*) trở thành 5249 501+ c=2267a không có nghiệm với 1≤ ≤a 4

e) Nếu b=4 thì phương trình (*) trở thành 4159 401+ c=2268a không có nghiệm với 1≤ ≤a 3

f) Nếu b=3 thì phương trình (*) trở thành 3089 301+ c=2269a và cũng không có nghiệm với 1≤ ≤a 2

Vậy chỉ có duy nhất nghiệm là ( , , ) (7,8,9)a b c = và y=1987

 Tìm tất cả các cặp số nguyên ( , )a b sao cho 7a+14b=5a2+5ab+5b2

Giải: Phương trình đã cho có thể viết lại thành

Cách khác: Dùng đẳng thức quen biết sau đây [ ] 1 [2 ]

2

13

Nếu n= −1 thì các nghiệm là 1≤ <x 3 và − ≤ <1 x 2 nên x∈[1, 2)

Nếu n=0 thì các nghiệm là 3≤ <x 5 và 2≤ <x 5 nên x∈[3,5)

Nếu n=1 thì các nghiệm là 5≤ <x 7 và 5≤ <x 8 nên x∈[5,7)

Nếu n=2 thì các nghiệm là 7≤ <x 9 và 8≤ <x 11 nên x∈[8,9)

Vậy nghiệm của phương trình là x∈[1, 2) [3,7) [8,9)∪ ∪

 Tìm các số nguyên n sao cho 7 12 2 14 24 1

n− + n− + n =

Giải: Nếu n<0 thì VT < <0 VP nên trường hợp này phương trình vô nghiệm

Nếu n=0 thì cũng không là nghiệm

Xét n>0 thì phương trình đã cho trở thành

(7n−12)3n+(2n−14)2n+24n=6n ⇒7n− ≡12 0 mod 2 và 3n− ≡14 0 mod 3( ) vậy nên n=6p+4

Với n≥9 thì 21n−36 2≤ n− 1 vậy nên (7n−12)3n ≤6n−1

Với n≥1 thì 4n−28 3≤ n− 1 vậy nên (2n−14)2n ≤6n−1

Với n≥4 thì 24n≤6n−1 vậy nên

1(7n−12)3n+(2n−14)2n+24n≤ ×3 6n− <6 ,n ∀ ≥n 9

Do vậy chỉ có khả năng là 0< =n 6p+ < ⇒ =4 9 n 4 Vậy n=4 là nghiệm duy nhất cần tìm

 Chứng minh rằng tồn tại vô số n sao cho n2+ +(n 1)2 là số chính phương.Giải: Giả sử ,u v thỏa mãn u2 =2v2−1 Khi đó

Vậy u2 =2v2− ⇒ =1 n u u( +2 )v là nghiệm thỏa mãn phương trình

Ta biết rằng phương trình u2 =2v2−1 là phương trình Pell nên nó có vô số nghiệm(1,1) là nghiệm

( , )u v ⇒(3u+4 , 2v u+3 )v cũng là nghiệm

Ví dụ:

2 2 2( , ) (1,1)u v = ⇒ =n 1(1 2) 3+ = ⇒ +3 4 =5

Giải: Đặt S m n= + Ta có mn+ =1 n S n( − + =) 1 0 mod( S)⇒n2 =1 mod( S)

Vậy tập nghiệm cảu phương trình là

{( ,n d n d n n− ), ( − , ) với d là ước bất kì n> của n2−1}

 Dãy a a a1, , , 2 3 thỏa mãn a4n+1 =1,a4n+3=0,a2n =a n Chứng minh dãy đó là

không tuần hoàn

Giải: Giả sử a n p+ =a n,∀n và với p>0 nào đó

Sau hai lần thử thì ta đựoc nghiệm là (3,3,8), (3, 4,5)

Vậy nghiệm của phương trình là ( , , ) {(2, 4,15),(2,5,9),(2,6,7),(3,3,8),(3, 4,5)}a b c ∈

 Tìm chữ số thứ năm tính từ cuối của số 55 5 khi viết trong hệ thập phân.

Giải: Ta có 58 ≡1 mod 32( )⇒5 (55 8− ≡1) 0 mod10( 5)⇒58n+ 5 ≡5 mod105( 5)

Vì 5 là số lẻ nên 5 5 55 ( ) 55 ( )

5 ≡5 mod8 ⇒5 ≡5 ≡3125 mod10Vậy chữ số thứ năm tính từ cuối của số 55 5 là số 0.

 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 3 1

( 28 3)− n không là bội của 6.

 Tìm tất cả các nghiệm tự nhiên ( , )x y của phương trình y x2( − =1) x5−1

Giải: Dễ thấy rằng (1, )y là một nghiệm với y là số tự nhiên bất kì.

Bây giờ xét x≠1 thì phương trình đã cho trở thành

Vậy các nghiệm của phương trình là ( , ) {(3,11)}x y ∈ ∪( ∪n∈¥{(1, )}n )

 Giải phương trình x=84 x+3 trên tập số tự nhiên.

Giải: Đặt 4 x n y= + với n∈¥ và 0 y∈[0,1) (chú ý là ,n y đều là các số không âm)

Khi đó phương trình đã cho trở thành

(n y+ ) =8n+ ⇔ =3 y 8n+ −3 n

Ta chỉ cần kiểm tra giá trị các giá trị của n sao cho 48n+ − ∈3 n [0,1)

Ta có 48n+ − ≥ ⇔3 n 0 8n+ >3 n4, từ đó suy ra n∈{0,1, 2}

Nếu n= ⇒ =0 y 43, rõ ràng là giá trị này thuộc [0,1)

Nếu n= ⇒ =1 y 411 1− , giá trị này thuộc [0,1)

Nếu n= ⇒ =2 y 419 2− , giá trị này cũng thuộc [0,1)

Từ đó thì các nghiệm của phương trình là x∈{3,11,19}

1) Cho a,b thỏa mãn hệ phương trình

Ta nhận thấy rằng (f a− =1) f(1−b) với f x( )= +x3 2xmà ( )f x rõ rằng là đơn ánh

nên ta có a− = −1 1 b, từ đó cũng có được kết quả như trên

2) Cho phương trình 2x2+y2+12(y+ =6) 2xy Tính giá trị của x2+y2

Giải: Ta có 2x2+y2+12(y+ =6) 2xy ⇔(2x y− )2+(y+12)2 =0

Từ đó suy ra ( , ) ( 6, 12)x y = − − và x2+y2 =180

 Giải hệ phương trình

7014

Nếu z=16xthì từ phương trình thứ hai của hệ suy ra y=4x và ta tìm được

x=1,y=4,z=16 là nghiệm duy nhất của hệ

x p x

y n p y

Vì x3+ +x2 x là hàm số đồng biến nên suy ra 1> ≥ −x 1.

Nếu x∈[0,1) thì VT =0 và VP x= 1994−1, nên ta có phương trình x1994 =1 Rõ ràng

là phương trình này vô nghiệm trong [0,1)

Nếu x∈ −( 1,0) thì VT = − + − = −1 0 1 2 và VP x= 1994−1, khi đó ta có phương trình

1994 1

x = − Rõ ràng là phương trình này cũng vô nghiệm trong ( 1,0)−

Nếu x= −1 thì VT VP= = −1

Vậy x= −1 là nghiệm duy nhất

 Giả sử phương trình 2333x− 2+2111x+ 2 =2222x+ 1+1 có ba nghiệm và tổng các nghiệm của có dạng m

n trong đó m,n là các số nguyên tố Tính m n+ Giải: Đặt 2111x = y thì phương trình đã cho trở thành y3−8y2+16y− =4 0, phương trình này có ba nghiệm và tích các nghiệm bằng 4

Bây giờ ta sẽ đi giải phương trình (u au− − =1) a 2(*)

Nếu a= ⇒ = −0 u 2 và khi đó các nghiệm của phương trình là

  L với số nguyên dương n nào đó.

( Tây Ban Nha 2000)

Giải: Từ giả thiết suy ra ( 1) 111

2

n n

k

+ = với k∈{1, 2,3, 4,5,6,7,8,9}.Xét theo modun 5, ta có k ≡0,1, 2 mod 5( ) và như vậy thì k∈{1, 2,5,6,7}

Thử trực tiếp năm lần thì ta tìm được k=6 thỏa mãn, khi đó 666

 Tìm hai số nguyên dương ,a b nếu cho trước tổng của chúng và bội chung nhỏ

nhất của chúng Tìm hai số đó trong trường hợp cụ thể biết tổng của chúng là

3972 và bội chung nhỏ nhất của chúng là 985928

Giải: Từ ngay gcd( , ) gcd(a b = a b+ ,lcm( , ))a b , như vậy thì

 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3x−1+ =x 105

Giải: Xét hàm số f x( ) 3= x−1+ −x 105 là hàm số đồng biến nên ( ) 0f x = không có

quá một nghiệm Mặt khác ta thấy rằng (5)f = − <19 0 và (6) 144 0f = > nên

phương trình ( ) 0f x = có đúng một nghiệm trong khoảng (5,6) , rõ ràng là nghiệm

này không phải là nghiệm nguyên

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

 Giải phương trình [ 2sin ] 2cos(3 )

4

x = x+π

Giải: Để ý rằng 2sinx∈ −[ 2, 2] nên phương trình đã cho tương đương với năm hệ

phương trình sau đây:

52sin( ) [1, 2) [ , ) ( , ]

Hệ phương trình này vô nghiệm

Kết luận: Các nghiệm của phương trình là

Gọi p là số các chữ số 1,9,8,6 viết trong hệ thập phân của số n 69

Gọi q là số các chữ số 3,3,3,3 viết trong hệ thập phân của số n 121

Ta có hai đánh giá sau

Từ đó ta tìm được n=101 là số thỏa mãn các yêu cầu của đề bài.

 Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình (1 [ ]) [ ]

Nếu 0≤ <a 1 thì gọi n∈¥ thỏa mãn 1 1 1 1

phương trình này vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là [0, ) [2,3)1

… , trong đó […] là bội chung nhỏ nhất của các số.

Giải: Với bất kì số nguyên tố p thuộc [2,199] n v= p(upper part)7$$=v p(lower part)trừ khi : n 1022

 Chứng minh rằng phương trình 2 2

4x −14xy y+ +261 0= có vô số nghiệm nguyên

Giải: ( , )x y là nghiệm với x≡ y(mod 3)và 0 x y< < suy ra

Giải: Từ phương trình hai suy ra z=2x, thế vào phương trình thứ nhất ta được

2

(2 )x x= y x, vậy x≠0và

2 2

22

Giải: Ta viết lại phương trình thành x x( 2+ =1) y2

Ta có nhận xét sau: gcd( ,x x2+ =1) 1 và x x( 2+ =1) y2 suy ra đồng thời x x, 2+1 phải

là các số chính phương, do đó ∃u v, sao cho x u= 2và x2+ =1 v2 Do đó

2( , ) ( , )x y = u uv với u4+ =1 v2 ⇒ −(v u2)(v u+ 2) 1= , ta tìm được ( , ) (0, 1)u v = ± Vậy nghiệm của phương trình là ( , ) (0,0)x y =

 Tìm tất cả các nghiệm nguyên ( , )x y của phương trình

Chứng minh rằng p chia hết cho 641

Giải: Ta viết lại tổng thành

1160

 Chứng minh rằng tồn tại vô số n sao cho n2+ +(n 1)2 là số chính phương

Giải: Giả sử ,u v thỏa mãn u2 =2v2−1 Khi đó

Vậy u2 =2v2− ⇒ =1 n u u( +2 )v là nghiệm thỏa mãn phương trình

Ta biết rằng phương trình u2 =2v2−1 là phương trình Pell nên nó có vô số nghiệm(1,1) là nghiệm

( , )u v ⇒(3u+4 , 2v u+3 )v cũng là nghiệm

Ví dụ:

2 2 2( , ) (1,1)u v = ⇒ =n 1(1 2) 3+ = ⇒ +3 4 =5

10k

k k i

2 | (n +1) và 2 | (6 n2−1)2 Từ đó ta có điều phải chứng minh.

 Tìm nghiệm nguyên ( , , )x y z của phương trình

31

Nếu n=2m+1 là số lẻ thì suy ra x+ =7 m2k+1+2k và x≡2k −7 mod 2( k+1)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

 Tìm các số hữu tỉ dương ( , )a b sao cho a+ b = 4+ 7

Giải: Ta có ,a b>0, bình phương hai vế phương trình ta được

Giải: Không mất tổng quát, giả sử rằng a b≤

1) Nếu a=1 ta có 1+ =b 3999 và nghiệm của phương trình là ( , ) (1,3998)a b =

2) Nếu a=2 thì phương trình trở thành 2b+b2 =3999, từ đây suy ra 2≤ ≤b 11 và

là số lẻ vì 213 >3999 hơn nữa ta tìm được b∈{3,5,7,9,11}không là nghiệm.3) Nếu a=3 thì phương trình trở thành 3b + =b3 3999, từ đây suy ra 3≤ ≤b 7 và b chia hết cho 3 vì 38 >3999 hơn nữa ta tìm được b∈{3,6} không là nghiệm.4) Nếu a=4 thì phương trình đã cho trở thành 4b+b4 =3999 vậy b≥4 là số lẻ và5

≤ vì 47 >3999, hơn nữa ta tìm được b∈{5} không là nghiệm

5) Nếu a=5 thì phương trình đã cho trở thành 5b+ =b5 3999 vậy b≥5 và ≤5 vì6

5 >3999, ta tìm được b∈{5} không thỏa mãn phương trình

6) Nếu a≥6 thì a b ≥a a ≥66 >3999

Vậy nghiệm của phương trình là ( , ) {(1,3998),(3998,1)}a b ∈

 Tìm nghiệm nguyên dương ( , )x y của phương trình x (19 ) y 74

x = −y y −

Giải: Nếu x=1⇒1 (19= −y y) −74⇒y2−19y+75 0= , phương trình vô nghiệm.Nếu y= ⇒1 VP= − <56 0, vậy phương trình vô nghiệm.

Nếu x>1,y>1 thì chỉ có năm cặp ( , )x y thỏa mãn y x<19 là

(2, 2),(2,3),(2, 4),(3, 2),(4, 2)

Trong năm cặp số này chỉ có ( , ) (2,3)x y = là thỏa mãn và đó cũng là nghiệm duy nhất cần tìm

 Tìm sáu chữ số cuối cùng của số 52012

Giải: Theo phương pháp LTE ta có 16

Vậy sáu chữ số cuối cùng của số 52012 là 140625

 Tìm một số tự nhiêm có sáu chữ số, số này bắt đầu và kết thúc bởi chữ số 2 Hơn nữa số bằng là tích của ba số chẵn liên tiếp

Giải: Considering that the required number is 2

(2 2)2 (2 2) 8 ( 1)

N = x− x x+ = x x − , ta có:

Nếu 1≤ ≤x 29⇒ ≤N 194880 không thể là một số có sáu chữ số bắt đầu là chữ số 2.Nếu x=30⇒ =N 215760 là một số không kết thúc bởi chữ số 2

Nếu x=31⇒ =N 238080 là một số không kết thúc bởi chữ số 2

Nếu x=32⇒ =N 261888 là một số không kết thúc bởi chữ số 2

2 21

Giải: Ta có 2011n ≡2011 mod10000( ) và 2011n− 1 ≡1 mod10000( )

Giá trị nhỏ nhất m∈¥ sao cho 2011m≡1 mod10000( ) là 500