ThS. Nguyễn Văn Bảy - PP TÍNH TÍCH PHÂN

TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM 1... trong đó u, v là các hàm số ẩn x có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b].b Phương pháp giải toán bằng phương pháp tích phân từng phần: T

TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH

PHÂN NGUYÊN HÀM

1 Định nghĩa: F(x) lă nguyín hăm hăm số f(x) trín D nếu

Nguyín hăm của hăm số hợp

tương ứng (dưới đđy u = u(x))

u u

ln (0 < a ≠ 1)

∫cosudu sin= u +C

∫sinudu = − cosu +C

∫ du = u+C

u tan

cos 1

2

Hệ quả:

Nguyên hàm

các hàm số sơ cấp

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp

1 dx

eax b ax b

∫ + = + +C

a ln

a m

1 dx

a

n mx n

∫ + = sin( ax+b )+C

a

1 dx ) b ax cos(

∫ + = − cos( ax+b )+C

a

1 dx

) b ax sin(

+b dx a ax b C

ax tan( )

1 )

( cos

( sin

F dx x

f( ) ( )] ( ) ( )

[

(5) ∫c f (x)dx = ∫b f(x)dx+ ∫c f (x)dx

(6) f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇒∫ ≥

b

a

dx x

b

m( ) ( ) ( )

PHỈÅNG PHẠP TÊNH TÊCH PHÁN

I Phương pháp đổi biến số:

a

a

) ( ' )]

( [ )

(

Các dạng tốn thường gặp :

β α

trong đó u, v là các hàm số ẩn x có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b].

b) Phương pháp giải toán bằng phương pháp tích phân từng phần:

Tính tích phân: I = ∫b[f(x)g(x)]dx

) ( ' )

(

) (

x G v

dx x f du dx

x g dv

x f u

a

vdu v

u dx x g x f

I ( ) ( ) = − ∫b

a

b

a G x f x dx x

G x

f( ) ( ) ( ) ' ( )

c) Một số dạng toán áp dụng thuật toán tích phân từng phần:

Xét P(x) là một đa thức biến x, ta có các dạng toán áp dụng công thức tích phân tứng phần sau đây

x x

e x p I

PP: Đặt: u = P(x) và dv =

x cos

x sin

I b

PP: Đặt u = e x và dv =

x sin

P

PP: Đặt u = lnx và dv = P(x).

PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

TÍCH PHÂN

TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ

Dạng 1: A = dx

b ax

β α

b

ax a

b ax

b ax

d a

dx b

− β

α

β α

β α

)(

)(

1)

(

)(

1)

(

1

b ax d b

ax a

b ax

b ax

d a

dx b ax

k k

II Tích phân hàm phân thức mẫu là tam thức bậc hai:

TH1: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x = x 1 và x = x 2

Dạng 1: ∫β + +

α

dx b x a

−

= +

+

β α

β α

β

α

dx b x a x a b

dx b x a x

a x b

x a b

dx b x

a

x

1 1

1 )

)(

(

) (

) (

1 )

n mx

B x

x

A a

dx x x x x a

n mx dx

c bx

ax

n mx

+

α

β α

β

α

)(

1)

) x (

TH3: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm.

Dạng 1: dx

c bx ax

n mx

M c

bx ax

c bx ax

d dx

c bx

ax

n mx

∫

∫

++

++

=+

+

α

β α

) x (

f

2

với f(x) là đa thức bậc lớn hơn 1

PP: Ta viết tích phân dưới dạng:

TÊCH PHÁN HAÌM VÄ TYÍ

I Các dạng toán dùng phương pháp đổi biến:

1 Dưới căn thức là nhị thức bậc nhất:

Dạng : I f x ax b dx( ,n )

β α

Biểu thức f x ax b( ,n + ) chỉ chứa các lũy thừa của x và các lũy thừa của

n ax b+

PP: Dùng phương pháp đổi biến Đặt t = n ax+ b

2 Dưới căn thức là biểu thức có bậc lớn hơn một:

Dạng : I f x( ,k n ax k b x dx). k 1

β α

−

Biểu thức f x( ,k n ax k +b) chỉ chứa các lũy thừa của x k và các lũy thừa của

n ax k +b

PP: Dùng phương pháp đổi biến Đặt t = n ax k +b

2 Có nhiều dấu căn thức của cùng một biểu thức:

Dạng : I f (m ax k b,n ax k b x dx). k 1

β α

−

Biểu thức f(m ax k +b,n ax k +b) chỉ chứa các lũy thừa của m ax k +b và các

lũy thừa của n ax k +b

PP: Dùng phương pháp đổi biến Đặt t = mn ax k +b

II Một số bài toán đặc biệt cần nhớ:

Bài toán 1: I a2 x dx2

β α

PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x = asint, t ∈ −π π ; 

m x (

1 a

Đặt t = x + m đưa tích phân về bài toán 6.

III Các dạng toán phải nhân thêm lượng liên hiệp:

Dạng 1 I = ∫β + ± +

α

dx b ) x ( p a

) x ( p

x ( p )

x ( p

1

2

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

I Phương phâp biến đổi thông thường:

1 Câc công thức nguyín hăm cơ bản:

∫cosxdx sin= x +C ∫ + = sin( ax+b )+C

a

1 dx ) b ax cos(

∫sinxdx = − cosx+C ∫ + = − cos( ax+b )+C

a

1 dx

) b ax sin(

b ax ( sin

x = +

+ Nếu n lẻ thì:

• Tích phđn I ta biến đổi:

sin n ax = sin 2k ax.sinax = (1 – cos 2 ax) k sinax

vă dùng phương phâp đổi biến, đặt t = cosax

• Tích phđn J ta biến đổi:

cos n ax = cos 2k ax.cosax = (1 – sin 2 ax) k cosax

vă dùng phương phâp đổi biến, đặt t = sinax

[cos( ) cos( )]2

1cos

[cos( ) cos( )]2

1 sin

sina b = a −b − a+b

[sin( ) sin( )]2

1 cos

sina b = a−b + a+b

sau đó áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản.

Một số công thức giúp hạ bậc các biểu thức lượng giác:

II Phương pháp đổi biến:

Bài toán 1: f (s inx).cos xdx

β

α∫

PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx

β

α∫

PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = cosx

PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = tanx

PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx + cosx và sin2x = t 2 - 1

β

α∫

PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx - cosx và sin2x = 1- t 2

 Chú ý: Một số dạng tích phân hàm lượng giác f(sinx, cosx) phức tạp,

nếu khó biến đổi thành các tích phân đặc biệt thì dùng phương pháp đổi biến đặt:

III Phương pháp tích phân từng phần:

b x a

+

= ∫

PP: Dùng pp tích phân từng phần: Đặt u = ax + b và dv = 12

s in x dx

x m

n

cos sin

x a

c x b

x a

' cos

' sin

'

cos sin

PP: Đổi biến đặt : t = tan2x , sinx = 2

eax b ax b

a

a dx

a

x x

a ln

a m

1 dx

a

n mx n

mx

2 Phương pháp đổi biến:

Bài toán 1: I1 f e e dx( ).x x

β α

= ∫

PP: Đổi biến t = e x

Bài toán 2: I2 f e( ax, e ax c e dx). ax

β α

PP: Đổi biến t = e ax +c

Bài toán tổng quát: I2 f e( ).( ' )u u e dx u

β α

x f u

x

) (

x u

x

cos

tính tích phân từng phần hai lần để tìm I

II Tích phân hàm lôgarit:

1 Phương pháp đổi biến:

Bài toán 1: = ∫β

α

dx x x f

I1 (ln ).1

PP: Đổi biến t = lnx

Bài toán 2: 1

1 (ln ,n ln ).

I f x a x b dx

x

β α

x x

f I

k

1

ln ).

ax ) ( ) ln(

b ax u

) (

) ln(

tính tích phân từng phần.

Bài toán 2: I 2 = ∫β +

α

dx b ax

k( ) ln

b ax

u lnk( )

tính tích phân từng phần k lần.

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

A TÓM TẮT PHƯƠNG PHÂP:

BĂI TOÂN 1: Tính diện tích hình phẳng

giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục

hoănh vă hai đường thẳng: x = a, x = b.

= ∫b

a

dx x f

S | ( ) |

Để tính tích phđn năy, ta thực hiện:

+ Tìm nghiệm x 1 , x 2 , của phương

trình f(x) = 0 trín đoạn [a; b].

+ Lập bảng xĩt dấu Dựa vă dấu của

f(x) trín câc khoảng để tính diện tích S.

BĂI TOÂN 2: Tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi hai đường cong

y = f(x),y = g(x) vă hai đường thẳng

S | ( ) ( ) |

THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY

A TÓM TẮT PHƯƠNG PHÂP:

BĂI TOÂN 1: Tính thể tích vật thể tròn

xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi

đường cong (C): y = f(x), trục Ox, x = a

vă x = b khi xoay quanh trục Ox

f dx

y

y = f(x)

sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong

(C): y = f(x) và y = g(x) khi xoay quanh trục Ox

+ Tìm nghiệm x 1 và x 2 của phương

)()

(

x

x

dx x

g x

f

BÀI TOÁN 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới

hạn bởi đường cong (C): x = f(y), y = a, y = bvà trục Oy khi xoay quanh trục Oy Xác định bởi công thức:

f

V π [ ( )] 2