www.facebook.com/toihoctoan
Trang 1Chuyên đề 1: Các phương pháp tính tích phân Các phương pháp tính tích phân
Thông thường ta gặp các loại tích phân sau đây:
+) Loại 1: Tích phân của hàm số đa thức phân thức hữu tỷ
+) Loại 2: Tích phân của hàm số chứa căn thức
+) Loại 3: Tích phân của hàm số lượng giác
+) Loại 4: Tích phân của hàm số mũ và logarit
Đối với các tích phân đó có thể tích theo các phương pháp sau:
I) Phương pháp biến đổi trực tiếp
Dùng các công thức biến đổi về các tích phân đơn giản và áp dụng được ( x ) dx F ( x ) b F ( b ) F ( a )
a b
x x
I ta có (ln2 1) (ln1 2) ln2 1
x
2xlndx)x
2x
1(I
2
1 2
4 x x 2
1
2 e
1 2
/
x
43x
3
1 x x 4
3 / 2 3 / 1
4
207x
x4
3x3
4dxx3
1xx34
+) Biến đổi nhờ các công thức lượng giác
2 /
xdx 5 cos x cos I
xsin2
1dxxcosxcos2
1 /2
2 /
2 /
2 /
π π
π π
2 ∫∫∫∫
ưưưư
====
2 /
2 /
xdx 7 sin x sin J
xsin5
xsin2
1dxxcos)xcos(
2
1 /2
2 /
2 /
2 /
π π
3 ∫∫∫∫
ưưưư
====
2 /
2 /
xdx 7 sin x cos K
ππππ ππππ
10
x10cos4
xcos2
1dxx10sinxsin2
1xdx3cosxsin
2 /
2 /
2 /
2 /
2 /
2 /
π π
π π
=
0xcos16
1xcos4
1dx2
xcos1x
====∫∫∫∫
ππππ
0
2 xdx cos x sin
=
0xcos16
1xcos4
1dx2
xcos1xsin
5 ==== ∫∫∫∫ ++++ ++++++++
2 /
6 /
dx x cos x sin
x cos x sin 1 G
ππππ
ππππ
( 2sinx) 1xdx
cos2dxx
cosxsin
xsinxcos)xcosx
6 /
2 / 6 /
2 /
6 /
2 2 2
ư++
π
π π π
π
6 ==== ∫∫∫∫
2 /
0
4
xdx sin E
ππππ
16
3x
sin4xsinx8
1dxxcos4xcos38
1dx2
xcos
0
2 /
0
2 /
0
2
π
π π
=
ư+
0
2 xdx tan F
ππππ
4
4xxtandx1xcos
0
4 /
0 2
π
π π
4 /
2
1 cot xdx F
ππππ ππππ
4
)1x(2
1)1x(d)1x(2
0
4 1
1 1
2 2
ư
Trang 23 ==== ∫∫∫∫ −−−−
3 / 7
1
dx 3 x K
9
16)
3x(9
2)3x(d)3x(3
1 3 3
/ 7
1
2 /
3
13210)
x25(3
2)x25(d)x25(3
0
2 / 1 4
0
2 /
1 G
3
123dx)1x1x(2
1dx)1x()1x(
1x1x
=+
−
−
−
−+
(Nhân cả tử và mẫu với bt liên hợp của mẫu số)
) c b ( a
1 dx c ax b ax
4dxx1)x1(d1)1x(dxx1)11x(
2
0 x 1 1
0
2 x
1 2 − =− 2 = −
Đề xuất
15 2 6 4 dx x 1 x Q
1
0
2 3 1
2 /
0
3
2 ====ππππ∫∫∫∫ ==== và I e sin xdx e 1
2 /
0
x cos
3 ====ππππ∫∫∫∫ ==== −−−−
2 J tan xdx ln 2
4 /
0
1 ====ππππ∫∫∫∫ ==== ; J cot xdx ln 2
2 /
6 /
x sin J
4 /
e
1
1 ====∫∫∫∫ ==== −−−− ; dx 1 cos 2
x ) x cos(ln K
1 K
1 x x
e 2
e H
e2
5lne
=
==== ∫∫∫∫ ++++−−−−
2 ln
0 x x
e 1
e 1
+
−
=+
−+
=
2 ln
0
2 ln
0 x x 2
ln
0
x
x x
3ln22ln3dxe1
e2dxdxe1
e2e1
2 ln
0 x 3
5 e
dx H
7
12ln5
15eln5
1x5
15e
dxe5
1dx5
15
e
dx)e5e(5
0 x 2
ln
0 x x 2
ln
0
2 ln
0 x
x x
−
=+
−+
e e
dx e
0
x x
x
21eln2
11eln2
11e
dxe
+) Biến đổi nhờ việc xét dấu các biểu thức trong giá trị tuyệt đối để tính ====∫∫∫∫
b
a
dx ) m , x ( I
- Xét dấu hàm số f(x,m) trong đoạn [a; b] và chia [ ]a;b =[a;c1]∪[c1;c2]∪ ∪[cn;b] trên mỗi đoạn hàm số f(x,m) giữ một dấu
- Tính =∫ +∫ + +∫
b
c c
c c
dx)m,x(dx)m,x(I
I Ta xét pt: x2+2x 3=0⇔x=1∨x=3 Bảng xét dấu f(x)
Trang 3Suy ra I x x 3dx x x 3dx (x x 3)dx (x x 3)dx 4
2
1 2 1
0 2 2
1 2 1
J tính tương tự ta có J x x dx x x dx x x dx 16
1
0 3 0
2 3 2
1 4 dx 4 2 K
0
=+
=
π
π π
22dxxcosxsindxxcosxsindxxcosxsindxxcosxsin
2 / 3
4 / 3
4 / 3
4 /
4 /
0 0
=+
++
++
=+
π
π π
π π
II) Phương pháp đổi biến số
I ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1 Đặt x = u(t)
- Bước 2 Lấy vi phân dx = u’(t)dt và biểu thị f(x)dx theo t và dt Chẳng hạn f(x)dx = g(t)dt
- Bước 3 Đổi cận khi x = a thì u(t) = a ứng với t = α ; khi x = b thì u(t) = b ứng với t = β
- Bước 4 Biến đổi =∫
β α
dt)t(g
I (tích phân này dễ tính hơn thì phép đổi biến mới có ý nghĩa)
2
dx x
x 1
A ta đặt x=sint t∈[ưπ/2;π/2]⇒dx = cost.dt; đổi cận khi x = 2 /2 thì t = π/4; khi x
= 1 thì t = π/2 Khi đó
4
4dt.tsin
tsin1dt.tsin
tcosdt
.costsin
tsin1A
2 /
4 / 2 2 2
/
4 / 2 2 2
/
4 / 2
π
π π
π π
)tcos2(B
2 /
3 /
2 /
3 / 2 3
/
2 /
2
2
ư
=+
π π
3 ====∫∫∫∫ ưưưư
1
0
2 2
dx x 4 x
dx2x.31x2
32dt2
t4cos133
4tdtcostsin3
3
16
C
3 /
0
3 /
Trang 4- Nếu hàm số chứa a−−−−x 2 , a>>>>0thì ta viết
2 2
a
x1ax
]2/
;2/[ttsinax
π
ππ
- Nếu hàm số chứa a−−−−bx 2 , a , b>>>>0thì ta viết
2 2
xa
b1abx
]2/
;2/[ttsinxab
π
ππ
Ví dụ 2 Tính:
1 ==== ∫∫∫∫ −−−−
2
3 / 2
2 dx 1 x x
2 2
dxx/11x
3 /
4 /
π
π π
=
= ∫
2 ==== ∫∫∫∫ −−−−
3 / 2 2
3 / 2
3
2
dx x
4 x
3 / 2
3
2
dxx
x/21.x.3
G và đặt sint t [ /2; /2]
x
2
ππ
33
G
3 /
4 /
2 dx x 1
1
M ta đặt x=tant t∈(−π/2;π/2) suy ra
6dtM
3 /
6 /
π
π π
1
N ta đặt x=tant t∈(−π/2;π/2) suy ra
3
3218dt.sin
tcosN
3 /
4 / 2
−
=
=π∫π
2 dx ; a 0 )
x a (
dx)a
x(1a
0
2 3
a4
2tdtcosa
=
1
0
2 dx)2
1x(3
21
13
4
Q và đặt tant t ( /2; /2)
2
1x3
2
ππ
33
4Q
2 2
xa
b1ax
2 2
xa
b1abx
a
b = ∈ −π π
Trang 5Cách đặt 3 Nếu tích phân có chứa
x a
x a
++++
ưưưư hoặc
x a
x a
ưưưư
++++ thì ta đặt ta đặt
] 2 /
; 0 [ t t 2 cos a
=
ư
tcos2t2cos
1
tsin2t2cos
1
2 2
; dx x a
x a
2 /
dt)t2sina2(t2cos1t2cos1I
0
dx x 1
x 1
4 /
dt)t2sin2(t2cos1t2cos1J
π π
=
4224tdtcos
I ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1 Đặt t = v(x)
- Bước 2 Lấy vi phân dx = u’(t)dt và biểu thị f(x)dx theo t và dt Chẳng hạn f(x)dx = g(t)dt
- Bước 3 Đổi cận khi x = a thì u(t) = a ứng với t = α ; khi x = b thì u(t) = b ứng với t = β
- Bước 4 Biến đổi =∫
β α
dt)t(g
I (tích phân này dễ tính hơn thì phép đổi biến mới có ý nghĩa)
0
2 dx x cos 4
x sin I
ππππ
ta có thể đặt t = 4 - cos2x suy ra
3
4lnt
dtI
0
2
x cos 2 x sin
x sin J
ππππ
đặt t=sin2x+2cos2x=1+cos2xsuy ra = ∫ =
2
2 /
3lnt
dtJ
{có thể hạ bậc để biến đổi tiếp mẫu số về cos2x sau đó đưa sin2x vào trong vi phân}
Đề xuất: ==== ∫∫∫∫ ++++
2 /
0
2 2 2 2
x cos b x sin a
x cos x sin J
ππππ
với a2 +b2 >0
3 ==== ∫∫∫∫ ++++
2 ln
0
x dx 5 e
1t
5tln5
1)5t(t
dt)
5e(e
dxeK
7
6 7
6
2 ln
0 x x
{Có thể biến đổi trực tiếp
7
12ln5
1dx5e
e5
1dx5e
5e5
1dx5e
e5e5
1K
2 ln
0 x x 2
ln
0 x x 2
ln
0 x
x x
=+
ư+
+
=+
ư+
4 ==== ∫∫∫∫ ưưưư ++++ ++++
2 /
0
2 dx ) 4 x cos x sin 2 (
x cos x sin H
ππππ
ta đặt t=2sinxưcos x+4⇒
21
2dtt
12
1H
0
2
3
dx x cos 1
x cos x sin G
ππππ
chú ý rằng tách mũ 3 = 2 +1 đặt
xcos
1
t= + 2 ⇒ cos2x=tư1⇒ 2sinxcosxdx=ưdtkhi đó:
22ln1)tlnt(2
1dtt)1t(2
1G
2
1 2
Trang 66 = ∫ + +
4 /
0
dx 2 x cos x sin
x cos M
ππππ
ta đặt t=sinx+cosx+2⇒ dt=(cosxưsinx)dxlưu ý cos2x = (cosx+sinx)(cosx-sinx)
322ln12t
ln2ttdt)2t(dx2
xcosxsin
)xsinx)(cosxsinx(cosM
2 2
3
2 2 3
4
/
0
++
+
ư+
7 = ∫ + +
4 /
0
3 dx ) 2 x cos x (sin
x cos N
ππππ
đặt t=sinx+cosx+2 suy ra
)21(2
19
23
19
122
1)22(
1t
1t
1t
dt)2t(N
2
2 2
3
2 2
3 2
0
2 x cos x sin
x cos M
ππππ
4 /
0
3
) 2 x cos x (sin
x cos N
3 x
427
2dtt2
69
2dt3t8t49
2dtt2t13t49
2
I
2
1 2
1 2 2
1
3
ư
=+
ư+
ư
=+
x
x1
t= + ⇒ x2 =t3ư1⇒ 2xdx=3t2dt ⇒
20
141dt)tt(2
3J
1
x1
t= + ⇒ x2 =t2ư1⇒ xdx=tdt⇒
5
2 5
2
1tln2
1t)1t(
tdtJ
1
H ta đặt t= 1+x3 ⇒ x3 =t2ư1⇒ x 2 dx=2 tdtnhân cả tử và mẫu số với x2 ta được:
2
12ln3
21t
1tln3
11t
dt3
2x1x
xdxH
3
2 3
2 2 2
1
3 2
+
=+
ư
=
ư
=+
5 = ∫ ++
3
0 2
3 5
dx 1 x
x x
x1
t= + ⇒ x2 =t2ư1⇒ xdx=tdtnhóm x2.x.(x2 +2) ta được:
5
26t5
tt
tdt)1t)(
1t(dx1x
x.x)2x(
G
2
1
5 2
1
2 2 3
0
2
2 2
=+
ư+
ư
=+
=+
ln6
113
2dt)1t
11tt(3
21t
dtt3
2tt
dtt3
2M
2
1 2 2
1
3 2
1 2 3 5
Ví dụ 2 Tính:
2 /
0
dx x cos 3 1
x sin x sin P
ππππ
ta đặt t= 1+3cosx ⇒ (t 1)
3
1xcos = 2ư ⇒ tdt
3
2xdxsin =ư nhóm
nhân tử sinx ta có: = ∫ ++
2 /
0 1 3cosx
xdxsin)1xcos2(P
π
t3t29
2dx1t29
1
3 2
Trang 72 dx
x sin 3 1
x sin x cos Q
3
2xdxcos = áp dụng công thức
nhân đôi và nhân 3 ta viết: dx
xsin31
xcosxsin2xcos3xcos4Q
xsin23xsin44
4(27
2Q
405
206t
t3
14t5
427
x sin R
ππππ
ta đặt t= 1+3sin2x ⇒ (t 1)
3
1xsin2 = 2 − ⇒
tdt3
2xdx
2
sin = khi đó:
3
2t3
2t
tdt3
2R
2
1 2
x ln 3 1 x ln P
Ta đặt t= 1+3lnx ⇒ (t 1)
3
1x
ln = 2 − ⇒ tdt
3
2x
dx= khi đó: ( ) 135116
dxtt9
2P
x ln 2 3
Ta đặt t= 1+2lnx ⇒ (t 1)
2
1x
tt4dt)t4(t
tdt)1t(3
Q
3
1
3 2
1 2 2
2 ln
x
1 e
13
13.15
15ln1t
dt2R
0
x
x x
3 e
dx 1 e e X
2
x tan thì ta đặt
2
x tan
t= khi đó
2
t 1
t 2
t 1
t 1 x cos
1Q
2 /
t= ⇒
2
t1
dt2dx
+
5
8ln3
14t1tln3
1dt4t5t
1Q
1
0 1
=∫
2xcos2
xtanL
3 /
t= ⇒
2
t1
dt2dx
+
9
10ln3
tln3t
tdt2
0 2 3
/ 1
0
+
= ∫
Trang 83 = ∫ + +
4
0
dx1xsinxcos
xcosV
π
ta đặt t=tanx ⇒
2
t1
dtdx
+
+
=+
+
=
1
0 2 1
0 2 1
0 2
)t1(2
tdt)
t1(2
dt)
t1(2
dt)t1(V
dtV
y tan t 1
0 2 1
π
=
=+
8
2ln2dx1xsinxcos
xcosV
4
0
+
=++
2
dx1xsinxsinxcos
xtan1N
xtan1N
dtdx
+
= suy ra
4
2ln231tlnt2
t2
1dt1t
t12
1N
1
0
2 1
=+
4xsinF
xcosxsin2
1F
π
dựa vào mối quan hệ giữa sinx+cosxvà sinxcosxta đặt t=sinx+cosx⇒ dt=(cosx−sinx)dxvà
21txcos
=++
−
=++
2
1 2
22
122
11
t
12
11t2t
dt2
1)t1(21t
dt2
1F
Cách đặt 4 Dựa vào đặc điểm hai cận của tích phân
I thì ta có thể viết =∫ +∫
−
a
0 0
a
dx)x(dx)x(
dx)x(
I thì ta có thể đặt t = π - x Nếu tích phân có dạng =∫
π 2
0
dx)x(
I thì ta có thể đặt t = 2π - x Nếu tích phân có dạng = ∫
2 /
0
dx)x(I
xsinx
J ta đặt t=π−xkhi đó ∫ −∫ +
+
=
π π
π
0 2 0
tcos1
tsintdttcos1
tsin
2
dttcos1
tsinJ
2 u tan t cos
0
2 1
ππ
tsintJ
x t
0 2 2
dx
I ta đặt t−x= x2−x+1 ⇒
1t2
t1x
dt2I
dx
J ta đặt t− x= x2− x+1 ⇒
)1t3(2
1tx
11t3
dtJ
2 2
Trang 9-Giả sử cần tính tích phân =∫
b
a
dx)x(
I Khi đó ta thực hiện các bước tình:
Bước 1 Viết tích phân dưới dạng: =∫ =∫
b
a b
a
dx)x(h)
x(gdx)x(I
x(hdv
)x(gu
dx)x('gdu
Bước 3 áp dụng công thức: hay ∫ = ư∫
b
a
b a b
a
du.vv.udv.u
x(P
)x(Pu
dx)x('Pdu
Nếu tích phân có dạng ∫b
a
dx.axcos)
x(
)x(Pu
dx)x('Pdu
Nếu tích phân có dạng∫b
a
ax
dx.e)
x(
)x(Pu
dx)x('Pdu
1x(
dx3du
⇒
2
3dx.xcos2
32
xcos)1x(I
0 0
π
π π
ư
=+
0
2
dx.xcos)
1x(J
1x
xdx2du
2
0
2 / 0
4
4dx
.xsin
2xsin)1x(
J= + π ư ∫π =π + ư ta tính = ∫
2 /
0
1 x.sinx.dxJ
0
2 / 0
1=ư π +π∫ = Vậy
4
42
4
4J
dv
1xx
1edx.e)
1x(3
1e)1xx(3
1xu
9
4e4L
3 1
ư
= suy ra
27
5e5L
π π π
π
0 0 2
0 0
2
xdx2cosx2
14
xdx.2xcos1dx.xsinxM
xét M xcos x.dx 0
x u
xdx 2 cos dv 0
dx.xsinM
π
ta đổi biến t= x để đưa = ∫
2 /
tdtsint2M
t2u
⇒ M=2
Trang 10+Cách đặt 2 Nếu tích phân có dạng =∫
b
a
axsinbx.dxe
bxsinu
bxdxcosbdu
bxcosu
bxdxsinbdu
ax
Ví dụ 6 Tính:
1 = ∫
2 /
0
x
dx.xsin.eI
xsinu
xdx3cos3du
x
0 x 2
/
0
x
I2
32
edx.xcose2
32
exsin
xcosu
I2
32
1dx.xsine2
32
excos
I
0 x 2
12
32
eI
π
13
3e2
(
π π
π
0 x
0 x
0
2
1dx.e2
1dx.2
xcos1eF
Ta xét
2
1edx.e2
1F
2
0
x 1
1F
2
0
x 2
x(Qdv
)x(Plnu
dx)x(P
)x('Pdu
.x
1xlnu
dx1x
1du
5
2
2 5
2
2
dx2x
x)
1xln(
2
xI
x1xln
=
xv
dxx1
1du
xln
u 2
suy ra = −∫
e
1 e
1 2 2
xdxln.xxln2
u
thì
4
1eK4
1eK
2 2
xln
xlnu
5 suy ra
256
2ln415dxx4
1xlnx
1H
e
1 5 2
1 4
−
=+
−
5 = ∫
3 /
6 /
2 dxxcos
)xln(sinG
)xln(sin
xdxcotdu
3 / 3 / 6
)xln(sinxtanI
π π
2ln343ln3
=
Trang 11dxx)xsin(ln
xcos(lnx
)xsin(lnu
dxx
)xcos(ln
du ⇒F xsin(lnx) cos(lnx)dx F
e
1
e 1
π π
thay
vµo (*) ta cã:
2
1eFF1e
) x ( P
I víi P(x), Q(x) lµ c¸c ®a thøc cña x
B−íc 1: NÕu bËc cña P(x) ≥bËc cña Q(x) th× ta lÊy P(x) chia cho Q(x) ®−îc th−¬ng A(x) vµ d− R(x),
tøc lµ P(x) = Q(x).A(x) + R(x), víi bËc R(x) < bËc Q(x)
Suy ra :
) x ( Q ) x ( R ) x ( A ) x ( Q ) x (
) x ( Q ) x ( R dx ) x ( A dx ) x ( Q ) x ( P
B−íc 2: Ta ®i tÝnh : ====∫∫∫∫ dx
) x ( Q
) x ( R
I , víi bËc R(x) < bËc Q(x)
Cã thÓ x¶y ra c¸c kh¶ n¨ng sau :
c bx ax
N x M ) x ( Q
) x ( R
2
B x x
A ) x x )(
x x ( a
N x M )
x ( Q ) x ( R
Chän h»ng sè A, B sao cho: 2
0 0
2
B x
x
A ) x x ( a
N x M ) x ( Q ) x ( R
B ) x ( Q
) x ( ' Q A ) x ( Q
) x ( R
1 3
2
C x x
B x x
A ) x x )(
x x )(
x x ( a
) x ( R )
x ( Q ) x ( R
x ( a ) x (
Chän h»ng sè A, B, C sao cho: 2
0 0
1 2
0
C x
x
B x x
A ) x x )(
x x ( a
) x ( R )
x ( Q ) x ( R
0 0
3
C )
x x (
B x
x
A ) x x ( a
) x ( R ) x ( Q ) x ( R
C Bx x
x
A ) x ax )(
x x (
) x ( R )
x ( Q
) x ( R
2 1 2
1
VÝ dô 1 TÝnh c¸c tÝch ph©n:
Trang 121 x x
1x1
2x
B1x
A2xx
1x
x
J ta viết x = A(x2 + x + 1)’ + B suy ra A = 1/2; B = - 1/2 Vậy J=J1+J2với
3ln2
11xx
)1xx(d2
++
++
0 2 2
12
1x32
dx3
4.2
11xx
dx2
1J
Ta đặt tanu
2
1x3
32J
3 /
6 / 2
π
π π
1
K ta viết
3x
cBxx
Axx
1
2
++
=+ sau đó chọn đ−ợc A = 1/3, B = - 1/3, C = 0 Vì thế viết đ−ợc
3ln6
1dx)3x(3
xdx
1
=+
dxxcosdxsinc
xcosbxsina
I (c, d ≠0) thì ta viết TS = A.(MS) + B.(MS)’ tức là chọn A, B sao cho:
dcosx)'B(csinx
dcosx)A(csinx
bcosx asinx + = + + + hoặc đặt
2
xtan
t= ⇒
2
t1
t2xsin
+
t1
t1xcos
0
dxxcosxsin
xcos5xsin3I
π
ta viết 3sinx +5cosx =A(sinx+cosx)+B(cosx-sinx)suy ra A = 4; B = 1
π π
2xcosxsinlnxxcosxsin
)xcosx(sinddx4
0
2 /
0
2 /
0
=+
+
=+
++
2 = ∫ ++
2 /
0
3dx)xcosx(sin
xcosxsin3J
π
ta viết 3sinx +cosx =A(sinx+cosx)+B(cosx-sinx) suy ra A = 2; B = -1
)xcosx(sin2
1)
4xcot(
)xcosx(sin
)xcosx(sinddx)xcosx(sin
2I
2 /
0 2
2 /
0
3
2 /
+
−
=+
+
−+
π π
π
π
C – Khi gặp tích phân =∫ ++ ++
β α
dxnxcosdxsinc
mxcosbxsina
I (c, d ≠0) thì ta viết TS = A.(MS) + B.(MS)’ + C Chọn A, B,C sao cho:
Cn)'dcosxB(csinxn)
dcosxA(csinxm
t2xsin
+
t1
t1xcos
0
dx5xcos3xsin4
7xcosxsin7I
π
ta viết 7sinx −cosx+7=A(4sinx+3cosx+5)+B(4cosx-3sinx)+C
Khi đó A = 1; B = -1; C = 2 và ∫ ∫ + ∫ + +
++
++
−
=
2 /
0
2 /
0
2 /
0
dx5xcos3xsin4
2dx
5xcos3xsin4
)5xcos3xsin4(ddxI
π π
π
Trang 13Xét = ∫ + +
2 /
0
5xcos3xsin4
2I
π
đặt
2
xtan
t= ⇒
2
t1
t2xsin
+
t1
t1xcos
12
12I5xcos3xsin4lnx
++
π
Khi đó:
2J
I+ =π (*)
xcosxsin
)xcosx(sindx
cosxsin
dx)xcosx(sinJ
I
2
0 2
0
=+
+
ư
=+
xsinI
2
0
n n
xcosJ
2
0
n n
0
n n
n 2
0
n n n
xcosxsin
xcosdt
tcostsin
tcos
+
=+
xsinI
2
0
n n
xcosJ
2
0
n n
In = n =π
xcos3xsin
xsinE
xcosF
1F
E
6
0
=+
1
E= ư ư và
4
313ln
xcosE
1 + ư
xcos3xsin
xcosL
6
0
=π
e 1
dx ) e 1 ( M
+ Bình phương và phân tích thành 2 phân số đơn giản + Biết đổi biến
0
x x
e 1
dx e e
1
dx e
1
M ta tính ====∫∫∫∫ ++++
1
0 x x 1
e 1
dx e
M đặt e x ====tan t , t∈((((ưưưưππππ/ 2 ;ππππ/ 2)))) khi đó với tanα=e và
tcos)ttan
1
(
tdttan
2
2
e1lnt
tan1
1ln2t
cosln2tdttan2
2
4 / 2 4
/ 4
/
+
=+
xdx sin 3
Giải:
Trang 142 [§HTCKT.97] ∫2 +
0
3
x cos 1
xdx sin 3
e 1
dx ) e 1 (
2 [§HTCKT.97] ∫2 +
0
3
x cos 1 xdx sin 3
dx ) x cos x (sin x cos
ππππ
4 [§HDL§.98] ∫2 + + −
1 x 1 x 1 dx
) x ln(ln x
x sin 1
x sin
ππππ
10 [§HNNI.01] ∫2
4 4
6
dx x sin
x cos
ππππ ππππ
14 ∫ππππ
0
dx x sin x
dx 2 x g cot x tg
ππππ
ππππ
Trang 1516 ∫ − +
3
0
2 3
dx x x x
3
2 2
19 ∫ ( )
−
−
−+
5
3
dx 2 x 2
1 x x
21 ∫ +
ππππ
0
dx x cos 2
ππππ
2 4
24 ∫ − ∈
1
0
R a
; dx a
−
1 m 0
~ 2 / 1 m m
0 m
~ 2 / 1 m
x cos
xdx cos ) x cos e
29 [§H.2003.B] ∫∫∫∫/ 4 −−−−++++
0
2
dx x sin 1
x sin 2 1
x sin N
Trang 16B – Phương pháp đổi biến
1 [CĐBN.01] ∫1 +
0
3 2
3
dx ) x 1 (
dx x 1 x
3 ln∫3 +
0
x
2 e
dx
4 [CĐXD.01] ∫2 +
0
2 dx x cos 1
x sin
6 [ĐHQG.97.B] ∫1 +
0 1 x dx
7 [ĐH.2004.A] ∫2 + ư
1 1 x 1 xdx
``8 [ĐH.2003.A] ∫
+
3 2
5 2
4 x x dx
9 [ĐHSPHN.00.B] ∫ ư
ππππ
0
2 2 2
dx x a x
10 [ĐHBK.00] ∫
+
2 ln
0 x x
1 e
dx e
x sin
) x ln(ln x ln
17 ∫4 +
2
dx x
1 x
18 ∫1 ++ + ++
0
2 2
2 3
dx 1 x ) x 1 (
x 10 1 x 3 x 10
Trang 1719 ∫e −
1
2 dx x ln 1 x
x ln
21 ∫4 + + +
0
1 x 1 x 1
23 ∫4 +
7
2 9 x
x 1
x cos x
ππππ ππππ
27 [§HAN.97] ∫∫∫∫ππππ ++++
0 2
x cos 1
xdx sin x
28 [§HLN.00] ∫∫∫∫2 ++++ ++++
0
dx x cos x sin 2 1
ππππ
30 [§HVH.01] ∫∫∫∫4 ++++
0
dx x cos x sin
x cos x sin
ππππ
31 [HVBCVT.98] ∫∫∫∫2 ++++
0
2 3
x cos 1
xdx cos x sin
1 I
33 [§HTN.01] ++++∫∫∫∫ −−−− ++++ ++++
2 ) 5 1 (
1
2 4
2
dx 1 x x
1 x
34 [§HTCKT.00] ∫∫∫∫1 ++++ ++++
0 2
1 x x x
36 [PVB¸o.01] ∫∫∫∫ −−−−
1
0
2 3
dx x 1 x
37 [§H.2004.B] ∫∫∫∫e ++++
1
dx x
x ln x ln 3 1
38 [§H.2005.A] ∫∫∫∫ ++++ ++++
2
0
dx x cos 3 1
x sin x sin
ππππ
Trang 18x sin
x cos x sin
ππππ
41 [§H.2005.B] ∫∫∫∫ ++++ −−−− −−−−
5 ln
3 ln
x
x 2 e 3 e
dx
42 [§H.2003.A] 2∫∫∫∫3 ++++
5
2 4 x x dx
43 [§H.2004.A] ∫∫∫∫2 ++++ −−−−
1
dx 1 x 1 x
44 [§H.2008.A] ∫∫∫∫/ 6
0
4
dx x cos
x tan
x sin
x ln 1 x
48 [§Ò thi thö §H] ∫∫∫∫2 ++++
0
3 dx ) x sin 1 ( 2
x sin
ππππ
HD: §Æt t====1++++sin x ⇒
8
1 t
2
dt ) 1 t 2
16 x I
50 ====∫∫∫∫ −−−− ++++ ++++
4
2
dx x
1 x 1 x J
51 ====∫∫∫∫ ++++++++ ++++ ++++++++
1
0
2 2
2 3
dx 1 x ) x 1 (
x 10 1 x 3 x 10 K
52 −−−−∫∫∫∫
−−−− −−−−
====
2 ln
2 ln
x
x
dx e 1
e H
53 ==== ∫∫∫∫ ++++
3 ln
0 x
1 e
dx G
54 ====∫∫∫∫ ++++ ++++
2
0 3 5 sin x 3 cos x
dx F
x cos D
ππππ
56 ==== ∫∫∫∫ ++++−−−−
5 ln
0 x
x x
3 e
dx 1 e e S
57 ====∫∫∫∫ ++++ −−−−
ππππ ππππ 2 sin x cos x
dx T