SKKN Đại số 8 - Chương 1

Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy và giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập; thấy được tầm quan trọng của dạng toán phân tích đa

PHßNG GI¸O DôC Vµ §µO T¹O TH¹NH TRÞ

TR¦êNG thcs l©m t©n

❦

❦  

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm

RÌn kü n¨ng gi¶i to¸n

Ph©n tÝch ®a thøc

thµnh nh©n tö

N¨m häc: 2010 – 2011

?

PHßNG GI¸O DôC Vµ §µO T¹O TH¹NH TRÞ

TR¦êNG thcs l©m t©n

❦

❦  

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm

RÌn kü n¨ng gi¶i to¸n

Ph©n tÝch ®a thøc

thµnh nh©n tö

Ng−êi thùc hiÖn: Gi¸o viªn Liªu Na Rinh Chuyªn ngµnh: To¸n – VËt lý

N¨m vµo ngµnh: 2007

N¨m häc: 2010 – 2011

1 Đặt vấn đề

Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic, vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng

ta tiếp cận được với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại

Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng đồ dùng, thiết bị dạy học, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, phát huy tính tự giác, độc lập, sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kỹ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn

Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những dạng toán đòi hỏi rất nhiều tư duy, bởi vì dạng toán này có nhiều cách giải khác nhau Song song đó lại tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát, nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chay lười trong học tập, ỷ lại, trong nhờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém Dẫn đến kết quả học tập thấp, học sinh chưa rèn luyện được kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung hết sức quan trọng trong chương trình Toán 8, việc áp dụng dạng toán này rất phong phú, đa dạng cho việc học sau này như: Rút gọn phân thức, Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, Giải phương trình,

Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy và giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập; thấy được tầm quan trọng của dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử đồng thời nhằm

nâng cao chất lượng bộ môn Toán, bản thân đưa ra một số giải pháp nhằm “Rèn

luyện kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử”

2 Giải quyết vấn đề

2.1 Các giải pháp nhằm rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

Trước khi cung cấp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần phải làm cho học sinh hiểu thế nào là phân tích một đa thức thành nhân tử

“Phân tích một đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của

những đa thức khác” Việc học sinh phân tích đa thức thành nhân tử có triệt để

(không phân tích được nữa) hay không tùy thuộc vào khả năng của mỗi em, giáo viên cần hướng dẫn học sinh khai thác các phương pháp phân tích để các em phân tích triệt để Đối với học sinh yếu kém nên dừng lại ở phân tích thành nhân tử không yêu cầu học sinh phân tích triệt để

Để học sinh chiếm lĩnh được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khi dạy giáo viên cần sử dụng phương pháp vấn đáp gởi mở, đặt câu hỏi

có vấn đề từ đó giúp học sinh có gợi ý để giải quyết các vấn đề đã đặt ra

Giáo viên cần chú trọng rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân

tử cho từng phương pháp (đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử) nhằm tạo đà cho dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp trên và các phương pháp nâng cao Để rèn luyện được

kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên cần đưa các bài tập trong trường hợp cụ thể, không quá phức tạp và theo mức độ từ đơn giản đến nâng cao

2.1.1 Dạng toán củng cố kiến thức cơ bản

Đây là dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản chỉ dùng một phương pháp để phân tích thành nhân tử Các phương pháp:

- Đặt nhân tử chung

- Dùng hằng đẳng thức

- Nhóm hạng tử

Ba phương pháp này Sgk trình bày rất chi tiết ở mỗi xoắn riêng và thực hiện mỗi xoắn trong 1 tiết học

Phương pháp đặt nhân tử chung

Ta thường làm phương pháp này như sau:

- Tìm nhân tử chung của các hệ số, tức là tìm ƯCLN của các hệ số

- Tìm nhân tử chung của các biến (hay biểu thức), mỗi biến (biểu thức) chung lấy với số mũ nhỏ nhất

Lưu ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta phải đổi dấu các hạng tử

3x ư6x +9x thành nhân tử

☞ Giáo viên gợi ý

- Tìm nhân tử chung của các hệ số 3, 6, 9 ƯCLN(3, 6, 9) = 3

- Tìm nhân tử chung của các biến 3

x , x , 2

x x

⇝ Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 3x

3x ư6x +9x =3x.x ư3x.2+3x.3x =3x x ư +2 3x

14x y ư21xy +28x y thành nhân tử

14x y ư21xy +28x y = 7 2xy x ư7 3xy y +7 4xy xy =7xy 2x ư3y +4xy

Ví dụ 3 Phân tích đa thức 10x x( ưy) (ư6y y ưx) thành nhân tử

☞ Giáo viên gợi ý Đổi dấu x yư hoặc y xư

☞ Giải 10x x( ưy) (ư6y y ưx) =10x x( ưy)+6y x( ưy) (=2 x ưy)(5x +3y)

Qua các ví dụ, bài tập giáo viên cần củng cố cho học sinh

- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử

- Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ dưới để phân tích thành nhân tử

( )2

A ± AB +B = A±B

( )( )

A −B = A−B A+B

( )3

A ± A B + AB ±B = A±B

( ) ( )

A ±B = A±B A ∓AB +B

( )2

A +B +C + AB + BC + CA= A+ +B C

( )2

A +B +C − AB − BC + CA= A− +B C

( )2

A +B +C − AB + BC − CA= A− −B C

Ví dụ 4 Phân tích đa thức ( ) (2 )2

x +y − x −y thành nhân tử

☞ Giáo viên gợi ý Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? → 2 2

A −B

☞ Giải

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 4

x y x y x y x y x y x y

x y x y x y x y

y x xy

=

=

8x +12x y +6xy +y thành nhân tử

☞ Giáo viên gợi ý Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? → ( )3

A+B

☞ Giải 3 2 2 3 ( )3 ( )2 ( ) 2 3 ( )3

8x +12x y +6xy +y = 2x +3 2x y +3 2x y +y = 2x +y

Ví dụ 6 Phân tích đa thức 2 2 2

a b c

ab bc ca

+ + + + + thành nhân tử

☞ Giáo viên gợi ý Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? → ( )2

A+ +B C

a b c

ab bc ca a b c ab bc ca a b c

Qua các ví dụ, bài tập giáo viên cần củng cố cho học sinh

Thuộc các hằng đẳng thức đáng nhớ, kỹ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán (dựa vào số lượng hạng tử, số mũ của các hạng tử)

Phương pháp nhóm hạng tử

Cần khéo léo lựa chọn các hạng tử thích hợp để kết hợp thành một nhóm nhằm

làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức của nhóm đó

Lưu ý: Khi kết hợp thành một nhóm thì

- Mỗi nhóm đều phân tích được bằng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Sau khi phân tích thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử của bài toán phải tiếp tục thực hiện được nữa

Ví dụ 7 Phân tích đa thức 2

x ưxy + ưx y thành nhân tử

☞ Giáo viên gợi ý

- Đa thức đã cho không có nhân tử chung và không sử dụng được hằng đẳng thức nào → do đó phải dùng phương pháp nhóm để sử dụng được 2 phương pháp này

- Cách nhóm: + Cách 1: ( 2 ) ( )

x ưxy + x ưy

+ Cách 2: ( 2 ) ( )

☞ Giải

1

2 1

x ư x + ưy thành nhân tử

☞ Giáo viên gợi ý 2

2 1

x ư x + có dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu Do đó ta nhóm chúng lại

x ư x + ưy = x ư x + ưy = x ư ưy = x ư ưy x + ưy

Ví dụ 9 Phân tích đa thức 2 2

x ư x ư y ư y thành nhân tử

☞ Giáo viên gợi ý 2 2

4

x ư y có dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương;

2x 4y

ư ư có nhân tử chung là 2ư

☞ Giải

( )( ) ( ) ( )( )

x x y y x y x y

x y x y x y

x y x y

Qua các ví dụ, bài tập giáo viên cần củng cố cho học sinh

- Cách nhóm các hạng tử để dùng được phương pháp đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức

- Cẩn thận đặt dấu “ư” hoặc dấu “+” trước dấu ngoặc khi thực hiện nhóm các

hạng tử

2.1.2 Dạng toán vận dụng và phát triển, rèn luyện kỹ năng

Dạng toán này là sự phối hợp nhuần nhuyễn của các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử; là sự tổng hợp kỹ năng riêng lẻ để hình thành và phát triển kỹ năng mới Đây mới thực sự là yêu cầu của dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử của chương trình toán 8

Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp

Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp ta cần thực hiện theo thứ tự ưu tiên của các phương pháp

i Đặt nhân tử chung

ii Dùng hằng đẳng thức

iii Nhóm hạng tử

Ví dụ 10 Phân tích đa thức 4 3 2

x ư x +x ư x thành nhân tử

☞ Giáo viên gợi ý

- Đa thức có nhân tử chung không ? Nếu có thì đặt nhân tử chung

- Đa thức có dạng của hằng đẳng thức không ? Nếu có thì dùng hằng đẳng thức

- Nếu không có hai dạng này hãy nhóm hạng tử

☞ Giải

( ) ( )

(ẹaởt nhaõn tửỷ chung) (Nhoựm haùng tửỷ) (ẹaởt nhaõn tửỷ chung) (ẹaởt nhaõn tửỷ chung)

2

x x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x

Ví dụ 11 Phân tích đa thức 3 2 2

2

x +xy + x yưx thành nhân tử

☞ Giáo viên gợi ý

- Đa thức có nhân tử chung không ? Nếu có thì đặt nhân tử chung

- Đa thức có dạng của hằng đẳng thức không ? Nếu có thì dùng hằng đẳng thức

- Nếu không có hai dạng này hãy nhóm hạng tử

☞ Giải

( ) ( )( )

(ẹaởt nhaõn tửỷ chung) (Nhoựm haùng tửỷ) (Duứng haống ủaỳng thửực) (Duứng haống ủaỳng thửực)

2

1

x xy x y x x x y xy

x x y xy

x x y

x x y x y

Qua các ví dụ, bài tập giáo viên cần củng cố cho học sinh

- Củng cố lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử dùng hằng

đẳng thức, đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử

- Khi phân tích cần theo thứ tự ưu tiên của các phương pháp

- Cần phải làm nhiều bài tập để rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

2.1.3 Dạng toán phát triển tư duy

Trong Sgk Toán 8 hiện hành chỉ giới thiệu 3 phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử Tuy nhiên trong bài tập lại đưa ra những bài toán không thể giải ngay bằng 3 phương pháp đã học (Bt 53 sgk tr24, Bt 57 Sgk tr25) Chính vì vậy trong tiết

luyện tập giáo viên cần giới thiệu thêm vài phương pháp nâng cao như: Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Phương pháp này thường gặp trong các đa thức có dạng tam thức bậc 2 2

ax +bx +c

Ta thường làm phương pháp này như sau: Chọn hạng tử bx để tách, tách

bx thành hai hạng tử b x i và b x j phải thỏa mãn: i j

i j

b x b x bx

b b ac





Ví dụ 12 Phân tích đa thức 2

5 6

x + x + thành nhân tử

☞ Giáo viên gợi ý 2 3 5

2.3 1.6

x x x





=



x + x + = x + x + x + =x x + + x + = x + x +

Ví dụ 13 Phân tích đa thức 2

2x ư5x ư7 thành nhân tử

☞ Giáo viên gợi ý

( ) ( )

2 7 2 7

x x x

 ư = ư







Lưu ý:

- Nếu đa thức f x( )=ax2 +bx +c có b2 ư4ac ≈ ta có thể phân tích theo công 0 thức:

b b ac b b ac

ax bx c a x x

- Ta có thể phân tích f x( )=ax2 +bx +c theo nhiều cách khác nhau

Ví dụ 14 Phân tích đa thức 2

6 8

x ư x + thành nhân tử

☞ Giải:

Cách 1: 2 ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

x ư x + = x ư x + ư = x ư ư = x ư x ư

Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Sử dụng phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử để nhóm được các hạng tử

nhằm làm xuất hiện nhân tử chung hoặc có dạng một hằng đẳng thức

Ví dụ 15 Phân tích đa thức 4

4

x + thành nhân tử

☞ Giáo viên gợi ý Đa thức 4

4

x + không có nhân tử chung, không có dạng của hằng đẳng thức cũng không nhóm được Do đó cần phải thêm và bớt hạng tử 2

4x

nhằm làm xuất hiện hằng đẳng thức

☞ Giải 4 ( 4 2 ) 2 ( 2 )2 ( )2 ( 2 )( 2 )

x + = x + x + ư x = x + ư x = x ư x + x + x +

Ví dụ 16 Phân tích đa thức 5

1

x + +x thành nhân tử

☞ Giáo viên gợi ý Đa thức 5

1

x + +x không có nhân tử chung, không có dạng của hằng đẳng thức cũng không nhóm được Do đó cần phải thêm và bớt hạng tử 3

x để nhóm đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức

☞ Giải

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp này được dùng nhằm làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn khi đó việc phân tích đa thức thành nhân tử với biến mới trở nên dễ dàng hơn Ta sử dụng phương pháp này khi trong đa thức có nhiều biểu thức giống nhau mà không đặt nhân tử chung được

Ta thường làm phương pháp này như sau: Để phân tích đa thức ( )f x

thành nhân tử, ta đặt y =g x( ) là biểu thức trong ( )f x Khi đó việc phân tích đa thức ( )f x thành nhân tử được quy về việc phân tích đa thức ( )f y thành nhân tử Khi ( )f y đã có dạng nhân tử ta chỉ cần thay y bởi ( ) g x

Lưu ý: Khi thay y bởi ( ) g x vào dạng nhân tử của ( )f y thì ( )f x có dạng nhân tử, nếu dạng nhân tử này còn phân tích được nữa thì ta phân tích tiếp tục, nếu không phân tích được thì ( )f x đã được phân tích triệt để

Ví dụ 17 Phân tích đa thức 4

( ) 1 (*)

f x =x ư thành nhân tử

☞ Giáo viên gợi ý Nếu biến đổi đa thức 4

1

x ư trở thành dạng 2

1

y ư thì ta được hằng đẳng thức quen thuộc Do đó ta cần biến đổi 4

x về dạng 2

y bằng cách đặt 2

y =x

☞ Giải Đặt 2

y =x

Đa thức (*) trở thành: 2 ( )( )

f y =y ư = y ư y +

Vậy: ( 2 )( 2 ) ( )( ) ( 2 )

f x = x ư x + = x ư x + x +

f x = x + x ư x + x ư thành nhân tử

☞ Giáo viên gợi ý Việc phân tích ( )f x trực tiếp rất phức tạp Mặt khác, trong ( )

f x lại có nhiều biểu thức giống nhau do đó ta đặt 2

2

y =x + x

☞ Giải Đặt 2

2

y =x + x

Đa thức (**) trở thành:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

f y =y ư y ư = y +y ư y + =y y+ ư y + = y + y ư

Vậy:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2

f x x x x x

x x x x

x x x x

x x x

2.2 Một số sai lầm của học sinh khi giải toán phân tích đa thức thành nhân tử

Khi phân tích đa thức thành nhân tử học sinh thường mắc phải một số sai lầm dưới đây:

- Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung

Ví dụ 19 Phân tích đa thức 2( ) ( )

x x +y ư x +y thành nhân tử

☞ Giải ( ) ( ) ( )

Boỷ soựt soỏ 1

x x +y ư x +y = x +y x ư

- Đổi dấu sai

9x x ưy ư10 y ưx thành nhân tử

ẹoồi daỏu sai

9x x ưy ư10 y ưx = 9x x ư +y 10 x ưy

- Thiếu dấu ngoặc khi khai triển hằng đẳng thức

Ví dụ 21 Phân tích đa thức ( ) (2 )2

x +y ư x ưy thành nhân tử

☞ Giải ( ) ( )

Thieỏu daỏu ngoaởc

- Nhóm hạng tử không thích hợp hoặc tách hạng tử sai dẫn đến không phân tích

được thành nhân tử

2 1

x + x + ưy thành nhân tử

☞ Giải + + ư = ( + ) (+ ư ) = ( + ) ( )( )+ ư +

Khoõng phaõn tớch ủửụùc nửừa Nhoựm khoõng thớch hụùp

x x y x x y x x y y

Ví dụ 23 Phân tích đa thức 2

5 6

x + x ư thành nhân tử

☞ Giải + ư = + + ư = ( + ) ( )+ ư

Taựch haùng tửỷ khoõng phuứ hụùp Khoõng phaõn tớch ủửụùc nửừa

x x x x x x x x

- Sai ở quy tắc lấy dấu ngoặc, quy tắc bỏ dấu ngoặc

x ư x ư y ư y thành nhân tử

ẹaởt daỏu ngoaởc sai

x ư x ư y ư y = x ư y ư y ư y

Học sinh bị mắc sai lầm do không nắm vững các quy tắc, tính chất; chưa học kỹ hằng đẳng thức đáng nhớ; chưa rèn luyện được kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử ở 3 phương pháp cơ bản Vì thế trong quá trình giảng dạy giáo viên cần hướng dẫn thật kỹ, phải hình thành được kỹ năng giải toán cho học sinh và luôn cảnh báo những lỗi mà học sinh thường mắc phải khi giải bài tập

2.3 Tầm quan trọng của việc phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử có vai trò rất quan trọng trong chương trình

Đại số 8 Dạng toán này có thể được coi là nền tản khi thực hiện rút gọn phân thức và quy đồng mẫu nhiều phân thức (Chương II Phân thức đại số) đồng thời cũng là một biện pháp hữu hiệu khi giải phương trình tích (Chương III Phương trình bậc nhất một ẩn)

Khi quy đồng nhiều mẫu thức, để tìm mẫu thức chung của các mẫu thức ta phải phân tích các mẫu thức đó thành nhân tử rồi mới lấy mẫu thức chung