chuyên đề số phức

Dạng lượng giác của số phức Ta thấy tồn tại phép tương ứng 1−1 giữa các phần tử của và các điểm nằm trên mặt phẳng 2 nên có thể đồng nhất với... CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC 1.. Biểu

SỐ PHỨC

I TRƯỜNG SỐ PHỨC VÀ SỐ PHỨC

1 Trường số phức

Trường số phức
={ (a b a b, ) , ∈ là tập hợp } ×= mà trên đó xác lập 2 các quan hệ bằng nhau và các phép toán tương ứng sau đây:

i ) Phép cộng: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

ii) Phép nhân: (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

iii) Quan hệ bằng nhau: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c và b = d

iv ) Phép đồng nhất: (a, 0) ≡ a ; (0, 1) ≡ i

2 Số phức

Giả sử z=(a b, )∈
, với a, b∈R Sử dụng phép cộng và phép nhân ta có:

z = (a, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1) = a + bi; i2 = (0, 1) (0, 1) = (−1, 0) ≡ −1

i

z=a+b là dạng đại số của số phức, trong đó i gọi là đơn vị ảo

3 Phần thực và phần ảo của số phức

Giả sử z=a+bi∈
, a, b∈R, khi đó a gọi là phần thực, b là phần ảo của z

Kí hiệu: Re(z) = a ; Im(z) = b

Tính chất:

Nếu z=a+bi; z1 = a1 + b1i ; z2 = a2 + b2i , a, b, a1, b1, a2, b2∈R

+) z1 = z2 ⇔ a1 = a2 và b1 = b2 ⇔ Re(z1) = Re(z2) và Im(z1) = Im(z2)

+) Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2) ; Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2)

+) Re(λz) = λRe(z), ∀λ ∈ R ; Im(λz) = λIm(z), ∀λ∈R

4 Các phép toán về số phức

Cho z1 = a1 + b1i ; z2 = a2 + b2i , với a1, b1, a2, b2∈R Khi đó ta có:

z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i

z1 − z2 = (a1 + b1i) − (a2 + b2i) = (a1 − a2) + (b1 − b2)i

z1 z2 = (a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i

i

5 Số phức liên hợp

Cho z= +a bi, với a,b∈R, khi đó z =a−bi gọi là số phức liên hợp với z

Tính chất:

+) z =z,∀ ∈
; z z = ⇔ ∈  ; z z z = − ⇔ ∈  z z i

+) z+z =2 Re( )z ; z−z =2 Im( )z i ; 2( ) 2( )

z z⋅ = z + z

+) ∀z z1, 2∈
: z1+z2 =z1 +z2 ; z1⋅z2 =z1⋅z2 ; 1 1

=

6 Môđun của số phức

ĐN: Cho z=a+bi∈
, với a, b∈R, khi đó môđun của z là z = a2 +b2

Tính chất:

+) z2 = ⋅z z z; = z ; z ≥ ; 0 z = ⇔ = 0 z 0

+) ∀z z1, 2∈
: z1⋅z2 = z1 ⋅ z2 ; 1 1

z z

z = z , ∀z2 ≠ 0 +) ∀z z1, 2∈
: z1 +z2 ≤ z1 + z2 ; z1 − z2 ≤ z1−z2

7 Dạng lượng giác của số phức

Ta thấy tồn tại phép tương ứng 1−1 giữa các

phần tử của
và các điểm nằm trên mặt phẳng

2

 nên có thể đồng nhất
với  2

Khi đó tất cả các số phức z = a + bi được tương

ứng với điểm z = (a, b) trên mặt phẳng tọa độ

Đềcác Oxy

Với z = a + bi ≠ 0 (a, b ∈  ), kí hiệu r= z = a2 +b2

Góc ϕ là góc định hướng tạo bởi Oz



với chiều dương trục Ox được gọi là

Argument của z Nếu ϕ là một Argument của z, thì tập hợp tất cả các

Arguments của z là Argz = {ϕ + k2π, k ∈ } Nếu ϕ là một Argument của z

thoả mãn 0≤ ϕ < π , thì ϕ được gọi là Argument chính của z và được kí hiệu là 2 argz, khi đó ta có: Arg z=argz+2kπ,k∈ 

Vì a = r cosϕ ; b = r sinϕ, nên dạng lượng giác của z là z = r(cosϕ + i sin ϕ)

z

O

y

x

b

a

ϕ

Tính chất: z = r(cosϕ + i sinϕ) ; z1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1) ; z2 = r2(cosϕ2 + i sinϕ2)

z =r  ϕ − ϕ + ϕ − ϕ  ,z2 ≠0

z =r nϕ + nϕ ; n z n r cos k2 isin k2 ,k 0,n 1

Hệ quả (Công thức Moivre):

(cosϕ +isinϕ)n =cosnϕ +isinn ϕ , n∀ ∈ 

8 Hàm số mũ phức

Định nghĩa: ∀z = x + yi ∈
, (x, y∈R), thì ( ) f z =ez =ex(cosy+i siny)

Tính chất: e z ≠ 0, ∀z∈C ; ez1+z2 =e ez1 z2 ; e / ez1 z2 =ez1−z2 , ∀z1, z2∈C

9 Hàm lượng giác phức

Từ định nghĩa hàm số mũ phức suy ra:

Công thức Euler: eix =cosx+i sinx; e−ix =cosx−i sinx , ∀x∈R

Hệ quả:

cos 1(ei e i ); sin 1 (ei e i ), ( )*

Do các vế phải của các đẳng thức (*) cũng xác định khi thay thế x∈  bởi

z∈
, nên ta có các định nghĩa tương ứng của các hàm số phức sin, cosin,

tang, cotang: cos 1(ei e i )

2

z= + − ; sin 1 (ei e i )

2 i

tan

z z z

−

−

−

z z z

−

−

+

−

10 Hàm Hypebolic phức

1

2

z= + − ; sh 1(e e )

2

th

z z z

−

−

−

coth

z z z

−

−

+

−

II CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC

1 Dạng 1 Biểu diễn một số phức dưới dạng lượng giác

Dạng lượng giác z=r(cosϕ +isinϕ , với ) r> 0

Bài mẫu Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác

i

−

i

i

Giải

− =  − + −  1+ =i 2 cos 4π+sin4π suy ra:

Sử dụng z1 z2 = (a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i ta có:

i

i

i i

−

=

4 Biến đổi z=sinϕ +icosϕ thành dạng lượng giác cos( ) sin( )

i z

i

i i

−

+

tg

2 i

ϕ

2

ϕ

2

ϕ

2

ϕ

= , thì số phức z không có dạng lượng giác xác định

6 Xét số phức z=(1 cos− ϕ −isinϕ) (1+cosϕ +isinϕ )

− Nếu sinϕ > thì dạng lượng giác là 0 2 sin cos( ) sin( )

− Nếu sinϕ < thì dạng lượng giác là 0 2 sin cos( ) sin( )

− Nếu sinϕ = , thì do 0 z= , nên không có dạng lượng giác xác định 0

2 Dạng 2 Các bài tập về argument của số phức

Bài mẫu Tìm một argument của mỗi số phức sau: 1 z= − +5 5 3i

2

z= ϕ +i ϕ + ϕ +i ϕ

Giải

1 Số phức z= − +5 5 3i biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm M(−5; 5 3)

5

M M

y x

2 3

π

ϕ =

2

z= − ϕ +i ϕ < ϕ < π

Do 0

2

π

< ϕ < nên 2 sin 0

ϕ

π − >

là dạng lượng giác của số phức z Vậy

ϕ

π + là một argument của số phức z

z= ϕ +i ϕ + ϕ +i ϕ

= ϕ − ϕ + ϕ ϕ + ϕ + ϕ =(cos 2ϕ +cosϕ +) (2sin cosϕ ϕ +sinϕ )i

i Nếu cos 0

2

ϕ

> thì z = 2 cos cos3 sin3

+

phức z Vậy 3

2

ϕ

là một argument của số phức z

2

ϕ

z ϕ  ϕ  i  ϕ 

lượng giác của số phức z Vậy 3

2

ϕ + π là một argument của số phức z

ϕ

= ⇒ = ⇒ argument của số phức z không xác định

3 Dạng 3 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ

Bài 1 Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn:

c (2−z)(i+z) là số thực tùy ý d (2−z)(i+z) là số ảo tùy ý

e 2 z− =i z− +z 2i f z2 −( )z 2 = 4

Giải

Đặt z= +x iy⇒z = −x iy

a z+ +z 3= ⇔5 2x+3 = ⇔5 x=1;x= − (hai đường thẳng 4 x=1;x= − ) 4

2

2

2

=

c z′=(2−z i)( +z) (= 2− −x iy x i) ( + (1−y) )=(2−x x) +y(1−y)+i(2−x)(1−y)−xy

2

z′∈⇔ −x − y −xy= ⇔ − −x y= ⇔ y=− x+

z′ = −z i+z ∈i⇔ −x x+y − y = ⇔ x− + y− =

⇒ Tập hợp điểm là đường tròn tâm ( )1;1

2

2

2 x+i y−1 = 2i y+1 ⇔ x + y−1 = y+ 1

2

2

4

x

y=

f 2 ( )2

4

⇔ xy = ⇒ Tập hợp điểm là hai đường hypebol 1 y 1

x

x

= −

Bài 2 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn các số phức z sao

2

z

z

−

+ có một argument bằng 3

π

Giải

Giả sử z= +x yi Sử dụng công thức 1 1 22 1 22 2 12 1 22

z a a b b a b a b

i

2

2

z

i

2 2

z z

− + có một argument

3

π

ϕ = thì

với r> 0

4 cos

2

sin

2

r

y





⇒ 

π







⇒

( )

0 1 4

3 4

y y

 >





=





4

3

y

Từ (1) và (2) suy ra tập hợp các điểm M là phần đường tròn tâm I 0; 2

3

3

R= nằm phía trên trục thực (trục Ox)

Bài 3 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z

z i =

− , (k là số thực dương cho trước)

Giải

Giả sử z= x+ yi (x y, ∈  ⇒ )

2 2 2

Nếu k= thì (1) ⇔ 1 1

2

2

y=

2

−

Tập hợp cần tìm là đường tròn có tâm I

2 2

0;

1

k k

−

1

k

k −

x

y

2 3

−

Bài 4 Trong mặt phẳng phức cho 4 điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức

4+ 3+ 3 ; 2i + 3+ 3 ; 1 3 ; 3i + i + CMR: A, B, C, D ∈ một đường tròn i

Giải

Từ giả thiết ta suy ra A=(4; 3+ 3 ;) B=(2; 3+ 3 ;) C=(1; 3) và D=(3; 1)

Ta có CA=(3; 3)



biểu diễn số phức 3+ 3i,

CB=(1; 3)



biểu diễn số phức 1+ 3i,

⇒ Số đo góc (CA CB, )






i z

i

+

=

a b i a a b b a b a b

i

6

i

Vậy số đo góc (CA CB, )






cũng là một argument của số phức 3+ i

Mặt khác DA=(1; 2+ 3)



biểu diễn số phức 1+(2+ 3 i) ,

DB= −( 1; 2+ 3)



biểu diễn số phức − +1 (2+ 3 i)

⇒ Số đo góc (DA DB, )






2

i z

i

=

3 2

i

+ Vậy số đo góc (DA DB, )






cũng là một argument của số phức 3+ i

Vì các argument của một số phức sai khác nhau 2 ,k π k∈  nên ACB=ADB Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp

4 Dạng 4 Phần thực, phần ảo của một số phức

Bài 1 Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

50

49

1

3

i

i

+

+

5

10

1

z z

z

Giải

( )

50 25 50

49

i

i

Vậy Re( )1 124 cos 125

3

z = π= , Im( )1 124 sin 253

3

6

z = πi+ π i + i = − π+i π  π+ i π

3

1

1

z z

z

z

Từ

2

i



−



3

1

i

+

(cos10 sin10 ) (cos 10 sin 10 )

3

π

z = − Vậy Re( )z3 = − , 1 Im( )z3 = 0

Bài 2 Cho z=cosϕ +isinϕ Giả sử n≥ là số nguyên dương 1

Chứng minh rằng: z n 1n 2 cosn ; z n 1n 2 sini n

Giải

n

5 Dạng 5 Giải phương trình trên trường số phức

Bài 1 Tìm các căn bậc hai của số phức w= −11+4 3i ; 2(1 )

Giải

1 Giả sử z= +x yi là căn bậc hai của số phức w= −11+4 3i

z =w⇔ x+yi = − + i⇔ x −y + xyi= − + i

2 2

2 3 11





Vậy số phức w= −11+4 3i có hai căn bậc hai là z1= +1 2 3 ;i z2 = − −1 2 3i

cosϕ +isinϕ =cos 2ϕ +isin 2ϕ suy ra cosϕ +isinϕ và cos− ϕ −isinϕ là các căn bậc hai của cos 2ϕ +isin 2ϕ

có hai căn bậc hai là: 1 cos( ) sin( )

z = −π +i −π và 2 cos( ) sin( )

z = − −π −i −π

Bài 2 Giải các phương trình bậc hai z2 +(1 3− i z) −2 1( +i)= 0

Giải

2

z = x+yi = i ⇔

4

1

0

=

Do đó 1 i + và 1 i− − là các căn bậc hai của 2i ⇒ nghiệm z1=2 ;i z2 = − + 1 i

2

Giải

Do z= không là nghiệm của (1), nên ( )0 2

2

2

z z

z z

5

2

2

z

= −

( ) ( )

2

2

z

z

z = x+ yi = + i ⇔

3

8

=

Do đó 3+ và 3 i i − − là các căn bậc hai của 8+6i ⇒ 1 1 ; 2 1 1

z = +i z = − + i

Tương tự 3−i;− + là các căn bậc hai của 8−6i ⇒ 3 i 3 1 ; 4 1 1

z = −i z = − − i

Vậy phương trình có 4 nghiệm z1, z2, z3, z4

Bài 4 Giải phương trình: z5 +z4 +z3 +z2 + + = (1) z 1 0

Giải

( )1 ⇔z4(z+1)+z2(z+1)+ + = z 1 0 ( )( 4 2 )

1

1 0

z

z z

= −





2

i

2

2



⇔ 



z = π+i π⇔z = π+i π∨z = − π−i π

2

z = − π +i − π ⇔z = −π +i −π ∨ z = − −π −i −π

z = − z = + i z = − − i ; 4 1 3 ; 5 1 3

z = − i z = − + i

Bài 5 Giải hệ phương trình hai ẩn phức z z1, 2 sau: 1 2

4







Giải

z z =  z +z − z +z =  +i − + i= +i

z − +i z+ +i = Vậy nghiệm của hệ là (3−i; 1+2i) và (1+2 ; 3i −i)

6 Dạng 6 Các bài toán về môđun số phức

Giải

z +z + z −z = z +z z +z z + z + z −z z −z z + z = z + z

Giải

( )( )

z z + + z −z =z z +z z +z z + + z −z z −z z +z = +z +z

( )( )

z z − − z −z = z z −z z −z z + − z +z z +z z − z = −z −z

4

z z = z +z − z −z + z + z − z − z ∀ z1, z2∈

Giải

z1 +z2 2 − z1−z2 2 +iz1+iz2 2 −i z1−iz2 2

= (z z1 2 +z z1 2 +z z1 2 +z z1 2) (− z z1 2 −z z1 2 −z z1 2 +z z1 2)

+(iz z1 2 +z z1 2 −z z1 2 +iz z1 2) (− −iz z1 2−z z1 2+z z1 2 +iz z1 2)=4z z1 2

1

n

k

=

Giải

Đặt z k =x k +iy k ; z12 +z22 + +z n2 =a+ib trong đó x k,y k, ,a b∈ 

1

n

k k k

ab x y

=

này suy ra nếu 2

1

n k k

=

1

n k k

=

1

n

k k

=

1

n

k

=

Bài 5 Cho a, b, c, d ∈
với ac ≠ 0 Chứng minh rằng:

2

ac ad bc bd

≥

Giải

2

−

(1) ⇔ Max 1;{ x+ y;xy }≥k.Max 1;{ x} Max 1;{ y} (2)

Nếu |x| ≥ 1, | y| ≥ 1 thì (2) đúng vì |xy| ≥ k.|x|.|y| (k <1)

Nếu |x| ≤ 1, | y| ≤ 1 thì (2) đúng vì k < 1

Xét |x| < 1, |y| > 1 Ta sẽ chứng minh: Max 1;{ x+y ;xy}≥k y (3)

Giả sử Max 1;{ x y x y+ ; }<k y ⇒ y 1

k

> và x y+ <k y

Ta có: x + x+y ≥ y ⇒ x ≥ y − x+ y > y −k y =(1−k y) =k2 y

⇒ x y ≥k y2 2>k y ⇒ Mâu thuẫn

Do (3) được chứng minh ⇒ (2) đúng ⇒ (1) đúng

Chứng minh tương tự với |x| > 1, |y| < 1 thì Max{1; x+ y;xy }≥k x (4)

Do (4) đúng ⇒ (2) đúng ⇒ (1) đúng

Bài 6 Cho z1, z2, z3, z4∈
Chứng minh: 1 2 3 4

i j

≤ ≤ ≤

Giải

Sử dụng bất đẳng thức: |a + b| ≤ |a| + |b| ∀a, b∈

Ta có: 2 z1 − z2 +z3 ≤ 2z1+z2 +z3 ≤ z1 +z2 + z1+z3

2

z ≤ z +z + z +z + z +z 

2

z ≤ z +z + z +z + z +z 

1 2

z ≤ z +z + z +z + z +z 

2

z ≤ z +z + z +z + z +z 

i j

≤ ≤ ≤

Đẳng thức xảy ra ⇔ (z1, z2, z3, z4) là một hoán vị của (a, a, −a, −a) với a∈

Bài 7 Cho a b c, , 0

a b c abc

≥





+ + =

1

Giải

abc ab bc ca

+ +

Coi các biểu thức chứa căn là môđun của các số phức, khi đó ta có

2

, ,

a b c

T

∑

2

n n

∀z1 ≠ z2∈
thỏa mãn | z1|, | z2| ≤ 1 thì ( ) ( ) 1 2

8

z z

Bài 9 Giả sử z1, z2, , z n là các nghiệm phức của đa thức

z +a z − + +a − z+a ∈
z

a Chứng minh rằng: z1 2 + z2 2 + + z n 2 ≥2 a2

b Chứng minh rằng: Nếu t1, t2, , t n −1 là các nghiệm phức của đa

thức P′(z) thì ta có bất đẳng thức sau luôn đúng

2

n

−

−