Tài liệu Chuyên đề số phức

Xác định tổng, hiệu, tích, thương của các số phức 1 Phương pháp giải Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toá

số phức PHẦN I CÁC DẠNG TOÁN

VẤN ĐỀ 1

dạng đại số của số phức Cộng, trừ, nhân, chia số phức

A TểM TẮT KIẾN THỨC

1 Số phức

Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i2 = -1 được gọi

là một số phức

a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo, i được gọi là đơn vị ảo

Tập các số phức được kí hiệu là 

Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R

Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo

2 Hai số phức bằng nhau

'

z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' ); z z'

'

a a

b b











3 Cộng, trừ hai số phức

z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' )

z + z' (a + a' ) + (b + b') i, z z' (a - a') + (b - b' )i

Số đối của số phức z = a + bi là số phức ; - z = - a – bi

4 Nhân hai số phức

z  a+bi (a,b   ), z'  a'+b' i (a',b'   ); zz'  aa '  bb ' (  ab '  a b i ' )

5 Môđun của số phức, số phức liên hợp

z = a +bi (a, b  ) thì môđun của z là z = a +b 2 2

z = a +bi (a, b  ) thì số phức liên hợp của z là z = a - bi

Ta có:

2

zz' = z z' , zz  a  b  z , z + z' = z + z', zz'=z z', z = z

6 Chia cho số phức khác 0

Nếu z = a + bi (a, b  ) khác không thì số phức nghịch đảo của z là -1 1

2 z

Thương của z' cho z khác không là: z' -1 z'z

z'z

'

,

z

 

7 Biểu diễn hình học của số phức

Số phức z = a + bi (a, b  ) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức

Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo

Số phức z = a + bi (a, b  ) cũng được biểu diễn bởi vectơ u( ; )a b

, do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b  ) cũng có nghĩa là OM

biểu diễn số phức đó

Ta có:Nếu u v ,

theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì

u v

biểu diễn số phức z + z', u v

biểu diễn số phức z – z-1, ku (k  )

 biểu diễn số phức

kz,

OM  u  z

, với M là điểm biểu diễn của z

B Các dạng bài tập

I Xác định tổng, hiệu, tích, thương của các số phức

1) Phương pháp giải

Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp

đối với các phép toán cộng và nhân

2) Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm phân thực, phần ảo của các số phức sau

a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b) ( 1 i)3(2 )i 3

Bài giải

a) Ta có: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- 3 + 2i) = (2 - 3) + (-3 + 2)i = -1 - i

Vậy số phức đã cho có phần thực là - 1, phần ảo là - 1

b) Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân hai số phức ta có

( 1   i )   ( 1)  3( 1)  i  3( 1)  i  i   2 2 , ( 2 ) i  i   ( 2) ( ) i  8 i

Do đó nhận được kết quả của bài toán là 2 + 10i

Ví dụ 2: Tính 1

2 2 i Bài giải

Ta có :

i

Ví dụ 3: Tính 1   i i 2  i 3   i 2009

Bài giải

Ta có: 1  i 2010  (1  i )(1   i i 2  i 3   i 2009 ) Mà 1  i 2010  2 Nên

2

1

i

 , 

1   i i  i   i   1 i

Ví dụ 4: Tính (1  i ) 100

Bài giải

Nhận thấy (1  i ) 2  (1  i )(1  i )   2 i

Suy ra (1  i ) 100  ((1  i ) ) 2 50   ( 2 ) i 50   ( 2) 50 ( ) i 50   2 50

Ví dụ 5: Cho số phức 1 3

z    i

z

Bài giải

Lại có

i

i z

i

 

 

Suy ra 2 1

z

 

Hơn nữa ta có z  3 1

Ví dụ 6: Tìm số phức z, nếu z2 z  0

Bài giải

Đặt z = x + yi, khi đó

2

2

0

0 0

0 0

0, 0

1

0 (do 1 0) 0

y y

xy

x x x

y y

y













 























0





   





Vậy có ba số phức thoả mãn điều kiện là z = 0; z = i; z = - i

II Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ

1) Phương pháp giải

Để biểu diễn một số phức cần dựa vào định nghĩa và các tính chất sau:

Nếu số phức z được biểu diễn bởi vectơ u

, số phức z' được biểu diễn bởi vectơ 'u

, thì

z + z' được biểu diễn bởi u u  '

; z - z' được biểu diễn bởi u u  '

; - z được biểu diễn bởi u

2) Các ví dụ

Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp những

điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau

Bài giải

a) Đặt z = x + yi suy ra z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i Nên hệ thức z  1 i 2 trở thành

(x1) (y1) 2(x1) (y1) 4

Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn giả thiết

là đường tròn tâm I(1; - 1) bán kính R = 2

b) Gọi A (- 2 ; 0), B(0 ; 1) Khi đó 2z  i z  z ( 2)  z i hay là

M(z)A = M(z)B Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Nhận xét: Với phần b ta có thể thức hiện cách giải như đã làm ở phần a Tuy nhiên để

thể thực hiện cách giải như vậy là ta đã dựa váo nhận xét sau:

Nếu véctơ u

của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ u

là u  z

, và từ

đó nếu các điểm A, B theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì AB  zz'

Ví dụ 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 2 3 3

2

z  i  Tìm số phức z có modul nhỏ nhất

Bài giải

Xét biểu thức 2 3 3

2

z  i  (1) Đặt z = x + yi Khi đó (1) trở thành

( 2) ( 3) ( 2) ( 3)

Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên đường tròn ( ) tâm

I(2; -3) và bán kính R = 3

2

Ta có z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

điểm M nằm trên đường tròn ( ) và gần O nhất Do đó M là giao điểm của ( ) và đường thẳng

OI, với M là giao điểm gần O hơn

Ta có OI = 4 9  13 Kẻ MH  Ox Theo định lí talet có

3 13

MH OI





26

2 13

Lại có

3 13

2

OH

OH



Vậy số phức cần tìm là : 26 3 13 78 9 13

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số phức z, w, ta có zw  z  w Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài giải

Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z, w, z + w

Ta có z OA w, OB z, w OC Từ OC  OA + AC suy ra zw  z  w

Hơn nữa OC = OA + AC khi và chỉ khi O, A, C thẳng hàng và A thuộc đoạn thẳng OC Khi O  A (hay z  0) điều đó có nghĩa là có số k  0 để ACkOA

tức là w = kz (Còn khi z

= 0, rõ ràng zw  z  w)

Vậy zw  z  w khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z  0 thì tồn tại kR để w = kz

c bài tập

1 Chứng minh rằng với mọi số phức z, w ta đều có z  w  zw Dấu bằng xảy ra khi nào?

2 Trong mặt phẳng phức, bốn điểm phân biệt A, B, C, D theo thứ tự biểu diễn các số phức z, w,

u, v thoả mãn các tính chất:

O H 2

M

I

- 3

x

y

a) z  w  u  v  ; 1

b) z + w + u + v = 0

3 Cho số phức z = m + (m - 3)i, m R

a) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác thứ hai y = - x;

b) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hypebol y 2

x

  ; c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất

4 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức

3

z

z i 

5 Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức

; (1 )(1 2 );



 

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân;

b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông

… … …

VẤN ĐỀ 2

Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

A Kiến thức cần nhớ

I Định nghĩa căn bậc hai của số phức

Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z2= w được gọi là một căn bậc hai của số phức w

a) Nếu w là số thực

+ w < 0 thì có hai căn bậc hai:  wi &   wi

+ w 0 thì có hai căn bậc hai: w &  w

b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bước:

+ Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của w tức là: z2 w khi đó ta có

hệ:

2 2

(1)

xy b







Bình phương 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta được x2  y2  a2  b2

Do vậy ta được hệ:

2 2

(1)

(2')





 Giải hệ tìm được x2 và y suy ra x và y để tìm z 2

Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu Nếu b < 0 thì x, y trái dấu

II Công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức

Cho PT: ax2  bx   c 0; (1) ( , , a b c   , a  0) và có   b2  4 ac

+ Nếu   0 pt có hai nghiệm là 1 ; 2

Trong đó  là một căn bậc hai của 

+ Nếu = 0 thì pt có nghiệm kép: 1 2

2

b

x x

a

B Các dạng bài tập

I Giải phương trình bậc nhất

1) Phương pháp giải

Biến đổi phương trình về dạng Az + B = 0, A, B , A0 Viết nghiệm B

z A

 

2) Ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình 2iz + 1 - i = 0

Bài giải

Nghiệm của phương trình là (1 ) 1 1 1 1

i

II Tính căn bậc hai và giảiphương trình bậc hai

1) Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính căn bậc hai của số phức để tính căn bậc hai

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình với chú

ý phải đưa về đúng dạng của phương trình

2) Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

Bài giải

a) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -5 + 12i tức là

x  iy    i  x  y  ixy    i

2 2

5

2 3

x y

 



 

 



Do b = 12 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có 2

3

x y











3

x y

 





 



Vậy -5 + 12i có 2 căn bậc hai là z1 =2+3i và z2 = -2-3i

b) Tương tự ta gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 8+ 6i tức là

x  iy   i  x  y  ixy   i

2 2

8

3 1

x y

 



 

 



Do b= 6> 0 nên x và y cùng dấu từ đó có 3

1

x y











1

x y

 





 



Vậy 8 + 6i có 2 căn bậc hai là 3+i và -3-i

c) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 33 - 56i tức là

x  iy   i  x  y  ixy   i

2 2

33

7 4

x y

 



 

 



Do b = -56 < 0 nên x và y trái dấu từ đó có 7

4

x y







 



4

x y

 









Vậy 2 căn bậc hai của 33 - 56i là 7- 4i và -7+i4

d) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -3 +4i tức là

x  iy    i  x  y  ixy    i

2 2 2

2 2

3

1 2

x y

 



 

 



Do b = 4 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có 1

2

x y











2

x y

 





 



Vậy 2 căn bậc hai của -3 + 4i là 1 + 2i và -1-2i

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a x   i x  i   b x   i x    i

Bài giải

a) Ta có    3 4  i 2 4 5  i  1     3 4 i

Theo kết quả ví dụ 1d) thì có hai căn bậc hai là 1+ 2i và -1 - 2i Do đó pt (1) có hai nghiệm là:

b) Tương tự ta có    1  i 2  4    i 2    8 6 i

Theo kết quả ví dụ 1b) thì có hai căn bậc hai là 3 + i và -3 - i Do đó pt (2) có hai nghiệm là:

Chú ý: PT (2) có thể dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = 0

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a ) 3 x2  x  2  0; (1); b x ) 2  x   1 0; (2); c x ) 3   1 0 (3)

Bài giải

a) Ta có = 12

- 4.3.2 =-23<0 nên ta có hai căn bậc hai của là: i 23 &  i 23 Từ đó nghiệm của pt (1) là: 1 1 23 2 1 23

;

b) Tương tự ta có  = -3 < 0 có hai căn bậc hai là: i 3 &  i 3 nên (2) có các nghiệm là:

1 1 3 2 1 3

;

c) Ta có

2

1 0

1 0; (*)

x

 



  



;

( Các nghiệm của pt (3) được gọi là căn bậc ba của 1)

Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu một phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm phức

   thì cũng nhận  là nghiệm

Bài giải

Giả sử PT bậc hai: 2  

ax  bx   c a b c   a  nhận số phức   là nghiệm tức là ta có: a 2  b    c 0 (1)

Lấy liên hợp hai vế của (1) và sử dụng tính chất liên hợp của số thực bằng chính nó thì ta được:

 2

2

a   b    c  a   b    c Điều này chứng tỏ  là nghiệm của pt

áp dụng: Chứng tỏ 1+i là một nghiệm của phương trình x2  3 x   3 5 i  0 Tìm nghiệm còn lại của pt đó

Ví dụ 5: Phát biểu và chứng minh định lí đảo và thuận của định lí Vi-et của phương tình bậc hai với hệ số phức

Thuận: Nếu hai số x1 & x2 là hai nghiệm của phương trình

2

ax  bx   c a b c   a  thì x1 x2 b & x x1 2 c

Chứng minh

Theo công thức nghiệm của pt bậc hai với hệ số phức ta có:

1 2

2 2

.

x x

x x

Đảo: Nếu hai số   ; thoả mãn:     S &    P thì   ; là nghiệm của pt:

2

0

x  Sx  P  (1)

Chứng minh

x









 Điều này chứng tỏ   ; là nghiệm của (1)

áp dụng: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm    4 3 ; i     2 5 i

Bài giải

Theo bài ra ta có:     2  8i và     4  3 i    2 5 i    23 14  i

Theo kết quả Vd5 ta được pt bậc hai cần lập là: 2  

Ví dụ 6: Tìm m để phương trình: x2  mx  3 i  0 có tổng bình phương 2 nghiệm bằng 8 Bài giải

Theo bài ra ta có: 2 2  2

x  x   x  x  x x  (1) Theo Vi-et ta có

1 2

1 2 3

  









Thay vào (1) ta được m2 6 i   8 m2   8 6 i Tức m là một căn bậc hai của 8+6i Theo kết quả Vd1b ta có 2 giá trị của m là: 3 + i và -3 - i

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình

2 2

1 2

1 2



 Bài giải

Từ (2) ta có z12  z22  2 z z1 2  15 8  i Kết hợp với (1) ta có z z1 2   5 5 i vậy ta có hệ

phương trình: 1 2

1 2

4

5 5





 



Do đó z z1, 2 là nghiệm của phương trình

2

z   i z   i  Ta có     5 12i theo Vd1a ta biết có hai căn bậc hai là:

2 + 3i và -2 - 3i

Vậy ta có

1

2

3 2

1 2 2

  







  



Hoặc 1

2

1 2 3

 





 



Ví dụ 8: Cho z z1, 2là hai nghiệm của phương trình   2  

1  i 2 z  3 2  i z    1 i 0 Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

2 1

Bài giải

Theo Vi-et ta có:

1 2

1 2

3 2 3 2 2 2 3 2

i

i i

i













a) Ta có

2 2

A z z  z z     i      i     i

b)

1 2 1 2

3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 5 2 2 1 10 2

c) Ta có

2 2

1 2

1 2

6 26 2 18

1 2 1 2

C

z z

i



Ví dụ 9: Giải pt: z4  6 z2  25  0 (1)

Bài giải

Đặt z2  t Khi đó (1) có dạng: t2  6 t  25  0 (2)

Ta có:    ' 16 có hai căn bậc hai là 4i và - 4i nên pt (2) có hai nghiệm là t1  3 4 i

và t2   3 4 i

Mặt khác 3 + 4i có hai căn bậc hai là: 2 + i và -2 - i còn 3 - 4i có hai căn bậc hai là:

2 - i và -2 + i nên pt (1) có 4 nghiệm là:

z   i z    i z   i z    i

C bài tập

Bài 1: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:

a) 8+6i b) 3+4i c) 3

i i





1i 1i e)

2

1 1

i i



 

 



  f)

2

1 3 3

i i

  



Bài 2: Gọi u1; u2là hai căn bậc hai của z1  3 4i và v1; v2 là hai căn bậc hai của z2  3 4i Tính u1 u2v1 v2?

Bài 3: Giải các phương trình sau:

2 2

2

Bài 4: Tìm các căn bậc ba của 8 và -8

Bài 5: Giải các phương trình trùng phương:

Bài 6: Cho z z1, 2 là hai nghiệm của phương trình: 2  

z   i z   i  Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

2 1

Bài 7: Giải các hệ PT

………

VẤN ĐỀ 3

Dạng lượng giác của số phức

A Kiến thức cần nhớ

I Số phức dưới dạng lượng giác

1 Acgumen của số phức z  0 y

Cho số phức z  0 Gọi M là điểm

trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z

Khi đó số đo (radian) của mỗi góc lượng b

giác tia đầu Ox, tia cuối OM được M

gọi là một Acgumen của z

O a x

Chú ý: + Nếu là Acgumen của z thì mọi Acgumen của z đều có dạng:  + k2 , k  Z

+ Acgumen của z  0 xác định sai khác k2  , kZ

II Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức Z = a+bi, (a, bR), với r = a 2 b2 là modun của số phức z và  là Acgumen của số phức z

Dạng z = r (cos+isin) được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0, còn dạng

z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức z

II Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Nếu z = r(cos+isin), z' = r' (cos'+isin') (r0và r' 0) thì

zz' = rr ( cos (')isin(')); cos( ') sin( ')

i

z  r      (khi r' > 0)

III Công thức Moa-Vrơ và ứng dụng

1 Công thức Moa- Vrơ

 (cos sin )n n(cos sin )

r i  r ni n

cosisinn cosnisinn,nN*

2 Căn bậc n của một số phức

Với z = r(cos+isin), r > 0, có hai căm bậc hai của z là

(cos sin )

B các dạng Bài tập

I Viết số phức dưới dạng lượng giác

1) Phương pháp

Với mỗi số phức z = a + bi:

Tính r = a2b2 ; Tính cos = a, sin b

r   r từ đó suy ra acgumen của z

Sử dụng công thức lượng giác của số phức cho ta z = r (cos isin )

2) Các ví dụ

Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác

)(1 3)(1 ); )1 3; ) sin cos

1

i



 Bài giải

a) Ta có 1 3 2 cos( ) sin( )

b) Từ phần trên ta có ngay kết quả

i

i i

z   i  

Ví dụ 2: Tuỳ theo góc , hãy viết số phức sau dưới dạng lượng giác

(1 cos isin )(1 cos  isin ). Bài giải

Xét số phức z =(1 cos isin )(1 cos  isin ) , ta có