THPT Tân Bình – Bình Dương.. THPT Tân Bình – Bình Dương... THPT Tân Bình – Bình Dương... THPT Tân Bình – Bình Dương.. THPT Tân Bình – Bình Dương.. THPT Tân Bình – Bình Dương... THPT Tân
Trang 1THPT Tân Bình – Bình Dương GIỚI HẠN 1
… GIỚI HẠN …
§1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.
1) GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ:
Đn1: Dãy số ( )u n được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới + nếu |u n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ số hạng nào đó trở đi
Ký hiệu: lim n 0
hay u khi n 0 n
Vd1 Dãy số (u n) với ( 1)
n
n u n
là 1, ,1 1 1, , 1 1, , , 1 , 1 ,
2 3 4 5 6 23 24
được biểu diễn trên trục số, ta
thấy khi n càng lớn thì các điểm chụm lại quanh điểm 0
Khi n > 23, tức là kể từ số hạng thứ 24 trở đi, ta có |u n| 1
n
< 1
23, nghĩa là |u có thể nhỏ bao nhiêu n|
cũng được miễn là chọn n đủ lớn Khi đó, ta cólim ( 1) 0
n
n n
Đn2: Dãy số ( )v n được gọi là có giới hạn là số a khi n dần tới + nếu lim n 0
Ký hiệu lim n
hay v na khi n
Vd2 Dãy số ( )v n với v n 2n 1
n
có giới hạn là 2 khi n dần tới + Thật vậy:
Ta có lim ( n 2) lim 2 1 2 lim 1 0
n v
2 1
n
n n
Giới hạn đặc biệt:
lim 1 0
nn ; lim 1k 0
nn ; lim n 0
khi |q| < 1; lim
với c là hằng số
Chú ý: lim n
được viết tắc là limu n
2) ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN:
Định lý:
a) Nếu limu = a và lim n v = b thì: n
lim(u nv n) = a b; lim(u n.v n) = a.b; lim n
n
u a
v b (b 0)
b) Nếu u n 0 nN* và limu n= a thì a 0 và lim u n a
Vd3 Tìm
2
2
3 lim 1
n n n
Giải:
2
2
1
1 lim 3 3
n
Vd4 Tìm
2
1 4 lim
1 2
n n
Giải:
n
3) TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN:
Cấp số nhân vô hạn ( )u n có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1
1 2
1
n
u
q
với |q| < 1
4
4
Trang 2THPT Tân Bình – Bình Dương GIỚI HẠN 1
1 2
(1 )
n
n
n n
nên 1
1
u S q
Vd Tính tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn (5 u n) sau:
a) (u n) với 1
3
1
n
Giải:
a) Ta cĩ 1 1, 1
u q do đĩ
1 1
1
u S
q
b) Ta cĩ 1 1, 1
2
u q do đĩ
1
1
1
2
n
u S
q
4) GIỚI HẠN VƠ CỰC:
a) Định nghĩa:
Ta nĩi dãy số (u n) cĩ giới hạn + khi n , nếu u n cĩ thể lớn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi Ký hiệu limu hay n u khi n n
Ta nĩi dãy số (u n) cĩ giới hạn – khi n , nếu lim( u n) Ký hiệu limu n hay
n
b) Giới hạn đặc biệt:
lim k
(q > 1)
c) Định lý:
Nếu lim , lim thì lim n 0
n
u
v
Nếu lim 0, lim 0 và 0 * thìlim n
n
u
v
Vd6 Tìm lim2 5
.3n
n n
Giải: Ta cĩ
5 2
2 5
.3n 3n
n
vì lim 2 5 2
n
n
Vd7 Tìm
3
2
lim 2
n n
n n
Giải: Ta cĩ
2
2
1
3 1
2 1 2
2 1
0
nn nN*
nên
3
2
lim
2
n n
n n
= +
Vd8 Tìm lim(n22n3)
Giải: Ta cĩ lim(n2 2n 3) limn2 1 2 32
n n
2
n n
Trang 3THPT Tân Bình – Bình Dương GIỚI HẠN 1
BÀI TẬP.
1) Tìm các giới hạn sau:
a) lim6 1
n
n
2
2
lim
n n n
lim
d)
2
lim
4 2
n
2
3 2
lim
n n
n n
5 4
lim
n n n
n n
g)
4
2
lim
3 2.5 lim
7 3.5
n
2 1 lim
2 3
n
Hướng dẫn:
a) 2; b) 3
2; c) Chia tử và mẫu cho 4n
kết quả bằng 5; d) 3
4
e) 0; f) +; g) 2
2 h) Chia tử và mẫu cho 5
n kết quả bằng 2
3
; i) 1
2) Tìm các giới hạn sau:
a) lim(n32n2 n 1); b) lim(n25n2); c) 2
lim n nn ;
lim 2n n n 2; f) lim 2.3n2n ; 2
g) lim n2 n 1 n; h) lim n2 n 2 n1; i)
2
lim
2 1
n
Hướng dẫn:
a) +; b) –; c)
2
1
2 1
1
n n n
n
; d) limn 1 1 1
n
;
e) +; f) lim 2.3 2 2 lim 3 2 2 2
n n
n
g) 1
2; h) + i) 1 3) Tính tổng:
a) 1 1 12 ( 1)1
n
n
1
n
n
S
Hướng dẫn:
a) 10
11
;
b) Dãy số
1
( ) : , , , , , ,
n
u
q u vì
1
2
1 1 / 2 1 2
Trang 4THPT Tân Bình – Bình Dương GIỚI HẠN 1
§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.
I> GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM:
1) Định nghĩa:
Cho khoảng K chứa điểm x và hàm số y = (x) xác định trên K hoặc trên K \{0 x } 0
Ta nói hàm số y = (x) có giới hạn là số L khi x dần tới x nếu với dãy số 0 x n bất kỳ, x K \{ n x } và 0
n
x dần tới x0 ta có (x n) dần tới L
Ký hiệu:
0
0 lim ( ) hay ( ) khi
0
0
0
\{ }
x x
n
Vd1 Cho hàm số
2 4 ( )
2
x
f x
x
Chứng minh rằng lim2 ( ) 4
Giải: Hàm số xác định trên R \{–2}
Giả sử x n là một dãy số bất kỳ, thỏa x –2 và n x n 2 khi n Ta có:
lim (f x n)
2
n
x
Do đó
2
lim ( ) 4
2) Định lý về giới hạn hữu hạn:
Giả sử
0
lim ( )
x x f x L
0
lim ( )
x x g x M
Khi đó:
0
lim ( ) ( )
0
lim ( ) ( )
0
( ) lim
( )
x x
f x L
g x M
(nếu M 0)
Nếu (x) 0 và
0
lim ( )
x x f x L
thì L 0 và
0
lim ( )
Vd2 Cho hàm số
2 1 ( )
2
x
f x
x
Tìm
3
lim ( )
x f x
2
3 3
3
lim
3
x x
x
x x
3) Giới hạn một bên:
Định nghĩa:
Cho hàm số y = (x) xác định trên khoảng a x; 0
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = (x) khi xx0 nếu với dãy số x n bất kỳ
0
n
ax x và x n x0, ta có (f x n)L Ký hiệu
0
lim ( )
x x
0
0
( ; ),
x x
n
Cho hàm số y = (x) xác định trên khoảng x0;b
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = (x) khi xx0 nếu với dãy số x n bất kỳ
0 n
x x và b x n x0, ta có (f x n)L Ký hiệu
0
lim ( )
x x
0
0
( ; ),
x x
n
Trang 5THPT Tân Bình – Bình Dương GIỚI HẠN 1
Định lý:
0 0
0
lim ( ) lim ( )
lim ( )
x x
x x
x x
Vd3 cho hàm số ( ) 52 2 1
nếu nếu
f x
Tìm
1
lim ( )
x f x
Giải: Ta cĩ
lim ( ) lim (5 2) 7
lim ( ) lim( 3) 2
nên
lim ( ) lim ( )
đĩ khơng tồn tại
1
lim ( )
x f x
II> GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VƠ CỰC:
Định nghĩa:
Cho hàm số y = (x) xác định trên khoảng (a; +) Ta nĩi hàm số y = (x) cĩ giới hạn là số L khi
x nếu với dãy số x n bất kỳ, x n a và x , ta cĩ ( n f x n)L
Ký hiệu lim ( )
hay f x( n)L khi x
x
n
x
Cho hàm số y = (x) xác định trên khoảng (–; a) Ta nĩi hàm số y = (x) cĩ giới hạn là số L khi
x nếu với dãy số x n bất kỳ, x na và x , ta cĩ ( n f x n)L
Ký hiệu lim ( )
hay (f x n)L khi x
x
n
x
Vd4 Tìm
2
2
lim
1
x
x x x
Giải: Ta cĩ
2
2
2
2 3
1
x
x
III> GIỚI HẠN VƠ CỰC CỦA HÀM SỐ:
Định nghĩa:
Cho hàm số y = (x) xác định trên khoảng (a; +) Ta nĩi hàm số y = (x) cĩ giới hạn là – khi
x nếu với dãy số x n bất kỳ, x n a và x n , ta cĩ f x( n)
Ký hiệu lim ( )
hay (f x n) khi x
x
n
x
lim ( ) lim ( )
Giới hạn đặc biệt:
lim k
với k nguyên dương
lim k
với k lẻ
lim k
với k chẵn
Quy tắc tìm giới hạn vơ cực:
Dạng tích: Nếu
0
lim ( ) 0
x x f x L
0
lim ( ) (hoặc )
x x g x
thì
0
lim ( ) ( ) (hoặc )
theo đúng quy tắc về dấu
Trang 6THPT Tân Bình – Bình Dương GIỚI HẠN 1
Dạng thương
0
( ) lim ( )
x x
f x
g x
0
lim ( )
x x f x
x x g x
Dấu của g(x)
0
( ) lim ( )
x x
f x
g x
L > 0
L < 0
0
Vd5 Tìm lim ( 3 2 1)
Giải: Ta có lim ( 3 2 1) lim 3 1 22 13
x x
Vd6 Tìm
1
2 3 lim
1
x
x x
và 1
2 3 lim
1
x
x x
Giải:
Ta có
lim(2 3) 1 0, lim( 1) 0
Khi x1 thì x 1 x do đó 1 0
1
lim
1
x
x x
= +
Ta có
lim (2 3) 1 0, lim( 1) 0
Khi x1 thì x 1 x 1 0 do đó
1
2 3 lim
1
x
x x
= –
Dạng vô định:
Khi
0 0
lim ( ) lim ( ) 0
x x u x x x v x
0
( ) lim ( )
x x
u x
v x
có dạng 0
0
Khi
0 0
x x u x x x v x
thì
0
( ) lim ( )
x x
u x
v x
có dạng
Khi
0 0
lim ( ) 0, lim ( )
x x u x x x v x
0
lim[ ( ) ( )]
có dạng 0
Khi
0 0
lim ( ) lim ( )
x x u x x x v x
thì
0
lim[ ( ) ( )]
x x u x v x
có dạng –
Vd7 Xác định dạng vô định và tính các giới hạn sau:
a)
2
3 2
2 lim
8
x
x x
x
lim
5 2
x
x
lim
x x x
Giải: Ta có
a) Dạng 0
0:
2
b) Dạng
:
2
5
x
x
x x
=
3 lim
5
x
x
c) Dạng 0. :
x
2
2
1 1 1
1 1 1
1
x
Trang 7THPT Tân Bình – Bình Dương GIỚI HẠN 1
BÀI TẬP.
1) Tìm các giới hạn sau:
a)
2
3
1 lim
1
x
x
x
2
2
4 lim
2
x
x x
3 3 lim
6
x
x x
2 6 lim 4
x
x x
;
e) lim 172
1
2
lim
3
x
x x x
1 lim
3 2
x
x
lim
2
x
x x
i)
0
lim
x
x x
; j)
3
2
8 lim
2
x
x x
4 3 11 lim
2 7
x
x
4 4 lim
4
x
x x
Hướng dẫn:
a)
2
1
1
x
x x
2
4
2
x
x x
c)
6 2
2 6
4
x
x
2
17 17
1
x x
x
1 1 2
3
x x
x
g) 2
x
i)
4
x
8
2
x
x x x
k)
3
1 11 1
11
7
x x
x
4 1 4
4
x x
x
2) Tìm các giới hạn sau:
2
3 5
lim
( 2)
x
x
x
lim
1
x
x x
lim
1
x
x x
lim 2
x
x x
e)
2
2 1
lim
2
x
x
x
lim
x x x
lim
x x x
lim
Hướng dẫn:
x
x
b) Ta cĩ
2 7
1
x
x
c) Ta cĩ
2 7
1
x
x
d) Ta cĩ
2
x
x
e) Ta cĩ
2 1
2
x
x
f)
2
2
0
1 lim
x
x
x
Ta cĩ
2
2
1
x
x
g)
3
4
0
1 lim
x
x
x
Ta cĩ
3
4
1 lim( 1) 1 0, lim 0 và 0 khi 0 Vậy lim
x
x
Trang 8THPT Tân Bình – Bình Dương GIỚI HẠN 1
x
Ta có
0
x
3) Tìm các giới hạn sau:
lim ( 2 3 5)
d)
2
1 lim
5 2
x
x
2
1 3 lim
x
x
g)
2
lim
1
x
x
6
2
2 lim
x
x
5
2
11 lim
x
Hướng dẫn:
x x x
3
x x
;
2
2 5 lim 2 5 lim | | 1
;
d)
1
1
5
x
x
e)
1 1
7
2
x
x x
;
2 2
x
x
;
g)
2
2
1
x
x
;
h)
3
2
2
2
x
x x
x
;
5
2
2
2 2
11
1 1
1 1
2
x
x
x
Trang 9
THPT Tân Bình – Bình Dương GIỚI HẠN 1
§3 HÀM SỐ LIÊN TỤC.
I> HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM:
Định nghĩa: Cho hàm số y f x( ) xác định trên khoảng K và x0 K
Hàm số y f x( ) được gọi là liên tục tại x0 nếu
0
0
x x f x f x
Vd1 Xét tính liên tục của hàm số ( )
2
x
f x x
tại x 0 3
Giải: Tập xác định DR\ {2}
Ta có (x) xác định trên khoảng (2; +) chứa x 0 3
lim ( ) lim 3 (3)
2
x
x
Vậy hàm số y f x( ) liên tục tại x 0 3 II> HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, ĐOẠN:
Định nghĩa:
Hàm số y f x( ) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó
Hàm số y f x( ) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và
f x f a f x f b
Vd2 Xét tính liên tục của hàm số f x( ) 1x2 trên đoạn [–1; 1]
Giải: Tập xác định D = [–1; 1]
x0 (–1; 1), ta có
0 0
nên hàm số liên tục trên khoảng (–1; 1)
lim ( ) lim 1 0 ( 1)
lim ( ) lim 1 0 (1)
Vậy hàm số f x( ) 1x2 liên tục trên đoạn [–1; 1]
III> MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
Định lý 1: Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R Hàm số phân thức hữu tỷ và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng
Định lý 2: Giả sử (x) và g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0 Khi đó các hàm số y = (x) g(x) và hàm số y = (x).g(x) liên tục tại x0 Hàm số ( )
( )
f x y
g x
liên tục tại x0 nếu g(x0) 0
Vd3 Cho hàm số
2
1
neáu neáu
x
x
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó
Giải: Tập xác định D = R
Nếu x 1 thì hàm số
2
( )
1
x x
f x
x
có tập xác định là D = R \{1} nên liên tục trên mỗi khoảng
(–; 1) và (1; +)
Nếu x = 1 thì (1) = 5 Ta có
2
1
x x
x
Vì lim ( )1 (1)
nên hàm số
(x) không liên lục tại x = 1
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên mỗi khoảng (–; 1) và (1; +) và gián đoạn tại x = 1
Định lý 3: Nếu hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn [a; b] và (a).(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm
c (a; b) sao cho (c) = 0
Vd4 Chứng minh phương trình x32x 5 0 có ít nhất một nghiệm
Giải: Hàm số f x( )x32x5 có tập xác định D = R nên liên tục trên đoạn [0; 2]
Ta có (0) = –5 và (2) = 7 nên (0).(2) < 0 Do đó tồn tại ít nhất x0 (0; 2) để (x0) = 0
Vậy phương trình x32x 5 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 2)
Trang 10THPT Tân Bình – Bình Dương GIỚI HẠN 1
BÀI TẬP.
1) Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f x( )x32x1 tại x0= 3
Hướng dẫn:
Tập xác định D = R chứa x0= 3 Ta có 3
lim ( ) lim( 2 1) 32
và (3) = 32 nên
3
lim ( )
x f x
= (3) Vậy hàm số y f x( ) liên tục tại x 0 3
2) Xét tính liên tục của hàm số sau:
a)
3 8
2
neáu neáu
x
x
x
tại x = 2; b)
2 1
1
neáu neáu
x
x
x
tại x = –1;
c)
2
( )
neáu neáu
f x
tại x = –1; d)
2
( )
neáu neáu
f x
tại x = 2;
e)
2
3 2
2
neáu neáu
x
x
tại x = 2; f)
4
neáu neáu
x
x
tại x = 4
Hướng dẫn:
a) Tập xác định của hàm số là D = R chứa x = 2
Ta có (2) = 5 và
3
2
8 lim ( ) lim lim( 2 4) 12
2
x
x
Vậy hàm số không liên tục tại x = 2
b) Tập xác định của hàm số là D = R chứa x = –1
Ta có (–1) = –2 và
2
1
1
x
x
(–1) Vậy hàm số liên tục tại x = –1
c) Tập xác định của hàm số là D = R chứa x = –1
lim (3 2) 1, lim ( 1) 0
Vì
lim ( ) lim ( )
nên không tồn tại 1
Vậy hàm số không liên tục tại x = –1
d) Tập xác định của hàm số là D = R chứa x = 2
Ta có (2) = 3; 2
lim ( 1) 3, lim ( 2 3) 3
2
x f x
Vì
2
hàm số liên tục tại x = 2
e) Tập xác định của hàm số là D = R chứa x = 2
Ta có (2) = 1 và
2
3 2
2
x
Vậy hàm số liên tục tại x = 2
f) Tập xác định của hàm số là D = [3; +) chứa x = 4
Ta có (4) = 2; lim4 4 lim4 3 1 2, lim (4 2) 2
3 1
x
x
x f x
Vì
4
lim ( ) (4) 2
nên hàm số liên tục tại x = 4
3) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
a)
2
5 6
3
neáu neáu
x
1
1 2
( )
1
1
neáu neáu
x x
f x
x x
;
Hướng dẫn:
a) Tập xác định của hàm số là D = R
Với x < 3: Ta có f x( )2x1 là hàm đa thức xác định trên (–; 3) nên liên tục trên khoảng (–; 3)
Trang 11THPT Tân Bình – Bình Dương GIỚI HẠN 1
Với x > 3: Ta có
( )
3
x x
f x
x
là hàm phân thức xác định trên (3; +) nên liên tục trên (3; +)
Với x = 3: Ta có (3) = 7;
2
5 6
3
x
Vì
f x f x
nên không tồn tại
3
lim ( )
x f x
Vậy hàm số không liên tục tại x = 3
Kết luận: Hàm số liên tục trên các khoảng (–; 3) và (3; +) nhưng gián đoạn tại x = 3
b) Tập xác định của hàm số là D = R
Với x < 1: Ta có ( ) 1
2
f x x
là hàm phân thức xác định trên (–; 1) nên liên tục trên (–; 1)
Với x > 1: Ta có f x( ) 1
x
là hàm phân thức xác định trên (1; +) nên liên tục trên khoảng (1; +)
Với x = 1: Ta có (1) = –1;
1
f x
x
1
2
f x
x
Vì
(1) lim ( ) lim ( ) 1
nên hàm số liên tục tại x = 1
Kết luận: Hàm số liên tục trên R
4) Xác định tham số m để hàm số sau liên tục:
a)
3 4 1
1
1
neáu neáu
x
x
tại x = –1; b)
3
neáu neáu
x
tại x = –3
Hướng dẫn:
a) Tập xác định của hàm số là D = R chứa x = –1
Ta có (–1) = m;
x
f x
Để hàm số liên tục tại x = –1 khi
1
lim ( ) ( 1) 3 / 2
b) Tập xác định của hàm số là D = R chứa x = –3
Ta có (–3) = –3m – 1;
2
4 3
3
x
Để hàm số liên tục tại x = –3 khi
3
5) Chứng minh phương trình sau:
a) 2x36x có ít nhất hai nghiệm; 1 0 b) 2x35x2 có ít nhất hai nghiệm; x 1 0 c) 2x55x3 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (–1; 0); d) cos xx có nghiệm
Hướng dẫn:
a) Hàm số f x( )2x36x1 có tập xác định D = R nên liên tục trên đoạn [0; 2]
Ta có (0) = 1, (1) = –3, (2) = 5 nên (0).(1) < 0 và (1).(2) < 0 do đó tồn tại ít nhất một nghiệm
1 (0;1)
x để f x ( )1 0 và tồn tại ít nhất một nghiệm x 2 (1; 2) để f x( 2) 0
Vậy phương trình 2x36x 1 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0; 2)
b) Hàm số f x( )2x35x2 x 1 có tập xác định D = R nên liên tục trên đoạn [0; 3]
Ta có (0) = 1, (1) = –1, (3) = 13 nên (0).(1) < 0 và (1).(3) < 0 do đó tồn tại ít nhất một nghiệm
x để f x ( )1 0 và tồn tại ít nhất một nghiệm x 2 (1;3) để f x( )2 0
Vậy phương trình 3 2
c) Hàm số f x( )2x55x3 có tập xác định D = R nên liên tục trên đoạn [–1; 0] 1
Ta có (–1) = 2, (0) = –1 nên (–1).(0) < 0 do đó tồn tại ít nhất một nghiệm x 1 ( 1; 0) để
1
f x Vậy phương trình 2x55x3 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (–1; 0)
c) Hàm số f x( ) x cosx có tập xác định D = R nên liên tục trên đoạn [0; /2]
Ta có (0) = –1, (/2) = /2 nên (0).(/2) < 0 do đó tồn tại ít nhất một nghiệm x1(0; / 2) để
1
f x Vậy phương trình cos xx có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;/ 2)