Giáo án Giải tích 11 chương 4 bài 1: Giới hạn của dãy số Toán giải tích 11

MỤC TIÊU BÀI DẠY: 1.Về kiến thức: - Biết khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số thông qua các ví dụ và nắm được một vài giới hạn đặc biệt.. MỤC TIÊU BÀI DẠY: 1.Về kiến thức: - Biết khái

Trang 1

Chương IV GIỚI HẠN

§1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I MỤC TIÊU BÀI DẠY:

1.Về kiến thức:

- Biết khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số thông qua các ví dụ và nắm được một vài giới hạn đặc biệt

- Biết các định lí về giới hạn hữu hạn

2.Về kỹ năng:

- Biết vận dụng limn 1 0,limn 1 0,

      lim n 0,

   <1 để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản

- Vận dụng được các định lí về giới hạn hữu hạn vào giải bài tập

3.Về thái độ, tư duy:

- Hiểu thế nào là giới hạn của một dãy số

- Tự giác, tích cực học tập

- Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống

II CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS

1 Giáo viên: + SGK, TLHDGD, Giáo án.

2 Học sinh: + SGK, vở ghi, đồ dùng học tập.

+ Chuẩn bị bài ở nhà

III TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:

1 Ổn định tổ chức: 1’

- Nắm tình làm bài, học bài của học sinh ở nhà.

2 Kiểm tra bài cũ (Lồng vào các hoạt động)

3 Dạy bài mới

Hoạt động 1: I Giới hạn hữu hạn của dãy số

1 Định nghĩa 17’

* Tổ chức cho HS

thực hiện HĐ 1(sgk):

1 Nhận xét xem

khoảng cách từ un tới

0 thay đổi thế nào khi

n trở nên rất lớn?

2 Bắt đầu từ số hạng

un nào của dãy số thì

khoảng cách từ un tới

0 nhỏ hơn 0,01?

* Thực hiện HĐ 1:

1 Khi n trở nên rất lớn thì khoảng cách từ un tới 0 càng nhỏ

Vậy từ số hạng thứ 100 trở

đi thì khoảng cách từ un tới

0 nhỏ hơn 0,01

* Chú ý lắng nghe

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu: lim n 0

x u

   hay un  0 khi n  +

Như vậy, (un) có giới hạn là 0 khi n  + nếu un có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn

Ví dụ 1: SGK

Trang 2

* Từ HĐ 1 GV dẫn

dắt:

Ta có thể chứng minh

rằng “u n 1

n

 luôn nhỏ

hơn một số duơng bất

kỳ kể từ số hạng nào

đó trở đi”

Dãy ( )u có đặc trưng n

trên gọi là có giới hạn

bằng 0 khi n dần tới

vô cực

và đưa ra định nghĩa

1

- Nêu một vài ví dụ về

dãy số dần tới 0 khi n

dần tới vô cực

- Dãy số un = 2

3

n  có

dần tới 0 khi n dần tới

vô cực không?

* Từ đó GV đưa ra

định nghĩa 2:

* Yêu cầu HS thực

hiện theo nhóm ví dụ:

Cho  u với n

v

n

minh rằng: nlim v n 2

  

- Có

và ghi nhận kiến thức

- HS hoạt động nhóm

- Lên bảng làm bài

* Học sinh lắng nghe và nghi nhận kiến thức

* Thực hiện ví dụ trên theo nhóm:

Đáp án:

1

n

n n vn

n

 





n v n

  

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay

vn dần tới a) khi n  +, nếu

x v a

   

Kí hiệu: limx v n a

   hay vn  a khi n  +

Ví dụ 2: Cho dãy số (vn) với

vn = 2n 1

n

 Chứng minh rằng xlim v n 2

  

Giải: Ta có:

n v



n v

n

   



2 Một vài giới hạn đặc biệt 5’

* Giáo viên đưa ra một số

giới hạn đặc biệt * Học sinh lắng nghe và ghinhận a/ xlim 1 0; limx 1k 0

dương b/ limx q n  nếu q< 10 c/ Nếu un = c thì limx u n xlimc c

      Chú ý: Từ nay về sau thay cho lim n

x u a

   , ta viết tắt là limu n a

Trang 3

Hoạt động 2: II Định lí về giới hạn hữu hạn 19’

Trên tinh thần học sinh đã

chuẩn bị ở nhà, yêu cầu

học sinh lần lượt nêu nội

dung các định lý.

*Giảng:

+ Nội dung các định lý

+ Minh hoạ bằng một số

ví dụ cụ thể và đơn giản

để học sinh có thể hiểu

được nội dung các định lý

(vd 3 +4 SGK)

Yêu cầu HS thực hiện

theo nhóm ví dụ:

Tính giới hạn sau:

2

1 3

n



Chọn 2 kết quả (khác

nhau) dán trên bảng và

yêu cầu các nhóm còn lại

nhận xét

*Vấn đáp các kết quả

* Đứng tại chỗ nêu nội

dung các định lí theo yêu cầu của GV.

* Cùng tìm hiểu các ví dụ

3 +4 trong SGK dưới sự hướng dẫn của giáo viên

Thực hiện ví dụ trên theo nhóm:

*Đáp án:

2

1 3

5 lim

3 2

n



Định lí

a/ nếu limu n a và limv n b thì

lim(u nv n) a b

lim(u n v n) a b

lim( )u v n n a b. lim n

n

v b nếu b≠0

b/ Nếu un ≥ 0 với mọi n và limu n a

thì a ≥ 0 và lim u n  a

Ví dụ: 3 + 4 (SGK)

Ví dụ 5:

Tính giới hạn sau:

2

1 3

n



Giải:

5

2

n

* Củng cố : (2’)

- Các định nghĩa và định lí

- Các giới hạn đặc biệt

4 Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (3’)

- Xem lại lí thuyết:

- Làm bài tập 1,2,3 sách giáo khoa trang 121

* Rút kinh nghiệm:

………

Trang 4

TIẾT 50: §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tiếp theo)

- Biết khái niệm giới hạn vô cực của dãy số và một vài giới hạn đặc biệt

- Biết các định lí về giới hạn vô cực

- Biết khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó

- Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn

- Biết vận dụng limn k ,k *limq n , >1q để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản

- Tìm được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

2 Kiểm tra bài cũ: 5’

2.1 Câu hỏi: Hãy nêu định lí về giới hạn hữu hạn?

2.2 Đáp án:

* Định lí về giới hạn hữu hạn:

a/ nếu limu n a và limv n b thì

lim(u n v n) a b lim(u n v n)  a b

lim( )u v n n a b lim n

n

v b nếu b≠0

b/ Nếu un ≥ 0 với mọi n và limu n a thì a ≥ 0 và lim u n  a

Hoạt động 1: III Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 10’

* Yêu cầu học sinh

nhắc lại khái niệm cấp

số nhân từ đó giáo viên

đưa ra khái niệm cấp số

nhân lùi vô hạn và cho

học sinh nêu ví dụ:

* Dẫn dắt đưa tới công

* Nhắc lại khái niệm cấp

số nhân

* Ghi nhận khái niệm cấp

số nhân lùi vô hạn

* Lấy ví dụ:

* Cùng xây dựng công

* Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với q< 1 được gọi là CSN lùi vô hạn

* Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q Khi đó,

Sn = u1 + u2 + u3 + + un = 1

1 1

n

q u q



Trang 5

thức tổng của cấp số

nhân lùi vô hạn (un ).

1 Cho cấp số nhân lùi

vô hạn (un) có công bội

q tính tổng Sn ?

2.Vớiq< 1 thì

limq  n ?

3 Tìm limSn

* Hướng dẫn HS giải ví

dụ 6:

a

1 Hãy xác định số hạng

đầu và công bội của cấp

số nhân đã cho?

2 Từ đó tính tổng?

b

1 Hãy nhận xét về các

số hạng trong tổng S?

2 Từ đó tính tổng?

thức dưới sự hướng dẫn của giáo viên

1 Sn = u1 + u2 + u3 + +

un = 1

1 1

n

q u q



n

q

2 Vì q< 1 nên limq  n 0

3 limSn = lim[

n

q

1

u q



* Ghi nhận kiến thức

* Tìm lời giải ví dụ 6:

a

u  q

1

1 1 3 1

3

u q

b

1 Các số hạng của tổng lập thành một CSN lùi vô hạn với 1

1 1,

3

u  q

2

1 1 3

1

3 9 27

n



 

 

 



1

3

u q

n

q

Vì q< 1 nên lim n 0

q  Từ đó ta có:

n

q

1

u q



Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số

nhân lùi vô hạn (un) và được ký hiệu là

S = u1 + u2 + u3 + + un +

Như vậy: S = 1

1

u q

 (q< 1)

Ví dụ6:

a Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô

hạn sau: ( ) u với n 1

3

n n

u 

b Tính tổng:

1 1 3

3 9 27

n

 

Giải:

3

n n

u  nên 1

,

1

3

n

u S

q

b Các số hạng của tổng lập thành một

3

1 1 3

3 9 27

n

 

1

3

u q

Hoạt động 2: IV Giới hạn vô cực.

1 Định nghĩa 17’

Trang 6

Yêu cầu HS thực hiện nội

dung hoạt động 2 theo

nhóm đã chia

Theo dõi và điều chỉnh

quá trình làm việc theo

nhóm của học sinh

* Nêu nhận xét: Ta nói

dãy số ( )u như trên được n

gọi là có giới hạn  khi

n dần về vô cùng

* Từ đó cho học sinh nêu

định nghĩa

Vấn đáp: lim u  thì n

lim(u n) ?

* Nêu nhận xét.

* Cho học sinh tìm hiểu ví

dụ 6 SGK

2

n

u n có thể lớn hơn

một số dương bất kỳ kể

từ một số hạng nào dó trở

đi

1 u n  n2  10000 kể từ

số hạng thứ nào?

2 u n  n2  1030 kể từ số

hạng nào?

Thực hiện hđộng 2 theo nhóm đã chia:

Đáp án:

a) Khi n tăng lên vô hạn thì

n

u cũng tăng lên vô cùng.

b) n 364.1010

Nhận xét kết quả hoạt động của các nhóm

* Phát biểu định nghĩa

Đáp án:

lim(u n)  

* Tìm hiểu ví dụ 6 SGK

1 u n  n2  1000000kể từ

số hạng 1001 trở đi

2 u n  n2  1030kể từ số hạng 1015 trở đi.1

Ta nói dãy số (un) có giới hạn + khi

n  +, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu: limun = + hay un  + khi

n  +

Dãy số (un) được gọi là có giới hạn - khi n  + nếu lim(-un) = +

Kí hiệu: limun =  hay un  - khi

n  +

Nhận xét: limun = +  lim(-un) = - 

Ví dụ 7: (VD6 SGK)

2 Một vài giới hạn đặc biệt 3’

Giáo viên đưa ra các giới

k = +  với k nguyên dương b/ limqn = +  nếu q > 1

3 Định lí 16’

* Cho học sinh đọc

định lí trong SGK * Đọc định lí trong SGK và ghi nhận

kiến thức

a/ Nếu limu n a, limv n .thì limun 0

vn 

b/ Nếu limu n  a 0, limv n 0, v n 0với mọi n

Trang 7

* Yêu cầu HS thực

hiện theo nhóm (mỗi

bàn là một nhóm) ví

dụ sau:

1) Tìm lim2 5

.3

n

n n



2) Tìm lim 22n n33n



lim( n  2n  1)

Chọn 2 kết quả (khác

nhau) và yêu cầu các

nhóm còn lại nhận xét.

* Thực hiện ví dụ trên theo nhóm:

+ Tìm lời giải

+ Đại diện nhóm trình bày kết quả

+ Nhận xét lời giải

thì limun

vn 

c/ Nếu limu n ,limv n a,a > 0

thì limu v n n 

Ví dụ 8:

1)

5 2

n



2)

1 2

2

3

n

n n



3)lim( n4 2n3 1) lim n4(1 2 14)

n n

* Củng cố : (2’)

- Xem lại lí thuyết:

- Làm bài tập sách giáo khoa trang 121 + 122

………

- Nắm vững các khái niệm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực của dãy số

Trang 8

- Nắm được các định lí về giới hạn và các giới hạn đặc biệt.

- Nắm vững khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó

- Biết vận dụng các định lí và các giới hạn đặc biệt để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản

2.1 Câu hỏi: Hãy nêu định nghĩa giới hạn hữu hạn và công thức xác định tổng của cấp số nhân lùi

vô hạn?

2.2 Đáp án:

* Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu: lim n 0

x u

   hay un  0 khi n  +

* Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi n  +, nếu

x v a

   

Kí hiệu: lim n

x v a

   hay vn  a khi n  +

* Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) với số hạng đầu u1 và công bội q:

S = 1

1

u

q

 (q< 1)

Hoạt động 1: Bài tập 1 (SGK-121) 10’

* Gọi một học sinh đọc

đề bài toán

* Hướng dẫn HS tìm

* Đọc đề bài toán

* Tìm lời giải bài toán dưới sự hướng dẫn của giáo viên

a) Ta có:

Trang 9

lời giải:

1 Hãy xác định u1, u2,

u3, từ đó suy ra công

thức của un ?

2 Hãy nêu cách chứng

minh một dãy số có

giới hạn là 0? Từ đó áp

dụng vào bài toán?

( GV có thể cho HS áp

dụng các giới hạn đặc

biệt vào CM bài toán)

3 Chất phóng xạ không

còn độc hại đ/v con

người khi nào? Từ đó

hãy tìm giá trị n tương

ứng để suy ra số năm?

1 Ta có:

,

u  

Từ đó suy ra: 4 1

2n

u 

2 Để chứng minh một dãy số (un)

có giới hạn là 0 ta chứng minh |un|

có thể nhỏ hơn một số dương bất

kì, kể từ một số hạng nào đó

Chẳng hạn:

0,000001

n n

với mọi n thoả mãn

2n >100000 hay n > 20

(vì 220 = 1048576) Hoặc: Áp dụng giới hạn đặc biệt

1

2

n

u    

3

9

1

10

n

n n

n thỏa mãn 2n >109 hay

n > 30 (vì 230 = 1073741824)

Vậy sau 30 x 24000 = 720000 năm thì chất phóng xạ không còn độc hại đối với con người

,

u  

Từ đó suy ra: 4 1

2n

u 

B) Áp dụng giới hạn đặc biệt limq n 0, q 1 ta có:

1

2

n

u    

c)

9

1

10

n

n n

n thỏa mãn 2n >109 hay

n > 30 (vì 230 = 1073741824) Vậy sau 30 x 24000 = 720000 năm thì chất phóng xạ không còn độc hại đối với con người

* Gọi một học sinh đọc đề

bài toán

* Hướng dẫn HS tìm lời

Vì lim 13 0

1

n có thể

nhỏ hơn một số dương bé tùy ý,

Trang 10

1 Hãy nêu cách chứng minh

một dãy số (un) có giới hạn

là a?

2 Từ đó hãy chứng minh

lim (un – 1) = 0 ?

1 Để chứng minh một dãy số (un) có giới hạn là 0 ta chứng minh lim (un – a) = 0

2 Vì lim 13 0

1

n có thể

nhỏ hơn một số dương bé tùy ý,

kể từ một số hạng nào đó (1) Mặt khác, ta có

1

n

u

Từ (1) và (2) suy ra: u  có n 1

thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó

Vậy lim (un – 1) = 0 hay lim un = 1

kể từ một số hạng nào đó (1) Mặt khác, ta có

1

n

u

Từ (1) và (2) suy ra: u  có n 1 thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó Vậy lim (un – 1) = 0

hay lim un = 1

* Chia lớp thành 4 nhóm,

mỗi nhóm làm một ý

* Quan sát việc tìm lời

giải của các nhóm, chỉnh

sửa kịp thời các sai lầm

(nếu có)

* Gọi đại diện các nhóm

trình bày bài giảng

* Nhận xét, đánh giá

* Nghe và hiểu nhiệm vụ

* Thảo luận tìm lời giải bài toán một cách nhanh nhất

* Cử đại diện nhóm lên trình bày lời giải

* Chỉnh sửa hoàn thiện

* Ghi nhận kết quả

1

6

a

n





6 2 3

 

2

3

1

b

n

 



2

lim 3

3

lim 2

n n n



3 5

1 2

n

n n

c



  

Trang 11

5 1 1

lim 1

2

n



9

2

d

n

2

lim 9

3

lim 4

n n n



* Hướng dẫn HS về nhà làm:

a) 1 Hãy cho biết số đo cạnh

của các hình vuông 1, 2, 3,

… , n, … ?

2 Từ đó suy ra diện tích của

chúng?

b) Áp dụng công thức tổng

của cấp số nhân lùi vô hạn

Vậy hãy xác định u1 và q?

* Chú ý lắng nghe:

* Ghi tóm tắt hướng dẫn

* Củng cố : (2’)

- Xem lại lí thuyết

- Xem lại các bài đã chữa, chuẩn bị các bài tập 5, 6, 7, 8 sách giáo khoa trang 121 + 122

………

Trang 12

- Nắm vững các khái niệm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực của dãy số

- Nắm được các định lí về giới hạn và các giới hạn đặc biệt

- Nắm vững khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó

- Biết vận dụng các định lí và các giới hạn đặc biệt để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản

2.1 Câu hỏi: Giải bài tập 5 (SGK – 122) ?

2.2 Đáp án:

Các số hạng của tổng lập thành cấp số cộng lùi vô hạn với u1 = -1, q 1

10



Vậy:

n

1

2 n 1

u

1 1 ( 1) 1 10

S 1

1

10 10 10 1 q 1 11

10



        

  

  

 

* Gọi một học sinh đọc đề

bài toán

* Hướng dẫn HS tìm lời

giải:

1 Ta có thể phân tích

1 Ta có:

1,02… = 1+ 0,02 + 0,0002 +…

Ta có:

1,02… = 1+ 0,02 + 0,0002 +…

50 5000 500000

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	584 KB