Giai tich 11 Nang cao

Biết cách chứng minh các bài toán bằng quy nạp toán học - Nắm vững các khái niệm về dãy số: Định nghĩa, cách cho dãy số, biểu diễn hình học của dãy số, tính tăng, giảm, bị chặn của dãy s

- Dãy số trình bày theo quan điểm hàm số với đối số là số tự nhiên

- Hai dãy số đặc biệt: Cấp số cộng và cấp số nhân Các định nghĩa, số hạng tổng quát, tính chất các số hạng, tổng của n số hạng đầu áp dụng phơng pháp quy nạp toán học trong chứng minh

- Bổ sung một số kiến thức để học sinh tự học: phơng pháp suy luận, dãy Phi-bô-na-xi, dãy số trong hình bông tuyết Vôn - kốc của hình học Fractal

C Yêu cầu và mức độ đạt đợc:

- Nắm vững nội dung các bớc tiến hành của phơng pháp quy nạp toán học Biết cách

chứng minh các bài toán bằng quy nạp toán học

- Nắm vững các khái niệm về dãy số: Định nghĩa, cách cho dãy số, biểu diễn hình học của dãy số, tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số

- Nắm vững định nghĩa, tính chất các số hạng, các công thức về số hạng tổng quátm

tổng của n số hạng đầu của của cấp số cộng và cấp số nhân Biết vận dụng các công

thức và tính chất để giải các bài toán về cấp số cộng và cấp số nhân

- Tự đọc và tự học các mục “ Bạn có biết “ và bài đọc thêm ở cuối chơng

Tiết 47 : Đ 1 Phơng pháp quy nạp toán học ( 2 tiết)

A - Mục tiêu:

- Nắm đợc nội dung của phơng pháp quy nạp toán học

- áp dụng đợc vào bài tập

B Ph ơng tiện thực hiện : - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài

học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và

giải quyết vấn đề, luyện chữa

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt

11A

+ Hãy kiểm tra khi n = 1?

+ Có thể kiểm tra (1) đúng vớimọi n không?

Cho mệnh đề chứa biến: p(n)

= “ 3n < 100n + 7 “ Chứng minh rằng mệnh đề đúng với

n = 1, 2, 3, 4, 5

- Hớng dẫn học sinh lập bảng

và dùng máy tính bỏ túi tính toán so sánh, đa ra kết luận

- ĐVĐ: Có thể khẳng định p(n) đúng với mọi giá trị n ∈

N* hay không ? Tại sao ?

Để chứng minh một mệnh đề chứa biến n ∈ N* là đúng với mọi n mà không thể trực tiếp

đợc, ta phải làm nh thế nào ?

- Tổ chức cho học sinh đọc sách giáo khoa phần “Phơng pháp quy nạp Toán học “

- Nêu các bớc chứng minh bằng phơng pháp quy nạp Toán học ?

+ Hãy kiểm tra khi n = 1?

+ Giả sử (3) đúng khi n = k Hãy thiết lập công thức khi n

= k + 1 và chứng minh công thức đó?

Toán học:

* Các bớc chứng minh bằng quy nạp:

- Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là đúng với mọi n nguyên dơng ta thực hiện nh sau:

+ Chứng minh A(n) là một mệnh đề đúng khi n = 1+ Với k là số nguyên dơng tuỳ

ý, xuất phát từ giả thiết A(n)

- Thử với n =1 ?

- Thế nào là đúng với n = k ?

- Phải chứng minh đúng với

- Củng cố các bớc chứng minh bằng phơng pháp quy nạp

5 Về nhà: Học bài Làm bài tập trong SGK.

Ngày soạn:

Tiết 48 : Phơng pháp quy nạp toán học (tt)

A - Mục tiêu:

- áp dụng đợc phơng pháp quy nạp toán học vào giải toán

- Hiểu rõ bản chất của phơng pháp

B Ph ơng tiện thực hiện : - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài

học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và

giải quyết vấn đề, luyện chữa

D - Tiến trình bài học :

1 ổ

n định tổ chức :

2 Kiểm tra bài cũ:

- Nêu câu hỏi:

Nội dung của phơng pháp chứng minh quy nạp Toán học ?

- Hớng dẫn học sinh giải bài tập 1 phần b, c

11A

* Bài 1: Chứng minh rằng 1 + 3 + 5 + + ( 2n - 1 ) = n2 với n ∈ N*

( Tổng của n số lẻ đầu tiên )

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt

+ Hãy thiết lập công thức khi n = k + 1 và chứng minh công thức đó?

+ Xét tính đúng sai của công thức với n = 3

+ Giả sử công thức đúng khi n = k Hãy thiết lập công thức

+ Hãy thiết lập công thức khi n = k + 1 và chứng minh công thức đó?

2 Một số ví dụ áp dụng

* H2:

Chứng minh rằng 1+3 + 5 + + (2n -1)=n2 với mọi số nguyên dơng n

2n > 2n + 1 (*)

+ Xét tính đúng sai của công thức với n = 1.

+ Giả sử công thức đúng khi n = k Hãy thiết lập công thức

+ Hãy thiết lập công thức khi n = k + 1 và chứng minh công thức đó?

- Hớng dẫn học sinh lập bảng so sánh trong các tr-ờng hợp

Bài 2:

Cho 3n và 8n với n ∈ N*a) So sánh 3n và 8n khi n =

1, 2, 3, 4, 5

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phơng pháp quy nạp

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên

- Đọc, nghiên cứu và thảo luận theo nhóm đợc

phân công

- Trả lời câu hỏi của giáo viên

- Trình bày lời giải của bài toán

- Phân nhóm học sinh, đọc nghiên cứu bài toán

- Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh

- Củng cố phơng pháp chứng minh bằng quy nạp

* Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 1

- Củng cố phơng pháp chứng minh bằng quy nạp

= 4Sk - 9( 5k - 2 ) M 9 ( đpcm )

* Bài 4:

Chứng minh bất đẳng thức x1 + x2 + + xn≥ n, n ∈ N*; x1, x2,,,,xn > 0 và x1.x2 xn = 1

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên

Với n = 1 thì x1 = 1, bất đẳng thức xảy ra dấu “ =

“

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là:

x1 + x2 + + xk≥ k, k ∈ N*; x1, x2,,,,xk > 0 và

x1.x2 xk = 1 Ta chứng minh bất đẳng thức đúng

với n = k + 1, tức là phải chứng minh:

x1 + x2 + + xk + xk + 1≥ k + 1 với k ∈ N*;

x1, x2,,,,xk, xk + 1 > 0 và x1.x2 xk xk + 1= 1 Thật vậy:

+ Nếu x1 = x2 = = xk = xk + 1 = 1 thì:

x1 + x2 + + xk + xk + 1 = k + 1 > 1 đúng

+ Nếu k + 1 số nói trên khác 1 thì tồn tại hai số

sao ch một số lớn hơn 1 còn một số nhỏ hơn 1

Không làm mất tính tổng quát, giả sử xk > 1 còn

xk + 1 < 1, ta có:

x1.x2 xk xk + 1=(x1.x2 xk - 1) (xk xk + 1) = 1

áp dụng giả thiết quy nạp cho k số dơng: x1, x2,

xk - 1, và (xk xk + 1) ta có bất đẳng thức: x1 + x2 + + xk.xk + 1 > k hay x1 + x2 + + xk - 1 > k - xk.xk + 1 Từ đó: x1 + x2 + + xk + xk + 1 > k - xk.xk + 1 + xk + xk + 1 = ( k + 1 ) + ( xk - 1 )( 1 -xk + 1) > k + 1 do ( xk - 1 )( 1 -xk + 1) > 0 - Hớng dẫn học sinh giải bài toán - Phân biệt đợc các bớc quy nạp 5.C ủng cố : - Nhắc lại phương phỏp chứng minh bằng quy nạp - Học bài Làm hoàn thành bài tập trong SGK và SBT> - Đọc trớc bài: Dãy số E Rỳt kinh nghiệm: ………

………

………

………

Tuần 19

Ngày soạn:

Tiết 49 Dãy số ( 2 tiết)

A - Mục tiêu:

- Nắm đợc định nghĩa, cách cho và cách biểu diễn hình học của dãy số

- áp dụng đợc vào bài tập

B Ph ơng tiện thực hiện : - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài

học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và

giải quyết vấn đề, luyện chữa

D - Tiến trình bài học :

1 ổ

n định tổ chức :

2 Kiểm tra bài cũ:

HS: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

- Hớng dẫn thực hiện phần b)

11A

3 Bài mới:

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên

Tính toán và ghi kết quả vào

117

126

– T102) và trả lời câu hỏi

của giáo viên

83 25

và ghi kết quả vào bảng cho sẵn

- Nhận xét tập xác định của hàm đã cho Đặt yn = f(n) ( hay un = f(n) ) ta có các giá

trị y1, y2, y3, y4, y5

- Cho học sinh đọc, nghiên cứu định nghĩa về dãy số ở trang 101 - SGK

- Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh

- Nêu VD1 sau đó cho HS thực hiện VD1?

+ Hãy nêu và xác đinh số hạng thứ 9, 99, 999?

+ Hãy nêu VD về dãy số cho dới dạng khai triển và tổng quát và tìm số hạng thứ 10,

100 của dãy đó?

- Hãy nêu sự khác nhau giữa dãy số hữu hạn và dãy số vô

hạn?

- Hãy đọc và nghiên cứu VD2

và nêu số hạng đầu và cuối của dãy số đó

- Một dãy số đợc xác định khinào? Cho VD

- Cho học sinh đọc, nghiên cách cho dãy số bằng cho công thức của số hạng tổng quát ở trang 103

- Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh

- Yêu cầu HS thực hiện H2?

Hãy xác định số hạng thứ 33, 333?

- Cho học sinh đọc, nghiên

I Định nghĩa và ví dụ:

n +1 với

n ∈ N* Hãy tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)

* Định nghĩa:

Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dơng đ-

ợc gọi là một dãy số vô

hạn(hay gọi là dãy số)

- Mỗi số hạng của hàm số u gọi là một số hạng của dãy số,u(1): là số hạng thứ nhất, u(2)

u1: Số hạng đầu

um: Số hạng cuối

II - Cách cho dãy số:

1 - Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát:

2 Dãy số cho bằng công thức truy hồi:

truy hồi ở trang 103 - SGK

Cho ví dụ về cách cho này

- Trả lời câu hỏi của GV?

- Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh

- Thực hiện H3?

- Cho học sinh đọc, nghiên cách cho dãy số bằng mô tả ởtrang 104

- Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh

- Thực hiện H3?

+ Nhận xét gì về tam giác

+ Tìm công thức của số hạng tổng quátcủa dãy số (un)

2 Diễn đạt bằng lời cách xác

đinh mỗi số hạng của dãy số:

4 Củng cố: - So sánh dãy số hữu hạn và vô hạn? - Cách cho một dãy số?

+ Bài 1: Cho dãy số ( un) xác định bởi:

1 2

1

3 5

a) Tính u9 và u33 ?

b) Tính tổng của 33 số hạng đầu tiên và tích của 9 số hạng đầu tiên của dãy đã cho ?

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên

Chú ý: Có thể dùng dãy phím lặp đẻ giải bài tập

này: Gán A = 3, B = 5 rồi ghi vào màn hình:

C = 8 ( Tổng của u1 và u2 )

D = 2 ( Biến đếm )

E = 15 ( Tích của u1 và u2 )Ghi vào màn hình: D = D + 1: A =3B - 2A - 2: C = C + A: E = EA: D

Tuần 20

Ngày soạn:

Tiết 50 : Dãy số ( TIẾP THEO)

A - Mục tiêu: - Nắm đợc k/n dãy số tăng, giảm, bị chặn

- áp dụng đợc vào bài tập

B Ph ơng tiện thực hiện : - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài

học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và

giải quyết vấn đề, luyện chữa

a) Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số ?

b) Viết và chứng minh công thức của số hạng tổng quát un ?

HD: a) Tính 5 số hạng đầu và ghi vào

bảng

b) Dự đoán un =

1 1

29 8

61 16

- Trao đổi thảo luận và lên

bảng trình bày lời giải

- Trả lời đợc:

Khẳng định đúng: b, c, d, e

- Gọi một học sinh lên bảngthực hiện bài toán

- Thuyết trình về định nghĩadãy số tăng, dãy số giảm :Dãy số đơn điệu

- Dãy (un) là dãy đơn điệutăng, dãy ( vn) là dãy đơn

điệu giảm

- Nhận xét về sự tăng giảmcủa dãy số sau: (un) = n + 1

- Dãy số (un) gọi là giảm nếu với mọi n ta có:

- Dãy số (un) gọi là dãy số

bị chặn dới nếu tồn tại một

số m: ∀n∈N* ta có: un ≥

m

- Dãy số (un) gọi là dãy số

bị chặn nếu nó vừa bị chặntrên và vừa bị chặn dới haytồn tại một số M, một số m:

∀n∈N* ta có: m ≤ un ≤

* Bài tập 2: Cho dãy số ( un) với un = 2 n 1

- Thuyết trình định nghĩa về dãy

Ngày soạn:

A - Mục tiêu:

- Rèn luyện kĩ năng tính toán và chứng minh một dãy số là tăng, giảm, bị chặn

- áp dụng đợc vào bài tập

B Ph ơng tiện thực hiện :

- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và

giải quyết vấn đề, luyện chữa

D - Tiến trình bài học :

1 ổ

n định tổ chức :

2 Kiểm tra bài cũ:

- HS1: Thế nào là dãy số tăng, dãy số giảm? dãy số bị chặn trên, bị chặn dới? dãy số bị

- Trao đổi thảo luận và lập dãy số?

- Lên bảng trình bày bài

A Kiến thức:

1 Dãy số tăng, giảm

2 Dãy số bị chặn trên, bị chặn dới, bị chặn?

B Bài tập:

* Bài 11: ( SGK – T106 )

11A

- Trình bày đợc:

Với n∈N* ta có:

un+1 = An+1Bn+1 =

2 1 2

(A n+B n + B n B n+ =

1 )

1 5

3

n n

<0

Mà: un = 32+3(3n5+2) suy

ra

1 ,

+ Giả sử công thức đúng khi n = k Hãy thiết lập công thức?

+ Hãy thiết lập công thức khi n = k + 1 và chứng minhcông thức đó?

- Dựa vào định nghĩa dãy sốtăng, giảm, bị chặn

+ Xét hiệu: un-1 – un?+ Từ đó kết luận?

- Xét hiệu: un-1 – un?+ Từ đó nhận xét và kết luận?

- Hãy c/m bằng quy nạp

+ Xét tính đúng sai của công thức với n = 1?

+ Giả sử công thức đúng khi n = k Hãy thiết lập công thức?

+ Hãy thiết lập công thức khi n = k + 1 và chứng minhcông thức đó?

- Với n = 1 công thức có

đúng không?

- Hãy chứng minh un = 1 với mọi n?

- Tính sn + 3 so sánh với s1

- Từ đó lết luận bài tập?

* Bài 12: ( SGK – T106 )

Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1, un = 2un-1 +3 với

∀ n ≥ 2 Bằng phơng pháp quy nạp chứng minh với ∀ n ≥ 1 ta có: un =

2n+1– 3 (1)

* Bài 14: ( SGK – T106 )

Chứng minh dãy số (un) với

un = 32n n++23 là một dãy số giảm và bị chặn

* Bài 16: ( SGK – T106 )

Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1, un+1=un+(n+1).2n

số có tất cả các số hạng đều bằng nhau)

* Bài 18: ( SGK – T106 )

Cho dãy số (sn) với

Vậy sn = sn + 3 với ∀ n ≥ 1.

b) Có: S15 = 0

- Trong 15 số hạng đầu những số hạng nào bằng nhau?

- Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho?

sn = sin(4n – 1)π6a) Chứng minh: sn = sn + 3 với

∀ n ≥ 1

b) Hãy tính tổng 15 số hạng

đầu tiên của dãy số đã cho?

4 Củng cố: - Cách sử dụng phơng pháp chứng minh quy nạp để tìm số hạng tổng quát

của dãy số

- Cách chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm? dãy số bị chặn trên, dới? dãy số bị chặn?

* Bài tập:Dãy số ( un) xác định bởi:

9 8

Chứng minh dãy giảm bằng quy nạp:

Với n = 1, ta có u2 = 2 < u1 = 3

Giả sở khẳng định đúng với n = k + 1, tức là ta có:

uk > uk + 1∀ k ≥ 1

Ta phải chứng minh khẳng định đúng với n = k + 1

Thật vậy, theo công thức của dãy số và theo giả thiết

Nên uk + 1 > uk + 2 suy ra dãy ( un) là dãy giảm

Ta thấy un > 0 với n ∈ N* nên ( un) bị chặn dới

- Hớng dẫn học sinh giải bài tập

- Củng cố về dãy bị chặn, dãy tăng, dãy giảm và phơng phápchứng minh quy nạp toán học

Tuần 20

Ngày soạn:

A - Mục tiêu:

- Biết đợc định nghĩa, số hạng tổng quát và tính chất các số hạng của cấp số cộng

- áp dụng đợc vào bài tập

B Ph ơng tiện thực hiện :

- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và

giải quyết vấn đề, luyện chữa

D - Tiến trình bài học :

1 ổ

n định tổ chức :

2 Kiểm tra bài cũ:

HS1: Ngời ta dùng các khối lập phơng giống nhau để xếp thành những cái tháp Giả sử

tháp có n tầng khi đó đặt un là khối lập phơng ở phần đáy của tháp và Sn là tổng số khốilập phơng của tháp

- Hớng dẫn học sinh vẽ hình chiếu của phần đáy của tháp n tầng trên mặt phẳng

n k

- Xác định tinhd quy luật để

đa ra cách viết duy nhất

- Nêu định nghĩa về cấp số cộng và đa ra công thức truy hồi:

un = un-1 + d

- Nêu trờng hợp d = 0,

- Một cấp số cộng có hai công sai đợc không?

- Hãy thực hiện H1?

+ Hãy so sánh u2 – u1,

u3–u2, u4 – u3

Cho cấp số cộng ( un) có số hạng đầu u1 và công sai d

Hãy viết công thức của các

số hạng: uk - 1; uk ; uk + 1 và tìm mối liên hệ giữa chúng?

- Uốn nắn cách biểu đạt củaHS: Ngôn ngữ diễn đạt, cách trình bày lời giải

- Phát biểu thành định lí

- Hãy thực hiện H2?

+ Cách tính u2, u4?

- Tổ chức cho học sinh dùng phơng pháp quy nạp chứng minh định lí

- Tổ chức cho học sinh đọc

và nghiên cứu sách giáo khoa phần chứng minh địnhlí

11,

Hãy chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp 5 số hạng theo quy luật đó

* Định nghĩa:

(un) là cấp số cộng ⇔

≥

∀n 2, un = un-1 + dd: gọi là công sai

II Tính chất các số hạng của cấp số hạng:

un = u1 + ( n - 1 )d

4 Củng cố: - Nhắc lại định nghĩa và các định lí?

* Bài 1: Cho (un) là một số cấp số cộng có u1 =-1

3, d=3 Hãy viết dạng khai triển của

- Biết đợc công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

- áp dụng đợc vào bài tập

B Ph ơng tiện thực hiện :

- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và

giải quyết vấn đề, luyện chữa

D - Tiến trình bài học :

1 ổ

n định tổ chức :

2 Kiểm tra bài cũ:

* HS1: Mai và Hùng chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân Cách

xếp đợc thể hiện nh trong hình:

Hỏi nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp?

11A2

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên

Gọi u1, u2, u100 lần lợt là số que diêm của tầng 1,

số que diêm ở tầng thứ 100

- Đặt vấn đề:

Cho cấp số cộng ( un) với u1 và

d, biểu diễn un theo u1 và d ?