- Đọc và nghiên cứu định nghĩa về giới hạn khác 0 của SGK theo nhóm được phân công.. Biết rằng, cứ sau khoảng một thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thà
Trang 1CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
Tiết 49 : GIỚI HẠN DÃY SỐ ( Tiết 1 )
Tuần dạy:
I Mục tiêu:
1 Kiến thức: - Nắm được khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số
- Giới hạn 0, giới hạn đặc biệt, giới hạn khác 0, các định nghĩa 1, 2
- Các ví dụ 1, 2
2-Kĩ năng: -Áp dụng được vào bài tập
3- Thái độ: -Chính xác , cẩn thận
II-Trọng tâm: Định nghĩa giới hạn của dãy số và các giới hạn đặc biệt.
III- Chuẩn bị của thầy và trò : Sách giáo khoa, máy tính bỏ túi
IV - Tiến trình tổ chức bài học :
1./ Oån định tổ chức và kiểm diện:
2./ Kiểm tra miệng:
3./ Giảng bài mới
I - KHÁI NIỆM GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ:
1 - Giới hạn 0
Hoạt động 1:
Cho dãy số ( un) với un = 1
n Hãy dùng máy tính CASIO fx - 570 MS tính các giá trị của dãy số
và ghi kết quả vào bảng:
un Giá trị của un un Giá trị của un
u6 0,166 666 666 u10000 0, 000 1
u7 0, 142 857 142 u100000 0, 000 01
u9 0, 111 111 111 u100000000 0, 000 000 1
u10 0, 1 u100000000 0, 000 000 01
u20 0, 05 u1000000000 0, 000 000 001
a) Quan sát cột các giá trị của un, nhận xét các giá trị đó khi các giá trị của n tăng dần ?
b) Biểu diễn các số hạng u1, u2, u3, u4, u5, u10 trên trục số và nhận xét về sự thay đổi các khoảng cách từ các điểm đó đến điểm 0 ?
c) Bắt đầu từ số hạng un nào của dãy thì khoảng cách từ un đ n 0 l n l t nh h n 0, 001 và 0,ến 0 lần lượt nhỏ hơn 0, 001 và 0, ần lượt nhỏ hơn 0, 001 và 0, ượt nhỏ hơn 0, 001 và 0, ỏ hơn 0, 001 và 0, ơn 0, 001 và 0,
000 000 01 ? Có nh n xét gì v kho ng cách này khi n t ng d n và tr nên r t l n ?ề khoảng cách này khi n tăng dần và trở nên rất lớn ? ảng cách này khi n tăng dần và trở nên rất lớn ? ăng dần và trở nên rất lớn ? ần lượt nhỏ hơn 0, 001 và 0, ở nên rất lớn ? ất lớn ? ớn ?
- Hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ
túi để tính toán:
:
1 ALPHA A CALC nhập 1 ấn =
Trang 2Dùng chương trình CALC trên máy tính fx
-570 MS:
- Thực hiện tính toán trên máy tính bỏ túi
theo sự hướng dẫn của giáo viên
- Phát vấn: các câu hỏi a) b) c)
- Trả lời các câu hỏi đặt ra của hoạt động:
a) Các giá trị nhỏ dần khi n tăng dần
b) Khoảng cách từ các số hạng u1, u2, u3, u4,
u5, u10 đến điểm 0 nhỏ dần khi n tăng dần
c) Bắt đầu từ u10 000 thì:
| u10 000 - 0 | < 0, 001
Bắt đầu từ u1000 000 000 thì:
| u1000 000 000 - 0 | < 0, 000 000 001
Nhận xét được: Khi n trở nên rất lớn thì các
khoảng cách này xấp xỉ 0
ghi kết quả 1, ấn tiếp CALC nhập 2 ấn = ghi kết quả 0,5
- Đưa ra khái niệm dãy ( un) với un = 1
n có giới hạn 0 1 0
n nhỏ hơn bất cứ một số dương nhỏ tùy ý cho trước, bắt đầu từ một chỉ số n nào
đó trở đi
Nhận xét được: Khi n trở nên rất lớn thì các khoảng cách này xấp xỉ 0
Hoạt động 2:Cho dãy số ( un) với un = 1 n
n
a) Bắt đầu từ số hạng un nào của dãy thì khoảng cách từ un đến 0 lần lượt nhỏ hơn 0, 01; 0, 000
01
b) Với số dương bất kì, có thể tìm được chỉ số n để khoảng cách từ un đến số 0 nhỏ hơn số đó
không ? Ch s n đó b ng bao nhiêu ?ỉ số n đó bằng bao nhiêu ? ố n đó bằng bao nhiêu ? ằng bao nhiêu ?
- Hướng dẫn học sinh:
Xét các bất đẳng thức biểu diễn khoảng cách
từ un đến 0 với các số 0,01; 0,000 01 và số
dương tùy ý
- Gọi học sinh thực hiện giải các bất phương
trình tìm n Đưa ra kết luận của bài toán
- Đặt vấn đề:
Dãy đã cho có giới hạn là 0 khi n dần đến +
không ? Tại sao ?
a) Xét khoảng cách từ un đến 0:
n
n n n > 100 n > 10000 nên suy ra bắt đầu từ số hạng thứ 10001 trở đi ta có khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01
Tương tự xét:
n
n n cho n > 1010 tức là từ số hạng thứ 1010 + 1 trở đi, ta có khoảng cáh từ un đến 0 nhỏ hơn 0, 000 01
b) Với số dương bất kì, xét:
n
0
2
1
nên ta có thể chọn n =
2 1
1 ( với kí hiệu[ a] chỉ phần nguyên của số a )
để khoảng cách từ un đến số 0 nhỏ hơn số đã cho đó
x
lim u 0 u
Trang 3với là một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi
Kí hiệu: n
x
( un 0 khi n + )
Hoạt động 3:
1- Chứng minh dãy ( un) với un = 1
n có giới hạn 0 khi n dần tới + ?
Củng cố:
- Định nghĩa giới hạn 0 của dãy số
- Dùng định nghĩa chứng minh một dãy số có
giới hạn 0
- Xét 1 n 1
n nên bắt đầu từ n =
1 1
trở đi thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn một số dương bất kì, nên lim 1
n = 0
2 - Một vài giới hạn đặc biệt:
n
3 - Giới hạn khác 0:
Hoạt động 4:Đọc và nghiên cứu định nghĩa 2 của SGK
- Tổ chức học sinh thành nhóm, đọc và nghiên
cứu định nghĩa 2 của SGK về giới hạn khác 0
- Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh
- Củng cố định nghĩa 2
- Đọc và nghiên cứu định nghĩa về giới hạn
khác 0 của SGK theo nhóm được phân công
- Trả lời câu hỏi của giáo viên
Nếu un = c ( hằng số ) thì limun = c
Hoạt động 5:
Cho dãy ( vn) với vn = 2 n1
n Chứng minh rằng n
nlim v 2
- Hướng dẫn học sinh sử dụng định nghĩa 2
để chứng minh một dãy có giới hạn khác 0
- Củng cố định nghĩa 2
Xét lim v n 2 = lim
2
n
= 0 Nên suy ra: lim vn lim2 n 1 2
n (đpcm )
4.Câu hỏi và bài tập củng cố : Nắm vững định nghĩa
5.Hướng dẫn học sinh tự học: làm bài 1, 6 trang ( SGK
Trang 4Tiết 50 : GIỚI HẠN DÃY SỐ ( Tiết 2 )
Tuần dạy:
I- Mục tiêu:
1.Kiến thức: - Nắm được một số định lí về giới hạn của dãy số và tính được tổng của cấp số
nhân lùi vô hạn
- Các định lí 1, 2, 3 Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
- Các ví dụ 3,4,5,6
II-Trọng tâm: Một số định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
III - Chuẩn bị của thầy và trò : Sách giáo khoa, máy tính bỏ túi.
IV - Tiến trình tổ chức bài học :
1./ Oån định tổ chức và kiểm diện:
- Sỹ số lớp :
- Nắm tình hình sách giáo khoa của học sinh
2./ Kiểm tra miệng:
Hoạt động 1:
Gọi học sinh lên bảng chữa bài tập số 1 SGK:
Có 1 kg chất phóng xạ độc hại Biết rằng, cứ sau khoảng một thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người ( T được gọi là chu kì bán rã ) Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n
a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số ( un)
b) Chứng minh dãy ( un) hội tụ về 0
c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó, khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10- 6 g
- Gọi 3 học sinh lên bảng chữa các phần a), b),
c) theo trình tự: a b c
- Củng cố khái niệm dãy số có giới hạn 0, giới
hạn khác 0
Bản chất của định nghĩa:
| un| nhỏ hơn một số dương bất kì đối với dãy un
có giới hạn 0, và | un - a | nhỏ hơn một số dương
bất kì đối với dãy un có giới hạn a bắt đầu từ
một chỉ số n0 nào đó trở đi
- Uốn nắn cách biểu đạt của học sinh trong:
+ Trình bày lời giải
+ Ngôn từ diễn đạt
- Dành cho học sinh khá:
a) Ta có: u1 = 1
2; u2 = 1
4; u3 = 1
8; nên ta
dự đoán un = 1n
2 Ta chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp Thật vậy, với n = 1 ta có
u1 = 1
2 là một khẳng định đúng
Giả sử khẳng định đúng với n = k 1, tức uk
= 1k
2 là một khẳng định đúng
Ta phải chứng minh uk + 1= 1k 1
2 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp và theo giả thiết của bài toán ta có: uk + 1= 1
2uk = 1
2 1k
2 = 1k 1
2
Trang 5b) Vì un = 1n
2 nên limun= 0 ( | q | = 1
2 <
1 ) c)Ta có 10- 6g = 10- 6 10- 3kg = 19 kg
10 Xét bất đẳng thức : 1n 0 19
2 10 2n > 109 nên
ta cần chọn n sao cho 2n > 109, chẳng hạn n =
36
Vậy sau chu kì bán rã thứ 36 thì khối lượng chất phóng xạ còn lại không còn ảnh hưởng đến sức khỏe của con người
( nghĩa là sau 36 24000 = 864000 năm )
II- MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ:
Hoạt động 2:
c và nghiên c u các đ nh lí 1, 2, 3 (SGK)
Đọc và nghiên cứu các định lí 1, 2, 3 (SGK) ứu các định lí 1, 2, 3 (SGK) ịnh lí 1, 2, 3 (SGK)
- Tổ chức cho học sinh đọc và nghiên cứu các
định lí 1, 2, 3 trang 135 của SGK
- Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh
- Đọc và nghiên cứu các định lí 1, 2, 3 SGK
- Thực hành giải toán tìm giới hạn của dãy số
bằng cách áp dụng định lí
Hoạt động 3:
Tính giới hạn: A1 = lim
2 2
3n n
1 n
Phương pháp: Chia cả tử thức và mẫu thức
cho n với mũ cao nhất của tử thức và mẫu
thức nhằm mục đích sử dụng được dạng giới
hạn:
n
m
n
n
n
1
n
1
lim 0 víi m N *
n
lim q 0 nÕu q 1
Chia cả tử thức và mẫu thức cho n2 ta được:
1
n
III - TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN:
Hoạt động 4:( Dẫn dắt khái niệm )
Cho 2 cấp số nhân ( un) và ( vn) với: un = 1n
2 và vn = 3n Tìm công bội của các cấp số nhân đó Tính tổng của n số hạng đầu của các cấp số nhân đã cho
Trang 6Hoạt động của Thầy và trò Nội dung
- Ôn tập về cấp số nhân:
Định nghĩa, công sai, tổng Sn
- Thuyết trình định nghĩa về cấp số nhân lùi vô
hạn
- Chú ý tính vô hạn của số các số hạng của cấp
số nhân lùi vô hạn
- Đặt vấn đề:
Cho cấp số nhân ( un) có vô hạn các số hạng
và | q | < 1, tính Sn ?
Với ( un) tính được: q = 1
2,
Sn =
n
n
1
1
1 2
Với ( vn) tính được:
q = 3, Sn =
n
n
1 3
Hoạt động 5:( Dẫn dắt khái niệm )
Cho cấp số nhân: u1 ; u2 ; ; un ; có công bội q ( | q | < 1 )
Tính tổng: S = u1 + u2 + + un +
- Hướng dẫn: Tính tổng thông qua việc tìm
giới hạn của Sn khi n dần tới +
- Chia nhóm để học sinh thảo luận, nghiên cứu
bài toán và đưa ra chương trình giải:
+ Tính tổng Sn
+ Tìm lim Sn khi n
- Nêu định nghĩa tổng của các số hạng của cấp
số nhân lùi vô hạn
n
q
- Tìm limSn: lim Sn = lim
n
q
1 q 1 q và do | q | < 1, nên lim qn = 0, do đó: S = limSn =
1
u
1 q
Hoạt động 6:Tính các tổng:
a) S = 1 1 1 1n
3 9 27 3 b) S = 1 -
n 1
Lập chương trình giải bài toán tính tổng S:
+ Bước 1:Xét dãy các số hạng của tổng cần
tính: u1; u2; ; un; nếu là một cấp số nhân lùi
vô hạn thì chuyển sang bước 2
+ Bước 2: Áp dụng công thức S=u1/(1-q)
a) Xét dãy: 1 1 1; ; ; ;1n
3 9 27 3 là một cấp số nhân lùi vô hạn vì u1 = 1
3 và q = 1
3 ( | q |
<1 ), suy ra : S = 1/2 b) Giải tương tự: S = 2/3
4.Câu hỏi và bài tập củng cố: Cách tính tổng của cấp số nhân
5.Hướng dẫn học sinh tự họcLàm các bài tập 2, 3, 4, 5 ( SGK )
V.Rút kinh nghiệm
Tiết 51 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ( Tiết 3 )
Tuần dạy:
Trang 7I - Mục tiêu:
1.Kiến thức: - Nắm được khái niệm giới hạn
- Định nghĩa 3, một vài giới hạn đặc biệt ( định lí 4 )
- Các ví dụ 7,8,9,10
3.Kĩ năng: - Chính xác , cẩn thận , suy luận logic
II-Trọng tâm: Giới hạn .
II - Chuẩn bị của thầy và trò : Sách giáo khoa, máy tính bỏ túi
III Phương pháp : Phát vấn , hoạt động nhóm
IV - Tiến trình tổ chức bài học :
1./ Oån định tổ chức và kiểm diện: Sỹ số lớp :
- Nắm tình hình sách giáo khoa của học sinh
2./ Kiểm tra miệng:
Hoạt động 1:Tìm các giới hạn:
b) A1 = lim
n
n n
4 10 d) A2 = lim
5 4
n n 1 5 2n
e) A3 = lim
2n 1 f) A4 = lim
n
- Gọi 2 học sinh lên bảng chữa bài tập:
Một học sinh chữa phần b) và phần e) một học sinh
chữa phần d) và phần f)
- Củng cố các định lí về giới hạn
b) A1 = lim
n
10 1
4
= - 1
d) A2 = lim
2
2 2
4 3
= - 2
e) A3 = lim
1 2 n = 0
f) A4 = lim 2
3
n 1 1 4n 2n
= - 2
3 Giảng bài mới
IV - GIỚI HẠN
Hoạt động 2:( Dẫn dắt khái niệm )
c và nghiên c u ho t đ ng 3 ( trang 138 - SGK )
Đọc và nghiên cứu các định lí 1, 2, 3 (SGK) ứu các định lí 1, 2, 3 (SGK) ạt động 3 ( trang 138 - SGK ) ộng 3 ( trang 138 - SGK )
- Tổ chức học sinh thành nhóm để đọc, nghiên
cứu, thảo luận hoạt động 3 của SGK
- Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh:
Định nghĩa 3 ( SGK)
Trang 8Gọi đại diện cho nhóm ( hoặc cá nhân ) trả lời
câu hỏi
- Thuyết trình định nghĩa 3 về giới hạn .
- Đọc và nghiên cứu và thảo luận theo hoạt
động 3 theo nhóm được phân công
Một vài giới hạn đặc biệt:
Hoạt động 3:
c và nghiên c u ph n gi i h n đ c bi t
Đọc và nghiên cứu các định lí 1, 2, 3 (SGK) ứu các định lí 1, 2, 3 (SGK) ần lượt nhỏ hơn 0, 001 và 0, ớn ? ạt động 3 ( trang 138 - SGK ) ặc biệt ệt
- Tổ chức học sinh thành nhóm để đọc,
nghiên cứu, thảo luận phần giới hạn đặc biệt
- Đọc và nghiên cứu phần giới hạn đặc biệt
theo nhóm được phân công
- Trả lời câu hỏi của giáo viên
Các giới hạn dặc biệt
n
m n n n
1
n 1 lim 0 víi m N * n
lim q 0 nÕu q 1 limqn = + nếu | q | > 1
4.Câu hỏi và bài tập củng cố:
Hoạt động 4:( Củng cố khái niệm )
Tìm các giới hạn:
a) M = lim
n
2n 5
n 3 b) N = lim
3 2
2n n
n 3 c) P = lim(- n4 + 2n3 - 1 )
Củng cố phương pháp giải bài tập: Chia cả tử
thức và mẫu thức cho n với mũ cao nhất của
tử thức và mẫu thức nhằm mục đích sử dụng
được dạng giới hạn đặc biệt
a) M = lim
n
5 2
3
b) N = lim
2
3
1 2 n
c) P = lim
4
4
n 1
n n = -
5.Hướng dẫn học sinh tự học:
Bài 7 và các bài còn lại chưa chữa ( SGK )
V Rút kinh ngiệm: …………