Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D.. Rút gọn biểu thức A.. Tìm những giá trị nguyên của x sao cho biểu thức A cũng có giá trị nguyên.. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.. Tìm ĐKXĐ của Q
Trang 1Doandanhtai@gmail.com - Lớp 9 Luyện tập - Trang 1
Luyện tập rỳt gọn
Bài 1 : Cho biểu thức: P = ( 1 ) ( 1 2 )
1
a
a Tìm điều kiện của a để P xác định
b Rút gọn P
c Tìm các giá trị của a để P > 0 và P < 0
Bài 2: a Xác định x ∈ R để biểu thức: A =
x x
x x
− +
−
− +
1
1 1
2 2
là một số tự nhiên
b Cho biểu thức:
2 2
2 1
+ +
=
z zx
z y
yz
y x
xy
x
Bài 3: Cho biểu thức: D = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+ +
−
+
ab
b a ab
b a
1
+ + +
ab
ab b a
1
2
a Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D
b Tính giá trị của D với a =
3 2
2
− c Tìm GTLN của D
Bài 4: Cho biểu thức A =
2
1
1
x
−
a Tìm điều kiện của x để A xác định
b Rút gọn A
Bài 5: Cho biểu thức M =
x
x x
x x
x
x
−
+ +
−
+ + +
−
−
2
3 3
1 2 6 5
9 2
a Tìm ĐK của x để M có nghĩa và rút gọn M b Tìm x để M = 5 c Tìm x ∈ Z để M ∈ Z
Bài 6: Cho biểu thức: A = 2
2 2
2
12 ) 3 (
x
x
8 ) 2 (x+ − x
a Rút gọn biểu thức A
b Tìm những giá trị nguyên của x sao cho biểu thức A cũng có giá trị nguyên
1
1 2 : 1
1 4
3
−
+ +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
− +
−
x
x x x
x x
x x
a Rút gọn P
b Tìm giá trị nhỏ nhất của P
y x
xy y
x x
y
y x y x
y x
+
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
− +
−
:
a Tìm ĐKXĐ của Q và rút gọn b Chứng minh Q≥0 c So sánh Q với Q
Trang 2Doandanhtai@gmail.com - Lớp 9 Luyện tập - Trang 2
Luyện tập rỳt gọn
Bài 1 : Cho biểu thức: P = ( 1 ) ( 1 2 )
1
a
a Tìm điều kiện của a để P xác định
b Rút gọn P
c Tìm các giá trị của a để P > 0 và P < 0
HD a Để P xác định thì a > 0 và a ≠ 1
⎝ a.( a a a ) ⎠ ⎝ : ( a a )( a ) ⎠ =
1
1
ư a
a.
c Để P > 0 ⇔ a ư 1
a. > 0 do a > 0 nên a > 0 vậy P > 0 ⇔ a - 1 > 0 ⇒ a > 1
Để P < 0 Giải tương tự ta được 0 < a < 1
Bài 2: a Xác định x ∈ R để biểu thức: A =
x x
x x
ư +
ư
ư +
1
1 1
2 2
là một số tự nhiên
b Cho biểu thức:
2 2
2 1
+ +
=
z zx
z y
yz
y x
xy
x
Giải a
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
) 1 ).(
1 (
1
2 2
2
+ +
ư +
+ +
ư
ư
+
=
P là số tự nhiên ⇔-2x là số tự nhiên ⇔x =
2
k
(trong đó k ∈Z và k≤ 0 )
b Điều kiện xác định: x,y,z ≥ 0, kết hợp với x.y.z = 4 ta được x, y, z > 0 và xyz = 2
Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ 2 với x; thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ 3 bởi xyz ta được:
2
2 2
(
2 2
+ +
+ +
= + +
+ + +
+ +
xy x xy x
z
z x
xy
xy x
xy
x
Bài 3: Cho biểu thức: D = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+ +
ư
+
ab
b a ab
b a
1
+ + +
ab
ab b a
1
2
1 a Tìm điều kiện xác định của D và
rút gọn D b Tính giá trị của D với a =
3 2
2
ư c Tìm GTLN của D
Giải: a Điều kiện xác định của D là
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠
≥
≥ 1 0 0
ab b
a
D = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ư
+
ab
a b a
1
2 2
:⎢⎣⎡ ư ⎥⎦⎤
+ +
ab
ab b a
1
2 +
a a
1
3 2 ( 2 3
2
+
=
⇒ +
=
+
=
2 3 2 1 3 2 2
3 2 2
ư
ư
= + +
c áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có 2 a ≤ a +1⇒ D ≤1 Vậy giá trị của D là 1
Bài 4: Cho biểu thức
Trang 3Doandanhtai@gmail.com - Lớp 9 Luyện tập - Trang 3
A =
2
1
1
x
−
− − a Tìm điều kiện của x để A xác định b Rút gọn
A
Giải: Điều kiện x thỏa mãn:
2
x
− ≠
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎩
⇔
1 1 1 2
x x x x
≠
⎧
⎪ ≥
⎪
⎨ ≥
⎪
⎪ ≠
⎩
⇔ x > 1 và x ≠ 2
b Rút gọn A =
2
1
x x
−
.
+ Với 1 < x < 2 ta có A = 2
1−x + Với x > 2 ta có A =
2 1
x−
Kết luận: Với 1 < x < 2 thì A = 2
1−x Với x > 2 thì A =
2 1
x−
Bài 5: Cho biểu thức M =
x
x x
x x
x
x
−
+ +
−
+ + +
−
−
2
3 3
1 2 6 5
9 2
a Tìm ĐK của x để M có nghĩa và rút gọn M b Tìm x để M = 5 c Tìm x ∈ Z để M ∈
Z
Giải: M =
x
x x
x x
x
x
−
+ +
−
+ +
+
−
−
2
3 3
1 2 6 5
9 2
a ĐK x≥ 0 ;x≠ 4 ;x≠ 9 M = ( )( ) ( )( )
( 2)( 3)
2 1
2 3 3
9 2
−
−
− +
+
− +
−
−
x x
x x
x x
x
Biến đổi ta có kết quả: M = ( 2)( 3)
2
−
−
−
−
x x
x x
1 2
3
2 1
−
+
=
⇔
−
−
− +
x
x M x
x
x x
4
16 4
16 15 5
1 3
5 1 5
3
1 5
M
−
−
⇔
x
x
c M =
3
4 1 3
4 3 3
1
− +
=
−
+
−
=
−
+
x x
x x
x
Do M ∈ Z nên x−3là −ớc của 4 ⇒ x−3 nhận các giá trị:
- 4; - 2; - 1; 1; 2; 4 ⇒ x∈{1;4;16;25;49} do x≠ 4⇒x∈{1;16;25;49}
Bài 6: Cho biểu thức: A = 2
2 2
2
12 ) 3 (
x
x
8 ) 2 (x+ − x
a Rút gọn biểu thức A b Tìm những giá trị nguyên của x sao cho biểu thức A cũng có giá trị
nguyên
Giải: a Điều kiện: x ≠0
4 4
9
2
2 4
+
− +
+ +
x
x x
2
− +
+
x
x
+ Với x < 0:
x
x x
−
= + Với 0 < x ≤ 2:
x
x
A= 2 +3
+ Với x > 2 :
x
x x
=
Trang 4Doandanhtai@gmail.com - Lớp 9 Luyện tập - Trang 4
b Tìm x nguyên để A nguyên: A nguyên ⇔ x2 + 3 M x ⇔ 3M x ⇔ x = {− 1 ; − 3 ; 1 ; 3 }
1
1 2 : 1
1 4
3
1
+
−
+ +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
− +
−
x
x x x
x x
x x
a Rút gọn P b Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Giải: Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1
a Thực hiện đ−ợc biểu thức trong ngoặc bằng:
) 4 )(
1 (
) 1 ( 5
+
−
+
−
x x
x
KQ: P =
4
1 +
−
x
x
b Viết P =
4
5 1
+
−
x lập luận tìm đ−ợc GTNN của P = -1/4 khi x = 0
y x
xy y
x x
y
y x y x
y x
+
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
− +
−
:
a Tìm ĐKXĐ của Q và rút gọn b Chứng minh Q≥0 c So sánh Q với Q
Giải a ĐKXĐ: x ≥ 0, y ≥ 0, x ≠ y
xy y
x x
y x y
y xy x y x y
x
y x y
x
Q
+
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
+ +
− +
−
+
−
=
2
:
y xy x
y x x
y x y
y xy x
x y y
x
+
−
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
+ +
−
− +
y xy x
xy y
xy x
y x y x
xy
+
−
= +
−
+
b xy ≥ 0 ∀ x;y≥ 0x + y ≥ 2 xy (Côsi), mà x ≠ y ⇒ x + y > 2 xy
⇔ x - xy + y > xy ≥ 0 ⇔x - xy + y > 0 Vậy Q = ≥0∀ , ≥0
+
x
xy
và x ≠ y
c Theo câu b, ta có x - xy + y > xy (1) Chia 2 vế của (1) cho x - xy + y > 0 ⇒
1
<
+
x
xy
Vậy 0≤ Q < 1 + Nếu Q = 0 ⇒ Q = Q
+ Nếu 0 < Q < 1 ⇒ Q( Q - 1) < 0 ⇒ Q - Q < 0⇒ Q < Q ∀ x, y ≥ 0 và x ≠ y