đây rồi ôn thi vào 10 chủ đề rút gọn.doc

Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên nguyên dơng Bớc 1.. Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P..

Rút gọn biểu thức chứa biến

Trong chơng trình Toán lớp 9, việc rút gọn các biểu thức là vấn đềvô cùng quan trọng(chiếm khoảng từ 1,5 đến 3,5 điểm trong các kìthi), vì thế, mà tôi muốn giới thiệu bài Toán này tới bạn đọc Mong các

em hiểu sâu hơn và nắm vửng cách làm về dạng toán này

A lí thuyết.

1) Bài Toán quy đồng mẩu thức các phân thức

Trong chơng trình lớp 8, SGK đã giới thiệu cho chúng ta phơng phápquy đồng mẩu thức các phân thức nh sau

chia cho MT riêng của từng phân thức)

B ớc 3 Quy đồng (Nhân cả tử và mẩu của từng phân thức với NTP

Để tìm NTP của phân thức ta lấy MTC là (x – 1)2 (x + 1) chia cho Mẩu thức riêng của nó là (x2 – 1) hay (x – 1)(x + 1)

Vì (x – 1)2 (x + 1) (x – 1)(x + 1) = x – 1

NTP của phân thức là: (x – 1)

Tơng tự, để tìm NTP của phân thức ta lấy MTC là (x – 1)2 (x + 1) chia cho Mẩu thức riêng của nó là x2 – 2x + 1 hay (x – 1)2

Vì (x – 1)2 (x + 1) (x – 1)2 = x + 1

NTP của phân thức là: (x + 1)

Công việc còn lại của chúng ta là quy đồng các phân thức đã cho

- Để quy đồng mẩu của phân thức ta lấy “tử” và “mẩu”cùng nhân với nhân tử phụ của nó là (x – 1) Tức là:

Và = =

c) Tơng tự

B Các dạng toán liên quan.

Dạng 1 Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m là hằng số)

Bớc 1 Sử dụng tính chất để làm mất mẩu của phơngtrình

Bớc 2 Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x

Bớc 3 Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí

Ví dụ: Cho A = (với x 0 và x 1)

Bớc 3 Giải bất phơng trình trên để tìm đợc x.

Bớc 4 Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí

Ví dụ: Cho A = (với x 0)

Vì với điều kiện x 0 thì 3( + 1) > 0 (*) 2 - 4 > 0 2

Vì với điều kiện x 0 thì 5( + 1) > 0 (**) 3 - 7 < 0 3 < 7

Dạng 4 Bài toán Chứng minh biểu thức P < m (m là

hằng số) với mọi giá trị của x thuộc ĐKXĐ.

Ví dụ: Cho P = (với x > 0)

Chứng minh rằng: P > 1 với mọi giá trị của x > 0

Giải: Ta có: P – 1 = - 1 = - = =

Vì với x > 0 thì > 0 > 0 P – 1 > 0 P > 1.(đpcm)

Dạng 5 Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dơng)

Bớc 1 Biến đổi biểu thức P về dạng:

P = m + (m, n Z, A(x) là biểu thức chứa x)Bớc 2 Biện luận:

Vì m Z nên để P nguyên thì phải nguyên, mà nguyên thì “A(x)

phải là ớc của n”

Bớc 3 Giải các phơng trình: A(x) = Ư(n) để tìm đợc x

Bớc 4 Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí

Ví dụ 1: Cho P = (với x 0 và x 1).

Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên

Vậy với x = 0, x = 4 và x = 16 thì P nhận giá trị nguyên

Ví dụ 2: Cho M = (với x 0 và x 4)

Tìm các giá trị của x để M nhận giá trị nguyên dơng

Giải: Ta có: M = = = + = 1 + Để P nhận giá trị nguyên thì phải nhận giá trị guyên,

Vậy với x = 16 và x = 9 thì M nhận giá trị nguyên dơng

Dạng 6 Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

a) Khái niệm:

+) Nếu P(x) m (m là hằng số) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất củaP(x)

+) Nếu P(x) k (k là hằng số) thì k gọi là giá trị lớn nhất củaP(x).

b) Cách giải:

Bớc 1 Biến đổi biểu thức P về dạng:

P = m + (m, n Z, A(x) là biểu thức chứa x)Bớc 2 Biện luận:

Trờng hợp 1 “n > 0”.

+) P đạt giá trị lớn nhất khi A(x) đạt giá trị nhỏ nhất

+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) đạt giá trị lớn nhất

(Vì: Để P đạt giá trị lớn nhất thì phải đạt giá trị lớn nhất tức là A(x) phải đạt giá trị nhỏ nhất.

Còn để P đạt giá trị nhỏ nhất thì phải đạt giá trị nhỏ nhất tức là A(x) phải đạt giá trị lớn nhất).

Trờng hợp 2 “n < 0”.

+) P đạt giá trị lớn nhất khi A(x) đạt giá trị lớn nhất

+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) đạt giá trị nhỏ nhất

Bớc 3 Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của A(x) để

có đợc giá trị lớn

nhất hoặc nhỏ nhất của P

Bớc 4 Tìm điều kiện để xảy ra dấu bằng

Bớc 5 Kết luận

Ví dụ 1: Cho P = (với x 0)

Tìm giá trị lớn nhất của P

Giải: Ta có: P = = = + = 1 +

Ta thấy: Vì ở đây n = 2 > 0 nên: Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì + 1 phải đạt giá

trị lớn nhất

Vì: 0 + 1 1 Giá trị nhỏ nhất của + 1 là 1

Giá trị lớn nhất của P là: 1 + =3

Mặt khác: + 1 = 1 = 0 x = 0

Vậy: Giá trị lớn nhất của P là 3, đạt đợc khi x = 0.

Ví dụ 2: Cho M = (với x 0)

Tìm giá trị nhỏ nhất của M

Giải: Ta có: M = = = - = 1 +

Ta thấy: Vì ở đây n = - 2 < 0 nên: Để M đạt giá trị nhỏ nhấtthì + 1 phải đạt giá trị nhỏ nhất.

Vì: 0 + 1 1 Giá trị nhỏ nhất của + 1 là 1

Giá trị lớn nhất của M là: 1 +

nghiệm phân biệt không âm

Tức là: Phơng trình (2) phải có:

+) Để phơng trình (1) có 1 nghiệm phân biệt thì phơngtrình (2) phải có hai

nghiệm trái dấu, hoặc phải có một nghiệm âm và mộtnghiệm bằng không, hoặc

phải có nghiệm kép không âm

Tức là: Phơng trình (2) phải có (3 trờng hợp):

Trờng hợp 1 Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a.c < 0

Trờng hợp 2 Phơng trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm

b) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có:

1) Hai nghiệm 2) Một nghiệm

Giải:

Đặt = y (*) (ĐK: y 0)

Khi đó phơng trình (1) trở thành: y2 – 2(m – 1)y + 1 – 2m = 0(2)

C Bài tập.

Các đề tham khảo năm học

Bài 1 : ( Đà Nẵng 2008-2009) Rút gọn biểu thức A=

trong đó a≥0, b >0

Bài 2 Bài 1 (2,0 điờ̉m) ( Thái Bình 2008-2009 )

Cho biờ̉u thức P = với x ≥ 0 và x ≠ 1

c Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =

Bài 4( 1,5 điểm) ( Nam Định 2008-2009)

Cho biờ̉u thức P = với x 0

c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc A.

Bµi 9 (Hĩe 2006-2007)Rút gọn các biểu thức:

Gi¶i:

BÀI TẬP PHẦN RÚT GỌN

b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x =

H íng dÉn :

Bài 6 : Cho biểu thức: A =

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A < 0

c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên

H ớng dẫn :

b Tính giá trị của P khi

c Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trịnhỏ nhất đó

H ớng dẫn :

H ớng dẫn :

Bµi 21 : Cho A = Víi x > 0 , x 1.

Bài 34 : Cho A= với x 0 , x 9 , x4.

Bài 3 ( 2 điểm ) Cho biểu thức : P =

a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P với a = 9

Bài 4 Cho biểu thức : Q = ,

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q

b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị nguyên

Bài 5 ( 3 điểm ) Cho biểu thức :

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A

3) Giải phơng trình theo x khi A = 2

Bài 6 Cho biểu thức: C =

a) Rút gọn C b) Tìm giá trị của x để:

c) Tìm giá trị của x để: C2 = 40C

Bài 7. Cho biểu thức:

a) Rút gọn P b) Tìm các giá trịcủa x để P > 0

c) Tính giá trị nhỏ nhất của d) Tìm giá trị của m để có giá trị x > 1 thoả mãn: m( -3).P = 12m - 4

Bài 8 ( 3 điểm ) Cho biểu thức :

a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị của khi

Bài 9 ( 3 điểm ) Cho biểu thức :

Rút gọn biểu thức A Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A

Bài 10 ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức :

a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A khi x

=

c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 11 ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức : A =

a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A b) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trịnguyên

Bài 12 ( 2 điểm ) Cho biểu thức : A =

a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dơng với mọi a

Bµi 13 Cho biÓu thøc

a) Rót gän P b) Cho H·y tÝnh gi¸ trÞ cña P

b) Chøng minh r»ng P < 1 víi mäi gi¸ trÞ cña x  1

Bµi 16.Cho biểu thức

a) Rút gọn P b) Tìm a để

Bµi 17.Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa và rút gọn P

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Bµi 18 Cho biÓu thøc: P =

a) Rút gọn P b) Tìm a biết P > c) Tìm a biết P =

Bµi 19.Cho biểu thức

b) Tìm x để P < 1 c) Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 21 (2 điểm) Cho biểu thức:

(với a, b là hai số dơng khác nhau)

a) Rút gọn biểu thức N

b) Tính giá trị của N khi:

Bài 22 (2 điểm) Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm x để M ≥ 2

Bài 23. : Cho biểu thức M =

a) Rút gọn M b) Tìm giá trị của a để

M < 1

c) Tìm giá trị lớn nhất của M

Bài 24.Cho biểu thức P =

Bài 27.Cho biểu thức P =

c) Biết Q = Tìm x để Q max

Bài 29.Cho biểu thức P =

a) Rút gọn P

b) Tìm m để phơng trình P = m – 1 có nghiệm x, y thoả mãn

Bài 30.Cho biểu thức P =

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn nhất của A =

c) Tìm các giá trị của m để mọi x > 2 ta có:

a/ Rút gọn P

b/ Tìm x để P < 1 ; c/ Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 32.Cho biểu thức: P =

a/ Rút gọn P

c/ Tìm các giá trị của a để có x thoả mãn :

Bài 36 Cho biểu thức:

Bài 39.Cho biờ̉u thức

a) Tìm điều kiện đờ̉ P cú nghĩa và rút gọn P

b) Tìm các giá trị nguyờn của x đờ̉ biờ̉u thức nhận giá trị nguyờn

Bài 40.Cho biểu thức P =

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P

b) Tìm a biết P > - c) Tìm a biết P >

Bµi 41. 1) Cho biÓu thøc:

a) Tìm tập xác định của M b) Rút gọn biểu thức M

c) Tính giá trị của M tại a =