- Chú ý : Nên dung máy tính phân tích mẫu thành nhân tử,để từ đó nhìn thấy đợc nhân tử chung.
Trang 1Phần A : Đại số
Chuyên đề 1 : Rút gọn phân thức
I,CĂN THứC A.Lý thuyết :
1, ẹũnh nghúa caờn baọc hai soỏ hoùc cuỷa moọt soỏ a 0 :
a x
x a
2, ẹieàu kieọn ủeồ A coự nghúa :
A coự nghúa A 0
3, Quy taộc khai phửụng moọt tớch :
A.B A. B (A 0 ;B 0)
4, Quy taộc nhaõn caực caờn baọc hai:
A. B A.B (A 0 ;B 0)
5, Quy taộc khai phửụng moọt thửụng:
B A B A (A 0 ;B 0)
6, Quy taộc chia hai caờn baọc hai:
B A B A (A 0 ;B 0)
7, ẹửa moọt thửứa soỏ ra ngoaứi daỏu caờn:
A2 B A. B
(B 0)
8, ẹửa moọt thửứa soỏ vaứo trong daỏu caờn:
VụựiA 0 ;B 0 ta coự
VụựiA 0 ;B 0 ta coự
9, Khửỷ maóu cuỷa bieồu thửực laỏy caờn:
B A A B.B (Vụựi A.B 0 ;B 0)
10, Truùc caờn thửực ụỷ maóu:
a)Vụựi B 0 ta coự A B A.B B
B A B
B A B
Trang 2b)Với 0 ; 2 0
B
B A C B A
C
c)VớiA 0 ;B 0 và A B ta có A C B C A A B B
B.Bµi TËp : 1,TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc :
10 2 10 8
2 8 12 5 27
5 9 4 5 8 3 2 25 12 4 192
3 5 3 5 5 22 8 5
2 5 4
3 1 3 2 3 3
1 3 1 1 3 1
2 1 3 2 1 3
2 5
1 2
5
1
2 3
8 7
18 12
2 3
12
Trang 33 2 3 6
75 5 2
1
4
1 3 1 3
2
6 2 5
8
1 15
4 : 50 5
2 5 , 4 2
3
2
1
2
1
3 2
1 3
2
1
5 3 5 3
5 3
1 1 3
3 1
1
3
3
2 5 7
2
ii,rút gọn phân thức
A.Lý thuyết :
* 7 hằng đẳng thức đáng nhớ :
1.Bình phơng của một tổng :
(ab) 2 a2 2abb2
2.Bình phơng của một hiệu :
(a b) 2 a2 2abb2
3.Hiệu hai bình phơng :
a2 b2 (a b)(ab)
4.Lập phơng của một tổng :
(ab) 3 a3 3a2b 3ab2 b3
Trang 45.Lập phơng của một hiệu :
(a b) 3 a3 3a2b 3ab2 b3
6.Tổng hai lập phơng :
a3 b3 (ab)(a2 abb2 )
7.Hiệu hai lập phơng :
a3 b3 (a b)(a2 abb2 )
* Chú ý : Phơng pháp làm bài rút gọn phân thức :
- Nếu đề bài đã cho điều kiện thì chỉ việc rút gọn,nếu cha thì trớc tiên phải tìm điều kiện để cho biểu thức có nghĩa :
+ Một biểu thức nếu có căn thức thì biểu thức trong căn phải có nghĩa
Ví dụ : A coự nghúa A 0
+ Mẫu của phân thức phải khác 0
- Sau đó áp dụng :
+ Qui đồng mẫu thức các phân thức (nếu cần)
+ Đa bớt thừa số ra ngoài dấu căn (nếu cần)
+ Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
+ Thực hiện phép tính : Vận dụng các hằng đẳng thức,luỹ thừa,khai căn,nhân,chia…
+ Cộng trừ các hạng tử đồng dạng …
a) x 1 ( x 1 )( x 1 ) b) x 4 ( x 2 )( x 2 )
c) x 9 ( x 3 )( x 3 ) d) 1 x ( 1 x)( 1 x)
e) 4 x ( 2 x)( 2 x) f) 9 x ( 3 x)( 3 x)
g) x 2 x 1 ( x 1 ) 2 h) x 5 x 6 ( x 2 )( x 3 )
i) x x 1 ( x 1 )(x x 1 ) k) x x 1 ( x 1 )(x x 1 )
l) 1 x x ( 1 x)( 1 xx) m) 1 x x ( 1 x)( 1 xx)
………
- Chú ý : Nên dung máy tính phân tích mẫu thành nhân tử,để từ đó nhìn thấy đợc nhân tử chung.
B.Bài Tập :
Dạng 1 : Rút gọn biểu thức chứa căn đơn giản.
a, 3 2 2 3 2 2 b, 14 6 5 14 6 5 c,
5 4 9
5
4
9 d, 7 4 3 7 48
e, 22 22
384
457
76
149
Dạng 2 : Rút gọn biểu thức hữu tỉ ( chú ý tìm điều kiện).
1,
1 3
4
2 3
2
2 2
x
x x
x
x x
x
x
A
4
4 2
2
x x
x
x
B
9
) 1 ( 3
2 1 3
1
x
x x x
x x
x
C
Trang 54,
1 2
2 3 1
6 1 2
2 3
2 2
2
x x
x x
x x
x
D
5,
1
15 ) 1 (
10 1
5
3 2
x x
x x
E
D¹ng 3 : Bµi tËp tæng hîp.
Bµi to¸n 1 :
+ Rót gän biÓu thøc
+ T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi x = …
1
1 1 1
x x
x
x x
x
x
a, T×m §K
b, Rót gän A
c, TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 4
(KÕt qu¶
1
2
x x
1
1 1
1
x
x x x
x x
a, Rót gän B
b, TÝnh gi¸ trÞ cña B khi x = 4 - 2 3
( KÕt qu¶ A x 1 )
1
1 1
3 :
1
8 1
1 1
1
x x
x x x
x x
x x
x
a, Rót gän B
b, TÝnh B khi x = 6 2 5
( KÕt qu¶
4
4
x
x
4 Cho
x x
x x
x
A
2
1 1
1 1
1 : 1
1 1
1
a, Rót gän A
b, TÝnh A khi x = 6 2 5
(KÕt qu¶
x
A
2
3
5 Cho
9
9 3 3
2
x
x x
x x
x
a, Rót gän A
b, TÝnh gi¸ trÞ cña C khi x = 7 4 3
(KÕt qu¶
3
3
x
2
2 :
2
3 2
4
x
x x
x x x
x
x
(Với x 0 ;x 4) a) Rút gọn Q
b) Tính giá trị của Q khi x 3 2 2
(KÕt qu¶A 1 x)
Trang 67 Cho biểu thức P = 2 2 : 2 2
với x 0;x 1 a) Rỳt gọn P
c) Tớnh giỏ trị của P khi x = 7 - 4 3
(Kết quảA x x)
x 1
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
c) Tính giá trị của P với x = 4 – 2 3
(Kết quảA 3x 2 x 1)
9 Cho biểu thức
3
A
a) Rút gọn biểu thức
b)Tính A khi x 3 2 2 (Kết quảAx 2 x 1)
10 Cho biểu thức : P = 3 1 4 4 a > 0 ; a 4
4
a
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P với a = 9
(Kết quả
2
4
a
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3
(Kết quả
) 1 (
1
x x
A
12 Cho biểu thức
1
) 1 ( 2 2
1
2
x
x x
x x x
x
x x
a) Rút gọn biểu thức A
b)Tính giá trị của A khi x 6 2 5
(Kết quả Ax x 1)
1
2 :
1
1 1
2
x x
x x
x x
x x
a) Rút gọn biểu thức A
b)Tính giá trị của A khi x 4 2 3
(Kết quả
2
1
x
14 Cho biểu thức
2
) 1 ( : 1
1 1
1
2
2 2 3
3
x
x x x x
x x x
x
a) Rút gọn biểu thức A
b)Tính giá trị của A khi x 6 2 2
(Kết quả
x x
A 2 2)
Trang 715 Cho biểu thức
x x
x x
x
x x x
x
1
1 1 :
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của A khi x 7 4 3
(Kết quả
1
x
x
1
2 1
1
1 : 1
1 1
1
x x
x x
x
x x
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của M khi x 3 2 2
( Kết quả
1
4
x
x
1
2 2 : 1
2 1
1
x
x x x
x x x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của M khi x 6 2 5
( Kết quả
x
x A
2
1 )
x x
x x
x x
x x x
x A
2
2 2
3 :
2 2 3 2
3
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của M khi x 9 4 5
( Kết quả
1
2
x
x
19 Cho biểu thức
1 1
1 1
x
x x x x
x x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính P khi x 5
( Kết quả Ax 2 x 1 )
Bài toán 2:
+ Rút gọn biểu thức
+ Tính x khi A = …
1 Cho
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
x
x x
x x
x
x
A ( Với x 0 ,x 1 )
a, Rút gọn A
b, Tìm x để A =
2
1 (Kết quả
3
5 2
x
x
2 Cho
1
1 1
1
x
x x
x x
A ( Với x 0 ,x 1)
a, Rút gọn A
b, Tìm x khi A = 2
(Kết quả
1
x x
Trang 83 Cho
1
2 : 1
1 1
4 1
x
x x x
x
A ( Với x 0 ,x 1 ,x 4)
a, Rút gọn A
b, Tìm x để A =
2
1 (Kết quả
x
x
A 2)
4 Cho
9
9 3 3
2
x
x x
x x
x
A (Với x 0 ,x 9)
a, Rút gọn A
b, Tìm x khi A =
3 1
(Kết quả
3
3
x
x
a) Tỡm điều kiện của x để P cú nghĩa
b) Rỳt gọn P
c) Tỡm cỏc giỏ trị của x để P = 6
5 (Kết quả
3 9
13 3
x
x x
Q
a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm giá trị của x để 1
3
Q
(Kết quả
2
1
x
2
1 1
2 :
1
1 1
x
x x
x x
x
a) Rút gọn A
b)Tìm x để A = 0
(Kết quả
x
x A
3
2
1
1 1
1 1
1 1
x
x x
x x
x x
x
x x x x
x x
a) Rút gọn E
b) Tìm x để E = 6
(Kết quả
x
x x
A2( 1) )
Trang 99 Cho biểu thức
2
) 1 ( : 1
1 1
1
2
2 2 3
3
x
x x x x
x x x
x
a) Rút gọn biểu thức A
b)Tìm x để A=3
(Kết quả
x
x
A 2 2)
1
: 1
1 1
1
x
x x x
x x
x x
a) Rút gọn biểu thức A
b)Tìm x để A = 3
(Kết quả
x
x
A 2 )
11 Cho biểu thức
1 4 4
1 :
2 1
1 1 4
5 2
1
2
x x
x x
x x
2
1
a) Rút gọn biểu thức A
b)Tìm x để A =
2
1
(Kết quả
x
x A
2 1
14 5
x x
x x
x
x x x
x
1
1 1 :
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A =
2
1 (Kết quả
1
x
x
2
2 :
2
3 2
4
x
x x
x x x
x
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A = -3
(Kết quả A 1 x)
1
2 1
: 1
1 1
1 2
x x
x x
x x
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Với giá trị nào của x thì
5
4
x
A (Kết quả
3
x
x
1
1 1
1 1
2 2 : 1
x x
x
x x
x
x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Với giá trị nào của x thì A x
(Kết quả
x
x x
A 1)
Trang 1016 Cho biÓu thøc
x x
x x
x x
x x x
x A
2
2 2
3 :
2
2 3 2
3
a) Rót gän biÓu thøc A
b) T×m x sao cho A(x 1 ) 3 x
( KÕt qu¶
1
2
x
x
x x x
x x
x
x
2
1 :
4
8 2
4
( Víi x 0 ;x 1) a) Rót gän biÓu thøc P
b) T×m x sao cho P 1
( KÕt qu¶
x
x A
3
4
)
18 Cho biÓu thøc
1 1
1 1
x
x x x x
x x
a) Rót gän biÓu thøc P
b) T×m x sao cho P 16
( KÕt qu¶ Ax 2 x 1 )
Bµi to¸n 3 :
+ Rót gän biÓu thøc
+ TÝnh x khi A > … hoÆc A< …
1 Cho biÓu thøc
a a
a a
a A
2
1 6
5 3
2 ( Víi a 0 ;a 4) a) Rót gän biÓu thøc A
b) T×m a sao cho A 1
( KÕt qu¶
2
4
a
a
6 5
3 3
2
3 :
1
1
x x
x x
x x
x x
x
a) Rót gän biÓu thøc A
b) T×m x sao cho A 0
( KÕt qu¶
) 1 ( 2
3
x
x
1
2 1
1 : 1
1
a a a a
a a
a
a
a) Rót gän biÓu thøc A
b) T×m a sao cho A 1
( KÕt qu¶
1
1
a
a a
Trang 114 Cho biÓu thøc
3
2 2 : 9
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x
a) Rót gän biÓu thøc A
b) T×m x sao cho
2
1
A
( KÕt qu¶
3
3
x
3
2 2
3 6
9 : 1 9
3
x
x x
x x
x
x x
x x
a) Rót gän biÓu thøc A
b) T×m x sao cho A 1
( KÕt qu¶
2
3
x
3
5 5
3 15
2
25 :
1 25
5
x
x x
x x
x
x x
x x
a) Rót gän biÓu thøc A
b) T×m x sao cho A 1
( KÕt qu¶
x
A
3
5
)
1
2 2
1 :
1 1
1
a
a a
a a
a
a) Rót gän biÓu thøc A
b) T×m a sao cho
6
1
A
( KÕt qu¶
a
a A
3
2
8 Cho biÓu thøc
a
a a
a a
a
a A
3
1 2 2
3 6
5
9
2 ( Víi a 0 ;a 4 ;a 9) a) Rót gän biÓu thøc A
b) T×m x sao cho A 1 ( KÕt qu¶
3
1
a
a
1 3
2 3 1 : 1 9
8 1 3
1 1 3
1
x
x x
x x
x
x
9
1
;
x
a) Rót gän biÓu thøc A
b) T×m x sao cho A 1
( KÕt qu¶
1
3
x
x x
6 5
2 3
2 2
3 :
1
1
x x
x x
x x
x x
x
a) Rót gän biÓu thøc A
b) T×m x sao cho A 0
( KÕt qu¶
1
2
x x
Trang 1211 Cho biểu thức
a a
a
3
1 3
1
( Với a 0 ;a 9) a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm a sao cho
2
1
A
( Kết quả
3
2
a
12 Cho biểu thức
1
) 1 2 ( 2 : 1 1
x
x x x
x
x x x x
x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x sao cho A 0
( Kết quả
1
1
x
x
2 1
( 2
1 2
1 ( 2
1
x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x sao cho A 0
( Kết quả
1
1
x
2
2 1
1 :
1
x
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x sao cho A 0
( Kết quả
x
x
A 1 )
15 Cho biểu thức
1
2 2 2
1 2
2
1
x x
x x
x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x sao cho P 0
( Kết quả
1
2
x
Bài toán 4 :
+ Rút gọn biểu thức
+ Tìm x Z để A Z
1 Cho biểu thức
1
2 2 2
1 2
2
1
x x
x x
x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x Z để A Z
( Kết quả
1
2
x
6 5
2 3
2 2
3 :
1
1
x x
x x
x x
x x
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x Z để A Z
( Kết quả
1
2
x x
Trang 133 Cho biểu thức
1
2 1
3 : 1 3 2 1
1
x x
x x
x x x
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x Z để A Z
( Kết quả
1
4
x
1
2 1
1 : 1
2 2 1
1
x x x
x x x
x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x Z để A Z
( Kết quả
1
1
x
x
1
4 1
: 1
1 1
1 2
x x
x
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x Z để A Z
( Kết quả
3
x
x
6 Cho biểu thức
a
a a
a a
a A
3
1 2 2
3 6
5
9
2 ( Với a 0 ;a 4 ;a 9) a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x Z để A Z
( Kết quả
3
1
a
a
3
5 5
3 15
2
25 :
1 25
5
x
x x
x x
x
x x
x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x Z để A Z
( Kết quả
x
A
3
5
)
3
2 2
3 6
9 : 1 9
3
x
x x
x x
x
x x
x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x Z để A Z
( Kết quả
2
3
x
3
2 2 : 9
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x Z để A Z
( Kết quả
3
3
x
10 Cho biểu thức : P = 3 1 4 4 a > 0 ; a 4
4
a
a) Rút gọn P
Trang 14b) Tìm x Z để A Z
(Kết quả
2
4
a
x x x x
x
x x x x
x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x Z để A Z
( Kết quả
1
1
x
x
1
2 1
1 : 1
1 1
1 2
x
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x Z để A Z
( Kết quả
3
x
x
13 Cho biểu thức
a a
a a
a A
2
1 6
5 3
2
( Với a 0 ;a 4) a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm a Z để A Z
( Kết quả
2
4
a
a
1
2 2 : 1
2 1
1
x x x x
x x x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x Z để A Z
( Kết quả
x
x A
2
1
)
1
1 3
1 : 3
1 9
7 2
x x
x
x x
x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x Z để A Z
( Kết quả
3
1
x
x
Bài toán 5 :
+ Rút gọn biểu thức
+ Tìm GTLN,GTNN của A
1 Cho biểu thức
1
) 1 ( 2 2
1
2
x
x x
x x x
x
x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm GTNN của A
( Kết quả Ax x 1 )
2 Cho
9
9 3 3
2
x
x x
x x
x
A (Với x 0 ,x 9)
a, Rút gọn A
b, Tìm GTLN của A
Trang 15(Kết quả
3
3
x
3 Cho biểu thức
1
) 1 2 ( 2 : 1 1
x
x x x
x
x x x x
x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm GTLN của A
( Kết quả
1
1
x
x
1
2 1
1 : 1
2 2 1
1
x x x
x x x
x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm GTNN của A
( Kết quả
1
1
x
x
4 Cho biểu thức
2
2 : 1 1
x
x x x
x x x x
x x
A ( Với x 0 ;x 1 ;x 2) a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm GTNN của A
( Kết quả
2
4 2
x
x
5 Cho biểu thức : P = 3 1 4 4 a > 0 ; a 4
4
a
a) Rút gọn P
b) Tìm GTLN của P
(Kết quả
2
4
a
6 Cho
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
x
x x
x x
x
x
A ( Với x 0 ,x 1 )
a, Rút gọn A
b, Tìm GTLN của A (Kết quả
3
5 2
x
x
3
2 2 : 9
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm GTNN của A
( Kết quả
3
3
x
1
1 1 1
x x
x
x x
x
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm GTLN của A
( Kết quả
1
2
x x
Bài toán 6 :
+ Rút gọn biểu thức
+ CMR A thoả mãn ĐK nào đó