KHÔNG GIỚI HẠN.
Trang 1BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-TOÁN 1 HK1 0708
• BÀI 3: GIỚI HẠN HÀM SỐ (SINH VIÊN)
• TS NGUYỄN QUỐC LÂN (10/2007)
Trang 2NỘI DUNG 1- Ý TƯỞNG GIỚI HẠN HÀM SỐ
2- ĐỊNH NGHĨA “ĐƠN GIẢN” GIỚI HẠN HÀM SỐ
3- ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ GIỚI HẠN HÀM SỐ
4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN
5- GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT
6- QUY TẮC LÔPITAN
7- GIỚI HẠN KẸP
8- GIỚI HẠN THEO NGÔN NGỮ DÃY KHÔNG GIỚI HẠN
Trang 3Ý TƯỞNG GIỚI HẠN
-Hàm y = f(x), MXĐ D
x 0 ⇒ Giá trị f(x 0 )?
( )0 : xácđịnh
( ) : không xácđịnh
& 0
VD: f(x) = lnx & x 0 = –1
( ) ":gần như" xácđịnh
0 D f x
VD: f(x) = sinx/x & x 0 = 0 ∉ D
Gtrị ( )
x
x x
f = sin quanh 0:
0.1000 0.8415 0.01000 0.9588 0.001000 0.9816 0.0001000 0.9896 0.00001000 0.9935 = −∞
∞
=
=
− +
0 0
0
,
, 1
0
, 1 1
x e
x x
x x
x
x
Tương tự:
Trang 4MINH HỌA HÌNH HỌC
-Đồ thị hàm: ( )
x
x x
Chú ý lân cận x 0 = 0:
f(0) không xác định,
nhưng giá trị f(x) lại
“rất gần” 1 khi x
“rất gần” 0 → Đồ
thị liên tục Có thể
xem “f(0)” = 1 ???
Cần công cụ xác định giá trị hữu hạn “f(x 0 )” tại x 0 ∉ D: f ( )x
x
xlim0
→
Trang 5L x
f
x
lim
0
Cho hàm y = f(x) xác định trong lân cận điểm x 0 (cĩ thể khơng xác định tại x 0 !) Hàm f(x) cĩ giới hạn = L khi x → x 0 ⇔ Giá trị f(x) “rất gần” L nếu x “đủ gần” x 0 Ký hiệu:
VD: Đốn (khơng chứng minh) giới hạn ( ) ( )
1
1 ,
−
=
x x
f x
f
Giải: Chú ý hàm f(x) khơng xác định tại x = 1
Từ bảng giá trị, cĩ thể phỏng đốn:
5
0 1
1 lim 2
−
−
x
x
GIỚI HẠN HÀM SỐ – ĐỊNH NGHĨA ĐƠN GIẢN
Trang 6-Hàm g(x) sau (xác định tại x = 1) cĩ giới hạn như f(x) khi x → 1
( ) ( )
=
≠
−
−
=
=
1 khi
2
1
khi 1
1 2
x
x x
x x
f x
g
y=f(x)
y=g(x)
Giá trị f tại x 0 (cĩ hay khơng cĩ) khơng ảnh hưởng đến f ( )x
x
xlim0
→
GIÁ TRỊ TẠI ĐIỂM KHÔNG ẢNH HƯỞNG GIỚI HẠN
Trang 7
-Ví dụ:
x
x
π
sin
lim 0
→ Gợi ý: Tính ( ) , ( ) (0.1 , 0.01)
3
1 ,
2
1 ,
( ) ( )0.1 (0.01) 0 limsin 0:
3
1 2
1 1
⇒
=
=
=
=
=
f f
f f
f
x
π
SAI!
Tuy nhiên từ đồ thị hàm
x
cũng như giá trị hàm tại
Z k
k x
k
+
2 1
4
! 1 sin =
⇒
x
π
Cĩ vơ số giá trị x gần 0 tùy ý, tại đĩ f = 0 lẫn f = 1 KL: Giới hạn đang xét khơng ∃!
ĐOÁN – KHÔNG CHẮC CHẮN 100%!
Trang 8
-L Minh họa hình học:
Ngơn ngữ Giải tích: Đại lượng biến thiên f “rất gần” đlượng g ⇔
| f – g | ≤ ε ∀ ε > 0 x “đủ gần” x 0 : ∃ δ > 0 và xét | x – x 0 | < δ
( ) = ⇔ ∀ε > ∃δ > − < δ ⇒ − < ε
x
0
ĐN:
Chú ý: Trong thực tế, định nghĩa trên thường được áp dụng để chứng minh lý thuyết chứ khơng sử dụng để tìm giới hạn!
( )x f
L
ε
−
x
0
x
δ
−
0
x 0
ε δ
ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ
Trang 9-VD: Cho 4 ( )*
1
2
2 lim
2
−
−
x
x Tìm δ như trong đnghĩa khi ε = 0.01
1
2
2
0
2
=
=
−
−
x
x x
ε = 0.01: f ( )x − L < ε ⇔ x −1 < 0.005 ⇒ Chọn δ = 0.005
VD: Giải bằng đồ thị câu hỏi tương tự: lim( 2 2) 4, 0.1
x
Giải: | f(x) – 4 | < 0.1 ⇔ 3.9 < f(x) < 4.1 Vẽ y = f(x) & y = 3.9, 4.1
03 2 97
1 < x <
03 0
2 <
−
x
Vậy
03 0
=
⇒ δ
VÍ DỤ
Trang 10-Khi f(x) → ± ∞ (tức L = ± ∞) hoặc x → ± ∞ (tức x 0 = ± ∞): Khơng thể xét hiệu | f(x) – L| hay |x – x 0 | ⇒ Cần điều chỉnh!
Chú ý: Đại lượng A → ∞ ⇔ A > M ∀M & B → –∞ ⇔ B < m ∀m
ε
ε > ∃ ∀ > ⇒ − <
∀
⇔
=
∞
M x
f x
x x
M x
f
x
Tương tự cho trường hợp f(x) → –∞: Chỉ cần viết lại f(x) < m!
( )x M f
A x
x A
M x
f
∞
lim
lim f(x) = L khi x → –∞ & lim f(x) = ± ∞ khi x → ± ∞: tương tự
GIỚI HẠN VÔ CÙNG – GIỚI HẠN TẠI VÔ CÙNG
Trang 11
-G hạn trái: x → x 0− ⇔ x → x 0 & x < x 0 (tức x → x 0 từ bên trái)
( ) : lim ( ) )
(
lim
0 0
0 f x f x0 & f x
x x x x x
−
0
x
−
→ x0 x
0
0 & x x x
Minh họa:
VD: Giới hạn trái x → 0− ⇔ x < 0: lim lim 1
0
−
→
−
x x
x
x x
G hạn phải: x → x 0 + ⇔ x → x 0 & x > x 0 (tức x → x 0 từ bên phải)
( ) : lim ( ) )
(
lim
0 0
0 f x f x0 & f x
x x x x x
0
0 & x x x
( − ) ( + ) ( − ) ( + )
0
x f x
f x
f x
f x
f
x x
Mệnh đề:
VD: Khơng tồn tại
x
x
x 0
lim
+
→
−
x x
x
x x
GIỚI HẠN MỘT PHÍA
Trang 12-Giới hạn tổng (hiệu, tích, thương) = Tổng (hiệu, tích, thương) giới hạn: Cho c là hằng số và f(x), g(x): hàm số cĩ giới hạn khi x → a Khi đĩ
0 )
(
lim )
( lim
) ( lim )
(
)
( lim
5
) ( lim )
( lim )]
( ) ( [ lim
4
) ( lim )]
( [
lim
3
) ( lim )
( lim )]
( )
( [ lim
2
) ( lim )
( lim )]
( )
( [ lim
1
≠
=
=
=
−
=
−
+
= +
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
x g
if x
g
x f x
g
x f
x g x
f x
g x f
x f c
x cf
x g x
f x
g x
f
x g x
f x
g x
f
a x a
x
a x a
x
a x a
x a
x
a x a
x
a x a
x a
x
a x a
x a
x
GIỚI HẠN TỔNG – HIỆU – TÍCH – THƯƠNG
Trang 13
-Cho đồ thị 2 hàm số
y = f(x) và y = g(x)
( )x g( )x
f
x
xlim2 , lim1
→
−
→
b/ Tính giá trị các giới hạn
sau nếu chúng tồn tại
y=f(x)
y=g(x)
( ) ( )
[ ] [ ( ) ( ) ] ( ) ( )
x g
x
f x
g x f x
g x
f
x x
/
1
→
→
−
a/ Các giới hạn sau liệu có
tồn tại hay không:
Giải: a/ f ( )x g( )x
x
→
−
→ = Khoâng ∃ b/ 1/ –4 2/ – 3/: Không ∃
VÍ DUÏ
Trang 14-Cho n ∈ N và hằng số a, c Nếu hàm f(x) cĩ giới hạn tại a:
( )
( ) ( ) (nếu n :chẵn, ( ) phải 0) 11
0) phải
a chẵn, :
n (nếu và
>
=
>
=
=
=
=
=
→
→
→
→
→
→
→
→
→
x f x
f x
f
a x
a x
a x
c c
x f x
f
a x
n
a x
n a x
n n
a x
n n
a x
a x a
x
n a
x
n a
x
lim lim
lim
lim
10
lim
9
lim
8 lim
7
lim lim
6
Nguyên tắc thay vào trực tiếp: Nếu f(x) – hàm biểu diễn bởi 1 cơng thức chứa các hàm cơ bản & a ∈ D f ⇒ f ( )x f ( )a
a
→
lim
Tính chất trên là tính liên tục của f(x) (được xét riêng ở bài 3)
GIỚI HẠN HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN
Trang 15-VD: Tìm các giới hạn
2 3
2
3 lim
/ 2
1
2 lim
2 3
1 2
+
− +
−
→
x
x b
x
x a
x x
: 2 2
2
1 lim
:
x
+
±∞
→
( ) ( )
<
>
∞
=
∞
0 lim
α
α
α
x
x
Giới hạn hàm mũ, luỹ thừa khi x → ∞:
−∞
→
∞
→
∞
=
>
±∞
x a
, lim
: 1
−∞
→
∞
∞
→
=
<
<
±∞
x a
,
0 lim
: 1 0
Giải: a/ Thay vào trực tiếp (biểu thức sơ cấp, xác định):
3
1
b/ K0 thể thay vào trực tiếp (b/thức sơ cấp nhưng k0 x/định!):
( ) ( )
2
2 lim
2 1
2 2
1 lim
2 3
2
3 lim
2
1
2
1 2
2 3
−
−
−
=
−
−
−
−
−
= +
−
+
−
→
→
x
x x
x
x x
x x
x
x
x
x x
x
( ) ( )1 2 1 1 2
1 2
1 lim :
; 2
1 0
2
0
1
+
+
=
∞
→
= +
+
=
−∞
→
∞
x x
L x
L x
VÍ DUÏ
Trang 16-GIỚI HẠN HÀM SỐ – NGÔN NGỮ DÃY (PHỔ THÔNG)
-Ngôn ngữ “dãy”: ∀ { }t n :[ t n → x0 ⇒ f ( )t n → a ]
VD: Chứng minh không có giới hạn:
x
b x
a
x x
π
sin lim /
sin lim
/
0
→
∞
→
Nhận xét: Tương tự dùng dãy con chứng minh dãy phân kỳ
a/ 2 dãy: y n = nπ → ∞ z n = π + 2nπ → ∞
2
Đừng nhầm lẫn với ví dụ sau Chứng minh không ∃ n
lim
∞
→
{ }t n n t n x n f ( )t n
∞
→
∞
∃ : lim 0 & lim
{ } { }y n z n y n z n x n f ( )y n n f ( )z n
∞
→
∞
→
Không có giới hạn tại x 0 (Thuận tiện chứng minh không ∃ lim):
Trang 17GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH
-Mũ, ln: lim 1 1
0 − =
x
(1 ) 1
ln lim
0 + =
x
x
a x
lim
→
Lượng giác lim sin 1
x
1 cos
1
0 − =
x
0 =
x
x
Dạng 1∞ : Sử dụng số e ( x) e
x
x x
x
+
→
∞
→
1
0 1 lim
1 1 lim
Cách 1: Dùng số e Cách 2: Lấy ln 2 vế VD:
2 3
2 2
2
2 lim
+
∞
−
x
0 0
1 lim 1
→
∞
→
→
→ =
= +
x x
v x x
x x x
e
Trang 18QUY TẮC LOPITAN: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH
-Dạng vô định : 0/0, ∞/∞, ∞ – ∞, 0.∞, 1∞ , 0 0 → Biến đổi về x/định Phương pháp: Nguyên tắc Lôpitan, vô cùng bé tương đương
Nguyên tắc Lôpitan : Tính giới hạn (tồn tại) dạng 0/0, ∞/∞
( )
)
( lim
"
"
lim )
( '
) (
' lim )
(
)
(
0 0
0
x
f x
g
x
f x
g
x
f x
g
x
f
n
n x
x x
x x
x x
( 1, 0) lim
c/
sin lim
b/
1
1
0 3
+
−
x
a x
x
x x
x
x x
x
a/
:
VD
Chú ý : Đơn giản hoá biểu thức → 0 2 − 2
1 sin
1 lim
x x
x
VD: Tính
Không dùng được Lôpitan khi giới hạn không ∃.
x x
x
x
sin lim
:
VD
+
−
∞
→
Trang 19GIỚI HẠN KẸP
-Giới hạn kẹp ( ) ( ) ( )
( )x h( )x a g x a f
x x
x h x
g x
f
x x x
x x
x
=
⇒
=
=
<
−
∀
≤
≤
→
→
→
) (
lim lim
0 0
0 ε
( ) 0 lim ( ) 0 lim
0
0 0
0
=
⇒
=
<
−
∀
≤
≤
→
→
x
f x
h
x x
x h x
f
x
x x
x
ε
VD: Tìm các giới hạn:
x
x x
x
x
π π
π b/ lim sin c/ lim sin
sin lim
a/
0
→
Giải: a/ Không ∃ b/ Kẹp c/ Đặc biệt:
(π ) ( ) π
π
⋅
=
→
≤
≤
→
∞
t x
x
x x
x
t x
sin lim 1
sin lim c/
0
sin
0 b/
0
x
x
+
∞
→
1 1
lim
