Tự chọn Hình

a Chứng tỏ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và SA⊥BC; b Tính thể tích của khối chóp; HD: - Nêu phương pháp chứng minh H là trực tâm ∆ABC.. Trên đờng thẳng vuông góc với P và đi

Ngày 1 tháng 10 năm 2008

Tiết 1-5 Chuyên đề: THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

I Mục tiêu:

1 Về kiến thức:

- Củng cố và khắc sâu các công thức tính thể tích các khối đa diện

2 Về kỹ năng:

- Rèn luyện kĩ năng tính thể tích khối đa diện, tỉ lệ thể tích, đường cao khối đa diện, …

3 Về tư duy-thái độ:

- Rèn luyện tư duy logic, trí tưởng tượng không gian

- Thái độ cần cù, cẩn thận, chính xác

II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

+ Giáo viên: giáo án, phấn màu, dụng cụ vẽ hình

+ Học sinh: sgk, thước kẻ, kiến thức đã học về thể tích

III Phương pháp dạy học:

- Dùng phương pháp gợi mở vấn đáp xen kẽ hoạt động nhóm

IV Tiến trình bài học:

Phần 1 Tính thể tích các khối đa diện

Tiết 1.

A Bài cũ:

H: Công thức tính thể tích các khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp chữ nhật ?

H: Khái niệm hình chóp đều, hình lăng trụ đều?

B Bài mới:

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Bài 1 Cho hình chóp SABC đỉnh S,

đáy là tam giác cân AB = AC = 3a,

BC = 2a Biết rằng các mặt bên (SAB),

(SBC), (SCA) đều hợp với mặt phẳng

đáy (ABC) một góc 60o Kẻ đường cao

SH của hình chóp

a) Chứng tỏ H là tâm đường tròn nội

tiếp tam giác ABC và SA⊥BC;

b) Tính thể tích của khối chóp;

HD:

- Nêu phương pháp chứng minh H là

trực tâm ∆ABC?

H: Xác định góc giữa các mặt bên và mp

đáy?

Bài 1.

A

C

B

P H

S

N M

Giải:

- Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của

H trên AC, AB, BC

- Khi đó các góc SMH, SNH, SPH bằng nhau và bằng 60o (là góc giữa các mặt bên và đáy) Suy ra các ∆ SMH, SNH,

H: Chứng minh SA BC ?

b) HD: Để tính thể tích khối chóp ta cần

biết các yếu tố nào ?

H: Tính chiều cao và diện tích đáy ?

H: Nêu cách tính SH ? Muốn tính SH

cần biết?

Bài 2 Cho hình chóp đều SABCD, đáy

ABCD là hình vuông có cạnh 2a Cạnh

bên SA = a 5 Một mặt phẳng (P) đi

qua A, B và vuông góc với mp(SCD),

(P) lần lượt cắt SC, SD tại C’ và D’

a) Tính diện tích của tứ giác ABC’D’

b) Tính thể tích của khối đa diện

ABCDD’C’

H: Tính SABC’D’ ?

HD: ABC’D’ là hình gì ? Để tính diện

tích của nó trước hết cần tính các yếu tố

nào ?

HD: Tính C’D’ và IK?

SPH bằng nhau nên HM = HN = HS hay

H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Do AB = AC nên A, H, P thẳng hàng và P là trung điểm của BC;

- Do SH BC, HP BC mà A, H, P thẳng hàng nên (SAH) BC suy ra SA BC

b) ∆ABC cân tại A nên AP BC và

- Do S = p.r nên

Suy ra:

Vậy:

A

C

B

P H

S

N

M

D

C H

S

I K

J

Giải:

- Tứ giác ABC’D’ là hình thang cân Gọi I, K lần lượt là trung điểm của CD

và AB; SI cắt C’D’ tại J

Ta có: (SIK) CD nên (SIK) C’D’ suy

ra KJ CD, KJ AB

Ta có:

Suy ra ∆SIK đều mà KJ giao tuyến

b) Tớnh thể tớch khối đa diện

HD: Đõy là khối gỡ? Cú cụng thức nào

tớnh thể tớch khối đú khụng? Nú là hiệu

của hai khối nào?

C’D’ nờn KJ SI Do đú: KJ = SH =

=

và J là trung điểm của SI suy ra C’D’ = a

b) Ta cú : SJ (ABC’D’) và SJ =a nờn

C BTVN: Bài 3 Khối lăng trụ tứ giỏc đều ABCD.A’B’C’D’ cú khoảng cỏch hai đường thẳng AB và A’D bằng 2 và độ dài đường chộo của mặt bờn bằng 5 a) Hạ AK⊥ A’D (K ∈A’D) CMR AK = 2; b) Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ Bài 4 Cho hình chóp tam giác đều SABC có đờng cao SO = 1 và đáy ABC có canh bằng 2 6 Điểm M, N là trung điểm của cạnh AB, AC tơng ứng Tính thể tích khối chóp SAMN

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Tiết 2.

A Bài tập.

Hoạt động của giỏo viờn Hoạt động của học sinh

Bài 5 Cho hình chóp tam giác SABC

có SA = x, BC= y, các cạnh còn lại đều

bằng 1 Tính thể tích khối chóp theo x,y

H: Tớnh thể tớch khối chúp ?

HD: Cú thể chia thành cỏc khối chúp

nhỏ để tớnh thể tớch

H: Tớnh IJ ?

Bài 6 Cho hình chóp SABC có đáy

ABC là tam giác cân AB = AC = a

Mp(SBC) vuông góc với mp(ABC) và

SA = SB = a

a) CMR tam giác SBC là tam giác

vuông;

b) Cho SC = x Tính thể tích khối chóp

theo a và x

H: Cỏc cỏch chứng minh tgiỏc vuụng ?

HD: Chứng minh trung tuyến SH bằng

một nửa BC ?

H: Tớnh thể tớch khối chúp ?

S

A B

C I

J

Giải.

- Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của

BC, SA, SC ta cú BC (SAI), SA (BCJ) nờn IJ BC

- Sử dụng cụng thức trung tuyến tớnh

A H S

Giải.

a) Gọi H là trung điểm của BC ta cú

Hai tam giỏc vuụng AHC, AHS bằng nhau nờn SH = HC = HB Suy ra SBC vuụng tại S

Bài 7 Cho hình chóp SABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh a,

SA⊥(ABCD) và SA = a 2 Trên cạnh

đáy AD lấy điểm M thay đổi, đặt góc

ACM = α Gọi N là hỡnh chiếu của S

trờn CM Chứng minh N luôn thuộc một

đờng tròn cố định và tính thể tích tứ diện

SACN theo a và α

H : Để chứng minh một điểm thuộc một

đường trũn cố định trong khụng gian ta

c/m ntn ?

H : tính thể tích tứ diện SACN theo a và

α ?

Vậy : V =

A H S

S

M N

Giải.

- Chứng minh được N thuộc đường trũn đường kớnh AC trong mp(ABCD)

=

=

C BTVN:

Bài 8 Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đỏy AB = a và gúc

SAB = 60o.Tớnh thể tớch hỡnh chúp SABCD theo a

B i 9 à Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a, BD = 2

3

a

Trên đờng thẳng vuông góc với (P) và đi qua giao điểm của hai đờng chéo hình thoi, lấy điểm

S sao cho SB = a

a) Chứng minh rằng tam giác ASC là tam giác vuông

b) Tính thể tích hình chóp SABCD

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Tiết 3 Hoạt động của giỏo viờn Hoạt động của học sinh Bài 10 Cho hình tứ diện ABCD có BC = CD = DB, AB = AC = AD Gọi H là chân của đờng cao hình tứ diện xuất phát từ A, K là chân của đờng vuông góc hạ từ H xuống AD Đặt AH = a, HK = b Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo a và b H: Để tớnh thể tớch tứ diện ta cần tớnh cỏc yếu tố nào ? HD: Tớnh độ dài cạnh đỏy? C2: Dựa vào tam giỏc vuụng AHK tớnh được DH, từ đú suy ra độ dài cạnh đỏy của tam giỏc BCD Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC bằng α Cạnh SA = h của hình chóp vuông góc với đáy Lấy trung điểm P của BC và các điểm M, N lần lợt trên B D C I H A K K' Giải: - Đặt CD = x;

Mặt khỏc:

Nờn =

Suy ra:

Vậy:

AB, AC sao cho AM = AN = AP Tính

thể tích của khối chóp S.AMPN

HD: Tớnh diện tớch đỏy ?

HD: Đỏy hợp thành bởi cỏc tam giỏc cú

diện tớch ntn ?

B i 12 à Cho một hình chóp có đáy là

một tam giác vuông cân có cạnh góc

vuông bằng a Mặt bên qua cạnh huyền

vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại

đều tạo với đáy góc 45o

a) CMR hình chiếu vuông góc của đỉnh

hình chóp xuống đáy là trung điểm cạnh

huyền của đáy

b) Tính thể tích của khối chóp ?

H: Chứng minh H là trung điểm của BC

HD: Gúc giữa mp (BSA), (SAC) và đỏy

?

H: Tớnh thể tớch khối chúp ?

C

A

K K'

S

A

B

C N P M

Giải:

- Do ∆ABC cõn tại A cú AP là trung tuyến cũng là phõn giỏc, đường cao nờn

A H S

Giải:

a) - Gọi H là hỡnh chiếu của S trờn BC

Do (SBC) (ABC) nờn SH (ABC) Từ

H kẻ HI, HK lần lượt vuụng gúc với AC,

AB ta cú cỏc gúc SIH, SKH bằng 45o Suy ra hai tam giỏc vuụng SIH, SKH bằng nhau

SI = SK, AI = AK CI = BK

∆SKB = ∆SIB SB = SC nờn H là trung điểm BC

b) Ta cú I là trung điểm của AC nờn HI=a/2 Trong tam giỏc vuụng SHI cú

B BTVN:

Bài 13 Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc ASB bằng

2α Hãy tính thể tích khối chóp.

Bài 14 Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn đờng kính AB = 2R và một điểm M

nằm trên đờng tròn đó sao cho góc MAB bằng 300 Trên đờng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2R Gọi H và K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SM, SB

a) Chứng minh rằng SB vuông góc với mặt phẳng (KHA)

b) Tính thể tích khối tứ diện SKHA

Bài 15 Cho hình chóp tứ giác đều SABCDcó cạnh bên tạo với đáy một góc 60o và cạnh đáy bằng a Tính thể tích của khối chóp?

Phần 2 Tớnh tỉ lệ thể tớch cỏc khối đa diện được phõn chia

A Bài cũ: Nếu A,A’; B, B’; C, C’ lần lượt là cỏc cặp điểm thuộc cỏc tia Sx, Sy,

Sz khụng đồng phẳng thỡ tỉ lệ thể tớch hai khối SABC và SA’B’C’ như thế nào? (HD: Kết quả bài 23/ trang 29- SGK)

B Bài tập

Hoạt động của giỏo viờn Hoạt động của học sinh

Bài 16 Cho hình lăng trụ tam giác đều

ABC.A’B’C’ Trên cạnh A’B’ lấy điểm

M sao cho B’M = 1

2A’B’ Qua M và các trung điểm của A’C’ và BB’ dựng một

mặt phẳng Tính tỉ số thể tích hai phần

của khối lăng trụ do mặt phẳng này chia

ra

H: Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp cắt

bởi (MNQ) ?

H: Tớnh thể tớch khối MB’QNC’P?

H: Suy ra thể tớch V2?

Bài 17 Cho hình lập phơng

ABCD.A’B’C’D’ Thiết diện của hình

lập phơng tạo bởi mặt phẳng đi qua đỉnh

A, trung điểm của cạnh BC và tâm của

mặt DCC’D’ chia khối lập phơng thành

hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần

đó

H: Nờu cỏnh xỏc định thiết diện ?

H: Tớnh thể tớch khối CMNDPA ?

A M S

P

I R

K Q

B

C

D

C' A'

B'

M N Q

P K

B'

D P

C M

I B'

K N

I

Giải :

- Do MN //B’C’ nờn (MNQ) cắt (BCC’B’) theo thiết diện qua Q, // B’C’

- Gọi V, V1, V2 lần lượt là thể tớch cỏc khối ABCA’B’C’, MB’QNC’P và phần cũn lại

- Gọi K là trung điểm AA’, I là giao của KA’ và MQ thỡ i thuộc PN Ta cú :

VA’MNKQP = VIKQP – VIA’MN = -

= V Suy ra : V1= V - V = V

- Suy ra V2 = V - V = V

Do đú :

S

P

I R

K Q

B

C

D

C' A'

B' M N Q

P K

B'

D P

C M

I B'

K N

Giải :

- Giả sử khối lập phương cú cạnh a Gọi

V1 là thể tớch khối CMNDPA, V2 là thể

Bài 18 Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD Gọi M, N, P lần lợt là trung

điểm của các cạnh AD, AB, SC

a) Xác định thiết diện của hình chóp với

mặt phẳng (MNP)

b) So sánh thể tích của hai khối đa diện

do mặt phẳng (MNP) chia ra trên hình

chóp

- Gọi HS lờn bảng vẽ hỡnh và xỏc định

thiết diện

H: Tớnh tỉ lệ thể tớch?

HD: Chia thành cỏc khối chúp tam giỏc

để lập tỉ lệ thể tớch

tớch phần cũn lại Ta cú :

V1 = VPMCN + VPADCM

= + = Suy ra V2 = nờn =

C

D

A M S

P

I R

K

Q

b) Gọi V1, V2 lần lượt là thể tớch khối chúp SMNQPR và khối cũn lai

Từ P kẻ PJ//SD ta cú

RD = PJ = SD Tương tự QB = SB

Ta cú :

Tương tự :

C Củng cố :

- Để tỡm tỉ lệ thể tớch cỏc khối được phõn chia, ta thường tớnh cỏc thể tớch thụng qua thể tớch khối ban đầu

D BTVN :

B i 19 à Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Qua A, B và trung điểm của SC dựng một mặt phẳng Tinh tỉ số thể tích hai phần của khối chóp do mặt phẳng này chia ra

………

………

………

………

………

Phần 3 Tỡm điều kiện để khối đa diện cú thể tớch lớn nhất, nhỏ nhất Hoạt động của giỏo viờn Hoạt động của học sinh GV : Tỡm GTLN, GTNN của thể tớch khối đa diện V yờu cầu phải tỡm được cỏc giỏ trị V1, V2 cố định luụn luụn thỏa món bất đẳng thức :

đồng thời chỉ rừ giỏ trị của đại lượng

biến thiờn đang xột để tại đú thể tớch đạt

giỏ trị lớn nhất V2 hoặc giỏ trị nhỏ nhất

V1

H : Để tỡm GTLN, GTNN của một đại

lượng, cú cỏc phương phỏp nào ?

Bài 20 Trong mp(P) cho đường trũn

đường kớnh AB = 2R Đoạn CA = 2R

vuụng gúc với mp(P) Giả sử EF là

đường kớnh thay đổi của đường trũn đó

cho Tỡm GTLN của thể tớch tứ diện

CAEF

H : Tớnh thể tớch tứ diện CAEF ?

1) Dựng BĐT (Cụ si, BĐT tam giỏc,… ) 2) Dựng đạo hàm để khảo sỏt

F

E

C

H

Giải:

Cỏch 1: Gọi H là chõn đường cao hạ từ

A của tam giỏc AEF Ta cú:

=

Do đú: Vmax khi AH đạt GTLN mà

nờn AH lớn nhất khi H trựng O hay EF vuụng gúc với AB

H : Cú thể tớnh thể tớch theo cỏch khỏc ?

- GV củng cố lại cỏc phương phỏp đó sử

dụng

Bài 21 Cho lăng trụ đều ABCA’B’C’

Tam giac ABC’ có diện tích là 3S và

hợp với mặt đáy góc α

a) Tính thể tích lăng trụ ?

b) S không đổi, cho α thay đổi Tính α

để thể tích lăng trụ lớn nhất ?

H: Tớnh thể tớch lăng trụ ?

HD: Để tớnh thể tớch lăng trụ cần tớnh

cỏc yếu tố nào ?

H: Khi thay đổi, thể tớch lăng trụ lớn

nhất khi nào ?

H: Cỏch tỡm giỏ trị lớn nhất của ?

Vậy : Vmax = khi EF vuụng gúc với AB

Cỏch 2:

- Đặt AE = x

- Khi đú:

=

x = R Vậy: Vmax = khi x = R (EF vuụng gúc với AB)

C

A' C'

B' K

Giải.

a) - Theo cụng thức hỡnh chiếu ta cú

Sđỏy = SABC’.cos = 3Scos

- Gọi K là trung điểm của AB ta cú

CC’ = CK.tan = tan

Vậy : V = Sđỏy CC’= 3Scos

b) Ta cú:

V = 3S

Vmax

lớn nhất.

Khảo sát hàm số ta được kết quả

fmax khi cos =

C Củng cố : Lưu ý một số phương pháp tìm GTLN, GTNN của thể tích

D BTVN

Bài 22 Cho tam giác OAB cân tại O có OA = OB = a, (0o < <90o ) Một điểm C thay đổi trên đt vuông góc với mặt phẳng (OAB) tại O (C O) Gọi H,

K theo thứ tự là trực tâm tam giác OAB, ABC

a) Xác định C để thể tích tứ diện HKAB đạt GTLN

b) Gọi D là giao điểm của HK và OC Tính OC.OD theo a và Xác định C để tứ diện ABCD có thể tích nhỏ nhất

Ngày tháng năm 2008

Tiết 6 Chuyên đề: MẶT CẦU, KHỐI CẦU

I Mục tiêu:

1 Về kiến thức:

- Củng cố và khắc sâu cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện

2 Về kỹ năng:

- Rèn luyện kĩ năng xác định tâm và tính bán kính mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếpkhối

đa diện

3 Về tư duy-thái độ:

- Rèn luyện tư duy lôgic, trí tưởng tượng không gian

- Thái độ cần cù, cẩn thận, chính xác

II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

+ Giáo viên: giáo án, phấn màu, dụng cụ vẽ hình

+ Học sinh: sgk, thước kẻ, kiến thức đã học về mặt cầu, khối cầu

III Phương pháp dạy học:

- Dùng phương pháp gợi mở vấn đáp xen kẽ hoạt động nhóm

IV Tiến trình bài học:

A Bài cũ: Nêu cách phương pháp xác định tâm m/c ngoại tiếp một hình chóp đều

B Bài mới.

Hoạt động 1: Xác định tâm, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Bài 1 Cho hình chóp S.ABC, đường

cao SA, mp(SAB) vuông góc với

Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S.ABC

- Cho HS thảo luận theo nhóm để tìm ra

tâm mặt cầu ngoại tiếp

H: Tính bán kính mặt cầu ?

Bài 2 Cho hai tam giác cân ACD và

BCD có chung đáy CD, các cạnh còn lại

S

A

C

B O

- Do(SAB) (SBC) , (SAB) (ABC), (SBC) (ABC)=BC nên BC (SAB)

BC SB;

nằm trên mặt cầu đường kính SC

- Gọi O là trung điểm SC,ta có R = OS =

bằng a, nằm trong hai mp vuông góc với

nhau; mp(ABC) vuông góc với

mp(ABD) Xác định tâm và tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

HD: Tìm điểm cách đều các đỉnh tứ diện

HD: Lưu ý đặc điểm của tứ diện đã cho

- Gọi HS nhắc lại cách c/m MN là đoạn

vuông góc chung

là góc giữa hai mp vuông góc

(ABC) và (ABD)

- Gọi HS đứng tại chỗ c/m tương tự

S

A

C

B

O

A

B

C

D M

N O

Giải :

- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AB, CD thì MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD

- Tam giác ABC, ABD cân tại C và D nên CM AB, DM AB suy ra

Do đó : MN= ( 1)

- CHứng minh tương tự ta có

nên MN= ( 2)

- Từ (1) và (2) suy ra CD = AB = AN

- Gọi O là trung điểm MN, ta có:

∆OMA = ∆ONC OA = OC

OA = OB = OC = OD.Do đó O là tâm m/c ngoại tiếp tứ diện ABCD Bán kính m/c:

Hoạt động 2: Xác định tâm, tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Bài 3 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a

Xác định tâm I và bán kính r của mặt

cầu nội tiếp tứ diện đã cho

- HD HS đứng tại chỗ trả lời

S

A

C

B

O

A

C

C

D M

N

O

A

B

C D J

I

O

H

- Gọi O là giao điểm của các đoạn thẳng