phương trình lượng giác (LTĐH-CĐ)

Phương trình lượng giác cơ bản 1.. Một số phương trình lượng giác thường gặp 1.. Phương trình bậc hai theo cùng một hàm số lượng giác Đị nh nghĩa... Phương trình bậc nhất theo sinx và

Trang 1

Chuyên đề

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Phần I CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I Các hệ thức lượng giác cơ bản

1) tan sin

cos

α

π

s n

cot

i

α

= , với α ≠kπ

3) tanα.cotα=1, với

2

kπ

α≠

4) sin2α+cos2α=1

5) 12 1 tan2

π

6) 12 1 cot2

α = + , với α ≠kπ

7) sin(α+k2 )π =sinα , k∀ ∈ℤ

8) cos(α +k2 )π =cosα, k∀ ∈ℤ

9) tan(α+kπ)=tanα, k∀ ∈ℤ (biểu thức cĩ nghĩa)

10) cot(α+kπ)=cotα, k∀ ∈ℤ(biểu thức cĩ nghĩa)

II Cơng thức cung cĩ liên quan đặc biệt

1 Cung đối nhau 2 Cung bù nhau

) sin

cos( ) cos

tan( ) tan

si

o

n

t

= −

− =

− = −

cos(

tan(

) sin

c

an

3 Cung hơn kém π

sin(

cos(

) sin

tan(

cot(

) tan ) cot

4 Cung phụ nhau 5 Cung hơn kém

2

π

2

III Các cơng thức lượng giác

1 Cơng thức cộng

cos(a+ =b) cos cosa b−sin sina b

cos(a− =b) cos cosa b+sin sina b

sin(a+ =b) sin cosa b+sin cosb a

sin(a− =b) sin cosa b−sin cosb a

tan tan tan( )

1 tan tan

a b

−

− =

+ (biểu thức cĩ nghĩa)

tan tan tan( )

1 tan tan

a b

+ + =

2 Cơng thức nhân đơi

sin 2a=2 sin cosa a

cos2a=cos a− a= a− = − in a

2

2 tan tan 2

1 tan

a a

a

=

− (biểu thức cĩ nghĩa)

3 Cơng thức hạ bậc

2

a

a= −

, cos2 1 cos 2

2

a

a= +

ta

s

1 co 2

a a

a

−

= + (biểu thức cĩ nghĩa)

4 Cơng thức nhân ba

3

sin 3a=3sina−4sin a

3

cos3a=4cos a−3cosa

3

2

3tan tan tan 3

1 3tan

a a

a

− (biểu thức cĩ nghĩa)

5 Cơng thức biến tích thành tổng

1

2

1

2

1

2

6 Cơng thức biến tổng thành tích

cosα+ β= α β+ co α β−

sinα+ β = α β+ co α β−

Trang 2

sin 2cos n

sinα− β = α β+ si α β−

sin(

cos cos

α β

+

sin(

cos cos

α β

−

*Chú ý Ngồi ra ta cũng chứng minh được các cơng

thức sau:

4

cos sin 2 cos

4

Phần II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I Phương trình lượng giác cơ bản

1 Phương trình sinx = m (1)

• Nếu m >1 thì phương trình (1) vơ nghiệm

• Nếu m ≤1, thay m=sinα Khi đĩ ta cĩ:

2 in

2

x

k

α

= +

− +

=



*Chú ý

• Nếu m ≤1 thì phương trình (1) cĩ nghiệm là

x= m+k π và x=π−arcsinm+k2π

(nên dùng khi m ≤1 mà m khơng phải là giá trị

lượng giác của một gĩc đặc biệt)

• Nếu u=u x( ), v=v x( )là các hàm số theo x thì

ta cũng cĩ:

2 sin s

2

= −

= +

+





Ví dụ Giải các phương trình sau:

a) 3sin 2x+ =1 0; b) sin 2x−cos 3x=0

2 Phương trình cosx = m (2)

• Nếu m >1 thì phương trình (2) vơ nghiệm

• Nếu m ≤1, thay m=cosα Khi đĩ ta cĩ:

cosx=cosα ⇔ = ± +x α k2π

*Chú ý

• Nếu m ≤1 thì phương trình (2) cĩ nghiệm là:

x= ± m+k π (nên dùng khi m ≤1 mà

m khơng phải là giá trị lượng giác của một gĩc

đặc biệt)

• Nếu u=u x( ), v=v x( ) là các hàm số theo x thì

ta cũng cĩ: cosu=cosv⇔ = ± +u v k2π

Ví dụ Giải các phương trình:

a) 3 cosx− =1 0; b) sin 2x+cos 3x=0

3 Phương trình tanx = m (3)

Điều kiện:

2

x≠ +π kπ

Thay m=tanα, ta cĩ: tanx=tanα ⇔ = +x α kπ

*Chú ý

• Với mọi m∈ℝ thì phương trình (3) luơn cĩ nghiệm là x=arctanm+kπ (nên dùng khi m

khơng phải là giá trị lượng giác của gĩc đặc biệt)

• Nếu u=u x v( ), =v x( ) là các hàm số theo x thì ta

cũng cĩ: tanu=tanv⇔ = +u v kπ

a) tan(3x+ =2) 5; b) tan(3x+ =3) tan 3x

4 Phương trình cotx = m (4)

Điều kiện: x≠kπ

Thay m=cotα, ta cĩ: cotx=cotα⇔ = +x α kπ

*Chú ý

• Với mọi m∈ℝ thì phương trình (4) luơn cĩ nghiệm là x=arc cotm+kπ (nên dùng khi m

khơng phải là giá trị lượng giác của gĩc đặc biệt)

• Nếu u=u x v( ), =v x( ) là các hàm số theo x thì ta

cũng cĩ: cotu=cotv⇔ = +u v kπ

a) 3cot(2x− =1) 4; b) cot(2x−1)+cot(3π −x)=0

II Một số phương trình lượng giác thường gặp

1 Phương trình bậc hai theo cùng một hàm số lượng giác

Đị nh nghĩa Là phương trình cĩ một trong các dạng:

(a) asin x2 +bsinx+ =c 0 (b) acos x2 +bcosx+ =c 0 (c) atan x b2 + tanx+ =c 0 (d) acot x b2 + cotx+ =c 0 Trong đĩ: , ,a b c∈ℝ và a≠0; x là Nn số

Cách giải Đặt Nn phụ t là hàm số lượng giác cĩ trong

phương trình, được phương trình bậc hai theo t :

at + + =bt c

Trang 3

Giải phương trình này tìm t , sau đó tìm x

*Chú ý Nếu đặt t =sinx hoặc t=cosx thì điều kiện

của t là t ≤1

2 Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx (phương

trình cổ điển)

Đị nh nghĩa Là phương trình có dạng :

a x+b x=c (5)

Trong đó : , ,a b c∈ℝ và a b ≠0 ; x là Nn số

Cách giải

Cách 1 Chia phương trình cho a2+b2 , ta được :

Đặt:

b

a

α

=

b

b a

α

= + , thay vào (*)

ta được:

si sin cos n cos

a

b

+

) sin(

a

b

+

Phương trình (**) là phương trình lượng giác cơ bản

dạng sin x=m

Cách 2 Vì a và b khác 0 nên giả sử a≠0 Chia

phương trình cho a≠0, ta được:

sinx bcosx c

Đặt: b tan

a = α, thay vào phương trình trên ta được:

sin tan cos c

a

sin

cos

c

a

α

si

sin cos n cos cos

a

Đây là phương trình dạng sin x=m

(Cách giải 2 ít được dùng)

*Chú ý Phương trình (5) có nghiệm ⇔a2+b2≥c2

3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và

cosx

Đị nh nghĩa Là phương trình có dạng:

Trong đó: , ,a b c∈ℝ và a≠ ∨ ≠ ∨ ≠0 b 0 c 0; x là Nn

Cách giải Cách 1 Thực hiện theo 2 bước sau :

• Bước 1 Kiểm tra xem cos x=0, tức là

2

x= +π kπ

có phải là nghiệm của (6) không, nếu

là nghiệm thì ghi nhận nghiệm này

• Bước 2 Xét cos x≠0, chia phương trình (6) cho

2

cos x ta được phương trình bậc hai theo tan x :

2 ta

tan x b nx c 0

a + + = , giải phương trình này tìm nghiệm

Cách 2 Dùng công thức hạ bậc:

Ta có: (6) 1 cos 2 sin 2 1 cos 2 0

(1 cos 2 ) sin 2 (1 cos 2 ) 0

Đây là phương trình cổ điển, đã biết cách giải

*Chú ý

• Đối với phương trình dạng:

ta để ý rằng:

(sin x cos x)

hoặc: 12 1 tan2

từ đó giải tương tự như phương trình (6)

• Khi kiểm tra

2

x= +π kπ

có là nghiệm của (6), ta

không thay

2

x= +π kπ

vào PT mà thay cosx=0 và để ý rằng khi cosx=0 thì sinx= ±1

III Một số chú ý khi giải phương trình lượng giác

Chú ý các biến đổi thường dùng sau đây:

• sinu= −sinv⇔sinu=sin(−v)

• cosu= −cosv⇔cosu=cos(π−v)

• tanu= −tanv⇔tanu=tan(−v)

• cotu= −cotv⇔cotu=cot(−v)

• asinu bcosu 0 tanu b

a

• Nếu trong phương trình chỉ chứa lũy thừa bậc 2

của sinu và cosu ta thường dùng phương pháp hạ

bậc

• Nếu trong phương trình có chứa tích (tổng), thường dùng công thức biến tích thành tổng (tổng thành tích)

Trang 4

Đối với phương trình tích, chú ý xem cĩ thể gộp nghiệm

được khơng

Đối với phương trình cĩ điều kiện, chú ý chọn nghiệm

thỏa mãn điều kiện

BÀI TẬP

I Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1 Giải các phương trình sau trên các miền đã cho:

a) cos 3x−4 cos 2x+3cosx− =4 0, x∈[0;14]

x π

  , x 3 6;

π π

5

x−π

= −

7

;

x  π π 

với x− <1 3

Bài 2 Giải các phương trình:

a) cosx+cos 2x+cos 3x+cos 4x=0

b) sinx+sin 2x+sin 3x=cosx+cos 2x+co 3s x

c) sinx+cosx+1+sin 2x+cos 2x=0

d) sin2x+sin 32 x=cos22x+cos 42 x

e) sin23x−cos 42 x=sin25x−cos 62 x

f) sin6x+cos6x=2(sin8x+cos8x)

a) 4 n xsi 3 +3cos3x−3sinx−sin2xcosx=0

b) cos cos 2 cos 4 cos8 1

16

3

π

d) tan x2 −tan tanx 3x=2

f)

cot

16(1 cos 4 ) cos 2

tan x

x x

−

3

sin

2

x x

x

π π

−

(KA–08)

b) 2sin (1 cosx + 2x)+sin 2x= +1 2c so x (KD–08)

c) (1 sin+ 2x) cosx+ +(1 cos2x) sinx= +1 sin 2x

(Khối A – 2007)

d) 2sin22x+sin7x− =1 sinx (KB – 2007)

2

x

  (KB – 2006) f) cos 3x+cos 2x−cosx− =1 0 (KD – 2006)

g) (1 2sin ) cos+ x 2 x= +1 sinx+cosx (CĐ – 2009)

II Phương trình bậc hai đối với cùng một hàm số lượng giác

a) 3sin22x+7 cos 2x− =3 0 b) cos 2x−5sinx− =3 0 c) cos 2x+cosx+ =1 0 d) 6sin23x+cos12x=4 e) 4sin4x+12cos2x=7 f) 7 tanx−4 cotx−12=0 g) cot x2 +( 3 1 cot− ) x− 3=0

1 2

sin 3 sin 2

x x

x

+

(Khối D – 2005) c) 5sin 3x− =2 3(1 s− inx)tan2x (KB – 2004)

d) cos (2sin 3 2) 2cos2

1 1

1 sin 2

x x

+

−

=

e)

(1 sin cos 2 )sin

1 4

cos

π

  = +

x

(Khối A – 2010)

f) sin 2x+2 tanx=3 g) 4 cos5 cos3 2(8sin 1) cos 5

+ − = (CĐ–10) III Phương trình cổ điển

Bài 7 Giải các phương trình sau:

a) 2 sinx−cosx= 2 b) sin 7x+ 3 cos 7x− 2=0 c) 2sin 2x+3cos 2x= 13 sin14x

d) sin 3x+ 3 cos 3x=2sin 2x (Cao đẳng 2008) Bài 8 Giải các phương trình:

a) sin3x− 3 cos3x=sin cosx 2x− 3 sin2xcosx

(Khối B – 2008)

(1 2sin )(1 sin )

c) sinx+cosxsin 2x+ 3 cos 3x=2(cos 4x+sin3x)

(Khối B – 2009)

d) 3 cos5x−2sin3 cx os 2x−sinx=0(KD–2009) Bài 9 Tìm các nghiệm thuộc khoảng 2 ;6

π π

phương trình: cos 7x− 3 sin 7x= − 2

Trang 5

a) 3sin 3x− 3 cos 9x= +1 4sin33x

cos

x

cos sin

x

d) 9sinx+6c so x−3sin 2x+cos2x=8

a) sin 2x+2 cos 2x= +1 sinx−4 cosx

b) 2sin 2x−cos 2x=7 sinx+2 c so x−4

c) sin 2x−cos 2x=3sinx+cosx−2

d) sin 2x−cos 2x+3sinx−cosx− =1 0 (KD–10)

a) (sin 2x+cos 2 ) cosx x+2cos 2x−sinx=0

(Khối B – 2010)

6

s 2



 c) 1 cot 2 1 cos 22

sin 2

x x

x

−

d) 4(sin4x+cos4x)+ 3 sin 4x=2

Bài 13 Cho PT: 2sin2x−sin cx osx−cos2x=m

a) Giải phương trình khi m= −1

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương

trình có nghiệm

Bài 14 Cho phương trình sinx+mcosx=1 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m= − 3

b) Tìm m để (1) vô nghiệm

c) Xác định m để nghiệm của (1) cũng là nghiệm

của phương trình msinx+cosx=m2 (2)

Bài 15 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) sin cos 1

y

=

y

=

Bài 16 Cho hàm số sin 1

y

x

+

=

+

a) Khi k=2, hãy tìm GTLN, GTNN của hàm số

b) Tìm tất cả các giá trị của k để GTNN của hàm

số bằng 2−

Bài 17 Tìm các giá trị 3 ;

4

x  π π

  thỏa mãn phương

trình sau với mọi m :

2sinx msin2x m2cosx cos2x cos sinx

IV Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx

a) sin2x−sin 2x−3cos2x=0

b) 6 ins 2x+sin cosx x−cos2x=2

c) sin 2x−2sin2x=2cos 2x

d) 4sin cos 4sin( )cos 2sin 3

 

 

a) 2 is n3x+4cos3x=3sinx

b) cos2x− 3 sin 2x= +1 sin2x

c) cos3x−4sin3x−3cos sinx 2x+sinx=0 d) 3cos4x−4sin2xcos2x+s ni 4x=0

a) cot 1 cos 2 sin2

1 tan

1 sin 2 2

x

+

2 cos 2

x

c) cos x3 −4cos2xsinx+cos sinx 2x+2sin3x=0 d)

3 2

3

1 cos 1

a

i

t n

s n

x x

x

−

=

−

Bài 21 Cho phương trình:

2( 1) sin cos (

sin x+ m− x x− m+1) c so x=m

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Giải phương trình khi m=2

-

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	156,3 KB