Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó..
Trang 1HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)
VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
BÀI 2: CỰC TRỊ
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
BÀI 3: MAX-MIN
VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Giới thiệu sơ sơ về BĐT
BÀI 4:TIỆM CẬN
BÀI 5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ
BÀI 6: SỰ TƯƠNG GIAO
BÀI 7: BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
BÀI 8: BIỆN LUẬN BẰNG ĐỒ THỊ
BÀI 9: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc
BÀI 10: CÁC DẠNG ĐẶNG BIỆT
VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m)
VẤN ĐỀ 2: Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua
VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua
VẤN ĐỀ 4: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên
VẤN ĐỀ 5: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b
VẤN ĐỀ 6: Đối xứng tâm-trục
VẤN ĐỀ 7: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)
VẤN ĐỀ 8: Khoảng cách
VẤN ĐỀ 9: Quỹ tích
Trang 2BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
1 Đinh nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
2 Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I
3 Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I
a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I
b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I
c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y′ Tìm các điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
VD: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) y = x3 − 3 x2 − 9 x + 5
=
−
=
⇒
=
−
−
⇔
=
3
1 0
9 6 3 0
x
x x
x y
• Vậy: hàm số đồng biến: ( −∞ ; − 1 )và( 3 ; +∞ ), Hàm số nghịch biến: ( − 1 ; 3 )
b) y = x3 − 3 x2 + 3 x + 7, D=R
• y ' = 3 x2 − 6 x + 3 Cho y ' = 0 ⇔ 3 x2 − 6 x + 3 = 0 ⇒ x = 1
• Vậy: hàm số luơn đồng biến trên D
c) y = x4 − 2 x2 − 1
• D=R
=
=
⇒
=
−
⇔
=
1
0 0
4 4 0
x
x x
x y
Trang 3• Vậy: hàm số tăng :( − 1 ; 0 )và ( 1 ; +∞ ) , Hàm số giảm: ( −∞ ; − 1 )và ( 0 ; 1 )
d) y = x4 − 2 x3 + 2 x + 1 , D=R
−
=
=
⇒
= +
−
⇔
=
2 1
0 0
2 6 4 0
x
x x
x y
• Vậy: hàm số tăng : ; )
2
1 ( − +∞ , Hàm số giảm: )
2
1
; ( −∞ −
• Vậy: hàm số giảm: ( 0 ; 1 )và ( 1 ; 2 ), Hàm số tăng: ( −∞ ; 0 )và ( 2 ; +∞ )
e)
1
1
−
+
=
x
x
y D=R \ { }
• ' ( 2 1 )2 < 0
−
−
=
x
y
• Vậy: hàm số luôn giảm trên ( −∞ ∨ +∞ ;1 ) ( 1; )
f)
1
2 2
2
−
+
−
=
x
x
x
y D=R \ { }
2
) 1 (
2 '
−
−
=
x
x x
=
=
⇒
=
−
⇔
=
2
0 0
2 0
x
x x
x y
y
−∞
-2
−∞
+∞
2 +∞
• Vậy: hàm số giảm: ( 0 ; 1 )và ( 1 ; 2 ); Hàm số tăng: ( −∞ ; 0 )và ( 2 ; +∞ )
g) y = 4 x − 2 D ∈ [ − 2 ; 2 ]
4
'
x
x y
−
−
= Cho y ' = 0 ⇔ x = 0
Trang 4• Vậy: hàm số giảm: (0;2), Hàm số tăng: ( − 2 ; 0 )
h) y = x 4 − x , D ∈ ( −∞ ; 4 ]
•
x
x x
x x
y
−
−
=
−
−
−
=
4 2
3 8 4
2 4
3
8 0
3 8 0 ' = ⇔ − x = ⇒ x = <
y
• Vậy: hàm số tăng: )
3
8
; ( −∞ , Hàm số giảm: ; 4 )
3
8 (
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) y = − 2 x2+ 4 x + 5 b) 2 5
x
d) y x = 3− 2 x2+ − x 2 e) y = − (4 x x )( − 1)2 f) y x = 3− 3 x2+ 3 x − 1
4
y = x − x − h) y = − − x4 2 x2+ 3 i)y = 4 x3− 3 x2+ 2 x − 1
5
x
y
x
−
=
−
=
−
5 2
x y
1 1 1
y
x
= −
−
2
y
x
+ +
=
1 3 1
x
= − + −
2
3
y
x
− +
=
Bài 2 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) y = − 6 x4+ 8 x3− 3 x2− 1 b) 22 1
4
x y x
−
=
2 2
1 1
y
− +
= + +
d) y 2 x21
x
−
x y
=
− + f) y x = + + 3 2 2 − x
g) y = 2 x − − 1 3 − x h) y x = 2 − x2 i) y = 2 x x − 2
k) y 13
x
= j)y 14
x
= n) y = − + 1 x 4 x2− 4 x + 2
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến
trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)
Cho hàm số y f x m = ( , ), m là tham số, có tập xác định D.
• Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y′≥ 0, ∀x ∈ D.
• Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y′≤ 0, ∀x ∈ D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu y ' = ax2+ bx c + thì:
Trang 50 0 ' 0,
0 0
a b c
a
= =
≥
≥ ∀ ∈ ⇔
>
≤
∆
•
0 0 ' 0,
0 0
a b c
a
= =
≤
≤ ∀ ∈ ⇔
<
≤
∆
3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x ( ) = ax2+ bx c + :
• Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
• Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =
2
b a
− )
• Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai g x ( ) = ax2+ bx c + với số 0:
• 1 2
0
0
S
>
< < ⇔ >
<
∆
0
0
S
>
< < ⇔ >
>
∆
• x1< < 0 x2 ⇔ < P 0
5) Để hàm số y ax = 3+ bx2+ + cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:
+TH1: a=0
+TH2:a≠0
• Tính y′.
• Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
0 0
a
≠
>
• Biến đổi x1− x2 = d thành ( x1+ x2)2− 4 x x1 2 = d2 (2)
• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
VD1: Định m để hàm số luơn đồng biến
a) y = x3 + 3 x2 + mx + m
• y ' = 3 x2 + 6 x + m
Hàm số luơn đồng biến
>
=
≤
∆
⇔
≥
⇔
0 1
0 ' 0
'
a
• Vậy: với m≥3 thì hs luơn đồng biến trên D
b) y = mx3 − ( 2 m − 1 ) x2 + ( m − 2 ) x − 2
• y ' = 3 mx2 − 2 ( 2 m − 1 ) x + m − 2
Hàm số luơn đồng biến
TH1: m=0 khơng thoả mãn
TH2: m ≠0 thì
Hàm số luơn đồng biến
>
=
≤
∆
⇔
≥
⇔
0 3
0 ' 0
'
m a
y
>
≤
−
− +
−
⇔
0
0 ) 2 ( 3 1 4
4 2
m
m m m
m
>
≤ +
⇔
0
0 ) 1
m
m
0
>
⇔ m
KL: Vậy: với m>0 thì hs luơn đồng biến trên D
Trang 6c)
m
x
mx
y
+
+
= 4, D=R \ { − m }
2
) (
4 '
m x
m
y
+
−
= Hàm số luôn đồng biến ⇔ y ' > 0 ⇔ m2− 4 > 0 ⇒ m m > < − 2 2
• Vậy: với m m > < − 2 2 thì hs luôn đồng biến trên D
VD2: Định m để hàm số luôn nghịch biến:
x m
mx x y
−
+ +
= 2 3
• D=R \ m { }
2 2
) (
3 2
'
m x
m mx x
y
+
+ + +
−
=
Hàm số luôn nghịch biến
<
−
=
≤
∆
⇔
<
⇔
0 1
0 ' 0
'
a
y ⇒ m2 + m2 + 3 ≤ 0(điều không thể)
• Vậy: không tồn tại m để hs luôn nghịch biến trên D
VD3: Định m để hàm số y = x3 + 3 x2 + ( m − 1 ) x + 4 m nghịch biến trong ( - 1; 1)
• y ' = 3 x2 + 6 x + m − 1
Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1)⇔ y ' ≤ 0và x1 < − 1 < 1 < x2
<
<
−
⇔
0 ) 1 (
0 ) 1 (
af af
<
− +
+
<
− +
−
⇔
0 ) 1 6
3
(
3
0 ) 1 6
3
(
3
m
m
−
<
<
⇔
8
4
m
m
8
−
<
⇒ m
• Vậy: m<−8 thì hs nghịch biến trong ( - 1; 1)
VD4: Định m để hàm số y = x3 + ( m − 1 ) x2 − ( 2 m2 + 3 m + 2 ) x tăng trên ( 2 ; +∞ )
• y ' = 3 x2 + 2 ( m − 1 ) x − ( 2 m2 + 3 m + 2 )
Hàm số tăng trên ( 2 ; +∞ ) ⇔ y ' ≤ 0và x1 < x2 ≤ 2
<
≥
>
∆
≤
∆
⇔
2 2
0 ) 2 (
0 '
0 '
S
af
<
−
−
≥ + +
−
>
+ +
≤ + +
⇔
2 2
3
) 1 ( 2
0 ) 6 2
( 3
0 1 7 7
0 1 7 7
2 2 2
m
m m
m m
m m
−
>
≤
≤
−
⇔
5
2 2
3
m
m
2 2
−
2
− m thì hs tăng trên ( 2 ; +∞ )
VD5: Định m để hàm số y = x3 + 3 x2 + mx + m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
• y ' = 3 x2 + 6 x + m
Trang 7Hàm số nghịch biến trên một khoảng cĩ độ dài bằng 1.⇔ y ' ≤ 0và x1 − x2 = 1
4
3 1
4 4
3 1
4
0 3
9
=
−
<
⇒
=
−
>
−
m
m P
S
m
• Vậy:
4
3
=
m thì hs nghịch biến trên một khoảng cĩ độ dài bằng 1
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác
định) của nó:
3
x
2
x y x
−
= +
1
y
x
+ −
=
y
x m
− −
=
−
Bài 2 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác
định) của nó:
a) y = − + 5 x cot( x − 1) b) y = cos x x − c) y = sin x − cos x − 2 2 x
Bài 3 Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của
nó:
a) y x = 3− 3 mx2+ ( m + 2) x m − b) 3 2 2 1
x m
+
=
−
d) y mx 4
x m
+
=
y
x m
− −
=
2
y
− +
=
−
Bài 4 Tìm m để hàm số:
a) y x = 3+ 3 x2+ mx m + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1
y = x − mx + mx − m + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3
3
y = − x + m − x + m + x − đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4
Bài 5 Tìm m để hàm số:
3
x
y = + m + x − m + x + đồng biến trên khoảng (1; +∞)
b) y x = 3− 3(2 m + 1) x2+ (12 m + 5) x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞)
+ đồng biến trên khoảng (1; +∞).
d) y x m
x m
+
=
− đồng biến trong khoảng (–1; +∞).
2
y
− +
=
− đồng biến trên khoảng (1; +∞).
y
x
− − +
=
+ nghịch biến trên khoảng 1 ;
2
− +∞
.HD:
Xét TH1:y ′ < 0 ta có a<0
Trang 8( y ′ = 0không sảy ra vì nếu như vậy thì hàm số tử chia được cho mẫu xét riêng)
2
y ′ > ∀ > − x (a<0)
⇔
0
0
1 2
a
<
∆ >
< ≤ −
0 0 1
2 1
a
a f
a
∆ >
<
⇔ − ÷ ≥
= − < −
g)
3
2 1
2
3sin 2
y = − a + a x + x + tìm a hàm số luôn đồng biến
i) y = 4 x3− 6 x cos a2 2 + 3 sin 2 x sin a 6 + ln(2 a a − 2) xét dấu 1
2
( )
f ′
4
y = mx − cos x m − x x + cos x tìm m hàm số nghịch biến với mọi x
1
+
1 2
−