Ôn tập nhẹ nhàng phần THỂ TÍCH ĐA DIỆN và sự BIẾN THIÊN HÀM SỐ

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - Cạnh bên vuông góc đáy thì cạnh bên là chiều cao - Mặt bên vuông góc đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt bên đó và đáy.. - Hình chóp đều, hình chóp có

1

2

của các em

Kể từ hôm nay, các em sẽ lần lượt trải qua những thử thách

khó khăn của cuộc sống Thử thách đầu tiên các em phải trải qua đó

là kì thi đại học Đây là một thử thách không có chổ cho những suy

nghĩ bồng bột, lười nhác…

Để giúp các em có sự chuẩn bị tốt hơn, thầy đã soạn ra tuyển tập các chuyên đề ôn thi đại học Môn Toán

Hy vọng những chuyên đề mà thầy soạn, sẽ giúp các em trang

bị tốt hơn kiến thức, giúp các em có thể vượt qua thử thách đầu tiên của cuộc đời một cách dễ dàng hơn

Đây là lần đầu tiên thầy soạn chuyên đề, nên không tránh khỏi sai sót…các em đọc và góp ý để thầy chỉnh sửa kịp thời, để các em

khóa sau có sự chuẩn bị tốt hơn các em nhá

Chúc các em học tốt

Thầy Xuân

Địa chỉ: H40/47 K543 TÔN ĐỨC THẮNG, Đ NẴNG

ĐT: 0975.050.027 FACEBOOK: facebook.com/nobi39 FAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán “Mỗi tuần một chuyên đề”

2

3 PHẦN 1 GIẢI TÍCH

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN

Bài 1 ĐƯỜNG THẲNG

I Phương trình đường thẳng

1 Định nghĩa:

- Phương trình được gọi là

phương trình tổng quát của đường thẳng

- Cho Khi đó đường thẳng qua có một trong 2 dạng sau:

khác phía so với d

cùng phía so với d

5 Bài 2 ĐỊNH LÝ VI ET VÀ ỨNG DỤNG



 {

6 CHƯƠNG II: HÀM SỐ

BÀI 1 SỰ BIẾN THIÊN HÀM SỐ

I Các định nghĩa, định lý

1 Định nghĩa sự biến thiên

Cho hàm số xác định trên ( có thể là hoặc …)

a Hàm số được gọi là đồng biến trên nếu:

+ Nếu đồng biến trên thì

+ Nếu nghịch biến trên thì

+ Nếu không đổi trên thì

Định lý 2

+ Nếu thì hàm số đồng biến trên

+ Nếu thì hàm số nghịch biến trên

+ Nếu thì hàm số không đổi trên

7

II Các bài toán thường gặp

1 Bài toán 1 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm

không chứa tham số

Hàm số đồng biến trên các khoảng:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng:

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

9

d

√

Tập xác định

√

Bảng biên thiên Kết luận: Hàm số đồng biến trên

Ví dụ 2: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số sau

√

Ví dụ 3: Chứng minh rằng a Hàm số √ nghịch biến trên

b Hàm số sau đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

c Hàm số

Đồng biến trên

11

2 Bài toán 2

Vận dụng tính đơn điệu để tìm cực trị hàm một biến

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số trên

khoảng

B1 Tính đạo hàm

B2 Giải phương trình

B3

 Lập bảng biến thiên (nếu K là khoảng, nửa khoảng)

 Tính các giá trị đặc biệt nếu K là đoan

B4 So sánh và kết luận

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau

trên

Giải

Hàm số liên tục trên

Ta có

Vậy

tại tại

12

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau

a trên

b √ trên

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau √

Giải TXĐ:

√ ( √ )

Ta có

Vậy tại

tại

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau a √

b √

13

Định lý

a Hàm số đơn điệu ( trên

Khi đó phương trình có nhiều nhất một nghiệm trên

b Hàm số đơn điệu ( trên

Khi đó ta có

3 Bài toán 3

Vận dụng tính đơn điệu để giải phương trình

Ví dụ 1: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm

√

Phân tích Những phương trình chứa căn Trước khi làm các

em nên dùng Casio 570 ESPL để đoán nghiệm

Đối với phương trình này, ta bấm thấy vô nghiệm

Do đó ta liên tưởng tới cách làm sau

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm

14

Ví dụ 2: Giải phương trình

√

Phân tích Những phương trình chứa căn Trước khi làm các

em nên dùng Casio 570 ESPL để đoán nghiệm

Đối với phương trình này, nghiệm

Dùng hàm để chứng minh nghiệm duy nhất

Phương trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm

Phương trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm

Ta có

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Kĩ năng này, sẽ được thầy rèn luyện và định hình cho các em ở

chuyên đề pt và hpt sau này

16

Do đó có thể vận dụng b để giải phương trình này

Giải

Điều kiện

√

Xét hàm

Hàm số đồng biên trên

Ta có √ và √

√

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Ví dụ 6: Giải phương trình √

Phân tích Vế phải có dạng hàm

Ta sẽ kiểm tra xem vế trái có dạng đó không?

Vế trái cũng có dạng trên Do đó có thể vận dụng b để giải phương trình này Giải Điều kiện

√

Xét hàm

Hàm số đồng biên trên

Ta có √ và √

√

Vậy }

17

Nhận xét

Ví dụ trên nhằm giúp các em làm quen với việc nhận dạng

hàm số

Nên thầy đã cố tình không rút gọn ở 2 vế của phương

trình (2) Vào bài toán cụ thể, các em có thể rút gọn để giải phương

trình trên nhanh chóng hơn

Ta có

Thế vào ta đƣợc nghiệm của hệ đã cho là

{( ) }

19

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

{ √

Giải Điều kiện

√

Xét hàm

Ta có (√ )

Thế vào (2) ta được

Vậy nghiệm của hệ đã cho là }

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình { √ √

Phân tích Phương trình (1) có dạng hàm Nhưng bị thiếu yếu tố để đưa ra phương trình đặc trưng Để giải quyết thiếu sót đó ta có thể cộng hoặc từ vế theo vế 2 phương trình trong hệ Giải Điều kiện

Cộng vế theo vế cả hai phương trình trong hệ ta được √ √

Xét hàm √

√

Phương trình (*) có nghiệm duy nhất

Ta có nên là nghiệm duy nhất của

Với

Vậy nghiệm của hệ là }

Chú ý: khoảng xác định của hàm phải chứa

khoảng điều kiện của

Phải ở về 2 vế của hệ Nếu có căn thức thì thường nhân liên hợp

22 Bài 2 CỰC TRỊ HÀM SỐ

I Cực trị

Cho hàm số liên tục trên

Khi đó:

Điểm được gọi là điểm cực tiểu của hàm số

trên khoảng nếu thì Và được

gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

Điểm được gọi là điểm cực đại của hàm số

trên khoảng nếu thì Và được

gọi là giá trị cực đại của hàm số

Chú ý:

Các điểm cực đại, cực tiểu gọi chung là các điểm cực trị

Nếu là một điểm cực đại (cực tiểu) thì ta nói rằng hàm số

đạt cực đại (cực tiểu) tại

1 Dấu hiệu 1

đổi dấu từ dương sang âm qua thì là điểm cực đại đổi dấu từ âm sang dương qua thì là điểm cực tiểu không đổi dấu trên thì hàm số không có cực trị

Bảng biến thiên

Tại thì hàm số không có đạo hàm Điểm cùng với

nghiệm của phương trình được gọi là điểm tới hạn của hàm

số

Hàm số đạt cực trị tại điểm các điểm tới hạn nếu đạo hàm qua điểm đó đổi dấu

26 Bài 3 ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Hàm số đồng biến trên khoảng

Hàm số nghịch biến trên các khoảng

33 III Đồ thị

1 Phương pháp

Cho hàm số

Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

34

3 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

35

Ví dụ 2: Cho hàm số

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

Bài 2 Chứng minh rằng các hàm số sau đồng biến (nghịch

biến) trên mỗi khoảng xác định của nó

 Tính đạo hàm, giải phương trình

 Lập bảng biến thiên trên trên

 Dựa vào BTT và kết luận Min,Max (có thể không tồn tại

đồng thời Min và Max)

38

Câu 6 Giải phương trình sau

a √

b √ √

c √

d √

Câu 7 Giải phương trình a √ √

b √ √ √

c √

d

Câu 8 Giải phương trình a √

b √

c √

d √

Câu 9 Giải phương trình a √

b √

c √

d (√ )(√ √ )

Câu 10 Giải hệ phương trình a {

√

b { ( )

√

39

c {( √ )( √ )

√ √

d { √ √

e { √ √ √ √

Câu 11 Tìm cực trị của các hàm số sau a

b

c

d

e

f

g

Câu 12 Tìm cực trị của các hàm số sau a

b

c √

d √

e √

f | |

g

Câu 13 Tìm để các hàm số sau a đạt cực tiểu tại

b đạt cực đại tại

40

c đạt cực đại tại

d đạt cực tiểu tại

Câu 14 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau a

b

c

d

e | |

f | | | |

Câu 15 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau a

b

c

d | |

Câu 16 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau a

b

c

41

Phần 2 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

BÀI 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Tam giác

1 Diện tích

Cho có độ dài các cạnh là Khi đó

a √

b

c √

d thì √

với là nửa chu vi tam giác 2 Các định lý a Định lý cos

b Định lý sin

c Định lý đường trung tuyến

d Đường cao trong tam giác vuông

đường cao

43 BÀI 2 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

- Cạnh bên vuông góc đáy thì cạnh bên là chiều cao

- Mặt bên vuông góc đáy thì chân đường cao nằm trên giao

tuyến của mặt bên đó và đáy

- Hai mặt bên vuông góc đáy, thì đường cao là giao tuyến 2

mặt bên đó

- Hình chóp đều, hình chóp có mặt bên hợp với nhau các góc

bằng nhau, hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao

là tâm của đáy

3 Tính chất đặc biệt của hình chóp tam giác ( tứ diện)

44

II Bài tập

1 Hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy

Ví dụ 1 Cho hình chóp có đáy đều cạnh

vuông góc đáy Biết √

45

Ví dụ 2

Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh √ vuông góc đáy lần lƣợt là trung điểm Tính theo thể tích hình chóp

Cho hình chóp có tam giác vuông cân ở

√ , vuông góc với đáy

1 Tính thể tích của khối chóp S.ABC

2 Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng () qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lƣợt tại M, N Tính thể tích của khối chóp S.AMN

Suy ra

( ) √

48

Ví dụ 6

Cho hình chóp tam giác có

Các mặt bên cùng tạo với đáy một góc

600.Tính thể tích của khối chóp

Giải

Xét tam giác ta có

Suy ra vuông tại

Gọi là trung điểm Khi đó là tâm

Bài 3 Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác

đều cạnh a, và vuông góc với mặt phẳng Gọi

và lần lƣợt thuộc các và sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Tính thể tích của khối chóp theo

Bài 4 Cho hình chóp có đáy là tam giác ABC đều cạnh

a,  tạo với mặt đáy một góc bằng 300

Tính thể tích khối chóp theo

Bài 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

B, góc ̂ , cạnh ACa 3 Góc giữa SB với mặt đáy bằng 0

60 Tính thể tích khối chóp

Bài 6 Cho hình chóp có đáy là hình vuông

cạnh , có  , Góc giữa với mặt đáy bằng

Bài 8 Cho hình chóp có đáy là hình vuông,

 và AC2a Góc giữa với mặt đáy

bằng 300 Tính theo

Bài 9*.(B – 2006 )Cho hình chóp có đáy là

hình chữ nhật với a 2 và vuông góc với mặt phẳng Gọi và lần lƣợt là trung điểm của và ; Chứng minh rằng mặt phẳng ) vuông góc với mặt phẳng Tính thể tích của khối tứ diện

50

Bài 10 Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh

̂ cạnh bên vuông với mặt đáy, mặt phẳng tạo với mặt phẳng một góc Tính theo thể tích khối chóp

Bài 11 Chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh

bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600 Hãy tính thể tích của

khối chóp đó

Bài 12 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông

cân tại , có Mặt bên vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450 Tính thể tích khối chóp

Bài 13 Cho tam giác vuông cân ở và Trên

đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng lấy điểm

sao cho Mặt phẳng qua vuông góc với , cắt tại và cắt Chứng minh Tính thể tích khối tứ diện

Bài 14 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại

√ góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng tam giác cân tại thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích hình chóp

Bài 15 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật,

√ góc giữa và mặt đáy là Gọi

Hình chiếu của lên mặt phẳng đáy là trung điểm của

Tính thể tích hình chóp

Bài 16 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh

Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh Gọi là giao điểm của Biết , √ Tính thể tích khối chóp

Bài 17 Cho khối chóp tứ giác đều Một mặt phẳng ()

qua và trung điểm của Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó

Bài 18 Cho hình chóp tứ giác đều , đáy là hình vuông

cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc Gọi là trung điểm Mặt

phẳng đi qua và song song với , cắt tại E và cắt SD tại F

Tính thể tích khối chóp

51

Bài 19 Cho hình chóp có đáy là hình vuông

cạnh a, SA vuông góc đáy, √ Gọi là hình chiếu của A lần lƣợt lên Mặt phẳng cắt tại Chứng minh

Tính thể tích khối chóp

Bài 20 Cho hình chóp tứ giác đều có

√ Gọi lần lƣợt là trung điểm của Chứng minh Tính thể tích khối tứ diện theo a

Bài 21 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại

vuông góc đáy, √ Gọi là trọng tâm tam giác Tính thể tích khối chóp

Bài 22 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật,

√ Hình chiếu vuông góc của lên là điểm thuộc cạnh sao cho Biết góc giữa và bằng Tính thể tích khối chóp

Bài 23 Cho hình chóp có đáy là tam giác là

hình vuông, tam giác vuông tại và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy Biết và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc Tính thể tích khối chóp

Bài 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a gọi M là trung điểm của AB Biết hai mặt phẳng (SDM) và

(SAC) cùng vuông góc với mặt đáy, mặt phẳng (SBD) tạo với mặt đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Bài 25 Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh

tâm ̂ 2 mặt phẳng cùng vuông góc với đáy, mặt phẳng tạo với đáy một góc

√ Tính thể tích của khối chóp

Bài 26 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật,

Gọi Hình chiếu vuông góc của

lên đáy là trung điểm của Biết mặt phẳng tạo với đáy một góc Tính theo thể tích hình chóp