Khảo sát hàm số ôn thi ĐH

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I... • Giả sử hàm số

1 Đinh nghĩa:

Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

2 Điều kiện cần:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I

3 Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số.

– Tính y′ Tìm các điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

Bài 2. Xét chiều biến thiên của các

hàm số sau:

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

x y x

−

=+

12

x y

x y x

−

=

−

2 2

11

2x 1

y = x−

y= 3 2 2

y = + +x −x

f)

k) l)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số , m là tham số, có tập xác

định D.

• Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y′≥ 0, ∀x ∈ D.

• Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y′≤ 0, ∀x ∈ D.

Từ đó suy ra điều kiện của m.

• Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

• Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = )

• Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x)

khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai với số 0:

5) Để hàm số có độ dài khoảng

đồng biến (nghịch biến) (x 1 ;

x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các

bước sau:

• Tính y′.

• Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

(1)

• Biến đổi thành (2)

• Sử dụng định lí Viet đưa (2)

thành phương trình theo m.

• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc

tập xác định) của nó:

00

a b c

00

a b c

x

y= y−=22x x x+−+21 x+

2 31

hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó:a) b) c)

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau

luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó:

a) b) c)

f)

Bài 4. Tìm m để hàm số:

a) nghịch biến trên một

khoảng có độ dài bằng 1

b) nghịch biến trên một

khoảng có độ dài bằng 3

c) đồng biến trên một

khoảng có độ dài bằng

4

Bài 5. Tìm m để hàm số:

a) đồng biến trên khoảng

f) nghịch biến trên khoảng

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

• Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥, ≤ ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định.

• Xét dấu f′ (x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.

• Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f′ (x) thì ta đặt h(x) = f′ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h′ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.

2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).

Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

x m

+

=+

HD: a) Xét hàm số

b) Xét hàm số

f(x) đồng biến trong khoảng

và ∈

c) Xét hàm số với x > 1.

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

• Chọn được nghiệm x 0 của phương trình.

• Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ) Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến Khi đó (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x 0 Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.

Bài 1. Giải các phương trình sau:

HD: a, b) Xét hàm số

c) Xét hàm số

d) Xét hàm số f(t) = tant + t

I Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ⊂ R) và x0 ∈ D.

a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x0 ∈ (a; b) sao cho

f(x) < f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x0 ∈ (a; b) sao cho

f(x) > f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f′ (x0) = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc

không có đạo hàm.

III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm

trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0

b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0

2 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f′ (x0) = 0 và

có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f′′ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

b) Nếu f′′ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1.

• Tìm f′ (x).

• Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

• Xét dấu f′ (x) Nếu f′ (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

• Tính f′ (x).

• Giải phương trình f′ (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …).

• Tính f′′ (x) và f′′ (x i ) (i = 1, 2, …).

Nếu f′′ (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i

Nếu f′′ (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f′ (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm.

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f′ (x) đổi dấu khi x đi qua x 0

Chú ý:

• Hàm số bậc ba có cực trị

⇔ Phương trình y′ = 0 có hai

nghiệm phân biệt.

Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

+

+ , trong đó Ax + B là

phần dư trong phép chia y cho y′.

• Hàm số = (aa′≠ 0) có cực trị

⇔ Phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác

y=3 x2 −2 x2 1

y = x1 −3 x4+2 x15−3

y= x3 2+

2 1

x y x

=+

P x

Q x

''

b a

−

Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

hoặc

• Khi sử dụng điều kiện cần để

xét hàm số có cực trị cần phải

kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

• Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là

định lí Vi–et.

Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:

a) b) c) d)

a) có cực đại, cực tiểu

b) có cực đại, cực tiểu

c) đạt cực đại tại x = 2

d) có một cực đại

e) đạt cực tiểu khi x = 2

f) có cực đại, cực tiểu

g) có một giá trị cực đại bằng 0

Bài 3.Tìm m để các hàm số sau không

có cực trị:

c)d)

a) đạt cực tiểu bằng 0 tại x =

0 và đạt cực đại bằng tại x = b) có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = c) đạt cực trị bằng –6 tại x = –1

d) đạt cực trị tại x = 0 và x

0 0

0

( )( )

21

b) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:

c) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:

a) có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu

b) có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất

c) có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả

d) có

a) có hai điểm cực trị là A, B và

b) có 3 điểm cực trị là A, B,

C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm

c) có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung Chứng minh hai điểm cực trị luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành

d) có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10

e) có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường thẳng y = 2x

f) có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất

a) có hai điểm cực trị cách đều trục tung

b) có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

c) có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d):

d) có hai điểm cực trị nằm

ở hai phía đối với đường thẳng (d):

a) có hai điểm cực trị ở

trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ.

b) có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ

c) có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ

d) có hai điểm cực trị nằm

ở hai phía của trục hoành (tung)

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba

• Chia f(x) cho f′ (x) ta được: f(x) = Q(x).f′ (x) + Ax + B.

• Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì:

⇒ Các điểm (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.

2) Hàm số phân thức

• Giả sử (x 0 ; y 0 ) là điểm cực trị thì

• Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là:

Bài 1.Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :

Bài 2.Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

cực trị của đồ thị hàm số:

c) d)

a) có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + 1

b) có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng y = –4x

P x y

Q x

='( ) 2

− +

=+

2

y x

c) có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7.

d) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (∆):

a) Nếu hàm số f đồng

biến trên [a; b] thì

b) Nếu hàm số f nghịch

biến trên [a; b] thì

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

• Tính f′ (x).

• Xét dấu f′ (x) và lập bảng biến thiên.

• Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].

• Tính f′ (x).

• Giải phương trình f′ (x) = 0 tìm được các nghiệm x 1 , x 2 , …, x n trên [a; b] (nếu có).

• Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ).

• So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức

Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số

• Chứng minh một bất đẳng thức.

• Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở

thành đẳng thức.

Bài 1. Giả sử Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

HD: ⇔

⇒ S ≥ 5 Dấu “=”

xảy ra ⇔ x = 1, y = Vậy minS = 5.

Bài 3. Cho D = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x y x

−

=

−

11

x y x

−

=+

11

x x y

x x

− +

=+ −

x y

x y

13

3min

4

D P=

5( ; ) / 0, 0,

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị

Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.

Gọi y 0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà

ta có các điều kiện tương ứng

Thông thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m ≤ y 0≤ M (3)

Vì y 0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

d)

VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có Khi đó:

1) Hệ phương trình có nghiệm ⇔ m

5) Bất phương trình f(x) ≤β đúng với mọi x ⇔ M ≤β.

Bài 1. Giải các phương trình sau:

92

11

a) b) c) d)

Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R:

c)

Bài 4. Cho bất phương trình:

a) Tìm m để bất phương trình

có nghiệm thuộc [0; 2]

b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2]

Bài 5. Tìm m để các bất phương trình sau:

a) có nghiệm b) có nghiệm x ∈ [0; 2]

c) nghiệm đúng với mọi x ∈

1 Định nghĩa:

Điểm đgl điểm uốn của đồ thị

hàm số y = f(x) nếu tồn tại một

khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp

tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm

phía dưới đồ thị

2 Tính chất:

• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm

cấp hai trên một khoảng chứa

điểm x0, f′′(x0) = 0 và f′′(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì là một điểm uốn của đồ thị hàm

số

• Đồ thị của hàm số bậc ba (a

≠ 0) luôn có một điểm uốn và

đó là tâm đối xứng của đồ thị

Bài 1. Tìm điểm uốn của đồ thị các hàm số sau:

a) b) c) d) e) f)

Bài 2. Tìm m, n để đồ thị của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra:

a) ; I(1; 2) b) ; I(1; 3)c) ; I(1; 4)

d) ; e) ; I(1; 0) f) ; I(–1; 2)

Bài 3. Tìm m để đồ thị của các

hàm số sau có 3 điểm uốn:

a) b)

Bài 4. Chứng minh đồ thị

của các hàm số sau có

3 điểm uốn thẳng hàng:

b) có điểm uốn ở trên đường thẳng

c) có điểm uốn ở trên Ox

x y

+

=+ +2

11

x y x

+

=+

2 2

1

y x

−

=+

2

2 11

x y x

+

=+

x y x

=+

2 2

2 51

31

y x

+

=+

3

x y

y= − x +mx +n

V ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

1 Định nghĩa:

• Đường thẳng đgl đường tiệm cận

đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả

mãn:

• Đường thẳng đgl đường tiệm

cận ngang của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

;

• Đường thẳng đgl đường tiệm

cận xiên của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

• Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang

• Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên

b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng

các công thức sau:

x y x

x y

x y

=

− 2+

29

x y

4 51

y x

3 2

11

y x

+ +

=+

4 3

41

y x

x y x

−

ln2

y=ln( 2 −5 − 6)

y= x − x+

Bài 5. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:

a) b) c) d) e)f)

để đồ thị của các hàm số sau có tiệm cận xiên:

Bài 7. Tính diện tích của tam

giác tạo bởi tiệm cận xiên

của đồ thị các hàm số sau chắn trên hai trục toạ độ:

Bài 8. Tìm m để tiệm cận xiên của

đồ thị các hàm số sau tạo với

các trục toạ độ một tam giác có diện tích S đã chỉ ra:

a) ; S = 8b) ; S = 8c) ; S = 16d) ; S = 4

Bài 9. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị

của các hàm số đến hai tiệm cận bằng một hằng số:

c)

1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

• Tìm tập xác định của hàm số

• Xét sự biến thiên của hàm số:

2

3 2( 1) 4

x y

x y

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác định.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

• Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương)

– Tính y′′

– Tìm các điểm tại đó y′′ = 0 và xét dấu y′′

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua) Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị

2 Hàm số bậc ba :

• Tập xác định D = R

• Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

• Các dạng đồ thị:

• Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng

• Các dạng đồ thị:

y ax= +bx + +cx d a≠

y

x 0

I

y

x 0

I

y ax= +bx +c a≠

4 Hàm số nhất biến :

• Tập xác định D =

• Đồ thị có một tiệm cận đứng là và một tiệm cận ngang là Giao điểm của

hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

• Các dạng đồ thị:

5 Hàm số hữu tỷ :

y

x 0

y

x 0

y

x 0

= −a

y c

b R a

= −

y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

y′ = 0 vô nghiệm

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

y y= −= − +x2x44 24x x2+2+28

y= − x + x +

12

x y x

+

=+

2 11

x y x

+

=

−

34

x y

x

−

=+

3 13

x y x

−

=+

1

y x

+ +

=+

1

y x

+ −

=+

111

−

=+

x y x

1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1 Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và

(C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị

2 Đồ thị hàm số bậc ba cắt

trục hoành tại 3 điểm

Bài 2. Biện luận theo m số giao

điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

c) cắt nhau tại hai điểm

có hoành độ trái dấu

d) cắt nhau tại hai điểm có

hoành độ trái dấu

e) cắt nhau tại hai điểm

thuộc hai nhánh khác nhau

f) cắt trục hoành tại hai điểm

phân biệt có hoành độ dương

Bài 4. Tìm m để đồ thị các hàm số:a) cắt nhau tại ba điểm

phân biệt

b) cắt trục hoành tại ba

điểm phân biệt

c) cắt trục hoành tại ba

VII MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

VII MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

2 4

x y x

x y x

x y x

điểm phân biệt.

d) cắt nhau tại ba

điểm phân biệt

e) cắt nhau tại ba điểm

phân biệt

Bài 5. Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) cắt nhau tại bốn điểm

phân biệt

b) cắt trục hoành tại bốn

điểm phân biệt

c) cắt trục hoành tại bốn

điểm phân biệt

Bài 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số:

a) cắt nhau tại hai điểm phân

biệt A, B Khi đó tìm m để

đoạn AB ngắn nhất

b) cắt nhau tại hai điểm phân

biệt A, B Khi đó tìm m để

đoạn AB ngắn nhất

c) cắt nhau tại hai điểm

phân biệt A, B Khi đó

tính AB theo m

Bài 7. Tìm m để đồ thị của các hàm số:

a) cắt trục hoành tại ba điểm

có hoành độ lập thành một

cấp số cộng

b) cắt nhau tại ba điểm

A, B, C với B là trung

điểm của đoạn AC

c) cắt trục hoành tại bốn

điểm có hoành độ lập thành

một cấp số cộng

d) cắt trục hoành tại

ba điểm có hoành độ

lập thành một cấp số nhân

e) cắt trục hoành tại ba

điểm có hoành độ lập

thành một cấp số nhân

2 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

• Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)

• Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:

Dạng 1: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m (1)

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)d: y = m

• d là đường thẳng cùng phương với trục hoành

• Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm

của (C) và d Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Dạng 2: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = g(m) (2)

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k

Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m

Dạng 3: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = kx + m (3)

(k: không đổi)Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)d: y = kx + m

• Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương

với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m)

• Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C)

có hệ số góc k

• Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, …

để biện luận

Dạng 4: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m(x – x0) + y0 (4)

Khi đó (4) có thể xem là phương trình

hoành độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)d: y = m(x – x0) + y0

• d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0)

• Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, …

của (C) đi qua M0

• Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận

VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các

dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo

m số nghiệm của phương trình:

a) b)

c) d)

e) f)

Bài 2. Khảo sát sự biến

thiên và vẽ đồ thị

(C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

o sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số

nghiệm của phương trình:

theo m số nghiệm của phương trình:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của

(C) vuông góc với đường thẳng

c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:

Bài 7. Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ

đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của

(C) vuông góc với đường thẳng

c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

Bài 8. Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ

đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1)

c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị

Cơ sở của phương pháp: Xét

phương trình bậc ba: (a ≠ 0)

(1)

Gọi (C) là đồ thị của hàm

số bậc ba:

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành

Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3

• Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm ⇔ (C) và Ox có 1 điểm chung