chuyen de ham so on thi ĐH_CĐ

Trang 1

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ

CHUYÊN ĐỀ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K

a) f được gọi là đồng biến trên K nếu:

 x , x1 2K , x < x 1 2  f(x ) < f(x )1 2

b) f được gọi là nghịch biến trên K nếu:

 x , x1 2K , x < x 1 2  f(x ) > f(x )1 2

2 Định lí: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f đồng biến trên I thì: f'(x)  0, x   K

b) Nếu f nghịch biến trên I thì: f'(x)  0, x   K

3 Định lí: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f'(x)0, x   thì f đồng biến trên I I

b) Nếu f'(x)0, x   thì f nghịch biến trên I I

c)Nếu f'(x)0, x   thì f không đổi trên I I

-Tính đạo hàm f’(x) Tìm các điểm xi mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

-Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập BBT

-Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Trang 2

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ a)Hàm số yx 1x2 đồng biến trên khoảng 1; 1

2

x - 2x

2-x - 2x + 3

x + 2e) y =

1x

Bài 9 Xét chiều biến thiên của các hàm số:

a) y = x - 2x + 3 2 b) y = x + 1

x - 1c) y = x - 4 2 d) y = x 1 - x 2

DẠNG 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SÔ

PP:

Sử dụng các kiến thức sau đây:

1.Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

Trang 3

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ Nếu f x'( )0, x K thì f(x) đồng biến trên K

Nếu f x'( )0, x K thì f(x) nghịch biến trên K

2.Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức  b24ac Ta có:

a

m m

Trang 4

Trang 5

Trang 6

+ m 0 y'   m = 0 thỏa yêu cầu bài toán 6 0

+ m  5 y' 60x  m = - 5 không thỏa yêu cầu bài toán 6





  luôn đồng biến

Trang 7

Lời giải:

TXĐ: DR\ 1 

Trang 8

Trang 9

Trang 10

Trang 11

Trang 12

Trang 13

m m

 Vậy: m   thì hs nghịch biến trong ( - 1; 1) 8

Bài 27 Định m để hàm số y x3(m1)x2(2m2 3m2)x tăng trên (2; )

5

m m

Trang 14

2' 2(m 2)

   Ta xét

Bài tập tự giải:

Bài 1 Tìm các giá trị của tham số a để hàm số   1 3 2

4x + 33

Bài 5 Cho hàm số 12 Chứng minh rằng hàm số luôn nghịch biến trên R với mọi m

Bài 6 Tìm m để hàm số y = 3x3 – 2x2 + mx – 4 đồng biến trên khoảng 

Trang 15

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 0

1

xy x

DẠNG 1: TÌM CỰC TRI CỦA HÀM SỐ

*) Điểm tới hạn là điểm mà tại đó y =0 hoặc không xác định ,

*) Điều kiện tồn tại cực trị

y  f (x) có cực trị  y  f (x) có cực đại và cực tiểu

 f x  có 2 nghiệm phân biệt    b0 2  3ac > 0

*) Hàm số có cực đại cực tiểu tại điểm tới hạn khi tại điểm đó y đổi dấu ,

PP:

Cách 1:

- Tính đạo hàm y’ = f’(x) Tìm các điểm tới hạn xi :

- Lập bảng xét dấu của f’(x)

- Tại mỗi điểm xi mà qua đó nếu:

a) f ’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó b) f ’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó c) f ’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại điểm đó Cách 2:

- Tìm TXĐ của hàm số

- Tính f x Giải phương trình '( ) f x  và ký hiệu '( ) 0 x i i 1, 2,3, là các nghiệm của nó

- Tính f x và f x i

- Dựa vào đấu của f x i suy ra tính chất cực trị của điểm x i

Chú ý: Cách 2 chỉ sử dung khi xét dấu của y khó hoặc để thử xem điểm , x có là điểm cực i

trị hay ko

Chú ý: Giá trị cực đại, cực tiểu không phải là giái trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên D,

nó chỉ là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên (a,b) nào đó chứa điểm tới hạn

Bài tập

Bài 1 Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng quy tắc I:

Trang 16

Bài 2 Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng quy tắc II:

DẠNG 2: CỰC TRỊ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN CỰC TRỊ HÀM

Trang 17

Do đó : đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là dm : y = ax +b

+ Tìm m thỏa điều kiện K

x

g x  x  ax có các điểm a

cực trị nằm xen kẽ nhau

Giải: f x x22x3 ;a g x x2  Ta cần tìm a sao cho g(x) có 2 nghiệm phân x a

biệt x1 x2 và f (x) có 2 nghiệm phân biệt x3x4 sao cho

Trang 18

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ Hàm số có CĐ, CT  g x  có 2 nghiệm phân biệt    0  g m32 0m 3

Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có:

       2  2 

Với m  3 thì phương trình g x  có 2 nghiệm phân biệt x  0 1, x2 và hàm số

y  f (x) đạt cực trị tại x1, x2 Ta có: g x 1 g x 2  nên suy ra 0

m  thì phương trình g x  có 2 nghiệm phân biệt x  0 1, x2 và hàm số

y  f (x) đạt cực trị tại x1, x2 Ta có: g x 1 g x 2  nên suy ra 0

 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (): y 3m12xm m 1 1 2  m

Để cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y  4x thì ()  (d)

Trang 19

f x  x  xm  có 2 nghiệm phân biệt

    9 3m2 0 m  3 Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

Nếu    0 cosa3sinacosa 0 sinacosasin2acos2a (vô lý) 0

Vậy  > 0 a  f (x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số có CĐ, CT

2 Theo Viet ta có: x1x2 3sinacos ;a x x1 2  4 1 cos 2  a

Trang 20

2 Gọi các điểm cực trị là x1, x2 Tìm Max của A x x1 2 2x1 x2

    nên f (x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1,

x2 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với các điểm cực trị là A x y ;  1, 2 B x y Thực hiện  2, 2

Trang 21

Với điều kiện này thì f x  có 2 nghiệm phân biệt x0 1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại

x1, x2 Theo định lý Viet ta có: x1x2 2 ;m x x1 2 m suy ra:

- Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tạix1, x2

phương trình y'  0 có hai nghiệm pb là x1, x2

 Pt x2 2 (m 1 )x 3  0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2

3 1 0

3 )

Trang 22

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ Theo định lý Viet ta có: x1x22 ;m x x1 2 m suy ra:

Trang 23

Nên SIAB đạt giá trị lớn nhất bằng 1

2 khi sinAIB = 1 hay tam giác AIB vuông cân tại I 1

m

m m

+ Tìm đk để 'y =0 có 3 nghiệm phân biệt

Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:    .    

Trang 24

Do phương trình f x  có 1 nghiệm đơn x  2 và 1 nghiệm kép x  1 0

nên hàm số có đúng 1 cực trị tại x  2 Mặt khác f  2 36 suy ra 0 fCT  f  2  25 Vậy hàm số có cực tiểu fCT  25 và không có cực đại

Trang 25

4

x m

Nghiệm của phương trình f x  0

cũng là hoành độ giao điểm của

Bài 8 (Đề thi dự bị ĐH khối A năm 2004)

Tìm m để hàm số yx4 2m x2 2 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân 1

T

B C

Đ

C C

Trang 26

Bài 9 (ĐHDB – 2004) Cho hàm số yx42m x2 2 Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị 1

là ba đỉnh của một tam giác vuông cân

Giải:

Đáp số: m  1

Bài 10

Giải

Trang 27

Bài 11.Cho hàm số y 1x4 mx2 3

   (1)Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại

Trang 28

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A0;m2 5m 5 , B 2 m;1 m, C 2 m;1 m

Hàm số có CĐ, CT  PT f x ( ) 0 có 3 nghiệm phân biệt  m 2 (*)

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A0;m2 5m 5 , B 2 m;1 m, C 2 m;1 m

 

Bài 15 Cho hàm số yx4 2mx2m 1 có đồ thị (Cm) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Giải

Trang 29

Bài 16 Cho hàm số yx4 2mx2 2m m 4 có đồ thị (Cm) Với những giá trị nào của m thì

đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4

Hàm số có 3 cực trị y'  0 có 3 nghiệm phân biệt  g m 0 m 0 (*)

Với điều kiện (*), phương trình y 0có 3 nghiệm x1  m x; 2 0;x3 m Hàm số đạt cực trị tại x x x1; 2; 3 Gọi A(0; 2m m 4 );B m m; 4 m2  2m C ;  m m; 4 m2  2m là 3 điểm cực trị của (Cm)

AB  AC m m BC  m ABC cân đỉnh A Gọi M là trung điểm của BCM(0;m4m2 2 )m AM  m2 m2

Vì  ABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:

Trang 30

-

2

2'

g x

A

e g d

y x

e x

y x

e x

2 2

ax

b y

d b y

Trang 31

Bài 1: Cho hàm số

2( 2)2

Hàm số (1) có cực trị  (*) có 2 nghiệm phân biệt x2m 0

Với m 0: (*) có 2 nghiệm phân biệt x 2 m

O tọa thành một tam giác vuông tại O

Trang 32

    có hai nghiệm phân biệt khác 2 m 0

Gọi A x y 1; 1; B x 2; y là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 2

Giải:

Trang 33

Trang 34

 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu tại x x 1, 2

và thỏa mãn điều kiện y1 y2  8

Trang 35

Đáp số:

1

12

32

m m

Đồ thị (Cm) có 1 điểm thuộc II và 1 điểm cực trị thuộc IV

 (1) có 2 nghiệm phân biệt x x sao cho: 1, 2

Trang 36

00

Trang 37

Trang 38

x

 

 ; Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương trình (x – 2)2 – m = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2 m 0

Với m > 0 phương trình (1) có hai nghiệm là:

Trang 39

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(2 m;2m2 m); B(2 m;2m2 m)Khoảng cách từ A và B tới d bằng nhau nên ta có phương trình:

2

m m

Trang 40

Bài 14: (ĐH – A 2005) Cho đồ thị hàm số

1

x

  (Cm) ,với m là tham số thực Tìm m để hàm số (Cm) có cực trị và khoảng cách

từ điểm từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng 1

2

Giải:

Đs: m = 1

CHUYÊN ĐỀ 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT

Phương pháp1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một đoạn (a,b)

 Tìm tập xác định

 Tính

 Giải phương trình (các điểm tới hạn ) và tính giá trị tại các điểm tới hạn

 Lập bảng biến thiên , căn cứ bảng biến thiên GTLN,GTNN

Phương pháp 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một đoạn ?

 Tính

 Giải phương trình , để tìm các nghiệm

Trang 41

 GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa tìm

 GTNN là số bé nhất trong các giá trị vừa tìm

Ví dụ:

a) Tìm giá trị lớn nhất , giá tẹi nhỏ nhất của hàm số:

b) Tìm giá trị lớn nhất , giá tẹi nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn

Trang 42

(Khi a = 0 ta có tiệm cận ngang)

*Chú ý: + Hàm đa thức bậc 3, bậc 4 không có tiệm cận; hàm hữu tỷ ac 1

B Bài tập

Bài 1: Tìm TCN và TCĐ của đồ thị hàm số y = 2 1

2

x x

Trang 43

Bài 2 : Tìm phương trình tiệm cận của y =

2 2

3 2



 g) y = 2 2

1

x x

Trang 44

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ i) y =

A LÝ THUYẾT

I) Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn :

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a;b) & có đồ thị là (C):

1)f”(x) < 0, x(a;b) (C) là đồ thị lồi trên (a;b)

2) f”(x) > 0, x(a;b) (C) là đồ thị lõm trên (a;b)

3) f”(x) đổi dấu khi x đi qua x0  U(x0;f(x0)) là điểm uốn của đồ thị (C)

* Chú ý: Tại x0, f”(x0) có thể tồn tại hoặc không tồn tại

II) Điều kiện để đồ thị (C): y = f(x) có một số tính chất:

1) (C) luôn luôn lồi (lõm)  f”(x) < 0 (hoặc > 0) trên D

2) Đồ thị (C) có điểm uốn  f”(x) đổi dấu trên D

3) U(x0;f(x0)) là điểm uốn của (C)

y có ba điểm uốn thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng

đi qua ba điểm uốn

Bài 4: CMR đồ thị (C):

1 x



 có ba điểm uốn thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng

đi qua ba điểm uốn

Bài 5: Tìm a, b để (C): y ax 3 bx 2 x 2



 có điểm uốn I(1,-1)

Bài 6: Tìm a, b, c, d để (C): y  x 4  ax 3  bx 2  cx  d có hai điểm uốn là U1(1;1);U2(3;-7) Bài 7: Cho hàm số : y x 3 ax 2 bx c

Trang 45

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ 1) Có hai điểm uốn

2) Không có điểm uốn

Bài 9: Cho hàm số: 5 4

y x  x  x a , a là tham số Tìm a để đồ thị hàm số nhận các điểm sau làm điểm uốn:

1) U(1;-1)

2) M(0;-2)

Bài 10: Cho hàm sốy  x 3  3mx 2  9x 1  (1) với m là tham số

Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1

(ĐH Khối D – 2004)

CHUYÊN ĐỀ 6 KHẢO SÁT HÀM SỐ

O

x y

O

x y

O

x y

O

PP:

-TXĐ

Trang 46





   

Dấu của y’

y’ + 0 - 0 +

Đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng: ( ; 2)(0; và nghịch biến trên khoảng (- )2; 0)

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -2  yCđ= y(-2) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0  yCT = y(0) = -4

Trang 47

- Giao điểm với Oy:

Cho x = 0  y = -4

- Giao với Ox:

Cho y = 0 giải phương trình:

x3 + 3x2 – 4 = 0  1

2

x x

-2

O 1

-1 -2

-2 -3 -4

Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 + 3x + 2

* Tập xác định: DR

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y'3x26x 3

Giải phương trình: 'y  0  3x2 6x  3 0  phương trình có nghiệm kép:

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0  y = 2

- Tâm đối xứng của đồ thị: ''y 6x6 y '' 0 6x   6 0

O 1 2

-1

Trang 48

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = - x3 + 3x2 - 4x +2

* Tập xác định: DR

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y ' -3x 2 6x - 4

Giải phương trình : y’= 0  -3x2 +6x – 4 = 0  Phương trình vô nghiệm

 y’< 0  x D  Hàm số luôn nghịch biến trên D

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0  y = 2

- Tâm đối xứng của đồ thị: y'' 6x6 y  '' 0 6x 6 0

x y

O

Trang 49

O

x y

O

x y

Trang 50

- Chiều biến thiên: ' 2

E y



+) Nếu E > 0  y  x' 0  D  Hàm số luôn đồng biến trên D

+) Nếu E < 0  'y  0  x D  Hàm số luôn nghịch biến trên D

 Tính giới hạn lim

d x c

- 

+ 

a c

* Đồ thị:

- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y

- Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành: cho y =0 Giải phương trình:



 > 0 x D h/s đồng biến/D

- h/s không có cực trị

- Giới hạn và tiệm cận

Tiêu đề	Chuyên đề hàm số Ôn thi ĐH-CĐ
Tác giả	Nguyễn Đức Kiên
Trường học	Trường Đại Học Thái Bình
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Chuyên đề
Thành phố	Thái Bình

Định dạng
Số trang	84
Dung lượng	2,94 MB