đồ thị hàm số ôn thi đại học

day la bo chuyen de khao sat su bien thien va ve do thi ham so va cac bai toan lien quan

Trang 1

& Hang xém ngudneg mo

@ Ban bé khan phuc

@ Ban than sung swdne

y

Y

Ậ

Trang 2

GV.Luu Huy Thuong 0968.393.899

Hàm số ƒ đồng biến trên K « (Yz.z„ € Ấ.z¡ < #¿ = ƒ(#) < ƒ())

Hàm số ƒ nghịch biến trên K © (Y+,.z, € K,x, <2, => ƒ(#) > ƒ(z,))

2 Điều kiện cần:

Giả sử ƒ có đạo hàm trên khoảng /

a) Nếu ƒ đồng biến trên khoảng íthì ƒ'(z) > 0.Vz € f

b) Nếu ƒ nghịch biến trên khoảng /thì ƒ'(z) < 0.Vz € 1

3.Điều kiện đủ:

Giả sử ƒ có đạo hàm trên khoảng L

a) Nếu ƒ'(z) > 0.Vz €/ (ƒ'(z) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì ƒ đồng biến trên I

b) Nếu ƒ'(z) < 0 Vz €í (ƒ'(z) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì ƒ nghịch biến trên I

c) Nếu ƒ'(z) = 0.Vz € /,Vxe Ithì ƒ không đối trên I

Chú ý: Nếu khoảng ï được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì ƒ phải liên tục trên đó

~ Tính y“ Tìm các điểm mà tại đó y “= 0 hoặc y“ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)

~ Lập bảng xét dấu y “(bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

4)y= }zt—2z?—I 1 5} =—z!—2z? +3 6)u= +z!+-Lz?—2 10 10

Trang 3

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

Cho ham sé y = ƒ(+.rn), m là tham số, có tập xác định D

¢ Ham số ƒ đồng biến trên D © y^>0, t% e D

e Hàm số ƒ nghịch biến trên D © y<0, bx € D

Từ đó suy ra điều kiện của m

Chú ý:

1) y“= 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điếm

2) Nếu ụ' = ax” + br + thi:

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai q(z) = ar’ +br +e:

e Nếu 1< 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a

e Nếu 1= 0 thì q(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = ->)

e Nếu 4> 0 thì g(x) có hai nghiệm x„ x; và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác đấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a

4) So sánh các nghiệm +.+„ của tam thức bậc hai g(+) = az” + bz + c với số 0:

e Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m

e Giải phương trình, so với điều kiện (1) đế chọn nghiệm

Trang 4

a

3)y= -= +(m — I)rŸ + (m + 3)+ — 4 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4

HT4 Tìm m dé ham sé:

ljy= = +(m + Dx? —(m + 1)z +1 đồng biến trên khoảng (1; +)

2) ụ = + —3(2m + 1)z? + (12m + 5)z + 2 đồng biến trên khoảng (2; +e)

BAI TAP TONG HOP - NANG CAO

HTS Cho hàm số ÿ = 2° + 327 — mx — 4 (1).Tim tat cd cdc gid tri cla tham số m để hàm số (1) đồng biến trên

Trang 5

GV.Luu Huy Thưởng 0968.393.899

VAN DE 2: CU’C TRI CUA HAM SO

Khi đó ƒ(z¿) được gọi là giá trị cực đại (cực đại) của ƒ

2) zạ ~ điểm cực tiểu của ƒ nếu tồn tại khoảng (a:ở) C D và zụ € (a:b) sao cho

f(z) > flay), Va € (a:b) \ (29)

Khi đó ƒ(z¿) được gọi là giá trị cực tiếu (cực tiếu) của ƒ

3) Nếu zụ là điểm cực trị của ƒ thì điểm (zạ: ƒ(z¿)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số ƒ

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số ƒ có đạo hàm tại z„ và đạt cực trị tại điểm đó thì f'(%) = 09

Chú ý: Hàm số ƒ chỉ có thế đạt cực trị tại những điếm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

II Điểu kiện đủ đế hàm số có cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số ƒ liên tục trên khoảng (a:b) chứa điểm zạ và có đạo hàm trên (a;ở) \ (z,„]

1) Nếu ƒ'(z) đối dấu từ âm sang dương khi z đi qua zạ thì ƒ đạt cực tiếu tại zạ

2) Nếu ƒ'(z) đối dẫu từ dương sang âm khi z đi qua z„ thì ƒ đạt cực đại tại z„

2 Định lí 2: Giả sử hàm số ƒ có đạo hàm trên khoảng (a:b) chứa điểm zạ, ƒ '(z„) = () và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm zụ

1) Nếu ƒ”(zạ) < (thì ƒ đạt cực đại tại zụ

2) Néu f"(z,) > Othi f dat cuc tiéu tai 2,

I CAC DANG TOAN

Dang toan 1: Tìm cực tri của hàm số

Trang 6

1 Nếu hàm số ụ = ƒ(z) đạt cực trị tại điểm zạ thì ƒ'(z„) = tì hoặc tại z„ không có đạo hàm

2 Đế hàm số ụ = ƒ(z) ) đạt cực trị tại điểm x, thì ƒ'(z) đối dấu khi z đi qua rụ

Chú ý:

¢ Ham sé bac ba y = ar® + br? + ex +d có cực trị Phương trình `" = (\ có hai nghiệm phân biệt

Khi đó nếu xe là điểm cực trị thì ta có thé tính giá trị cực trị y(xe) bằng hai cách:

Trang 7

GV.Lưu Huy Thưởng (0968.393.899

HT 13 Tìm a.b.c.đ đế hàm số:

1) ụ =a#) +hư? + c+ +ả đạt cực tiếu bằng 0 tại z = 0 và đạt cực đại bằng —— tại r= —

2) y = ar! +b” +c c6 dd thi di qua gc toa dé Ø và đạt cực trị bằng -9 tai x = V3

2y= sah — mz" + mz = l đạt cực trị tại hai diém ,, 2,2 sao cho: lr, —”| >8

3)y= =mz" -(m-1)2" + 3m —2)r + — đạt cực trị tại hai điểm z,.z„ sao cho: z, +2z; = 1

HT 16 Tim m để đồ thị hàm số :

1) = =z) + mz? —4 có hai điểm cực trị là A, B và 4Ø? = —

2) y=2' — mer” +4 +m có 3 điểm cực trị 1a A, B, C va tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm

BAI TAP TONG HOP VA NANG CAO

HT 17 Tim m dé dé thi ham sé:

1) ụ=??Ì + mx” —12+z —13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung Ð/s: rm = 0

2) = z” —3m+ˆ + 4mŸ có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

Trang 8

Trang 11

VẤN ĐỀ 4: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

Dang toán 1: Dùng đồ thi hàm số biên luận số nghiêm phương trình

s Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = gfx) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điễm của (C1) : y = f(x) va (C,): y = s(z)

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C,): ự = ƒ(z) và (C,) : = s()

e Đế biện luận số nghiệm của phương trình F(x,m) = 0 (*) bang dé thi ta biến đối (*) về dạng sau:

ed la đường thẳng cùng phương với trục hoành y7

s Dựa vào đồ thị (€) ta biện luận số giao điểm

của (C) và đ Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Bài tập cơ ban

HT 22 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương

Trang 12

a

Dang toán 2: Tìm điều kiên tương giao giữa các đồ thi

1.Cho hai d6 thi (C,): = f(z) và (C;): y = s(z) Để tìm hoành độ giao điểm của (C,)và (C,) ta giải phương trình:

f(x) = a2) (*) (goi 1a phương trình hoành độ giao điểm)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị

1) y = (2 =-1)(2? — mr + m? —3) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

2) y = mữŠ + 3m#2 — (1 = 2m)+ — 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

3) = + +2r + mz + 2m:y = z +2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

4) = +? +2r? —2r + 2m — 1: ụ = 2z? —+z +2 cắt nhau tại ba điếm phân biệt

HT 26 Tim m dé đồ thị các hàm số:

1) = zÍ—2z —1: y = mm cắt nhau tại bốn điểm phân biệt

2) ụ= zỶ —m(m + 1)r? + mỸ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

3) ụ= zỶ—(2m —3)z? + mỸ — 3m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

HT 27 Biện luận theo zn số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

Trang 13

thirc P = OA? + OB? dat gid tri nhé nhat

(C) cat duéng thang A : 2mr = 2y + m +1 = 0, cắt đồ thị (C) tại hai điếm phân biệt 4, 8 sao cho biếu

HT 30 Cho ham sé y = =*=() Goi / 1a giao diém cua hai tiém can Tim trén dé thi (C) hai diém A, B sao cho tam giac

HT 31 Cho hàm số y = (C) Xác định r để đường thẳng A : = z + m cắt đồ thị (C) tại hai điếm phân biệt

HT 32 Cho hàm số = man (C) Xác định ra để đường thẳng A : y = z + m cắt đồ thị (€) tại hai điểm phân biệt có

hoành độ z,.z, sao cho tống ƒ '(z,) + ƒ '(z„) đạt giá trị nhỏ nhất

3r—d 2r—3

trục hoành gấp 2 lần khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng

HT 33 Cho hàm số y = (ŒC) Xác định tọa độ các điểm trên đồ thị (C) sao cho tống khoảng cách từ điếm đó đến

Trang 14

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến 4 của (C) : ụ = ƒ(z) tại điểm AM, (zạ: vụ]:

e Nếu cho rụ thì tìm y, = f(y)

Nếu cho yạ thì tìm zạ là nghiệm của phương trình ƒ(+) = tụ

eTinh y' = ƒ '(z) Suy ra w'(zụ) = ƒ (aq):

e Phương trình tiếp tuyến 4 là: ụ = tạ = ƒ'(#¿)(# — ạ)

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến 4 của (C) : ụ = ƒ(z) biết 1 có hệ số góc k cho trước

Cách 1: Tìm toa dé tiép diém

¢ Goi M(x; yo) la tiép diém Tinh f’ (xo)

e4 có hệ số góc k > f"(xo) =k (1)

e Giải phương trình (1), tìm được xạ và tính yạ = f{xa) Từ đó viết phương trình của 4

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

Trang 15

GV.Lưu Huy Thưởng (0968.393.899

e Giải hệ (*), tìm được m Từ đó viết phương trình của A

Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến 1 có thế được cho gián tiếp như sau:

+ 4 tạo với chiều dương trục hoành qóc œ thì k = tana

+ A song song véi đường thang d: y = ax + b thi k=a

+ A vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a #0) thì k= —~

a

+ 4 tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc œ thì aoe = tana

Bai todn 3: Viét phwong trinh tiép tuyén A ctia (C): y = f(x), biét Adi qua diém A(x :y 4)

Cách 1:Tim toa dé tiép diém

¢ Goi M(xo; yo) la tiép diém Khi dé: yo = f{xo), yo = f’ (xo)

e Phương trình tiếp tuyến 4A tại M: y = yạ = ƒ“{xa).(x = Xa}

eA di qua A(z „: „) nên: yA = yo = f’(%0).(Xa = Xe) (2)

se Giải phương trình (2), tìm được xa Từ đó viết phương trình của 4

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

® Phương trình đường thang Adi qua A(+z „: „) và có hệ số góc È: y = ya = k(x = xi)

e4 tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

HT 34 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điếm được chi ra:

3+4

2r—3

4) (C): = — tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung

Trang 16

3) (C):y = 2* +1 = m(z +1) tai diém Cc6 xe = 0 VAS =8

HT 38 Viết phương trình tiếp tuyến A của (C), biết A có hệ số góc k được chỉ ra:

1) (C):y = 2z — 3z2 + 5;k= 12 2) (C:w =S“——;k=-3

HT 39 Viết phương trình tiếp tuyến A của (C), biết A song song với đường thẳng d cho trước:

2z—=l

1) (Cky = -22" + 3r + l; d: y = 3x + 2 2)(C):y=———¡d: u=-Sz+?

HT 40 Viết phương trình tiếp tuyến A của (C), biết A vuông góc với đường thẳng d cho trước:

Trang 17

Giả sử d: ax + by +c = 0 M(xu; yu) € d

e Phương trình đường thẳng 44 qua M có hệ số góc k: y = k(x - Xu) +

eA tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

ƒ(z) = k(+ — tự) + ty (1)

f(z)=k (2)

e Thế k từ (2) vào (1) ta được: Ít)=z (x~xu}ƒf(x) +yw (C)

e Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x cua (C)

HT 46 Tìm các điếm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):

1) (C):y = “^^: dlà trục tung 2) (C):y=““^¡4y=2x+1

HT 47 Tìm các điếm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ít nhất một tiếp tuyến với (C):

Trang 18

GYV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

——ỀỄễỄễỄễễỄ.- — —————

Dang tốn 3: Tìm những điểm mà từ đĩ cĩ thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thi (C): y z f(x) và 2 tiếp tuyến đĩ

vuơng gĩc với nhau

Gọi M(xw; ym)

e Phương trình đường thẳng 4 qua M cĩ hệ số gĩc k: y = k(x - xm) + yu

e4 tiếp xúc với (C) khi hệ sau cĩ nghiệm:

e Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) (C) cĩ 2 nghiệm phân biệt x;, x;

e Hai tiếp tuyến đĩ vuơng géc voi nhau <> f"(x1).f’ (x2) = -1

Từ đĩ tìm được M

Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hồnh thì

(3) có 2 nghiệm phân biệt

HT §2 Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đĩ cĩ thế vẽ được hai tiếp tuyến với (C) vuơng gĩc với nhau:

1) (C): = z—3z? +2; d:y =~2 2) (C): y = 2° + 327; dla trục hồnh

Dạng tốn 4: Các bài tốn khác về tiếp tuyến

HT 53 Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H) Gọi I là giao điếm của hai tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận

tại A và B

1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB

2) Chứng minh diện tích của AIAB là một hằng số

3) Tim diém M đế chu vi AIAB là nhỏ nhất

4) Tìm M đế bán kính, chu vi, diện tích đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất

5) Tìm M đế bán kính, chu vi, diện tích đường trịn nội tiếp tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất

6) Tìm M đế khoảng cách từ I đến tiếp tuyến là lớn nhất 2r—l r+tl dee

Trang 19

1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: ` AB= x[(sg —+„} + (up —v„}Ÿ

2) Khoảng cách từ điểm M(xa; va) đến đường thẳng 4: ax + bự + c = 0:

1)(H )(H:u=—— == 2) )(1):v»=——1 (H):y= 3)(H )(H):y=—— =

HT§6 Tìm các điếm M thuộc hypebol (H) sao cho tống các khoảng cách từ đó đến hai trục toa độ là nhỏ nhất

HT §7 Cho hypebol (H) Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (H) sao cho độ dài AB là nhỏ nhất

HT §8 Cho (C) và đường thang d Tim m dé d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho độ dài AB là nhỏ nhất

(H):y= —

#— ¡ đ: 2z —= +?m = Ú

Trang 20

a

ON TAP TONG HOP

PHAN I: TINH DON DIEU CUA HAM sO

HT1 Cho hàm số = s(m~1z` + m#Ẻ + (3m =9)z (1).Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của né D/s: m > 2

HT2 Cho hàm số = z” +3z?—mmz—4 (1).Tim tat ca các giá trị của tham số m đế hàm số (1) đồng biến trên khoang (—0co:0).D/s:m < —3

HT3 Cho hàm số = 2x” — 3(2m + 1x” + 6m(m + l)z +1 có đồ thị (Ca).-Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2:+<) D/s:m <1

HT 4 Cho ham sé y = x* +(1—2m)2* + (2 —m)r + m + 2 Tìm m đế hàm đồng biến trên (0:+20) B/s:= >m

HTS Cho hàm số y = 2° —2mr* —3m+1 (1), (m là tham số).Tìm m đế hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2) D/s: m € (—: ij

HT 6 Cho ham sé y = mers

I+

(1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m đế hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (—::1).ĐÐ/S: —2 < m < —1

HT7 Cho hàm số ự = z +3zŸ + mz + ra Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 Ð/s:c2m =

HT8 Cho hàm số g = zỶ +(L1—2m)z” + (2— ra)}z + rn + 2 (m là tham số) (1) Tìm các giá trị của m đế đồ thị hàm số

7

5

(1) cé diém cực đại, điểm cực tiếu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 Ð/s: n <m<

HT9 Chohàmsố y = (m +2)z” + 3z? + mz — 5, m là tham số.Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiếu của

đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương D/s: =3 <n < =2

HT 10 Cho ham sé y = 2z” — 3(m + 2)+” + 6(5m + 1)z — (4zmỶ + 2) Tim m đế hàm số đạt cực tiếu tại ty € (2| D/s: — <m<0

HT 11 Cho hàm số = st — ma? +5 (1).Xác định m đế đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại D/s: m <0

HT 12 Cho ham sé y = <r! + 2m2* =4 (C,,,)- Tim cdc giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của (C,, ) đều nằm

trên các truc toa dé D/s: m = 2;:m < 0

HT 13 Cho hàm số = =z” +(2m + 1)zŸ = (mỀ — 3m + 2)z — 4 (m là tham số) có đồ thị là (C„) Xác định m để (C„) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung Ð/s: 1 < rn < 2

Tiêu đề	Đồ Thị Hàm Số Ôn Thi Đại Học
Thể loại	Tài Liệu Ôn Thi

Định dạng
Số trang	30
Dung lượng	847,94 KB