đồ thị hàm số ôn thi đại học

hay

Trang 1

Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

§1 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

A Phương pháp giải tốn

Để vẽ Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng ba nguyên tắc sau đây:

• Nguyên tắc 1 (về sự phân chia đồ thị hàm số) Đồ thị hàm số

( )

( ) ( ) ( )

nếu nếu

nếu

∈





∈





là hợp của n đồ thị hàm số y= f x k( ) với x D∈ k (k=1, 2, ,… n)

• Nguyên tắc 2 (về sự đổi dấu hàm số) Đồ thị hàm số y= f x( ), x D∈ và đồ thị hàm số

( )

y= −f x , x D∈ đối xứng nhau qua Ox

• Nguyên tắc 3 (về đồ thị hàm chẵn) Đồ thị của hàm chẵn nhận Oy làm trục đối xứng.

Hai trường hợp hay gặp:

• Đồ thị hàm số y= f x( )

là hàm chẵn

 =





 nên đồ thị hàm số y= f x( ) gồm hai phần:

+) Phần 1 là phần đồ thị hàm số y= f x( ) nằm bên phải Oy ; +) Phần 2 đối xứng với phần 1 qua Oy

• Đồ thị hàm số y= f x( )

Vì f x( ) f x( ) ( ) nếunếu f x( ) ( ) 00

≥



 nên Đồ thị hàm số y= f x( ) gồm hai phần:

+) Phần 1 là phần Đồ thị hàm số y= f x( ) nằm phía trên trục hồnh;

+) Phần 2 đối xứng với phần Đồ thị hàm số y= f x( ) ở phía dưới trục hồnh qua trục hồnh

1

Trang 2

B Các ví dụ

Ví dụ 1 Vẽ các đồ thị hàm số

1) 1( )

1 1

x

f x

x

−

= + ( )C ; 2) 1 2( )

1 1

x

f x

x

−

= + ( )C ; 3) 2 3( )

1 1

x

f x

x

−

= + ( )C ;3

4) 4( )

1 1

x

f x

x

−

= + ( )C ; 5) 4 5( )

1 1

x

f x

x

−

= + ( )C 5

Giải Trước hết, ta vẽ đồ thị ( )C của hàm số f x( ) x 11

x

−

= + (hình 0);

1) Ta có 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

neáu neáu

≥



 Do đó đồ thị ( )C gồm hai phần (hình 1):1

• Phần 1: là phần đồ thị ( )C nằm trên Ox;

• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị ( )C nằm dưới Ox qua Ox

2) Ta có f x2( ) = f x( ) là hàm chẵn, đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng Lại có f x2( ) = f x( ) với mọi x≥0 Do đó đồ thị ( )C gồm hai phần (hình 2):2

• Phần 1: là phần đồ thị ( )C nằm bên phải Oy ;

• Phần 2: đối xứng với phần 1 qua Oy

3) Ta có ( ) ( ) 2( ) ( ) 2( ) ( )

0 0

neáu neáu

≥



• Phần 1: là phần đồ thị ( )C nằm trên 2 Ox;

• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị ( )C nằm dưới 2 Ox qua Ox

4) Ta có 4( ) ( ) ( )

1 1

neáu neáu

f x

≥



• Phần 1: là phần đồ thị ( )C ứng với x≥1;

• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị ( )C ứng với x<1 qua Ox

2

Trang 3

5) Ta có 5( ) ( ) ( )

1 1

neáu neáu

f x

> −



• Phần 1: là phần đồ thị ( )C ứng với x> −1;

• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị ( )C ứng với x< −1 qua Ox

3

Trang 4

C Bài tập

Vẽ đồ thị các hàm số sau đây

1) y x= 2− x x( − + +3 3) 5 2) y= − − +1 1 x x

3) y= x2− −3x 5 4) y x= 2−3x −5 5) y= x2−3 x −5

13) y= x4−4x2+3 14) y= x2−1(x2−3)

15) y= x2−3(x2−1) 16) y= −x 1(x3+ − −x2 3x 3)

17) y= x4−5x2+4 18) y= −x 1(x3+ −x2 4x−4)

19) y= +x 1(x3− −x2 4x+4) 20) y= −x 2(x3+2x2− −x 2)

21) y= +x 2(x3−2x2− +x 2) 22) y= x2−4(x2−1)

23) y= x2−1(x2−4) 24) y= x2+ −x 2(x2− −x 2)

25) y= x2− −x 2(x2+ −x 2)

26) y=2x−−x1 27) 1

2x x

−

2

x x

−

=

1

x x

x

+

1

x x x

1

x x x

+

1

x x x

1

x x x

+

=

1

x

+

x

1

x x

+

x

4

Trang 5

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

§2 Sử dụng sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số để xét phương trình

A Phương pháp giải toán

Trong phần này, ta sử dụng các kết luận sau đây về mối liên

hệ giữa tập nghiệm của phương trình f x( ) =m ( )* với tập

tập các điểm chung của đường thẳng :d y m= với đồ thị

( )C :y= f x( ) :

• ( )* có nghiệm ⇔ d có điểm chung với ( )C

• Số nghiệm của ( )* bằng số điểm chung của đường thẳng

d với ( )C

• Nghiệm của ( )* là hoành độ điểm chung của d và ( )C

B Các ví dụ

Ví dụ 1 [ĐHA02] Tìm k để phương trình

có 3 nghiệm phân biệt

Giải.

Cách 1 Phương trình ( )* tương đương với

Nếu đặt f x( ) = −x3 3x2 thì phương trình trở thành

( ) ( )

( )* có ba nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y= f k( ) có ba

điểm chung với đồ thị hàm số y= f x( ) ⇔ − <4 f k( ) <0

Từ đồ thị hàm số y= f k( ), ta thấy điều kiện − <4 f k( ) <0

tương đương với k∈ −( 1;3 \ 0; 2) { }

Cách 2 Phương trình đã cho tương đương với

x k

=



 + − + −

Phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt khác k, tức là

( ) ( ) ( )

∆ = − + − >





( ) { }

1;3 0; 2

k k

∈ −



 ∈

 ⇔ k∈ −( 1;3 \ 0; 2) { }

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5

Trang 6

Ví dụ 2 [ĐHA06] Tìm m để phương trình 2 x3−9x2+12 x =m có 6 nghiệm phân biệt

Giải Đặt f x( ) =2x3−9x2+12x Phương trình đã cho tương đương với f x( ) =m

Trước hết ta vẽ đồ thị ( )C của hàm số ( ) 3 2

f x = x − x + x Hàm f x là hàm chẵn,( )

f x = f x ∀ ≥x 0 Do đó, đồ thị ( )C của hàm số ' f x gồm hai phần( )

• Phần 1: là phần ( )C nằm ở bên phải Oy ;

• Phần 2: đối xứng với phần 1 qua Oy

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y m= có 6 điểm chung với

( )C ' ⇔ 4< <m 5

Ví dụ 3 [ĐHB09] Với những giá trị nào của m , phương trình sau đây có đúng 6 nghiệm phân

biệt

t=x , ( )1 trở thành

2

( )1 có 6 nghiệm phân biệt ⇔ ( )2 có 3 nghiệm dương phân biệt ⇔ đường thẳng :d y m= có

3 điểm chung với đồ thị ( )C của hàm số f t( ) = −t t 2 , t>0

Trang 7

Ta có ( ) ( )

2 2

neáu t neáu t

f t





⇒ ( )C gồm hai phần:

• Phần 1: là phần đồ thị hàm số y t= −2 2t ứng với t≥2

• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị hàm số y t= −2 2t ứng với

2

t< , qua trục hoành

Vậy ( )1 có 6 nghiệm phân biệt ⇔ 0< <m 1

Cách 2 Trước hết, ta vẽ đồ thị ( )C của hàm số f x( ) =x4−2x2

Ta thấy: ( )1 ⇔ f x( ) =m

f x( ) f x( ) ( ) neáuneáu f x( ) ( ) 00

≥





⇒ Đồ thị ( )C của hàm số ' f x gồm hai phần( )

• Phần 1: là phần ( )C nằm phía trên trục hoành.

• Phần 2: đối xứng với phần ( )C nằm phía dưới trục hoành, qua

trục hoành

( )1 có 6 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y m= có 6 điểm chung với ( )C ' ⇔ 0< <m 1

C Bài tập

Bài 1 Cho phương trình 4 2

1) Giải phương trình với m= −3

2) Tìm tất cả những giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và cả 4

nghiệm này đều nhỏ hơn hoặc bằng 1

3) Trong trường hợp phương trình có 4 nghiệm phân biệt, gọi 4 nghiệm đó là x , 1 x , 2 x3

, x , hãy tính tổng 4 x1+ + +x2 x3 x4

Bài 2 Cho y x= +3 3x2−9x m+ ( )C

1) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C với m=6

2) Tìm m để phương trình 3 2

x + x − x m+ có 3 nghiệm phân biệt

Bài 3 Cho hàm số y x= − +3 3x 1 ( )C

1) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C

Trang 8

2) Tìm m để phương trình x3− + −3x 6 2−m=0 có ba nghiệm phân biệt

Bài 4 Cho hàm số y x= − +3 3x 2 ( )C

2) Biện luận số nghiệm của phương trình

2 2

m

Bài 5 Cho hàm số

3

4 3

x

y= − + x ( )C

2) Tìm k để phương trình ( )

( )

2

k x

x

k

−

− có 3 nghiệm phân biệt.

Bài 6 Cho hàm số ( ) (2 )

2) Biện luận số nghiệm của phương trình ( ) (2 ) ( ) (2 )

Bài 7 Cho hàm số 2 1

2

x y x

−

= + ( )C

2) Tìm m để phương trình 2sin 1

sin 2

x m

+ có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [ ]0;π

Bài 8 [ĐHA02] Cho phương trình 2 2

log x+ log x+ −1 2m− =1 0 1) Giải phương trình khi m=2

2) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3

 .

Trang 9

§3 Sử dụng phương trình để xét bài toán về sự tương giao giữa hai

đồ thị hàm số

A Tóm tắt lý thuyết

Cho y= f x( ) ( )C và 1 y g x= ( ) ( )C Để tìm giao điểm của 2 ( )C và 1 ( )C , ta làm như sau:2

• Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm Hoành độ giao điểm của ( )C và 1 ( )C là nghiệm của2

phương trình

( ) ( )

Phương trình ( )* được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và 1 ( )C 2

• Bước 2: Tìm giao điểm Nếu x là một hoành độ giao điểm thì 0 (x f x0; ( )0 ) (≡(x g x0; ( )0 ) ) là

một giao điểm của ( )C và 1 ( )C 2

Chú ý Để giải các bài toán loại này, ta rất hay sử dụng định lý Vi-ét đảo:

Nếu x , 1 x là các nghiệm của phương trình bậc hai 2 ax2+ + =bx c 0 (a≠0) thì

1 2

b

a c

x x

a

 + = −







Nhận xét.

• Hai đồ thị hàm số có giao điểm ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm.

• Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

B Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho y x= +3 2x2− +x 5 ( )C và hàm số 1 y=7x ( )C Hãy xác định các giao điểm của2

hai đồ thị ( )C và 1 ( )C 2

Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và 1 ( )C :2

x + x − + =x x ⇔ (x−1) (x2+3x− =5) 0 ⇔

1

3 29 2

x x x



 =



− +

 =



− −

 =



Trang 10

Vậy hai đồ thị đã cho có ba giao điểm: M1( )1;7 , 2 3 29; 21 7 29

3

;

Ví dụ 2 Cho y x= 2+2(m−1)x m+ ( )C và y1 = −x ( )C Tìm điều kiện của m để 2 ( )C có1

giao điểm với ( )C 2

Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và 1 ( )C :2

( )

2

2m 1 4m 2m 8m 1

( )C có giao điểm với 1 ( )C 2 ⇔ ( )1 có nghiệm ⇔ ∆ ≥0

2 2 3 2

m m

≤



⇔

≥



Ví dụ 3 Cho y x= −3 4mx+2 ( )C và 1 y=3x2−4m ( )C Biện luận số giao điểm của 2 ( )C và1

( )C 2

Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và 1 ( )C2

⇔ (x−1)(x2−2x−4m− =2) 0 ⇔

2

1

x

=



Số giao điểm của ( )C và 1 ( )C bằng số nghiệm của phương trình 2 ( )1 Do đó

4

m

∆ < ⇔ < − : ( )2 vô nghiệm ⇒ ( )1 có nghiệm duy nhất (x=1)⇒ ( )C và 1 ( )C2

có một giao điểm

4

∆ = ⇔ = − : ( )2 trở thành 2 ( )2

x − x+ = ⇔ x− = ⇔ =x Trong trường hợp này, ( )1 cũng có nghiệm duy nhất (x=1)⇒ ( )C và 1 ( )C có một giao điểm.2

4

∆ > ⇔ > − : ( )2 có hai nghiệm phân biệt Ta thấy t( )1 = −4m− ≠3 0 3

4

m

∀ > − ⇒

1 không phải là nghiệm của ( )2 ⇒( )1 có ba nghiệm phân biệt⇒( )C và 1 ( )C có ba2

giao điểm

Trang 11

Kết luận:

4

m≤ − : ( )C và 1 ( )C có một giao điểm.2

4

m> − : ( )C và 1 ( )C có ba giao điểm.2

Ví dụ 4 [ĐHD03] Cho

2

y x

=

− ( )C Tìm m để đường thẳng d m:y mx= + −2 2m có 2 giao điểm với ( )C

Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( )C với d : m

2 2 2

x

−

⇔ x2−2x+ = −4 (x 2) (mx+ −2 2m) (⇒ x≠2)

⇔ (m−1)x2−4(m−1)x+4(m+ =2) 0 ( )*

m

d có 2 giao điểm với ( )C khi và chỉ khi ( )* có 2 nghiệm phân biệt, tức là:

( )

1 0

m

− ≠



∆ = − − >

Ví dụ 5 [ĐHA04] Cho hàm số ( )

y

x

=

− ( )C Tìm m để đường thẳng : d y m= cắt đồ

thị hàm số tại hai điểm A , B sao cho AB=1

Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d :

( )

m x

− ⇔ x2+(2m−3)x−2m+ =3 0 ( )* (phép biến đổi là tương đương vì x=1 không phải nghiệm phương trình của( )* )

d cắt ( )C tại 2 điểm khi và chỉ khi ( )* có hai nghiệm phân biệt, tức là:

∆ >0 ⇔ 4m2−4m− >3 0 ⇔

1 2 3 2

m m

 < −



 >



Hoành độ x , A x của các điểm A , B là nghiệm của B ( )2 nên theo định lí Vi-ét:

Trang 12

3 2

A B



Mặt khác vì A , B cùng thuộc đường thẳng : d y m= nên y A =y B =m

Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có

Do đó

2

m

=



=



(thỏa mãn ( )1 )

2

Ví dụ 6 [ĐHA10] Cho hàm số y x= −3 2x2+ −(1 m x m) + ( )C Tìm m để ( )C cắt trục hoành

tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là x , 1 x , 2 x sao cho 3 2 2 2

x + +x x <

Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C của hàm số với trục hoành ( y=0):

( )

⇔ (x−1) (x2− −x m) = ⇔0 2

( )

1

0

t x

x

=



 − − =



14 2 43

( )C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ⇔ ( )1 có ba nghiệm phân biệt

⇔ t x có hai nghiệm phân biệt khác 1 ( ) ⇔

( )

0

t

∆ >



0

m m

+ >



− ≠

1 4

0

m m

−

>



 ≠

Không mất tổng quát, giả sử x1 =1 ⇒ x , 2 x là các nghiệm của 3 t x Theo định lý Vi-ét, ta có:( )

2 3

1

+ =



Do đó:

x + +x x < ⇔ + m< ⇔m<

Trang 13

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x , 1 x , 2 x sao cho3

x + +x x < khi và chỉ khi 1 1

− < < , m≠0

C Bài tập

Bài 1 Tìm các giao điểm của các cặp đồ thị hàm số sau đây:

1)

3

x

2 2

x

2

1

x y x

=

− và y= − +3x 1;

2

x

y

x

−

=

+ và y= − +3x 5; 4)

3

y= x − x và y= − +x 2; 5) y= − +x3 2x+10 và y x= 2+3x−4; 6) y x= −3 5x2+10x−5 và y x= 2− +x 1;

1

x

y

x

−

=

− và

2

y

=

− + và y= −3 2x;

9) y x= 4− +x2 1 và y=4x2−5

Bài 2 Biện luận theo m số giao điểm của các cặp đồ thị hàm số sau đây

y x= − −x và y m x= ( −2); 2) 3 2

2

2 12

y m x=  + +

3)

3

x

2

x y x

+

= + và y=2x m+ ;

1

x

y

x

+

=

− và y= − +2x m; 6)

2

y x

= + và y x m= − ;

1

x

= − + +

− và y mx= +3; 8)

2

y x

− +

=

− và y mx= −4m−1;

y= x + +x và y m x= ( 2−1)

Bài 3 Tìm m để

1) Đường thẳng :d y=2x m+ đồ thị hàm số ( ): 2 2 3

1

x

− +

=

− tại hai điểm phân biệt;

2) Đường thẳng :d y mx= cắt đồ thị hàm số ( ) 3 2

C y x= − x + x tại ba điểm phân biệt;

3) Đường thẳng :d y= − +x 2 cắt đồ thị hàm số ( ) 3 2

C y x= + x +mx+ m tại ba điểm phân

biệt;

4) Đồ thị hàm số ( )C :y= −(x 1) (x2−mx m+ 2−3) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt;

5) Đồ thị hàm số ( ) 3 2 ( )

C y mx= + mx − − m x− cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt;

6) Các đồ thị hàm số ( ) 3 2

C y= x − +x cắt nhau tại ba điểm

phân biệt;

7) Các đồ thị hàm số ( ) 3 2 2

C y= x + cắt nhau tại ba điểm phân biệt;

8) Đường thẳng :d y m= cắt đồ thị hàm số ( )C :y x= 4−2x2−1 tại bốn điểm phân biệt;

9) Đồ thị hàm số ( )C :y x= 4−m m( +1)x2+m3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt;

Trang 14

10) Đồ thị hàm số ( )C :y x= 4−(2m−3)x2+m2−3m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt; 11) [ĐHD06] Đường thẳng d đi qua điểm A(3; 20) có hệ số góc m cắt ( )C :y x= − +3 3x 2 tại

3 điểm phân biệt;

12) [ĐHD09] Đường thẳng :d y= − +2x m cắt ( )C :y x2 x 1

x

+ −

= tại hai điểm phân biệt

1) Đường thẳng :d y mx= +2 cắt đồ thị hàm số ( ): 2 4 5

2

x

= + tại hai điểm có hoành độ

trái dấu;

2) Đường thẳng :d y mx= +2 cắt đồ thị hàm số ( ): 2

1

x

+ +

=

− tại hai điểm có hoành độ

trái dấu;

3) Đường thẳng :d y mx= +3 cắt đồ thị hàm số ( ): 2 4 5

2

x

= + tại hai điểm thuộc hai

nhánh khác nhau của ( )C ;

4) Đồ thị hàm số ( ): 2

1

x

+ +

=

− cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương;

5) [ĐHA03] ( ): 2

1

m

x

+ +

=

− cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương;

6) [ĐHD09] Đường thẳng :d y= −1 cắt ( )C m :y x= 4−(3m+2)x2+3m tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2

1) [ĐHB09] Đường thẳng :d y= − +x m cắt ( )C :y x2 1

x

−

= tại hai điểm A , B sao cho AB=4

;

2) Đường thẳng :d y x= +2m cắt đồ thị hàm số ( ): 3 1

4

x

+

=

− tại hai điểm A , B sao cho

đoạn thẳng AB ngắn nhất;

3) Đường thẳng :d y= − +x m cắt đồ thị hàm số ( ): 4 1

2

x

−

=

− tại hai điểm A , B sao cho

đoạn thẳng AB ngắn nhất;

4) Đường thẳng d m:y= − +x m cắt ( ): 2 1

2

x

+

= + tại hai điểm A , B sao cho đoạn thẳng AB

ngắn nhất;

5) Đường thẳng :d y mx= + −2 2m cắt đồ thị hàm số ( ): 2 2 4

2

x

=

− tại hai điểm A , B

Khi đó, hãy tính độ dài đoạn thẳng AB theo m

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	1,66 MB