Mô đun fi - nội xạ và mô đun fi - dẹt

Cùng với đó lànhững kết quả rất mới về chiều FP−nội xạ của vành và mô đun.. Chương 1: Kiến thức cơ sở Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về hàm tử Tor, Ext, các mô đun

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010

Lời cảm ơn

Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các thầy, cô trong khoa Toán−Tin họctrường Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP HCM, nhất là những người thầy trong bộ mônĐại số, những người đã tận tình giảng dạy cho tôi trong suốt quãng đường đại học cũngnhư cao học Chính những kiến thức này là nền tảng hết sức quan trọng để tôi có thểthực hiện, hoàn thành luận văn này

Hơn hết, tôi chân thành cảm ơn TS Nguyễn Viết Đông, người thầy luôn tận tìnhhướng dẫn, động viên, khích lệ tôi trong quá trình hoàn chỉnh luận văn này Tiếp đến,tôi cũng cảm ơn các bạn trong chuyên ngành Đại số đã động viên tôi trong quá trìnhhọc tập và sửa chữa những sai sót của luận văn này

Lời cuối cùng, tôi cảm ơn những người thân, những người bạn đã ủng hộ tinhthần cho tôi trong cuộc sống, đặc biệt là cha mẹ

TP Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2010

Dương Đức Thịnh

Lời nói đầu

Lĩnh vực mô đun được phát triển rất mạnh mẽ trong những năm gần đây Trongđó khái niệm mô đun FP−nội xạ được nhiều nhà toán học đưa ra với nhiều tên gọikhác nhau như: "FP-injective" được Madox đưa ra vào 1967; vào 1970, Strenstr¨om kháiniệm là "absolutely pure"; còn Fieldhouse gọi là "copure injectivity" Cùng với đó lànhững kết quả rất mới về chiều FP−nội xạ của vành và mô đun Còn khái niệm mô đunFI−nội xạ và FI−dẹt được hai nhà toán học người Trung Quốc Lixin Mao và NanqingDing đưa ra là rất hiện đại Theo đó, hai ông cũng công bố những kết quả hoàn toànmới này trong năm 2007 trên Tập chí toán học thế giới

Luận văn này gồm hai chương

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về hàm tử Tor, Ext, các

mô đun nội xạ, xạ ảnh, dẹt, nội xạ thuần khiết, FP− nội xạ, mô đun đặc trưng, và vànhcoherent trái, nửa di truyền trái, hoàn chỉnh trái Và trình bày khái niệm về tiền bao,bao, tiền phủ, và một số loại chiều của mô đun và vành Các kết quả trong chương nàylà kiến thức cơ sở cho chứng minh các kết quả ở chương hai

Chương 2: Mô đun FI−nội xạ và mô đun FI−dẹt

Chương hai là những kết quả chính trong bài báo "FI−injective and FI−flat modules".Chương này gồm hai phần:

Phần 1: Trước hết nêu khái niệm về mô đun FI−nội xạ và mô đun FI−dẹt Trìnhbày một số kết quả liên quan giữa mô đun FI−nội xạ, mô đun FI−dẹt và chiều FP−chiềunội xạ, tiền bao dẹt, tiền phủ FP−nội xạ Định lý 2.5 là một ví dụ về phân tích của môđun FI−nội xạ Trong định lý 2.9, trình bày các mối liên hệ giữa chiều FP−nội xạ củavành và mô đun FI−nội xạ, FI−dẹt

Phần 2: Trong chương này, chủ yếu các kết quả được xét trên vành coherent trái.Trước hết chúng tôi nêu khái niệm hàm tử dẫn xuất trái của Hom là Ext Sau đó trìnhbày các kết quả liên quan giữa hàm tử dẫn xuất trái của Hom và chiều FP−nội xạ, chiều

F I của mô đun và vành Định lý 2.16 nêu các mối liên hệ giữa vành nửa di truyền trái,mô đun FI−nội xạ, FI−dẹt, tiền bao dẹt và tiền phủ FP−nội xạ Trong định lý 2.25 vàđịnh lý 2.26, trình bày mối liên hệ giữa chiều FP−nội xạ của vành, hàm tử dẫn xuấtcủa Hom và chiều FI của mô đun

Mục lục

1.1 Mô đun tự do, mô đun xạ ảnh, mô đun nội xạ, mô đun dẹt 5

1.2 Mô đun FP−nội xạ và chiều của mô đun 11

1.3 Tiền bao, bao, tiền phủ, phủ 13

1.4 Một số loại vành và tính chất 15

2 Mô đun FI−nội xạ và FI−dẹt 19 2.1 Mô đun FI−nội xạ và mô đun FI−dẹt 19

2.2 Chiều FP−nội xạ và hàm tử dẫn xuất trái của Hom 28

Bảng ký hiệu

Ký hiệu Ý nghĩa

A ⊕RB Tổng trực tiếp trên R của hai mô đun A và B

A ⊗RB Tích ten xơ trên R của hai mô đun A và B

TorRn(A, B) Tích xoắn n chiều trên R của hai mô đun A và B

ExtnR(A, B) Tích mở rộng n chiều trên R của hai mô đun A và B Hom(A, B) Tập hợp tất cả các đồng cấu từ A vào B

lim

−→Ci Giới hạn trực tiếp của hệ trực tiếp (Ci)i

MR M là R−mô đun phải

RM M là R−mô đun trái

M+ Mô đun đặc trưng của M

Rn Tích n của vành R

MR Tập các R−mô đun phải

RM Tập các R−mô đun trái

F lat Tập các R−mô đun dẹt

Proj Tập các R−mô đun xạ ảnh

Projf g Tập các R−mô đun xạ ảnh hữu hạn sinh

right F I − dimM Chiều FI phải của M

left F I − dimM Chiều FI trái của M

gl right F I − dimRM Chiều FI phải toàn thể của RM

gl left F I − dimRM Chiều FI trái toàn thể của RM

gl right Projf g− dimMRf g là sup{right Projf g− dimM : M ∈ MRf g}

xạ ảnh, 5, 8, 13đặc trưng, 9, 10được rút gọn, 6nội xạ

mô đun, 6thuần khiết, 9, 10, 13với dãy khớp, 6phép giải

FI, 17tối tiểu, 17xạ ảnh, 7phủ, 14

F P −nội xạ, 15tenxơ, 8

tiềnbao, 13

F P −nội xạ, 14dẹt, 15

phủ, 14

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Chương này chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản cần thiết cho các chứngminh ở các chương sau Chứng minh của các kết quả trong chương này hầu như bỏqua và có thể tìm thấy trong tài liệu tham khảo

1.1 Mô đun tự do, mô đun xạ ảnh, mô đun nội xạ, mô

với các ri ∈ R và si ∈ S.

Định nghĩa 1.2 Mô đun X có cơ sở được gọi là mô đun tự do.

Định nghĩa 1.3 R−mô đun P là mô đun xạ ảnh khi và chỉ khi với bất kì dãy khớp ngắn các R−mô đun

0 −→ A −→ Bf −→ C −→ 0,g

dãy các nhóm abel

0 −→ Hom(P, A) −→ Hom(P, B)f∗ −→ Hom(P, C) −→ 0g∗

là dãy khớp

Định lý 1.4 ([1], Định lý 1, trang 73) Mỗi mô đun tự do đều là mô đun xạ ảnh.Định lý 1.5 ([[1], Định lý 6, trang 53) Mỗi mô đun X đẳng cấu với mô đun thương củamô đun tự do nào đó.

Nhận xét X là mô đun bất kì, ta luôn có dãy khớp 0 −→ L −→ P −→ X −→ 0, với

P là mô đun xạ ảnh

Định nghĩa 1.6 R−mô đun N là mô đun nội xạ khi và chỉ khi với bất kì dãy khớp ngắn các R−mô đun

0 −→ A −→ Bf −→ C −→ 0,g

dãy các nhóm abel

0 −→ Hom(C, N ) −→ Hom(B, N )g∗ −→ Hom(A, N ) −→ 0f∗

là dãy khớp

Định nghĩa 1.7 Ta gọi R−mô đun M là nội xạ với dãy khớp

0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0

nếu dãy các nhóm abel

0 −→ Hom(Z, M ) −→ Hom(Y, M ) −→ Hom(X, M ) −→ 0

là khớp

Định lý 1.8 ([1], Định lý 9, trang 82) Mỗi mô đun X có nhúng vào một mô đun nội xạ N(X) nào đó, xem như là mô đun con của N(X).

Nhận xét X là mô đun bất kì, ta luôn có dãy khớp 0 −→ X −→ E −→ L −→ 0, với

E là mô đun nội xạ

Định nghĩa 1.9 R−mô đun trái M gọi là được rút gọn nếu M không có mô đun con

nội xạ khác 0 nào

Định lý 1.10 ([1], Định lý 10, trang 82) Mỗi mô đun X bất kỳ, các phát biểu sau tương

đương:

(1) X là mô đun nội xạ

(2) Mọi dãy khớp 0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0 là chẻ.

(3) X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của mô đun nội xạ nào đó

Định nghĩa 1.11 Cho A là R−mô đun phải và

X ⊗ B : · · · −→ Xn+1⊗ B ∂

∗ n+1

−→ Xn⊗ B ∂

∗ n

−→ · · · ∂

∗ 2

−→ X1⊗ B ∂

∗ 1

−→ X0 ⊗ B −→ 0 Trong đó ∂∗

n = ∂n ⊗ 1B Ta định nghĩa Hn(X ⊗ B)(n = 0, 1, ) là tích xoắn n chiều trên R của hai mô đun A và B, kí hiệu là Torn(A, B) Ta thường kí hiệu Tor(A, B) = Tor1(A, B).

Định lý 1.12 ([1], Định lý 5, trang 160) Với mọi R−mô đun phải A và mọi dãy khớp ngắn bất kì các R−mô đun trái

0 −→ B0−→ B −→ B” −→ 0,

ta có dãy khớp

· · · −→ Torn(A, B0) −→ Torn(A, B) −→ Torn(A, B”)

−→ Torn−1(A, B0) −→ · · · −→ Tor(A, B”)

−→ A ⊗ B0 −→ A ⊗ B −→ A ⊗ B” −→ 0.

Định lý 1.13 ([1], Định lý 6, trang 161) Với mọi R−mô đun trái B và mọi dãy khớp ngắn bất kì các R−mô đun phải

0 −→ A0−→ A −→ A” −→ 0,

ta có dãy khớp

· · · −→ Torn(A0, B) −→ Torn(A, B) −→ Torn(A”, B)

Hom(X, B) : 0 −→ Hom(X0, B) ∂

∗ 0

−→ Hom(X1, B) ∂

∗ 1

−→ · · ·

· · ·∂

∗ n−1

−→ Hom(Xn, B) ∂

∗ n

−→ Hom(Xn+1, B) −→ · · ·

Trong đó ∂∗

n = Hom(∂n, 1B) Ta định nghĩa Hn(Hom(X ⊗ B))(n = 0, 1, ) là tích mở

rộng n chiều trên R của hai mô đun A và B, kí hiệu là Extn(A, B) Ta thường kí hiệu Ext(A, B) = Ext1(A, B).

Định lý 1.15 ([1], Định lý 5, trang 168) Với mọi R−mô đun phải A và mọi dãy khớp ngắn bất kì các R−mô đun phải

0 −→ B0−→ B −→ B” −→ 0,

ta có dãy khớp

0 −→ Hom(A, B0) −→ Hom(A, B) −→ Hom(A, B”)

−→ Ext(A, B0) −→ · · · −→ Extn−1(A, B”)

−→ Extn(A, B0) −→ Extn(A, B) −→ Extn(A, B”) −→ · · ·

Định lý 1.16 ([1], Định lý 6, trang 168) Với mọi R−mô đun trái B và mọi dãy khớp ngắn bất kì các R−mô đun trái

0 −→ A0−→ A −→ A” −→ 0

ta có dãy khớp

0 −→ Hom(A”, B) −→ Hom(A, B) −→ Hom(A0, B)

−→ Ext(A”, B) −→ · · · −→ Extn−1(A0, B)

−→ Extn(A”, B) −→ Extn(A, B) −→ Extn(A0, B) −→ · · ·

Nhận xét Nếu dãy khớp ngắn 0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0 là chẻ khi và chỉ khi Ext(Z, X) = 0.

Hệ quả 1.17 ([6], Hệ quả 7.25, trang 421)

(1) R−mô đun trái P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu Ext1

(P, B) = 0 với mọi R−mô đun B.

(2) R−mô đun trái E là nội xạ nếu và chỉ nếu Ext1

(A, E) = 0 với mọi R−mô đun trái A.

Định nghĩa 1.18 R−mô đun F là mô đun dẹt trái khi và chỉ khi với bất kì dãy khớp ngắn các R−mô đun

0 −→ A −→ Bf −→ C −→ 0,g

dãy các nhóm tenxơ

0 −→ A ⊗ F f ⊗1−→ B ⊗ FF g⊗1−→ C ⊗ F −→ 0F

là khớp

Định lý 1.19 ([6], Định lý 7.2, trang 405) Nếu R−mô đun phải F là mô đun dẹt

thì Torn(F, N ) = 0 với mọi n ≥ 1 và với mỗi R−mô đun trái N Ngược lại, nếu

Tor1(F, N ) = 0 với mỗi R−mô đun trái N thì F dẹt.

Định lý 1.20 ([6], Định lý 3.54, trang 136) R−mô đun phải B là dẹt nếu và chỉ nếu mô đun đặc trưng của nó B+là R−mô đun trái nội xạ, trong đó B+

= HomZ(B, Q/Z) Định nghĩa 1.21 Một R−mô đun M gọi là biểu diễn hữu hạn nếu tồn tại một dãy

khớp

Rm −→ Rn−→ M −→ 0, với m, n ∈ N nào đó.

Từ dãy khớp ta có M ∼ = Rn/ Im[Rm

−→ Rn] Do đó M đẳng cấu với mô đun thươngcủa mô đun hữu hạn sinh

Mệnh đề 1.22 ([6], Mệnh đề 3.11, trang 106) R−mô đun trái xạ ảnh hữu hạn sinh là

biểu diễn hữu hạn

Nhận xét

(1) Nếu M là mô đun biểu diễn hữu hạn thì tồn tại dãy khớp ngắn

0 −→ K −→ F −→ M −→ 0, với F là mô đun tự do, K, F là mô đun hữu hạn sinh.

(2) Nếu M là mô đun biểu diễn hữu hạn thì tồn tại dãy khớp ngắn

F0−→ F −→ M −→ 0, với F0, F là mô đun tự do và hữu hạn sinh

Định nghĩa 1.23 Một dãy khớp các R−mô đun

0 −→ M −→ N −→ L −→ 0, được gọi là khớp thuần khiết nếu với mọi R−mô đun A ta có dãy sau là khớp

0 −→ A ⊗ M −→ A ⊗ N −→ A ⊗ L −→ 0.

Khi đó N được gọi là mô đun con thuần khiết của M.

R− mô đun M được gọi là nội xạ thuần khiết nếu mỗi mô đun con thuần khiết

S ⊂ N thì dãy Hom(N, M) −→ Hom(S, M) −→ 0 là khớp.

Ví dụ Mô đun nội xạ là nội xạ thuần khiết.

Mệnh đề 1.24 ([4], Mệnh đề 5.3.7, trang 112) M là R−mô đun trái Khi đó mô đun đặc trưng M+ là một R−mô đun phải nội xạ thuần khiết.

Mệnh đề 1.25 ([6], Mệnh đề 3.67, trang 147) Mô đun F là dẹt nếu và chỉ nếu mỗi dãy khớp 0 −→ M −→ N −→ F −→ 0 là khớp thuần khiết.

Bổ đề 1.26 ([11], Bổ đề 3.2.10, trang 123) Nếu dãy 0 −→ N −→ E −→ L −→ 0 là khớp với N là nội xạ thuần khiết, E là nội xạ thì L là nội xạ thuần khiết.

Bổ đề 1.27 ([4], Định lý 3.2.1, trang 75) Cho R, S là các vành, các mô đunRA,RBS,SC

là mô đun nội xạ Khi đó ta có đẳng cấu

HomS(Torn(B, A), C) ∼= Extn(A, HomS(B, C)), với mọi n ≥ 0.

Nhận xét Các R−mô đun M và N Khi đó, ta có

Torn(M, N )+∼= Extn(N, M+), với mọi n ≥ 0.

Mệnh đề 1.28 ([6], Mệnh đề 7.2.1, trang 418) Nếu (Mi)i∈I, X là các R−mô đun Khi đó, với n ≥ 0 ta có

Mệnh đề 1.31 ([6], Hệ quả 6.12, trang 335) Cho biểu đồ giao hoán các R−mô đun

0 //

A0 f

các hàng là khớp Khi đó ta có dãy khớp sau

0 −→ kerf −→ kerg −→ kerh −→ cokerf −→ cokerg −→ cokerh −→ 0.

Mệnh đề 1.32 ([6], Định lý 2.75, trang 92) Cho các mô đun AR,RBS, CS, với R và S

là vành Khi đó ta có đẳng cấu tự nhiên sau

HomS(A ⊗RB, C) ∼= HomR(A, HomS(B, C)) Nhận xét R là vành, các mô đun AR,RBZ thì (A ⊗ B)+ ∼= Hom (A, B+)

Mệnh đề 1.33 ([6], Định lý 2.76, trang 93) Cho các mô đun RA,SBR,SC , với R và S

là vành Khi đó ta có đẳng cấu tự nhiên sau

HomS(B ⊗RA, C) ∼= HomR(A, HomS(B, C)) Nhận xét R là vành, các mô đun RA,ZBR thì (B ⊗ A)+ ∼= Hom (A, B+)

Bổ đề 1.34 ([6], Bổ đề 3.55, trang 137) Cho các mô đun XR,SYR, ZS, với R và S là

vành

(1) Khi đó ta có đẳng cấu sau

X ⊗RHomS(Y, Z) ∼= HomS(HomR(X, Y ) , Z)

(2) Nếu X biểu diễn hữu hạn thì X ⊗ Y+∼= Hom (X, Y )+

1.2 Mô đun FP−nội xạ và chiều của mô đun

Định nghĩa 1.35 R−mô đun trái M được gọi là F P −nội xạ (hay tuyệt đối thuần

khiết) nếu Ext1

(N, M ) = 0 với mọi R−mô đun biểu diễn hữu hạn N.

Mệnh đề 1.36 ([3], Định lý A.16, trang 376) M là R−mô đun Khi đó các điều sau

tương đương:

(1) M là F P −nội xạ.

(2) Mỗi dãy khớp 0 −→ M −→ X −→ Y −→ 0 là khớp thuần khiết.

Định nghĩa 1.37 Chiều F P −nội xạ của M, kí hiệu F P − id(M), là số nguyên n

không âm nhỏ nhất sao cho Extn+1(F, M ) = 0, với mọi R−mô đun trái biểu diễn hữu hạn F

Ta đặt l.F P − dim(R)= sup{F P − id(M): M ∈RM}

Nhận xét Nếu M là F P −nội xạ thì F P − id(M) = 0.

Định nghĩa 1.38 M là R−mô đun phải Chiều dẹt của M, kí hiệu là fdR(M ) hay

f d(M ) , là số nguyên n không âm nhỏ nhất sao cho Torn+1(M, N ) = 0 với mọi R−mô đun trái N Nếu không tồn tại số nguyên nào như vậy thì ta quy ước fd(M) = ∞ Nhận xét Mô đun F là dẹt nếu và chỉ nếu fd(F ) = 0.

Định lý 1.39 ([6], Định lý 8.17, trang 461) Cho số tự nhiên n và M là R−mô đun

phải Khi đó những phát biểu sau tương đương:

(1) f d(M ) ≤ n.

(2) Tork(M, N ) = 0 với mọi R−mô đun trái N và mọi số nguyên k ≥ n + 1.

(3) Torn+1(M, N ) = 0 với mọi R−mô đun trái N.

(4) Đối với mọi dãy khớp

0 −→ Mn −→ Fn−1−→ · · · −→ F0 −→ A −→ 0.

những R−mô đun phải với F0, F1, , Fn−1 là dẹt, thì Mn là dẹt

Định nghĩa 1.40 N là R−mô đun phải Chiều nội xạ của N, kí hiệu là idR(N ) hay

id(N ) , là số nguyên n không âm nhỏ nhất sao cho Extn+1

(M, N ) = 0 với mọi R−mô đun phải M Nếu không tồn tại số nguyên nào như vậy thì ta quy ước id(N) = ∞ Nhận xét Mô đun E là nội xạ nếu và chỉ nếu id(E) = 0.

Định lý 1.41 ([6], Định lý 8.11, trang 458) Cho số tự nhiên n và N là R−mô đun

phải Khi đó những phát biểu sau tương đương:

(1) id(N ) ≤ n.

(2) Extk(M, N ) = 0 với mọi R−mô đun phải M và mọi số nguyên k ≥ n + 1.

(3) Extn+1(M, N ) = 0 với mọi R−mô đun phải M.

(4) Đối với mọi dãy khớp

0 −→ N −→ E0 −→ · · · −→ En−1 −→ Nn−→ 0.

những R−mô đun phải với E0

, E1, , En−1 là nội xạ, thì Nn là nội xạ

Định nghĩa 1.42 M là R−mô đun phải Chiều xạ ảnh của M, kí hiệu là pdR(M ) hay

pd(M ) , là số nguyên n không âm nhỏ nhất sao cho Extn+1

(M, N ) = 0 với mọi R−mô đun phải N Nếu không tồn tại số nguyên nào như vậy thì ta quy ước pd(M) = ∞ Nhận xét Mô đun P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu pd(P ) = 0.

Bổ đề 1.43 ([9], Bổ đề 2.1, trang 167) M là R−mô đun Khi đó ta có:

Định lý 1.45 ([6], Định lý 8.19, trang 462) R là vành bất kì Ta có rwD(R) = lwD(R).

Khi đó, ta định nghĩa chung cho rwD(R) = lwD(R) là wD(R), ta gọi là chiều toàn thể

yếu của vành R.

Mệnh đề 1.46 ([5], Định lý 3.3.2, trang 64) Cho R là vành, số nguyên n Khi đó các

điều sau tương đương:

(1) wD(R) ≤ n.

(2) id(M ) ≤ n, với mọi R−mô đun trái nội xạ thuần khiết M.

1.3 Tiền bao, bao, tiền phủ, phủ

Cho C là một lớp tập các R−mô đun, và M là một R−mô đun.

Định nghĩa 1.47 Đồng cấu φ : M −→ X gọi là tiền bao C (hay C−tiền bao) của M nếu X ∈ C và đồng cấu nhóm abel Hom(X, X0) −→ Hom(M, X0)là toàn cấu, với mọi

X0 ∈ C

Một tiền bao C của M φ : M −→ X gọi là bao C (hay C−bao) của M nếu mỗi tự đồng cấu f : X −→ X sao cho fφ = φ thì f là đẳng cấu.

Định nghĩa 1.48 Đồng cấu φ : X −→ M gọi là tiền phủ C (hay C−tiền phủ) của M nếu X ∈ C và đồng cấu nhóm abel Hom(X0

, X) −→ Hom(X0, M ) là toàn cấu, với mọi

đồng cấu g : X −→ X0 sao cho gφ = f.

Đồng cấu φ : X −→ M với X ∈ C được gọi là C−tiền phủ có tính chất ánh xạ duy nhất nếu mỗi đồng cấu f : X0 −→ M với X0 ∈ C thì tồn tại duy nhất đồng cấu

g : X −→ X0 sao cho φg = f.

Bổ đề 1.50 ([4], Bổ đề 6.3.3, trang 132) Nếu có C−tiền phủ M −→ X sao cho có đồng cấu hợp nối M −→ G −→ F với M −→ F là C−tiền phủ thì G −→ F là toàn

cấu

Khi đó ta có

Bổ đề 1.51 ([4], Bổ đề 6.3.4, trang 133) Nếu φ : M −→ X là một C−tiền phủ có tính chất như trên thì φ : M −→ X là một C− phủ.

Bổ đề 1.52 ([4], Hệ quả 6.4.4, trang 135) Nếu với mỗi i ∈ I,Mi −→ Ei là C−phủ và

⊕Mi có một C−phủ thì ⊕Mi −→ ⊕Fi là một C−phủ

Mệnh đề 1.53 ([4], Bổ đề 6.5.3, trang 137) Nếu M −→ F là bao dẹt và M là biểu diễn hữu hạn thì F là hữu hạn sinh và xạ ảnh.

Mệnh đề 1.54 ([5], Hệ quả 1.2.8, trang 13) Mô đun M có một C−phủ Khi đó, một

C−tiền phủ φ : X −→ M là C− phủ nếu và chỉ nếu không tồn tại một hạng tử trực tiếp K khác 0 của X mà K ⊂ kerφ.

Mệnh đề 1.55 ([4], Mệnh đề 6.2.4, trang 131) Cho R là vành Mỗi R−mô đun có một tiền bao F P −nội xạ.

1.4 Một số loại vành và tính chất

Định nghĩa 1.56 R được gọi là vành coherent trái nếu và chỉ nếu mỗi ideal trái hữu hạn sinh của R là biểu diễn hữu hạn.

R được gọi là vành nửa di truyền trái nếu và chỉ nếu mỗi ideal trái hữu hạn sinhlà xạ ảnh

Ví dụ

(1) Vành noetherian trái là vành coherent trái

(2) Vành nửa di truyền trái là vành coherent trái

Nhận xét R là vành nửa di truyền trái nếu và chỉ nếu l.F P − dim(R)≤ 1.

Bổ đề 1.57 ([12], Bổ đề 2, trang 176) Cho R là vành coherent trái R−mô đun con hữu hạn sinh của R−mô đun hữu hạn sinh tự do là biểu diễn hữu hạn.

Bổ đề 1.58 ([9], Bổ đề 2.3, trang 167) Cho R là vành coherent trái M là R−mô đun trái Ta có: F P − id(M) = fd(M+

Mệnh đề 1.61 ([6], Hệ quả 8.4.33, trang 190) R là vành coherent trái Khi đó các

điều sau tương đương:

(1) RR là F P −nội xạ.

(2) Mỗi R−mô đun là mô đun con của mô đun dẹt nào đó.

(3) Mỗi R−mô đun trái dẹt là F P −nội xạ.

(4) Mỗi R−mô đun phải F P −nội xạ là dẹt.

Định nghĩa 1.62 ([6], Định lý (Bass), trang 186) R là vành Khi đó các điều kiện sau

tương đương:

(1) R là vành hoàn chỉnh trái

(2) Mỗi R−mô đun trái dẹt là xạ ảnh.

Mệnh đề 1.63 ([6], Định lý 4.32 (Chase), trang 171)

(1) R là vành nửa di truyền trái

(2) R là vành coherent trái và mỗi mô đun con của mô đun dẹt là dẹt

Định nghĩa 1.64 R được gọi là vành IF trái nếu mỗi R−mô đun trái nội xạ là dẹt.

Ta đặt r.IFD(R) = sup{fd(E) : E là R−mô đun nội xạ phải}.

Nhận xét Vành nửa di truyền trái là vành IF trái và wD(R) ≤ 1.

r.IFD(R) = 0 khi và chỉ khi R là vành IF.

Mệnh đề 1.65 ([9], Định lý 3.8, trang 170) R là vành coherent trái Khi đó ta có

, với (Mi)i∈I là họ các vật trong C, và

họ các cấu xạ φi

Định nghĩa 1.67 Cho I là tập có thứ tự toàn phần, C là phạm trù và (Mi)i∈I, (φi

Cj.

α j

YY4 4 4 4 4 4 4 4

Mệnh đề 1.68 ([11], Bổ đề 1.2.3, trang 22) M là một R−mô đun Khi đó M là giới

hạn trực tiếp của một hệ trực tiếp của những mô đun biểu diễn hữu hạn

Mệnh đề 1.69 ([13], Định lý 1, trang 1) Các điều sau tương đương với vành R: (1) R là vành coherent trái

(2) M là R−mô đun F P −nội xạ trái khi và chỉ khi M+ là dẹt

(3) M là R−mô đun dẹt khi và chỉ khi M++ là dẹt

Mệnh đề 1.70 ([10], Định lý 4.5, trang 24) Các điều sau tương đương:

(1) R là vành coherent trái

(2) Giới hạn trực tiếp của những R−mô đun F P −nội xạ là F P −nội xạ.

Định nghĩa 1.71 Một R−mô đun trái C được gọi là cogenerator của RM nếu mỗi

R− mô đun trái M, mỗi m 6= 0, m ∈ M, thì tồn tại ánh xạ g : M −→ C sao cho

g(m) 6= 0

Nhận xét RR+ là một cogenerator của RM

Định nghĩa 1.72 Đặt FI là tập các R−mô đun F P −nội xạ Cho R là vành coherent trái, theo mệnh đề 1.59, mọi R−mô đun trái có một tiền phủ F P −nội xạ Vì thế với mỗi R−mô đun M ta có phức

· · · −→ F2 −→ F1 −→ F0 −→ M −→ 0 với Fi là các mô đun F P −nội xạ, với mọi i ∈ N Ta gọi dãy này là phép giải FI trái của M.

Theo mệnh đề 1.55, mỗi R−mô đun có một tiền bao F P −nội xạ nên ta cũng có định nghĩa tương tự cho phép giải FI phải của M.

Phép giải FI phải

0 −→ M −→ F0−→ F1 −→ F2 −→ · · · , của M được gọi là tối tiểu nếu mỗi đồng cấu Fn−→ Kn là một phủ F P −nội xạ, trong đó K0 = M, K1 = ker[F0 −→ M ], Kn = ker[Fn−1−→ Fn−2], với n ≥ 2

Chiều FI phải của R−mô đun trái M, kí hiệu right FI −dimM, là inf{n : có phép giải FI phải dạng 0 −→ M −→ F0 −→ F1 −→ · · · −→ Fn−→ 0 của M } Nếu

không tồn tại số nguyên dương n nào, ta kí hiệu right FI −dimM= ∞.

Chiều FI phải toàn thể của RM, kí hiệu gl right FI −dimRM, là sup{right FI

−dimM : M ∈RM}

Các khái niệm về chiều FI trái của M, chiều FI trái toàn thể của RMcũng đượcđịnh nghĩa tương tự như trên

Mệnh đề 1.73 ([4], Mệnh đề 8.4.8, trang 183) R là vành coherent trái, số nguyên

n ≥ 0 N là R−mô đun trái, khi đó các điều sau tương đương:

(1) right F I −dimN ≤ n.

(2) Ext (M, N ) = 0, với mọi M là R−mô đun trái biểu diễn hữu hạn, và mọi

k ≥ 1

(3) Extn+1(M, N ) = 0, với mọi M là R−mô đun trái biểu diễn hữu hạn.

(4) Đối với mọi dãy khớp 0 −→ N −→ F0

−→ · · · −→ Fn−1−→ Ln−→ 0, với Fi

là F P −nội xạ, khi đó ta có Ln là F P −nội xạ.

Ta đặt Flat là lớp các mô đun dẹt Projf g là lớp các mô đun xạ ảnh hữu hạn sinh

Mệnh đề 1.74 ([4], Định lý 8.4.31, trang 189) Cho R là vành coherent trái, số nguyên

n ≥ 0 Khi đó ta có

(1) Nếu dãy 0 −→ M −→ F0 −→ F1 −→ · · · là phép giải Flat phải của R−mô đun phải M, thì dãy này khớp tại Fk với mọi k ≥ n − 1, trong đó F−1

= M.(2) Nếu dãy 0 −→ M −→ P0

−→ P1 −→ · · · là phép giải Projf g phải của R−mô đun phải biểu diễn hữu hạn M, thì dãy này khớp tại Pk với mọi k ≥ n − 1, trong đó

P−1 = M

(3) Mỗi R−mô đun phải F P −nội xạ M, tồn tại dãy khớp 0 −→ Fn −→ · · · −→

F0 −→ M −→ 0, với Fi ∈ F lat.

(4) Tồn tại dãy khớp 0 −→ R −→ G0 −→ · · · −→ Gn−→ 0, với Gi ∈ F I

Hệ quả 1.75 ([4], Hệ quả 8.4.28, trang 189) Ta có

gl right Projf g− dimMRf g = gl right F I −dimRM−2

Chương 2

Mô đun FI−nội xạ và FI−dẹt

2.1 Mô đun FI−nội xạ và mô đun FI−dẹt

Định nghĩa 2.1

R− mô đun trái M được gọi là F I−nội xạ nếu Ext1

(G, M ) = 0 với mọi R−mô đun trái F P −nội xạ G.

R− mô đun phải N được gọi là F I−dẹt nếu Tor1(N, G) = 0 với mọi R−mô đun trái F P −nội xạ G.

Ví dụ

(1) R−mô đun E nội xạ là F I−nội xạ.

(2) R−mô đun F dẹt là F I−dẹt.

Nhận xét R−mô đun phải M là F I−dẹt nếu và chỉ nếu M+ là F I−nội xạ.

Chứng minh

Với mọi R−mô đun F P −nội xạ N, ta có

M+ là F I−nội xạ⇔ Ext1

(N, M+) = 0

⇔ Tor1(M, N )+ = Ext1(N, M+) = 0

⇔ Tor1(M, N ) = 0 ⇔ M là F I−dẹt.

Mệnh đề 2.2 Với R là vành coherent trái, ta có

(1) R−mô đun trái M là nội xạ nếu và chỉ nếu M là F I−nội xạ và F P −id(M) ≤ 1 (2) R−mô đun phải N là dẹt nếu và chỉ nếu N là F I−dẹt và fd(N) ≤ 1.

Chứng minh

Phần (1): Chiều thuận là hiển nhiên

Chiều nghịch: Cho M là F I−nội xạvà F P − id(M) ≤ 1 Do đó tồn tại dãy khớp

0 −→ M −→ E −→ L −→ 0 với E là nội xạ Với mọi F là biểu diễn hữu hạn, ta có Ext(F, M) −→ Ext(F, E) −→ Ext(F, L) −→ Ext2

(F, M ) khớp Vì E nội xạ nên Ext(F, E) = 0 và F P − id(M) ≤ 1 nên Ext2(F, M ) = 0 Suy ra Ext(F, L) = 0 Vì thế dãy khớp trên chẻ Vậy M là nội xạ.

Phần (2): Chiều thuận là hiển nhiên

Chiều nghịch: Cho N là F I−dẹt và fp(N) ≤ 1 Khi đó N+ là F P −nội xạ Và

Ext2(A, N+) = Tor2(A, N )+ = 0 với mọi A (do fp(N) ≤ 1) Nên Ext2

(G, N+) = 0

với mọi G là biểu diễn hữu hạn Suy ra F P − id(N+) ≤ 1 Theo (1), N+ là nội xạ Do

vậy N là dẹt.

Mệnh đề 2.3 M là R−mô đun trái Khi đó các điều sau tương đương:

(1) M là F I−nội xạ.

(2) Với mỗi dãy khớp 0 −→ M −→ E −→ L −→ 0, với E là F P −nội xạ thì đồng cấu E −→ L là tiền phủ F P −nội xạ của L.

(3) M là hạt nhân của tiền phủ F P −nội xạ f : A −→ B, với A là nội xạ.

(4) M nội xạ với dãy khớp 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0, với C là F P −nội xạ.

Chứng minh

(1)⇒(2):

Xét dãy khớp ngắn 0 −→ M −→ E −→ L −→ 0, với E là F P −nội xạ Với mọi N là F P −nội xạ ta có dãy khớp

0 −→ Hom(N, M ) −→ Hom(N, E) −→ Hom(N, L) −→ 0

vì Ext(N, M) = 0 do (M là F I−nội xạ) Vậy đồng cấu E → L là tiền phủ F P −nội xạ.

(2)⇒(3):

Xét dãy khớp ngắn 0 −→ M i

−→ E(M ) −→ E(M )/M −→ 0, với E(M) là bao nộipxạ của M Theo (2), p là tiền phủ F P −nội xạ của E(M)/M Hơn nữa từ dãy khớp, ta có M = imi = kerp.

(3)⇒(1):

M là hạt nhân của tiền phủ F P −nội xạ f : A −→ B, với A là nội xạ nên ta có dãy khớp 0 −→ M −→ A −→ imf −→ 0 Do đó mọi N là F P −nội xạ, ta có dãy khớp

0 −→ Hom(N, M ) −→ Hom(N, A) −→ Hom(N, imf ) −→ Ext(N, M ).

Vì f : A −→ B là tiền phủ F P −nội xạ của A nên f : A −→ imf cũng là tiền phủ F P −nội xạ của A Do đó Hom(N, A) −→ Hom(N, imf) là toàn cấu Suy ra

Ext(N, M ) = 0 Vậy M là F I−nội xạ.

(1)⇒(4):

Xét dãy khớp 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0, với C là F P −nội xạ Ta có dãy khớp

0 −→ Hom(C, M ) −→ Hom(B, M ) −→ Hom(A, M ) −→ Ext(C, M ).

Do M là F I−nội xạ nên Ext(C, M) = 0 Nên dãy

0 −→ Hom(C, M ) −→ Hom(B, M ) −→ Hom(A, M ) −→ 0

là khớp

(4)⇒(1):

Với mỗi mô đun F P −nội xạ N, tồn tại dãy khớp 0 −→ K −→ P −→ N −→ 0, với

P là xạ ảnh Do đó Ext(P, M) = 0 Ta có dãy khớp sau

0 −→ Hom(N, M ) −→ Hom(P, M ) −→ Hom(K, M ) −→ Ext(N, M ) −→ Ext(P, M )

Theo (4), ta có dãy

0 −→ Hom(N, M ) −→ Hom(P, M ) −→ Hom(K, M ) −→ 0 là khớp và Ext(P, M) = 0 nên Ext(N, M) = 0 Vậy M là F I−nội xạ.

Mệnh đề 2.4 Cho R là vành coherent trái M là R−mô đun trái, khi đó các điều sau

tương đương:

(1) M là một R−mô đun trái F I−nội xạ được rút gọn.

(2) M là hạt nhân của một phủ F P −nội xạ f : A −→ B, với A nội xạ.

Chứng minh

(1)⇒(2):

Theo mệnh đề 2.3, đồng cấu tự nhiên π : E(M) −→ E(M)/M là một tiền phủ

F P − nội xạ Hơn nữa E(M)/M có một phủ F P −nội xạ E(M) không có hạng tử trực tiếp khác 0 con của M = kerπ do M là được rút gọn Vậy theo mệnh đề 1.54 trang 14 thì đồng cấu π : E(M) −→ E(M)/M là một phủ F P −nội xạ.

(2)⇒(1):

Cho M là hạt nhân của phủ F P −nội xạ f : A −→ B, với A là nội xạ Nên

M = kerf ≤ A Theo mệnh đề 2.3, ta có M là F P −nội xạ.

Giả sử K là mô đun con nội xạ của M, thì K ≤ A Nên tồn tại mô đun L sao cho

A = K ⊕ L

Xét các đồng cấu p : A −→ L là phép chiếu, i : L −→ A là phép nhúng.

Với

x ∈ K ≤ kerf thì f(x) = 0, p(x) = 0 suy ra f[ip](x) = 0 Nên f(ip)(x) = f(x) = 0.

x ∈ L thì ip(x) = x nên f(ip)(x) = f(x).

Do vậy f(ip) = f, nên ta có biểu đồ sao giao hoán

Vì f là phủ nên ip là đẳng cấu Do đó i là toàn cấu Suy ra L = A Vậy K = 0 Nên

M là được rút gọn

Định lý 2.5 Cho R là vành coherent trái Khi đó, R−mô đun trái M là F I−nội xạ nếu và chỉ nếu M là tổng trực tiếp của một R−mô đun trái nội xạ và một R−mô đun trái F I−nội xạ được rút gọn.

E(M )/M có một phủ F P −nội xạ h : L −→ E(M)/M Do đó tồn tại các đồng cấu

γ : L −→ E(M ) và β : E(M) −→ L sao cho biểu đồ sau giao hoán

Suy ra h là toàn cấu Nên ta có biểu đồ giao hoán sau với dòng là khớp

trong đó K = ker h Hơn nữa, h là phủ F P −nội xạ nên βγ là đẳng cấu, vì thế

E(M ) = kerβ ⊕ imγ Mà L ∼ = imγ nên L và kerβ là nội xạ Do vậy, theo mệnh đề 2.4,

K là F I−nội xạ được rút gọn Theo biểu đồ trên, hai cột là đẳng cấu nên σφ cũng là đẳng cấu Suy ra M = kerσ ⊕ imφ, với K ∼ = imφ Hơn nữa biểu đồ sau giao hoán

Mệnh đề 2.6 Cho R là vành coherent trái Khi đó ta có:

(1) Nếu L là cokernel của tiền bao dẹt f : K −→ F của R−mô đun phải K, thì L là F I−dẹt.

(2) Nếu M là R−mô đun phải F I−dẹt biểu diễn hữu hạn thì M là cokernel của

tiền bao dẹt

Chứng minh

Phần (1):

Cho f : K −→ F là tiền bao dẹt của R−mô đun K, với F là R−mô đun dẹt,

L = cokerf = F/imf Khi đó ta có dãy khớp 0 −→ imf −→ F −→ L −→ 0 Do đó