môđun fp xạ ảnh và môđun fp nội xạ

Khi học môn này, chúng ta được học về môđun trên vành có đơn vị bất kỳ R, hàm tử Hom, hàm tử tenxơ, nhóm đồng điều, đối đồng điều của các phức, hàm tử xoắn Torn, hàm tử mở rộng Extn.. Ho

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-o0o -

HUỲNH NGỌC DIỄM

MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ

Thành phố Hồ Chí Minh , 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-o0o -

HUỲNH NGỌC DIỄM

MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUY ỄN VIẾT ĐÔNG

T hành phố Hồ Chí Minh , 2012

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả thầy, cô bộ môn Toán khoa Sư phạm trường Đại học Cần Thơ và các thầy, cô khoa Toán – tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, nhất là các thầy trong bộ môn Đại số, những người

đã tận tình giảng dạy cho tôi trong suốt thời gian học Đại học và Cao học Chính những kiến thức này là nền tảng quan trọng để tôi có thể thực hiện, hoàn thành luận văn này

Hơn hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy TS Nguyễn Viết Đông, người thầy luôn tận tình hướng dẫn, động viên, khích lệ, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn chỉnh luận văn này Tiếp theo, tôi cũng cảm ơn các anh, chị, các bạn trong chuyên ngành Đại số đã động viên tôi trong quá trình học tập cũng như sửa chữa những sai sót trong luận văn này

Lời cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến những người thân, những người bạn đã luôn bên tôi, ủng hộ tinh thần cho tôi trong cuộc sống cũng như trong học tập, đặc biệt là ba mẹ và cô tôi

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2011

Huỳnh Ngọc Diễm

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 4

BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT 3

MỞ ĐẦU 6

1 Lý do chọn đề tài 6

2 Mục đích của đề tài 6

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 7

4 Nội dung luận văn 7

5 Phương pháp nghiên cứu 7

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 8

1.1 Môđun, môđun tự do và đồng cấu môđun 8

1.2 Tổng trực tiếp trong 10

1.3 Dãy khớp 10

1.4 Hàm tử Hom 11

1.5 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ 13

1.6 Môđun hữu hạn sinh, môđun biểu diễn hữu hạn 14

1.7 Hàm tử tenxơ 15

1.8 Phức và đồng điều 17

1.9 Phép giải và tích mở rộng 19

1.10 Bao, phủ và lý thuyết đối xoắn 20

1.11 Cái kéo lại, cái đẩy đi 22

Chương 2 MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ 24

2.1 Khái niệm và các tính chất của môđun FP- xạ ảnh và môđun FP- nội xạ 24

2.2 Chiều FP- xạ ảnh và chiều FP- nội xạ 29

2.3 Bao và phủ 33

KẾT LUẬN ĐỀ TÀI 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

A ⊕R B Tổng trực tiếp trên R của hai môđun A và B

A ⊗R B Tích tenxơ trên R của hai môđun A và B

Hom(A, B) Tập hợp các đồng cấu từ A đến B

ExtnR(B, A) Tích mở rộng n chiều trên R của hai môđun A và B

Hn(X) Môđun đồng điều thứ n của phức X

Hn(X) Môđun đồng điều thứ n của phức X theo chỉ số trên

⊥

C, C⊥ Lớp trực giao của C

FIR Lớp các R- môđun FP- nội xạ

fpdR(M) Chiều FP- xạ ảnh của R- môđun M

fpdS(M) Chiều FP- xạ ảnh của S- môđun M

rfpD(R) sup{fpdR(M), M là R- môđun phải hữu hạn sinh} rfpD(S) sup{fpdS(M), M là S- môđun phải hữu hạn sinh} FP- id(M) Chiều FP- nội xạ của R- môđun M

r FP- dim(R) sup{FP- id(M), M là R- môđun phải}

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, ngày nay môn Đại số đồng điều đã và đang tràn ngập vào toán học Vì vậy, việc học môn này đã trở nên thực sự cần thiết và trở thành môn học bắt buộc trong chương trình Khi học môn này, chúng ta được học về môđun trên vành có đơn vị bất kỳ R, hàm tử Hom, hàm tử tenxơ, nhóm đồng điều, đối đồng điều của các phức, hàm tử xoắn Torn, hàm tử mở rộng Extn Khi học về môđun, chúng ta đã làm quen với khái niệm và tính chất môđun xạ ảnh, môđun nội

xạ Tuy nhiên, vì thời gian có hạn nên trong chương trình học chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu các môđun này ở mức độ cơ bản chưa có tính chất chuyên sâu Giả sử khi cho R là vành có đơn vị bất kỳ, M là R- môđun phải xạ ảnh, biểu diễn hữu hạn thì ta sẽ tính được số chiều của nó, vậy làm cách nào để tính được số chiều? Một môđun như thế nào được gọi là môđun xạ ảnh, môđun nội xạ biểu diễn hữu hạn? Cho C là lớp các R- môđun phải, C- tiền bao, C- bao,…được định nghĩa ra sao? Hoặc một vài mô tả của FP- môđun nội xạ là gì?,… Vì thế, để trả lời cho những câu hỏi này, là một học viên cao học chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số K20, tôi đã chọn môn Đại số đồng điều để nghiên cứu trong luận văn tốt nghiệp của mình với

đề tài “MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ”, trong đó FP là chữ viết tắt của Finitely Presented có nghĩa là “biểu diễn hữu hạn”

2 Mục đích của đề tài

Tổng hợp các kết quả về môđun, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, ta tiến hành nghiên cứu:

- Số chiều FP- xạ ảnh của các môđun dưới những thay đổi của các vành Cho R

và S là những vành coherent phải và ϕ: R → S là toàn cấu vành thì với S là R- môđun xạ ảnh phải và là R- môđun dẹt trái thì fpdR(M)= fpdS(M) với M là S- môđun phải bất kỳ và do đó rfpD(S) ≤ rfpD(R)

- Cho R và S là những vành coherent phải và S là mở rộng tốt của R thì fpdR(M)= fpdS(M) đối với bất kỳ S- môđun phải MS và rfpD(S) ≤ rfpD(R), dấu “ =

” xảy ra khi rfpD( R ) < ∞

- Đối với một vành coherent phải R, rfpD(R) ≤ 2 và mọi R- môđun phải (FP- nội xạ) có một bao FP- xạ ảnh khi và chỉ khi mọi R- môđun phải (FP- nội xạ) có một bao FP- xạ ảnh với tính chất ánh xạ duy nhất

- Cuối cùng, chúng ta sẽ xét những tiền phủ FP- xạ ảnh dưới mở rộng tốt của những vành

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Cho R là vành có đơn vị bất kỳ đồng thời là vành coherent phải, S là vành coherent phải và là mở rộng tốt của R, M là R- môđun phải biểu diễn hữu hạn Luận văn sẽ trình bày một số lý thuyết về FP- nội xạ, C- tiền bao, C- bao,…, các kết quả

về số chiều FP- xạ ảnh, một số mô tả về những bao FP- nội xạ, tiền phủ FP- xạ ảnh

4 N ội dung luận văn

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương 2: MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ

5 Phương pháp nghiên cứu

Trên cơ sở các kiến thức đã biết về môđun, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ cùng với việc nghiên cứu các tài liệu đặc biệt là các bài báo khoa học liên quan đến môđun FP- xạ ảnh và môđun FP- nội xạ

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này chủ yếu trình bày các kiến thức cơ bản cần thiết cho chương sau Chứng minh các kết quả trong chương này hầu như bỏ qua và có thể tìm thấy trong tài liệu tham khảo Trong toàn bộ luận văn ta luôn xét R là vành bất kỳ có đơn vị 1

1.1 Môđun, môđun tự do và đồng cấu môđun

Định nghĩa 1.1.1 Nhóm cộng aben (M, +) được gọi là môđun trái trên vành R (R-

môđun trái), ký hiệu là R M, nếu trên M ta đã xác định được một tác động trái từ R, tức có ánh xạ μ : R M× →M mà μ(r,m) rm= thỏa mãn:

 M1: 1m = m

 M2: (rs)m = r(sm)

 M3: r(m + n) = rm + rn

 M4: (r + s)m = rm + sm

với mọi r,s R∈ và với mọi m,n M∈

Định nghĩa 1.1.2 Nhóm cộng aben (M, +) được gọi là môđun phải trên vành R (R-

môđun phải), ký hiệu là M R, nếu trên M ta đã xác định được một tác động phải từ R, tức có ánh xạ φ : M R× →M mà φ(m,r) mr= thỏa mãn:

 M1: m1 = m

 M2: m(rs) = (mr)s

 M3: (m + n)r = mr + nr

 M4: m(r + s) =mr + ms

với mọi r,s R∈ và với mọi m,n M∈

Định nghĩa 1.1.3 Cho R và S là các vành, nhóm cộng aben M được gọi là S- R-

song môđun, ký hiệu là S M R, nếu M là một S- môđun trái và là một R- môđun phải

và các cấu trúc này là tương thích, tức là (sm)r = s(mr) với mọi s ∈ S, r ∈ R, m ∈

M

Từ đây, nếu không cần nhấn mạnh môđun trái hay môđun phải trên R ta chỉ cần nói ngắn gọn là R- môđun

Định nghĩa 1.1.4 Cho M là một R – môđun, tập A ≠ ∅ trong M được gọi là bộ

Định lý 1.1.5 ([1], định lý 1, trang 11) Mỗi bộ phận ổn định A của môđun M, cùng

với phép toán cảm sinh lập thành một R- môđun

Định nghĩa 1.1.6 A được gọi là môđun con của M, ký hiệu A  M khi và chỉ khi với mọi x, y ∈ A thì x + y ∈ A và với mọi r ∈ R, với mọi x ∈ A thì rx ∈ A

Định lý 1.1.7 ([1], định lý 3, trang 12) Cho M là R- môđun, giao của họ khác rỗng

các môđun con của M là một môđun con của M

Định nghĩa 1.1.8

 Cho M là R- môđun, S ⊂ M, môđun con sinh bởi tập S, ký hiệu 〈S〉 là giao của họ

tất cả các môđun con của M và chứa S

 Một tổ hợp tuyến tính của S là một tổng hữu hạn dạng r1m1 + r2m2 +…+ rnmn trong đó r1, r2, …, rn ∈ R; m1, m2,…, mn ∈ S

 Cho M là R- môđun trái, A  M Tập thương M/A = {m + A: m ∈ M} muốn trở thành R- môđun thì ta xác định trên M/A phép nhân ngoài từ R như sau: với mọi r ∈

R, mọi m + A ∈ M/A thì r(m + A) = rm + A Phép nhân ngoài này thỏa các tiên đề

từ M1 đến M4

Do đó, tập thương M/A đã xác định được cấu trúc R- môđun trái Ta gọi M/A là

môđun thương của môđun M theo môđun con A

Định nghĩa 1.1.9

 Cho môđun M trên vành R Tập S ⊂ M được gọi là hệ sinh của M nếu 〈S〉 = M tức

là với bất kỳ phần tử m ∈ M thì m = r1s1 + r2s2 +…+ rnsn với r1, r2, …, rn ∈ R; s1,

s2,…, sn ∈ S

 Tập S ⊂ M được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ r1s1 + r2s2 +…+ rnsn = 0 thì r1 =

r2 = … = rn = 0

 Tập S ⊂ M không độc lập tuyến tính thì được gọi là phụ thuộc tuyến tính

 Tập S ⊂ M được gọi là cơ sở của M nếu S vừa là hệ sinh vừa độc lập tuyến tính

 Môđun M khác môđun không có cơ sở được gọi là môđun tự do

Định nghĩa 1.1.10

 Cho M, N là các R- môđun Ánh xạ f: M → N được gọi là R- đồng cấu nếu với

mọi m, m1, m2 ∈ M và với mọi r ∈ R thì:

f (m1 + m2) = f(m1) + f(m2) f(rm) = rf(m)

 Đồng cấu f được gọi là đơn cấu (toàn cấu) nếu f đồng thời là đơn ánh (toàn ánh)

 Đồng cấu f được gọi là đẳng cấu nếu f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu

Thay cho dấu “≅ ” ta có thể viết dấu “ = ”, tức M = A ⊕ B Khi đó ta nói M là tổng

trực tiếp trong của hai môđun con A, B của M

Định nghĩa 1.2.2 Môđun con A của M được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu có

môđun con B của M sao cho M = A ⊕ B Khi đó, môđun B được gọi là hạng tử bù

trực tiếp của môđun con A

 Một môđun trong dãy các đồng cấu được gọi là môđun trung gian nếu tại đó vừa

có đồng cấu vào vừa có đồng cấu ra

 Dãy các đồng cấu được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mỗi môđun trung gian

 Dãy khớp các đồng cấu được gọi là dãy khớp ngắn nếu dãy đó có dạng:

0→ → → → A χ B σ C 0

thì χ là đơn cấu, σ là toàn cấu, Im(χ) = Ker(σ)

 Dãy khớp các đồng cấu f g

A B C

⋅⋅⋅ → → → → ⋅⋅⋅ được gọi là chẻ ra tại

môđun B nếu Im(f) là một hạng tử trực tiếp của B, tức tồn tại môđun con B1 sao cho

B = Im(f) ⊕ B1

 Một dãy khớp được gọi là chẻ, nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian

1.4 Hàm tử Hom

Định nghĩa 1.4.1

 Cho M, N là các R- môđun, tập hợp tất cả các đồng cấu từ môđun M đến môđun

N , ký hiệu là Hom R (M, N) hay Hom(M, N) Trên Hom(M, N) ta định nghĩa phép cộng như sau:

Với cặp đồng cấu bất kỳ f, g ∈ Hom(M, N), tổng (f + g) là ánh xạ từ M đến N xác định bởi công thức: với mọi m ∈ M thì (f + g)(m) = f(m) + g(m)

Rõ ràng Hom(M, N) với phép cộng được xác định như trên lập thành một nhóm cộng aben

 Nếu M là một R- môđun thì ánh xạ ϕ:Hom (R, M)R → M cho bởi (f ) f (1)ϕ = là một R- đẳng cấu môđun

 Cho đồng cấu :A Bα → và M là môđun cố định Các ánh xạ cảm sinh từ α là α ∗

và α ∗ được xác định theo các công thức sau:

*

α :Hom(M,A)→Hom(M,B)mà α (f) = αf,* ∀ ∈f Hom(M,A)

*

α :Hom(B,M)→Hom(A,M)mà α (g) = gα,* ∀ ∈g Hom(B,M)

Định nghĩa 1.4.2 Xét phạm trù các R- môđun trái, ký hiệu là Mod và môđun M ∈

Mod

 Hàm tử Hom(M, _ ): Mod → Ab được cho như sau:

 Đặt mỗi vật A ∈ Mod tương ứng với nhóm Hom(M, A) ∈ Ab

 Đặt mỗi R- đồng cấu α: A→ B tương ứng với đồng cấu nhóm

*

α :Hom(M,A)→Hom(M,B) theo quy tắc α (f) = αf,* ∀ ∈f Hom(M,A)

 Phản hàm tử Hom( _ ,M): Mod → Ab được cho như sau:

 Đặt mỗi vật A ∈ Mod tương ứng với nhóm Hom(A, M) ∈ Ab

 Đặt mỗi R- đồng cấu α: A→ B tương ứng với đồng cấu nhóm

α :Hom(B,M)∗ →Hom(A,M) theo quy tắc α (g) = gα,* ∀ ∈g Hom(B,M)

Như vậy, với mỗi môđun M, ta có thể xác định được một hàm tử Hom(M, _ ) và một phản hàm tử Hom( _, M) Ta gọi chung các hàm tử và phản hàm tử đó là các hàm tử Hom

Định lý 1.4.3 ([1], định lý 1, trang 68) Với mỗi môđun M và với bất kỳ dãy khớp

Tức là các hàm tử Hom chỉ bảo toàn tính khớp trái của dãy khớp ngắn

Định lý 1.4.4 ([1], định lý 2, trang 70) Với mỗi môđun M, nếu ta có dãy khớp

1.5 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ

Định nghĩa 1.5.1 Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu

σ : B→C, mỗi đồng cấu f : P→C, tồn tại đồng cấu φ : P→ sao cho fB =σϕ Hay: Môđun P là môđun xạ ảnh nếu hàm tử Hom(P, _ ) là hàm tử khớp

Như vậy, môđun P là môđun xạ ảnh khi và chỉ khi với bất kỳ dãy khớp ngắn:

0→ A → B → → C 0dãy các nhóm aben sau là khớp:

0→Hom(P, A)→χ Hom(P, B)→σ Hom(P, C)→ 0

Định lý 1.5.2 ([1], định lý 1, trang 73) Mỗi môđun tự do M đều là môđun xạ ảnh Định lý 1.5.3 ([1], định lý 3, trang 75) Đối với mỗi môđun P, ba phát biểu sau là

tương đương:

(i) P là môđun xạ ảnh

(ii) Mỗi dãy khớp 0→ → → → A χ B σ P 0 là chẻ ra

(iii) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do

Nhận xét Với M là môđun bất kỳ, ta luôn có dãy khớp 0→ → →N P M→ với P 0

là môđun xạ ảnh

Định nghĩa 1.5.4 Môđun J được gọi là môđun nội xạ khi và chỉ khi với mỗi đơn

cấu χ :A→ , mỗi đồng cấu f :A JB → , tồn tại đồng cấu :B Jφ → sao cho f =φχ Hay: môđun J được gọi là môđun nội xạ nếu hàm tử Hom( _ , J) là hàm tử khớp Như vậy, J là môđun nội xạ khi và chỉ khi hàm tử Hom( _ , J) chuyển mỗi dãy khớp ngắn 0→ A χ→ B σ→ → C 0 thành dãy khớp các nhóm aben sau:

∗

Định lý 1.5.5 (Định lý Baer) ([1], định lý 5, trang 77) J là R- môđun nội xạ khi và

chỉ khi với bất kỳ iđêan trái I của R và bất kỳ đồng cấu f: I → J, luôn luôn tồn tại

phần tử q ∈ J sao cho với mọi λ∈ I, ta có f(λ) = λq

Định lý 1.5.6 ([1], định lý 9, trang 82) Mỗi môđun M đều có thể nhúng vào một

môđun nội xạ N(M) nào đó, xem như là môđun con của N(M)

Định lý 1.5.7 ([1], định lý 10, trang 82) Với bất kỳ môđun J, ba phát biểu sau là

tương đương:

(i) J là mô đun nội xạ

(ii) Mọi dãy khớp 0→ → → → J χ B σ C 0 là chẻ ra

(iii) J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ nào đó

Nhận xét Với M là môđun bất kỳ, ta luôn có dãy khớp 0 M J→ → → → N 0 với J

là môđun nội xạ

1.6 Môđun hữu hạn sinh, môđun biểu diễn hữu hạn

Định nghĩa 1.6.1 Cho M là R- môđun phải, M được gọi là môđun hữu hạn sinh

nếu nó có tập sinh hữu hạn, tức là: tồn tại a1, a2,…, an ∈ M sao cho với mọi m ∈ M thì tồn tại r1, r2,…,rn ∈ R để m = a1r1 + a2r2 + … + anrn

Ta gọi {a1, a2,…, an} là tập sinh của M

Định nghĩa 1.6.2 Một R- môđun M được gọi là biểu diễn hữu hạn nếu tồn tại dãy

R →R →M→ 0 với m, n ∈ nào đó

Từ dãy khớp ta có M ≅ Rn/ Im[Rm → Rn] Do đó M đẳng cấu với môđun thương của

môđun hữu hạn sinh

Nhận xét

M là môđun biểu diễn hữu hạn nếu và chỉ nếu tồn tại dãy khớp ngắn

0→ K → F →M→ 0 với F là môđun hữu hạn sinh tự do, K là môđun hữu hạn sinh

Bổ đề 1.6.3 ([3], Lemma 2.1, page 50) Cho R là vành và dãy khớp các R- môđun

Định nghĩa 1.6.4 Một vành R được gọi là vành coherent phải (trái) nếu mọi iđêan

phải (trái) hữu hạn sinh của R đều biểu diễn hữu hạn

∃!f

τ

1.7 Hàm tử tenxơ

Định nghĩa 1.7.1 Cho MR và RN lần lượt là các R- môđun phải và R- môđun trái,

G là nhóm aben Ánh xạ : M Nϕ × →Gđược gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu

với mọi r ∈ R và mọi m ∈ M, n ∈ N

Định nghĩa 1.7.2 Cho MR và RN lần lượt là các R- môđun phải và R- môđun trái

Tích tenxơ của các môđun M và N, ký hiệu là M ⊗ N là các nhóm aben sao cho ánh

xạ song tuyến tính : M Nτ × →M⊗ có tính chất phổ dụng đối với bất kỳ ánh xạ Nsong tuyến tính : M Nϕ × →G, tức là với mỗi ánh xạ song tuyến tính ϕ đó, tồn tại

và duy nhất đồng cấu f : M N⊗ → G thỏa mãn ϕ = τ f

M × N M ⊗ N

G

Định lý 1.7.3 ([1], định lý 1, trang 86) Cho M R và R N lần lượt là các R- môđun phải và R- môđun trái Khi đó tích tenxơ M ⊗ N là tồn tại và duy nhất sai khác nhau một đẳng cấu

 Đặt mỗi vật M ∈ RMod tương ứng với nhóm (A ⊗ M) ∈ Ab

 Đặt mỗi đồng cấu α: M→ N tương ứng với đồng cấu nhóm

 Đặt mỗi vật M ∈ Mod R tương ứng với nhóm (M ⊗ B) ∈ Ab

 Đặt mỗi đồng cấu α: M→ N tương ứng với đồng cấu nhóm

B

Định lý 1.7.7 ([1], định lý 4, trang 100) Các hàm tử (A ⊗ _ ) và (_ ⊗ B) là các hàm tử khớp về bên phải Tức là:

Định lý 1.7.8 ([1], định lý 5, trang 101) Các hàm tử tenxơ (A ⊗ _ ) và (_ ⊗ B) bảo

toàn tính khớp và chẻ của các dãy khớp ngắn và chẻ

Định nghĩa 1.7.9

 Cho M là R- môđun phải, M được gọi là môđun dẹt phải nếu hàm tử (M ⊗ _ ) là

hàm tử khớp Tức là: nếu có dãy khớp các R- môđun trái

0→ A χ→ → → B σ C 0 thì dãy sau là khớp:

0→M⊗ → ⊗ → ⊗ → A ⊗χ M B ⊗σ M C 0

 Cho M là R- môđun trái, M được gọi là môđun dẹt trái nếu hàm tử ( _ ⊗ M) là

hàm tử khớp Tức là: nếu có dãy khớp các R- môđun phải

Với mọi R- môđun phải M ta có M R ⊗ R ≅ M

Với mọi R- môđun trái N ta có R ⊗ R N ≅ N

1.8 Phức và đồng điều

⋅⋅⋅ → → → → ⋅⋅⋅ được gọi là dãy

nửa khớp nếu tại mỗi môđun trung gian của dãy, ảnh của đồng cấu vào được chứa

trong hạt nhân của đồng cấu ra Tức là, một dãy các đồng cấu là nửa khớp nếu tích của hai đồng cấu liên tiếp của dãy luôn luôn là đồng cấu 0

Định nghĩa 1.8.2 Một phức các đồng cấu là một dãy nửa khớp đánh số theo tập tất

cả các số nguyên Có hai loại phức: phức tiến và phức lùi

 Một phức được gọi là phức tiến nếu chiều tăng của các chỉ số trong phức cùng

chiều với các mũi tên đồng cấu trong phức Phức tiến có dạng:

K :⋅⋅⋅ →K − ∂ − →K →∂ K + → ⋅⋅⋅

 Một phức được gọi là phức lùi nếu chiều tăng của các chỉ số trong phức ngược

chiều với các mũi tên đồng cấu trong phức Phức lùi có dạng:

 Phức X = {Xn, ∂n} được gọi là phức dương nếu Xn = 0 khi n < 0

 Phức X = {Xn, ∂n} được gọi là phức âm nếu Xn = 0 khi n > 0

Giả sử ta có phức âm với chỉ số thường dùng

aben: Hom(Xn 1, G) n 1 Hom(X , G)n n Hom(Xn 1, G)

 Đồng điều của phức Hom(X, G) được gọi là đối đồng điều của phức X với hệ số

trong G Đó là các nhóm aben được đánh số theo chỉ số trên:

Hn(X, G) = Hn(Hom(X,G)) = Ker(δn) / Im(δn-1)

 Nếu Xn là môđun tự do (tương ứng môđun xạ ảnh) trên R với mọi n ≥ 0 thì phép

giải ở trên được gọi là phép giải tự do (tương ứng phép giải xạ ảnh) của môđun M

Định lý 1.9.2 ([1], định lý 1, trang 147) Mọi môđun M trên R đều có một phép

Trong đó các đồng cấu δn-1 = Hom(∂n, i), với i là tự đồng cấu đồng nhất của môđun

N Với mỗi số nguyên dương n, nhóm đối đồng điều n( )

H Hom(X, N) được gọi là

tích mở rộng n – chiều trên R của các môđun M và N đã cho Ký hiệu là

Ext M, N =H Hom(X, N) =H X, N =Ker δ / Im δ

 Khi n = 1, ta dùng ký hiệu Ext M, N ( ) và gọi là tích mở rộng của môđun M và N

Ext M, N =H Hom(X, N) =Ker δ ≅Hom M, N

Nhận xét Dãy khớp ngắn 0 M N→ → → → là chẻ khi và chỉ khi Ext(P, M) = P 0

0

Định lý 1.9.4 ([1], định lý 1, 2, trang 163)

 Nếu R- môđun trái (phải) P là xạ ảnh thì n( )

Ext P,N = 0, ∀n > 0 và mọi R- môđun trái (phải) N

 Nếu R- môđun trái (phải) J là nội xạ thì n( )

Ext M,J = 0, ∀n > 0 và với mọi R- môđun trái (phải) M

1.10 Bao, phủ và lý thuyết đối xoắn

Khi đó ⊥C và C⊥ được gọi là những lớp trực giao của C

 Nhận xét Đối với mọi lớp C, ta có ⊥( )⊥

(i) Chứng minh F⊥ = C

Với F ∈ F⊥ thì Ext(M, F) = 0, ∀M ∈ F, suy ra F ∈ C, suy ra F⊥ ⊂ C

Với C ∈ C suy ra Ext(F, C) = 0, ∀F ∈ F (do Flà lớp các R- môđun xạ ảnh), suy

C suy ra Ext(M, B) = 0, ∀B ∈ C, suy ra M là môđun xạ ảnh hay M ∈

 Đồng cấu : Cϕ →M được gọi là F - tiền phủ có tính chất ánh xạ duy nhất nếu

đối với bất kỳ đồng cấu '

f : C →M với C′ ∈ F, tồn tại duy nhất đồng cấu

'

g : C → sao cho f = gC ϕ