Môđun nội xạ, tựa nội xạ và các mở rộng

MỞ ĐẦUViệc mở rộng các lớp môđun là một trong những vấn đề đang được cácnhà nghiên cứu về lý thuyết vành và lý thuyết môđun quan tâm.. Luận văn nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội

MỞ ĐẦU

Việc mở rộng các lớp môđun là một trong những vấn đề đang được cácnhà nghiên cứu về lý thuyết vành và lý thuyết môđun quan tâm Đặc biệt,môđun nội xạ là một trong hai trụ cột chính của lý thuyết môđun, từ đó ứngdụng để đặc trưng vành Nhưng điều kiện để một môđun là nội xạ quá mạnh,

do đó một số lớp vành khó có thể đặc trưng qua lớp môđun này Vì vậy người

ta đã mở rộng nghiên cứu lớp môđun nội xạ và trong những năm của thập kỷ

80, 90 các nhà toán học đã đạt được nhiều kết quả tốt trong việc nghiên cứucác lớp môđun mở rộng của môđun nội xạ

Môđun giả nội xạ là một mở rộng của môđun nội xạ từ lâu đã đượcnghiên cứu bởi Bharadwaj and Tiwary (1982), Jain and Singh (1975), Singh(1968), Singh and Jain (1967), Singh and Wasan (1971), Teply (1975),Tiwary and Pandeya (1978), Wakamatsu (1975) và gần đây là Đinh QuangHải và Lopéz-Permouth

Từ định nghĩa, chúng ta thấy rằng môđun tựa nội xạ là giả nội xạ nhưngđiều ngược lại không đúng Trong [13] đã chỉ ra những ví dụ về môđun giảnội xạ nhưng không phải là môđun tựa nội xạ Tuy vậy, có rất nhiều tính chất

cơ bản của môđun tựa nội xạ và môđun nội xạ thoả mãn cho môđun giả nội

xạ Luận văn nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạ và một số điềukiện đủ để môđun giả nội xạ là tựa nội xạ

Chương 1: Môđun nội xạ và môđun tựa nội xạ

Trong chương này chúng tôi đề cập đến những tính chất đặc trưng củamôđun nội xạ, môđun M -nội xạ, môđun tựa nội xạ và mối quan hệ giữachúng

Chương 2: Môđun giả nội xạ

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu những tính chất của môđun giảnội xạ, mối liên hệ giữa môđun giả nội xạ với môđun nội xạ và môđun tựa nộixạ

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại Học Vinh dưới sự hướngdẫn của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới thầy, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và động viên tôi rất nhiềutrong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn.

Tôi xin cảm ơn NCS Lê Văn An cùng các thành viên trong Xêmina

“Môđun và vành” đã đóng góp nhiều ý kiến bổ ích trong quá trình hoàn thànhluận văn

Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy cô giáo trong Khoa Toán, các cán bộKhoa Sau đại học trường Đại học Vinh và các anh chị em học viên Cao học

12, chuyên nghành Đại số - Lý thuyết số đã động viên giúp đỡ và có nhiều ýkiến đóng góp trong quá trình hoàn thành luận văn

Tôi rất mong nhận được sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và cácbạn

Vinh, tháng 11 năm 2006

Tác giả

Chương I

MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN TỰA NỘI XẠ

Trong chương này, chúng tôi đưa ra khái niệm về môđun nội xạ, tựanội xạ và các mối quan hệ giữa chúng cũng như các tính chất sẽ được sử dụngtrong Chương II Chúng ta sẽ bắt đầu bằng liệt kê các tính chất cơ bản nhấtđược biết đến của môđun nội xạ, những tính chất này có thể tìm thấy trong [2]hoặc [11]

Một môđun E là nội xạ nếu nó thoả mãn một trong những điều kiện

tương đương sau:

(1) Mọi môđun A và mọi môđun con bất kì X nào đó của A, mọi đồng cấu

i) Một môđun N gọi là A - nội xạ (A-injective) nếu với mọi môđun con X

của A, với mọi đồng cấu  :X  N đều mở rộng được thành đồng cấu

ii) Môđun N được gọi là nội xạ (injective module) nếu N là A-nội xạ vớimọi môđun A.

f :    là đơn cấu nên ta có thể xem N như là một môđun con của A.

Do N là A-nội xạ nên tồn tại đồng cấu g:A  N sao cho gf  1N

Từ (1) và (2) suy ra AImf Kerg (3)

Giả sử a Imf Kerg, khi đó:

) (

a g

n f a

Với mọi môđun X  B ta có X  A Mà N là A-nội xạ nên

Với mọi đồng cấu  :X  N luôn mở rộng được thành đồng cấu h:A  N

Vì N là A - nội xạ nên   :A  N sao cho  '  i

Ta có B  A và  (B)  i(B) (vì B  X )

 ' B( )

 ( 0 )  0

Vậy B  Ker hay Ker  Ker

 là toàn cấu nên ta có thể chọn :A  B N sao cho   

(X  S nên S  , S thoả mãn bổ đề Zorn.

Vậy ta có thể tìm được cặp (B,  ) tối đại theo nghĩa X BA và

Giả sử B không cốt yếu trong A, khi đó có môđun Y  A, Y  0 saocho BY  0.

Dễ dàng kiểm tra  là đồng cấu và  là mở rộng của 

Vậy (B,  )  (BaR,  ) điều này trái với (B,  ) tối đại

Vậy B  A và  :A  N là mở rộng của  hay N là A-nội xạ ‡

1.6 Mệnh đề

Môđun N là ( i)

I i

A



I i

 là A -nội xạ với mọi tập con đếm được I  A.

(3) M là A-nội xạ    và mọi cách chọn m iMi(i  )với i sao

o

i n m





1.9 Hệ quả [11]

i i

Cho họ R- môđun M :    Ta có các điều kiện

(A1) Mọi cách chọn i  , (i  ) và m i Mi thì dãy tăng

o

i n m

Một môđun N là A-nội xạ nếu và chỉ nếu A  N với mọi

)) ( ), (

Hom



)

 Giả sử X  A và  :X  N là một đồng cấu vì E (N) là nội xạ nên

 có thể mở rộng được tới  :A   E(N) Theo giả thiết của điều kiện đủ

M là M -nội xạ   ,   ” là một điều kiện cần để M là môđun tựa nội

xạ Kết quả sau đây (tương tự Mệnh đề 1.11) chỉ ra rằng điều kiện này cũng làmột điều kiện đủ khi điều kiện (A2) được thoả mãn

2.7 Mệnh đề

MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ

§1 MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ

1.1 Định nghĩa

Cho M , N là những môđun trên R

i) Môđun N được gọi là M -giả nội xạ (M-pseudo-injective) nếu mọi môđun

con A của M , mọi đơn cấu  :A  N có thể mở rộng tới đồng cấu  :M  N

sao cho   i

ii) Môđun N được gọi là giả nội xạ nếu N là N -giả nội xạ

iii) Hai môđun A và B gọi là giả nội xạ lẫn nhau nếu A là B-giả nội xạ và

 m f(n) Kerg (2)

Từ (1) và (2) suy ra M Im f Kerg (3)

Bây giờ ta giả sử có m Imf Kerg, khi đó

) (

m

g

n f m

với n  N nào đó  gf(n)  0 hay 1N(n)  0  n 0

Vậy mf(n) f( 0 )  0 hay Imf Kerg  0 (4)

Từ (3) và (4) suy ra M Imf Kerg ‡

1.3 Mệnh đề

Nếu N là môđun M -giả nội xạ thì N là môđun A - giả nội xạ với A

là môđun con bất kỳ của M

Chứng minh

Với mọi môđun X  A ta có X  M (vì A  M )

Mà N là M - giả nội xạ nên với mọi đơn cấu  :X  N luôn được mởrộng được thành đồng cấu h:M  N sao cho  hi

Chọn  h | A Khi đó  là mở rộng của  nên  là A- giả nội xạ

Vậy g là một đơn cấu Vì N là M -giả nội xạ nên g mở rộng được thành g* :M  N sao cho g g*i

Giả sử M là môđun giả nội xạ và M AB Ta chứng minh A cũng

là môđun giả nội xạ

Thật vậy giả sử X  A và f:X  A là một đơn cấu

Xét phép nhúng i A:A M thì i A là đơn cấu

a (a, 0 )

Do đó i A f là đơn cấu từ X vào M

Vì M là môđun giả nội xạ nên tồn tại đồng cấu g:M  M là mở rộngcủa i A f,i A f gi

Chọn  g A thì  gi A

Chọn   A trong đó A:M AB   A là phép chiếu tự nhiên ta có

f f i gi i

g nhúng vào M nên X  M Khi đó do A là môđun M -giả nội

xạ nên f có thể mở rộng thành  :M  A sao cho f  gi

Đặt   g:N  A ta có

f gi

(

:E M   E N

 Đặc biệt, nếu P là giả nội xạ thì  (P ) P với mọi đơn cấu

)) (

X m

 1, 2 thì  (m1),  (m2) N, do đó  (m1  m2)   (m1)   (m2) N

X m

m  

M m R

r  

N m r

Vậy X là môđun con của M

Vì N là môđun M - giả nội xạ nên đơn cấu thu hẹp  X mở rộng đượcthành đồng cấu  :M  N sao cho i 

Lấy nN (    )(M), khi đó m  M sao cho

) ( ) ( ) )(

n       

N m n

Vậy  (M)   (M) N ‡

1.9 Mệnh đề

Cho A và B là các môđun giả nội xạ lẫn nhau Nếu E(A) E(B) thì mọi đẳng cấu E(A)    E(B) đều thu gọn được thành đẳng cấu A  B hay nói riêng A  B Từ đó suy ra A, B là các môđun giả nội xạ.

Vì f là đẳng cấu nên f1 :E(B)   E(A) cũng là một đẳng cấu

Bây giờ ta giả sử X là một môđun con của A và  là đơn cấu bất kỳ

từ X  A Do A là B-giả nội xạ nên tồn tại đồng cấu g:B  A sao cho

Vậy A là môđun A- giả nội xạ hay A là môđun giả nội xạ ‡

Bây giờ, cho M là một R- môđun, ta xét các điều kiện sau đây:

(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M

hay nói khác đi mọi môđun con đóng của M là hạng tử trực tiếp của M

(C2) Nếu một môđun con của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếpcủa môđun M thì nó là hạng tử trực tiếp của M

(C3) Nếu A, B là các hạng tử trực tiếp của môđun M và AB 0 thì

Giả sử M là môđun giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của M

M B

A  Ta sẽ chứng minh B là hạng tử trực tiếp của M

Thật vậy, gọi f:B  A là một đẳng cấu, khi đó f là đơn cấu từ B vào

(i) M là N-giả nội xạ.

(ii) Bất kì môđun A X sao cho AM AN  0 đều tồn tại môđun con T của X sao cho A  T và MT X

)

M 

  nghĩa là  ( N(a))   ( N(b)) Vậy  là ánh xạ

*) Giả sử có a,bA và r  R, ta có:

)) ( ( )) ( ) (

( N a  N b   N ab



)) ( ( )) ( (

) ( ) (

) (

b a

b a

b a

N N

M M

( )) ( ( )) ( (rN a  N ra M ra rM a r N a

Vậy  là đồng cấu môđun

*) Bây giờ ta xét Ker N(a) |  ( N(a))  0 ,a A

0

| ) (

A ,

| ) (

N

N A a a

a N a a







Vậy  là đơn cấu

Vì N(A) N ,  : N(A)    M(A) là đơn cấu nên  cũng là đơn cấu từ

n g m n g n n m x

N n n g n

, suy ra nx g(n) M Vậy nMN  0, suy ra xng(n)  0 g( 0 )  0

Nếu có nAN thì nb f (b) với b  B nên f(b) b nN , mà

M

b

f( )  nên f(b)  0 (vì M N  0) Hơn nữa, f là đơn cấu nên b 0 Suy

ra nb f(b)  0  f( 0 )  0 hay AN  0 (2)

Từ (1) và (2), theo giả thiết tồn tại môđun con T của X sao cho A  T

với MT X Gọi  :MT  M là phép chiếu tự nhiên , ta có:

B

b 

 thì f(b) M và b f(b) AT

) ( ) (b f b f

b

b   nên  (b ) f(b), suy ra  |N là mở rộng của f.

Vậy, M là N-giả nội xạ ‡

§2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ

VỚI MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN TỰA NỘI XẠ

Ngoài các tính chất tương tự môđun A- nội xạ và tựa nội xạ như Mệnh

đề 1.2, 1.3, 1.4,…, trong tiết này chúng ta sẽ chỉ ra một số tính chất nói lênmối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và môđun nội xạ, giữa môđun giả nội xạvới môđun tựa nội xạ

 Nếu N là môđun nội xạ thì N là M -nội xạ với mọi môđun M

 N là M -giả nội xạ với mọi môđun M

 ( 0 , 0 ) (vì f(a) f(b)).

) (

a a

a f a f

Vậy g là một đơn cấu

Do M 1 M2 là môđun giả nội xạ, M2 M1 M2 nên theo Mệnh đề 1.3,Chương I, M 1 M2 là M2- giả nội xạ

Vậy  là đồng cấu mở rộng của f nên M1là M2-nội xạ

Nếu M n là môđun giả nội xạ thì theo Hệ quả 2.3, M là M -nội xạ và

do đó theo Định nghĩa 2.1, Chương I, M là môđun tựa nội xạ

Ngược lại, nếu M là môđun tựa nội xạ thì theo Hệ quả 2.8, Chương I, M n làmôđun tựa nội xạ hay M n là M n-nội xạ  M n là M n-giả nội xạ hay M n làmôđun giả nội xạ ‡

2.5 Định nghĩa

Cho một môđun U U gọi là môđun đều (uniform module) nếu với mọi

0 , 0 ,

,BU A B

Hay tương đương: U gọi là môđun đều nếu mọi môđun con khác 0 của

U đều cốt yếu trong U.

Thật vậy, gọi A là môđun con bất kỳ của M và f:A  M là một đồngcấu khác không.

Nếu Kerf  0 thì f là đơn cấu, M là giả nội xạ nên f có thể mở rộngđược thành f* từ M vào M sao cho f f*i A

 Vậy M là môđun tựa nội xạ Nếu Kerf  0 Đặt  i A f :A  M trong đó i A là phép nhúng từ A

0 ) (

x

x f

x f x i x f

A  xi A(x) f(x)  0

Vậy Kerf Ker  0 (*)

Do M là môđun đều, Kerf và Ker là các môđun con của M ,

0



Kerf nên từ (*) suy ra Ker  0 Vậy  là đơn cấu

Lại do M là môđun giả nội xạ nên  mở rộng được thành g:M  M

sao cho  gi A

Đặt f*  1M  g:M M ta có

f i

gi i i

g i



Chiều thuận: Hiển nhiên

Chiều nghịch:

Giả sử M là môđun giả nội xạ Theo Định lý 2.2, Chương II, M(I  i)

là M i-nội xạ, i  I Theo Mệnh đề 1.5, Chương II, hạng tử trực tiếp củamôđun giả nội xạ là giả nội xạ nên i  I , Mi là mô đun giả nội xạ

Kết hợp với Định lý 2.6, Mi đều, giả nội xạ nên Mi là tựa nội xạ i  I Theo Hệ quả 2.8, Chương I, M là môđun tựa nội xạ ‡

2.8 Định lý

Cho R là vành Noether phải M là môđun trên vành R Khi đó, M

là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ và là CS môđun.

*) Nếu Z(M)=M ta nói rằng M là môđun suy biến (singular).

*) Nếu Z(M)=0 ta nói rằng M là môđun không suy biến( nonsingular).

2.10 Mệnh đề (Điều kiện để môđun là suy biến) [8]

Môđun M là suy biến khi và chỉ khi M  A B trong đó B e A

2.11 Định lý [8]

(i) Môđun con, môđun thương, tổng trực tiếp các môđun suy biến là suy biến (ii) Môđun con, tích trực tiếp, mở rộng cốt yếu của môđun không suy biến là môđun không suy biến.

2.12 Mệnh đề

Cho M là môđun giả nội xạ không suy biến sao cho mọi môđun con của

M là CS môđun Khi đó M là môđun tựa nội xạ.

Do M là môđun không suy biến nên Imf không suy biến.

Nếu Kerf  C, do Kerf e C

 nên C Kerf là suy biến, vô lý

Vậy, Kerf  C  Kerf  A f |B là đơn cấu

Lại có, M là CS môđun nên M B*D với B e B*

)) ' ' ( )

)) (

Suy ra f* (a) f* (bc) g* (b) f(b) f(b)  0 f(b)  f(c) (vì f(c)  0) f(bc) f(a).

Vậy f* là đồng cấu mở rộng của f , suy ra M là môđun tựa nội xạ ‡

KẾT LUẬN

Luận văn đã giải quyết được những vấn đề chính sau:

*) Chứng minh được một số tính chất của môđun giả nội xạ và của

môđun M-nội xạ vẫn còn đúng cho môđun giả nội xạ (Mệnh đề 1.2, Mệnh đề

1.3, Mệnh đề 1.4 Chương II)

*) Chứng minh được một số tính chất mới của môđun giả nội xạ (Mệnh

đề 1.5, Mệnh đề 1.6, Mệnh đề 1.7 Chương II)

*) Chỉ ra được một số mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và CSmôđun, giữa môđun giả nội xạ và môđun liên tục (Định lý 1.11, Hệ quả 1.12Chương II).

*) Chứng minh được một số điều kiện đủ để môđun giả nội xạ làmôđun tựa nội xạ (Định lý 2.6, Định lý 2.7, Định lý 2.8, Mệnh đề 2.12Chương II)

Trong quá trình hoàn thành luận văn, chúng tôi nhận thấy môđun giả

nội xạ có nhiều mối quan hệ với các lớp môđun nội xạ, CS môđun, môđun

liên tục nên chúng tôi đã nghĩ đến việc dùng môđun giả nội xạ để đặc trưng

cho một số lớp vành như QF vành, Vấn đề này sẽ tiếp tục hấp dẫn chúng

tôi trong thời gian tới

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] A Al-Ahmadi, N Er and S K Jain, Modules which are invariant under monomorphisms of their injective hulls, J Australian Math Soc., 79(2005),

349-360

[2] F W Andersons and K R Fuller, Rings and Categories of Modules,

Graduate Texts in Math.No 13, Springer-Verlag, New York, Heidelberg,Berlin, 1974

[3] P C Bharadwaj and A K Tiwary, Pseudo injective modules, Bull Math.

Soc Sci Math Roumanie, R S (N.S.) 26(74), 21-25

[4] H Q Dinh, On pseudo-injective modules, AMS Meeting No.990,

Binghamton(New York), October 11-12 (2003)

[5] H Q Dinh, A note on pseudo-injective modules, Comm Algebra

33(2005), 361-369

[6] N V Dung - D V Huynh - P.F.Smith and Wisbauer, Extending Modules,

Pitman, London,1994

[7] C Faith, Algebra II, Ring Theory, Springer, Verlag, 1976.

[8] K R Goodearl and R B Warfield, An Introduction to Noncommutative Noetherian rings, London Math Soc Students Teset, Vol 16 Cambridge

Univ Press, 1989

[9] S K Jain and S Singh, On pseudo injective modules and self pseudo injective rings, J Math Sci., 2 (1967), 23-31.

[10] S K Jain and S Singh, Quasi-injective and pseudo-injective modules,

Canad Math Bull., 18(3) (1975), 359-366

[11] S H Mohamed and B J Muller, Continuous and Discrete Modules,

London Math Soc Lecture Notes Series 147(Cambridge University Press1990)

[12] S Singh, On the pseudo-injective modules, Riv Math Univ Parma (2) 9

(1968) , 59-65

[13] M L Teply, Pseudo-injective modules which are not quasi-injective,

Proc Amer Math Soc., 49 (1975), 305-310

[14] A K Tiwary and B M Pandeya, Pseudo projective and pseudo injective modules, Indian J Pure Appl Math., 9 (1978), 941-949

[15] T Wakamatsu, Pseudo-projective and pseudo-injective in abelian categories, Math Rep Toyama Univ 2 (1979), 133-142.

[16] R Wisbauer, Foundations of Rings and Modules, Gordon and Breach,

Reading 1991