bao và phủ bởi môđun fp nội xạ hữu hạn và số chiều phẳng

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành sau hai năm học tại trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn tận tình của TS.. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô khoa Toán

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Trần Nguyễn Quốc Anh

BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI

XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thàn h phố Hồ Chí Minh - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

-

Trần Nguyễn Quốc Anh

BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI

XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG

ố ồ

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành sau hai năm học tại trường Đại học Sư Phạm

Thành Phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Viết Đông

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy và gia đình

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh cũng như các thầy khoa Toán trường Đại học Khoa học

Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi

Cuối cùng tôi bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè, những người đã giúp đỡ tôi học tập và hoàn thành luận văn này

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2012

Học viên

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

MỞ ĐẦU 3

BẢNG KÝ HIỆU 6

CHƯƠNG 1 7

KIẾN THỨC CƠ SỞ 7

1.1 Phạm trù môđun 7

1.2 Các hàm tử Hom và Tenxơ 10

1.3 Các hàm tử Torn và Extn 14

CHƯƠNG 2 18

BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG 18

2.1 Lý thuyết đối xoắn 18

2.2 Tiền bao và bao 23

2.3 Tiền phủ và phủ 26

2.4 Đối hạt nhân của FIn-tiền bao và Fn-tiền bao 31

2.5 Những ứng dụng 35

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số đồng điều từ lâu đã trở thành một nhánh quan trọng của toán học Vì vậy, môn học này thực sự cần thiết và là môn học bắt buộc đối với

cho sinh viên những khái niệm cơ bản về phạm trù môđun, hàm tử Hom và

môđun, chương trình đã đưa ra khái niệm và tính chất môđun xạ ảnh, môđun nội xạ Tuy nhiên, vì thời gian có hạn nên chương trình học chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu các môđun này ở mức độ cơ bản chứ chưa có tính chuyên

niệm rất quan trọng là bao và phủ Vấn đề này ngày càng được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học nổi tiếng, có thể kể đến : Aldrich, Chen, Ding, Eklof,

khoa học chứng minh Vì thế, với mục đích minh họa cho khái niệm bao và phủ mà các nhà khoa học đã đưa ra, chúng tôi đã chọn đề tài “BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG” để làm luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích của đề tài

Định nghĩa về bao và tiền bao, phủ và tiền phủ của môđun FP-nội xạ Chứng minh một số định lý quan trọng:

1 Nếu R là vành coherent phải thì mỗi R-môđun trái có một Fn-tiền bao

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

kỳ hoặc R vành coherent phải Luận văn sẽ trình bày về lý thuyết đối xoắn,

4 Nội dung luận văn

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương 2: BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ

SỐ CHIỀU PHẲNG

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn nêu và chứng minh những định lý, mệnh đề liên quan đến bao

và phủ của môđun FP-nội xạ dựa trên cơ sở các kiến thức đã biết về môđun, cùng với việc nghiên cứu tham khảo các tài liệu đặc biệt là các bài báo khoa học liên quan đến môđun FP- nội xạ

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi nhiều thiếu sót, tác giả rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp quý báu của các độc giả để luận văn được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn

BẢNG KÝ HIỆU

Ký hiệu Ý nghĩa

định n

phẳng nhỏ hơn hoặc bằng số nguyên không âm cố

định n

E(M) : Bao nội xạ của M

r FP-dim(R): sup {FP-id(M): M là R-môđun}

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Phạm trù môđun

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là vành có đơn vị, nhóm cộng (X, +) được gọi là

R-mô đun trái nếu có ánh xạ µ: R×X → X mà cái hợp thành µ(r, x ) ký hiệu rx

Định nghĩa 1.1.2 Cho A, B là các tập con khác rỗng của môđun X, ∅ ≠K⊆R,

ta định nghĩa:

A + B = {a + b: a ∈A, b ∈ B},

Định nghĩa 1.1.3 Tập con A khác rỗng của môđun X được gọi là môđun con

Định nghĩa 1.1.4 Cho X là R-môđun và A là môđun con của X Nhóm thương

r(x + A) = rx + A ∀r ∈R, ∀(x + A) ∈ X/A

Ta gọi X/A là môđun thương của môđun X theo môđun A

Tính chất 1.1.5 Nếu A, B là hai môđun con của môđun X thì A + B là môđun

con của môđun X

Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ f từ R-môđun X vào R-môđun Y gọi là R-đồng cấu

Định nghĩa 1.1.7 Đồng cấu f : X → Y được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng

cấu) nếu f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh)

Tính chất 1.1.8 Cho AX, BY và đồng cấu f : X → Y Khi đó, f (A) là môđun con của Y và f −1(B) là mô đun con của X Ký hiệu ker f := f −1(0) và

im f := f (X)

Tính chất 1.1.9 Tích của hai đồng cấu (đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu) là

đồng cấu (đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu) Hơn nữa, f là R-đơn cấu nếu và chỉ nếu Ker f = 0 và f là đẳng cấu nếu và chỉ nếu f −1 là đẳng cấu

Định lý 1.1.10 ([1], Định lý 8, trang 19) Cho toàn cấu f : X → Y, khi đó tồn tại duy nhất đẳng cấu f ' : X/Ker f → Y sao cho f = f ' p với ánh xạ tự nhiên p : X → X/Ker f

Định nghĩa 1.1.11 Giả sử {X i}i I∈ là họ các R-môđun, trong tích Descartes

∏X i ta định nghĩa các phép toán : (x i)i I∈ + (y i)i I∈ = (x i + y i)i I∈ và

r(x i)i I∈ =(rx i)i I∈ Khi đó,

Định nghĩa 1.1.12 Môđun con

i I∈

∑X i = {(xi)i I∈ ∈

tổng trực tiếp của họ môđun {X i}i I∈

Định nghĩa 1.1.13 Giả sử {X i}i I∈ là họ các môđun con của môđun X Nếu

Tính chất 1.1.14 Nếu tồn tại các đồng cấu f : X → Y, g : Y → K sao cho gf

là đẳng cấu Khi đó Y= Im f ⊕ Ker g

Tính chất 1.1.15 Môđun X là tổng trực tiếp trong của hai môđun con A và B

khi và chỉ khi với mỗi x ∈ X có duy nhất một cách biểu diễn x = a + b với

a∈A, b∈B

Định lý 1.1.16 ([1], Định lý 5, trang 28) Cho họ các môđun {X i } i I∈ Khi đó mỗi họ đồng cấu { f i : X → X i } tồn tại duy nhất một đồng cấu f : X → ∏X i sao cho f i = p f i với mọi i∈I Hơn nữa, nếu có họ đồng cấu { f i : X i → Y i } thì tồn tại duy nhất đồng cấu tích trực tiếp ∏ f i :∏X i → ∏Y i sao cho với mọi (x i ) i I∈ ∈ ∏X i ta có ∏ f i [(x i ) i I∈ ]=( f i [x i ]) i I∈

Định lý 1.1.17 ([1], Định lý 6, trang 32) Cho họ các môđun {X i } i I∈ Khi đó với bất kỳ môđun X, nếu có họ các đồng cấu { f i : X i → X} thì tồn tại duy nhất một đồng cấu f : ⊕ X i → X sao cho f i = fj i với mọi i ∈ I Hơn nữa, nếu có

họ đồng cấu { f i : X i → Y i } thì tồn tại duy nhất đồng cấu tổng trực tiếp

⊕ f :⊕X i → ⊕Y i sao cho ∀x:= ∑ X

i

j (x i )∈ ⊕ X i , f (x)=( f i [x i ]) Định nghĩa 1.1.18 Dãy các đồng cấu (vô hạn hay hữu hạn)

∂←−1 X n−1 ←∂n X n ∂←+1X n+1 ∂←+2X n+2 (1)

gọi là khớp tại môđun X n nếu Im∂n− 1 = Ker∂n và chẻ tại môđun X n nếu Im∂n− 1

(chẻ) tại mọi môđun trung gian

Định lý 1.1.19 ([1], Định lý 1, trang 40) Đối với dãy khớp ngắn

0 → A →f B →g C → 0

c ác phát biểu sau là tương đương :

i) Dãy chẻ ra

ii) Đồng cấu f có nghịch đảo trái

iii) Đồng cấu g có nghịch đảo phải

1.2 Các hàm tử Hom và Tenxơ

Định nghĩa 1.2.1 Cho X, Y là các R-môđun Hom(X, Y) là tập hợp các đồng

cấu từ X vào Y, trên đó trang bị một phép toán cộng được xác định như sau :

Hom(X, A⊕C) ≅ Hom(X, A) ⊕ Hom(X, C),

Hom(A⊕C, X) ≅ Hom(A, X) ⊕ Hom(C, X)

Định nghĩa 1.2.5 Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu

Định lý 1.2.6 ([1], Định lý 3, trang 75) Đối với mỗi môđun P, ba phát biểu

sau đây là tương đương :

i) P là môđun xạ ảnh

ii) Mỗi dãy khớp 0→ A→α B→β P→ 0 là chẻ ra

iii) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do

Định nghĩa 1.2.7 Môđun J được gọi là môđun nội xạ nếu với mỗi đơn cấu φ:

Định lý 1.2.8 ([1], Định lý 10, trang 82) Đối với mỗi môđun J, ba phát biểu

sau đây là tương đương :

i) J là môđun nội xạ

ii) Mỗi dãy khớp 0→ J→α B→β C→ 0 là chẻ ra

iii) J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ nào đó

Tính chất 1.2.9

i) Mọi môđun tự do là môđun xạ ảnh

ii) Môđun xạ ảnh trên vành chính là môđun tự do

iii) Tổng trực tiếp của họ môđun {P i } i I∈ là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi

vi) Nếu R là miền nguyên thì mọi môđun nội xạ đều chia được

Định lý 1.2.10 ([1], Định lý 5, trang 77) (Tiêu chuẩn Baire) R-môđun J là nội

xạ khi và chỉ khi với bất kỳ iđêan trái I của R và bất kỳ đồng cấu f : I→ J, luôn luôn tồn tại phần tử q∈J sao cho với mọi λ ∈I, ta có f (λ) = λq

Định lý 1.2.11 ([1], Định lý 9, trang 82) (Định lý nhúng của môđun nội xạ)

Mỗi môđun X đều có thể nhúng vào môđun nội xạ N(X) nào đó, xem như môđun con của N(X)

Định nghĩa 1.2.12 Cho X R và R Y là các môđun phải và trái trên vành R Tích

tenxơ của môđun X và Y là các nhóm aben, ký hiệu X ⊗ Y, sao cho có ánh xạ

( f ⊗ g )(x⊗y)= f (x) ⊗ g (y ) với mọi x⊗y ∈ X ⊗ Y gọi là đồng cấu tích tenxơ

2

g : Y → Y' là các đồng cấu R-môđun trái Khi đó ( f1+ f2) ⊗ g = f1⊗ g + f2 ⊗ g ,

f ⊗ ( g1 + g2) = f ⊗ g1 + f ⊗ g2

Định lý 1.2.15 ([1], Định lý 2, trang 90) (Định lý tổng trực tiếp của tích

ten xơ) Cho họ R-môđun phải {X i } i I∈ và họ R-môđun trái {Y j } j J∈ Khi đó

Định nghĩa 1.2.18 Môđun phải A được gọi là môđun phẳng phải nếu hàm tử

Định lý 1.2.19 ([1], Định lý 6, trang 102) Mỗi vành hệ tử R xem như là

môđun trên chính nó, là môđun phẳng trái và cũng là môđun phẳng phải

1.3 Các hàm tử Tor n và Ext n

Định nghĩa 1.3.1 Cho A là môđun, dãy khớp các đồng cấu và các R-môđun

… → X n →∂n X n−1 → … → X1 →∂1 X0 →∂0 A → 0

xạ ảnh) thì dãy khớp trên được gọi là phép giải tự do (phép giải xạ ảnh) của

Định lý 1.3.4 ([1], Định lý 1, trang 153) Cho A là R-môđun phải và

là các phép giải xạ ảnh bất kỳ của môđun A Với mọi R-môđun trái B và mọi

n ≥ 0 ta có

H n ( X ⊗ B) ≅ H n ( '

X ⊗B) trong đó X và '

X lần lượt là các phức thu gọn tương ứng với các phép giải

trong đó f* = Tor n ( i , f ), g* = Tor n ( i , g )

Định lý 1.3.8 ([1], Định lý 6, trang 161) Với mọi R-môđun trái B và mọi dãy

khớp ngắn bất kỳ các R-môđun phải

0 → A' →f A →g A'' → 0

ta có dãy khớp

được gọi là tích mở rộng n-chiều trên R của các môđun A và B Ký hiệu là

Định lý 1.3.10 ([1], Định lý 1, trang 163) Nếu mô đun trái A là xạ ảnh thì

Ext n

(A, B) = 0 với mọi số nguyên dương n và với mọi R-môđun trái B

Định lý 1.3.11 ([1], Định lý 2, trang 163) Nếu B là R-môđun trái nội xạ thì

Ext n (A, B) = 0 với mọi số nguyên dương n và với mọi R-môđun trái A

Định lý 1.3.12 ([1], Định lý 3, trang 164) Cho A, B là các R-môđun trái bất

là một dãy khớp ngắn tùy ý, trong đó P là mô đun trái xạ ảnh trên R Khi đó

→ Ext n (A, B'') →δ Ext n+ 1(A, B') →…

Định lý 1.3.14 ([1], Định lý 6, trang 168) Nếu B là môđun trái trên vành R và

CHƯƠNG 2

CHIỀU PHẲNG

2.1 Lý thuyết đối xoắn

Định nghĩa 2.1.1 R-môđun M gọi là biểu diễn hữu hạn nếu tồn tại dãy khớp

Định nghĩa 2.1.2 Một vành gọi là coherent phải (trái) nếu mọi idean phải

Định nghĩa 2.1.3 Cho M là R-môđun phải, M gọi là FP-nội xạ nếu

Định nghĩa 2.1.4 Chiều FP-nội xạ của M, ký hiệu FP-id(M), là số nguyên n

Nhận xét Nếu M là FP-nội xạ thì FP-id(M) = 0

Định nghĩa 2.1.5 Cho M là một R-môđun phải Chiều phẳng của M, ký hiệu

Nhận xét Môđun M là phẳng khi và chỉ khi fd(M) = 0

Định nghĩa 2.1.6 Cho M là một R-môđun phải Chiều nội xạ của M, ký hiệu

Nhận xét Môdun M là nội xạ khi và chỉ khi id(M) = 0

Định nghĩa 2.1.7 Cho R là vành bất kỳ, chiều toàn thể yếu của R được định

nghĩa :

Định nghĩa 2.1.8 Cho C là lớp R-môđun, M là R-môđun, ta gọi đồng cấu

Định nghĩa 2.1.9 Một C-tiền bao φ: M → C được gọi là C-bao nếu với mỗi

Định nghĩa 2.1.10 Một C-bao φ: M → C được gọi là có tính chất ánh xạ

duy nhất nếu với mỗi đồng cấu f : M → C'

Định nghĩa 2.1.11 Cho C là lớp R-môđun , M là R-môđun , ta gọi đồng cấu

Định nghĩa 2.1.12 Một C-tiền phủ φ: C→ M được gọi là C- phủ nếu với mỗi

Định nghĩa 2.1.13 Cho C là lớp các R-môđun Ta ký hiệu:

1) Chứng minh F⊥ = C

Mệnh đề 2.1.15 Nếu F là lớp chứa tất cả các R-môđun và C là lớp các môđun nội xạ thì (F, C) tạo thành một lý thuyết đối xoắn

R-Chứng minh

Định nghĩa 2.1.16 Cho M là R-môđun, C-tiền bao f : M → C của M được

f

Định nghĩa 2.1.17 Cho M là R-môđun, C-tiền phủ f : C → M được gọi là

đặc biệt nếu f là toàn cấu và Ker f ∈ C⊥ Nói cách khác, M có một tiền phủ

f

Định nghĩa 2.1.18 Một lý thuyết đối xoắn (F, C) gọi là đầy đủ nếu mỗi

Định nghĩa 2.1.19 Một lý thuyết đối xoắn (F, C) gọi là hoàn hảo nếu mỗi

Định nghĩa 2.1.20 Một lý thuyết đối xoắn (F, C) gọi là di truyền nếu với mọi

Bổ đề 2.1.21 ([9], Bổ đề 3.1, trang 835) Cho R là vành bất kỳ, M là R-môđun

Khi đó ta có fd(M)=id(M+)=FP-id(M+)

Bổ đề 2.1.22 ([9], Bổ đề 3.2, trang 836) Cho R là vành coherent phải, M là

R-môđun Khi đó ta có fd(M+

)=FP-id(M)

Bổ đề 2.1.23 ([9], Bổ đề 3.3, trang 836) Cho F là lớp tất cả các môđun xạ ảnh đóng dưới tổng trực tiếp, được sắp thứ tự liên tục tốt Nếu F⊥ = S⊥ với

S⊆F thì (F, F⊥) là một lý thuyết đối xoắn

Bổ đề 2.1.24 ([5], Bổ đề 5.3.12, trang 113) Cho M và N là R-môđun Khi đó

có m ột bản số a sao cho với bất kỳ cấu xạ f : N → M tồn tại môđun con thật

sự S của M thỏa f (N) ⊂ S và card(S) ≤ a

Định lý 2.1.25 ([5], Định lý 7.3.4, trang 161) Cho M và N là R-môđun, giả sử

M là hợp của một chuỗi liên tục các môđun (Mα)α λ< Khi đó nếu Ext1

(M0,N)=0 và Ext1

(Mα +1/Mα, N) = 0 với α + ≤ 1 λ thì Ext1

(M, N) = 0

Định lý 2.1.26 Cho n là số nguyên không âm cố định, gọi FIn (F n ) là lớp tất

cả các R-môđun FP-nội xạ (phẳng) phải (trái) Khi đó:

(1) Với R là vành coherent phải và FP-id(R R ) ≤ n, (FI n , FI n⊥) là một lý

t huyết đối xoắn hoàn hảo;

(2) Với mọi vành R, (Fn , F n⊥) là một lý thuyết đối xoắn hoàn hảo di truyền Chứng minh

Như vậy (Fα + 1/Fα)+∈ Fn do Fα++1∈ Fn Suy ra (Fα +1/Fα) ∈ FIn Lấy X là tập

Theo Bổ đề 2.1.23, suy ra (FIn, FIn⊥) là lý thuyết đối xoắn Do đó theo [4],

xoắn hoàn hảo

2.2 Tiền bao và bao

Mệnh đề 2.2.1 ([5], Hệ quả 6.2.2, trang 130) Cho card(M) = b Giả sử có một lực lượng a sao cho nếu F ∈ F và S ⊂ F với card(S) ≤ b thì có một môđun con G của F chứa S với G ∈ F và card(G) ≤ a Khi đó M có một F-tiền bao

Định lý 2.2.2 ([8], Định lý 3.8, trang 1591) Cho R là vành coherent phải và

FPn là lớp tất cả các R-môđun FP-xạ ảnh với n≥0 Khi đó (FPn , FI n ) là một

lý thuyết đối xoắn Hơn nữa mỗi R-môđun phải có một FIn - tiền bao đặc biệt

(3) Ext i

R (L, C) = 0 với mọi i ≥ 1 và mọi L ∈ L, C ∈ C

Mệnh đề 2.2.4 Cho R là vành coherent phải, n là số nguyên không âm cố

định Khi đó ta có:

(1) Mỗi R-môđun trái có một Fn - tiền bao;

(2) (⊥FIn , FI n ) là một lý thuyết đối xoắn đầy đủ di truyền

Chứng minh

S⊆G, card(G) ≤ b Suy ra G ∈ Fn Do tính coherent phải của R nên Fn đóng

Mệnh đề 2.2.5 Cho R là vành coherent phải, n là số nguyên không âm cố

định Những điều sau đây là tương đương:

(1) FP-id(R R ) ≤ n

(2) Mỗi R-môđun trái có một đơn cấu Fn - tiền bao

(3) Mỗi R-môđun FP-nội xạ đều thuộc Fn

(4) Mỗi R-môđun phải có một toàn cấu FIn - phủ

(5) Mỗi R-môđun phải phẳng đều thuộc FIn

Chứng minh

fd(R R)+=FP-id(R R) ≤ n Suy ra fd(∏ (R R)+) ≤ n Do đó f là đơn cấu.Vậy

Hệ quả 2.2.6 Cho R là vành coherent giao hoán, những điều sau đây là

tương đương :

(1) FP-id(R) ≤ n

(2) (⊥Fn , F n ) là một lý thuyết đối xoắn đầy đủ di truyền

Chứng minh