khóa luận tốt nghiệp về môđun giả nội xạ và mở rộng

Lý do chọn đề tài Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu là lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh.. Do đó, dựa trên yếu tố nội xạ người ta đã mở r

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN

ĐẶNG THỊ HÓA

VỀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ VÀ MỞ RỘNG

Chuyên ngành : Đại số hiện đại

ggHà Tĩnh - 2014

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến TS Lê Văn An đã tận tình hướng

dẫn tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi cũng xin cảm ơn các Thầy cô giáo trong khoa Sư phạm Tự nhiên, đặc biệt là các thầy cô giáo bộ môn Toán đã hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Những kết quả và các số liệu trong khóa luận chưa được ai công bố dưới bất kì hình thức nào Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước nhà trường về sự cam đoan này

Hà Tĩnh, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Đặng Thị Hóa

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

AM : A là môđun con của môđun M

Hom N M : tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M

: tổng trực tiếp của các môđun

 : thu hẹp của  trên A

N M : môđun N đẳng cấu với M

: kết thúc một chứng minh.

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu là lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh Môđun nội xạ là một trong những lớp môđun quan trọng của Lý thuyết vành và môđun Do đó, dựa trên yếu tố nội xạ người ta đã mở rộng ra nhiều lớp môđun như: môđun giả nội xạ, môđun giả nội xạ cốt yếu, môđun tựa nội xạ…Các lớp môđun này đã được nghiên cứu bởi Đinh Quang Hải, Jain và Singh (1967), Teply (1975)… Sau đó các tác giả này cũng phát triển và xây dựng mối liên hệ giữa các lớp môđun mở rộng với nhau và đã đưa

ra được nhiều kết quả hữu ích trong việc phát triển lý thuyết mô đun

Tiếp tục nghiên cứu về lớp môđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu và mối quan

hệ giữa lớp môđun giả nội xạ và môđun tựa nội xạ, chúng tôi chọn tên đề tài để

nghiên cứu là: “Về môđun giả nội xạ và mở rộng”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm tìm hiểu sâu hơn về tính chất của lớp môđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, mối liên hệ giữa môđun giả nội xạ và môđun tựa nội xạ Từ đó chứng minh được một số tính chất của các lớp môđun này

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở tôn trọng và kế thừa những quan điểm và kết quả của các nhà Toán học, tiến hành nghiên cứu, chứng minh một số kết quả đã có, thì sẽ góp phần phát triển thêm về lý thuyết môđun

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm tổng hợp các quan điểm và kết quả của các nhà Toán học

về các lớp môđun nội xạ, giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, tựa nội xạ…

6 Đóng góp của luận văn

- Tổng hợp, phân tích các kết quả của các nhà nghiên cứu về tính chất của lớp môđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và tựa nội xạ

- Đặc biệt chứng minh được: Mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn tính chất (C 2 ), hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả nội xạ, M1M2 là giả nội xạ thì M 1 và M 2 là nội xạ lẫn nhau

7 Bố cục của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở Các khái niệm được đề cập đến trong chương này như môđun con cốt yếu, môđun đều, môđun nội xạ…

Chương 2: Chúng tôi nghiên cứu tính chất của môđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và môđun tựa nội xạ Chương này chia hai tiểu mục:

2.1 Môđun giả nội xạ

2.2 Môđun giả nội xạ cốt yếu

Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ 1.1 Môđun con cốt yếu, môđun nội xạ

Trong luận văn này ta xét tất cả các vành đều là vành kết hợp có phần tử đơn

vị, các môđun đều là môđun trái Unita

1.1.1 Môđun con cốt yếu

1.1.1.1 Định nghĩa

- Cho M là R - môđun trái, môđun A là môđun con của M được gọi là môđun con cốt yếu, ký hiệu Ae M , nếu với mọi môđun con X 0 của M ta đều có

0

A X  (Hay một cách tương tự nếuA X 0thìX 0)

- Môđun được gọi là đều nếu mọi môđun con khác 0 của M đều cốt yếu trong M

- Môđun con K của M được gọi là phần bù của môđun B trong M nếu môđun K là

môđun tối đại trong những môđun con của M có giao với B bằng không, và K được

gọi là phần bù trong M nếu K là phần bù của môđun con nào đó của M

- Môđun K được gọi là bao đóng của môđun B nếu K là mở rộng cốt yếu tối đại

của B

- Môđun con K của M được gọi là môđun con đóng nếu K không có mở rộng cốt

yếu thực sự nào trong M

Ngược lại,  x M x, 0,ARx0 ta chứng minh Ae M

Xét 0 X M Vì X 0 nên  x X x, 0 ta có 0 Rx X M Do đó

0

ARx và AX  ARx Vậy 0 AX 0 hay Ae M

(2) Giả sử Ae M , lấy môđun con X của N mà AX 0 Do X  N nên

X M và Ae M nên X = 0 Vậy Ae N Tương tự, lấy môđun con Y bất kỳ của M mà NY 0 Do A N nên AY 0 và Ae M Suy ra Y = 0 nên

(3) Lấy X là môđun con bất kỳ của K sao cho AK X 0 hay AX 0, do

e

A M nên X = 0 Vậy AK e K

(4) Lấy X M sao choN X 0

Khi đó,N A XA, suy ra N AA X A0 Do N Ae M A nên

AX A0 hayA X  A Vậy X = 0, hay N e M

(5) Giả sử X M X, 0 Ta có:

+ Nếu f X  thì ( ) 0 X K fer  f1(0) f1( )A Suy ra X  f 1( )A  X 0 + Nếu f X  , ( )( ) 0 f X  N VìAe N nênA f X( ) 0

Suy ra 0K fer  f1(A f X( )) f1( )A X Vậy f1( )A e M ( )

N cốt yếu trong N khi và chỉ khi  ( ) cốt yếu trong M

() Cho ( )L e M thì  Y N sao cho LY 0 Do  đẳng cấu nên suy ra

xX Ta có xAX k Vậy x = 0, hay AC0 Do đó theo bổ đề Zorn S có

phần tử tối đại là B Ta chứng minh ABe M

Thật vậy, Y M thỏa mãn (AB)Y  ta có 0 AY 0 và BY 0 Nếu

aA và bB y Y,  sao cho a b y thìya b AB, ta suy ra y = 0 và

0

a b Như vậyA(BY)  0 BYS Do B tối đại nên Y = 0 Suy ra

e

AB M ( )

1.1.2.1 Định nghĩa Cho M và N là các R – môđun

- Môđun N được gọi là M – nội xạ nếu với mọi môđun

con A của M, mọi đồng cấu f A: Nđều mở rộng

N

i

- Môđun N gọi là tựa nội xạ nếu N là N – nội xạ

- Môđun N gọi là môđun nội xạ nếu N là M – nội xạ, với mọi môđun M

- Hai môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau nếu M là N – nội xạ và N là M –

nội xạ

- Bao nội xạ của môđun M, kí hiệu E(M), là môđun nội xạ bé nhất sao cho M cốt

yếu trong E(M)

Do đó, tồn tại đồng cấu  : M A Nsao cho

Chứng minh: Vì E(M) là mô đun nội xạ, ta chỉ cần chứng minh với mọi

( Giả sử N là M – nội xạ, vớiHom M E N ,   

Đặt X nM:  n N Dễ thấy X là môđun con của M Vì N là M – nội xạ,

X

 mở rộng thành đồng cấu : M N, ta chứng minh N   M 0 Thật vậy, giả sử có m  M và n  N sao cho n   m Khi đó,

Lấy K m1  m1 :m1M1 Với mọi n  Nthì n m1 m2 Ta có

 n  n

  hay  m1 m2, từ đây ta suy ra n m1  m1 K Do đó, N K Nếu có m 1 M1 và m 2 M2 sao cho m1  m1 m2thì m1 m2  m1 M2, nên m 1 0 và m 2 0 Như vậy, K  M2 0

Mặt khác,  m M m, m1m2 m1 m1 m2  m1 K M2

Vậy M  K M2

  Giả sử với mọi môđun con N của M mà N  M2 0 đều tồn tại môđun con

K của M sao cho M  K M2 và N K Lấy X là môđun con của M1 và

2

f  là đồng cấu Đặt H x f x :xX Khi đó H là môđun con của

M và hiển nhiên H  M2 0 Theo giả thiết, tồn tại môđun con H’ của M sao cho

2'

M H M và H H' Lấy  :M  H'M2 M2 là phép chiếu Đặt

1

M

g  , x  X thì g x  x x f x  f x  f x

Vậy, g là mở rộng của f, hay M2 là M1 – nội xạ ( )

1.1.2.6 Mệnh đề (Tiêu chuẩn Baer) Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi

ideal trái I của R, mọi đồng cấu f :I M thì tồn tại m  M để f x  xm, xI

đồng cấu môđun Vì R là R – môđun nên M là R– nội xạ Do đó, f mở rộng thành đồng cấu f * : RM

Đặt m  f * 1 Khi đó: x  I, thì f x  f x.1  f*(x.1) xf*(1) xm

() Giả sử đã có điều kiện đủ, ta chứng minh M là N – nội xạ, với mọi môđun N Lấy X là môđun con tuỳ ý của N, g:X M là đồng cấu bất kỳ Ta chứng minh tồn tại đồng cấu g* là mở rộng của g

Thật vậy, xét họ S ( , ) /T  X T N,:T M, X  g

Ta thấy X , gS  S  Sắp thứ tự tập S theo quan hệ như sau:

Ta chứng minh S thoả mãn bổ đề Zorn Lấy

tập con sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho:

Ta định nghĩa  x  k x Dễ dàng kiểm tra được  là đồng cấu Khi đó T , 

là cận trên của dãy (a) Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại, kí hiệu B,S Ta chứng minh B  N và g* = 

Thật vậy, nếu B N  aN \ B Đặt H BRa  B  H (do aB), ta xác định đồng cấu h:H M cho bởi hbra b rm, trong đó m được xác định như sau: Gọi I rR/raB Ta hoàn toàn kiểm tra được I là ideal trái của R Xác định đồng cấu g:I M bởi g r  ra , rI Theo giả thiết nên m  M

để g x xm, xI Như vậy, do B  H , và theo cách xác định của h nên h là mở rộng của  Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của B ,  Vậy, B  N và lấy g* =  Vậy g* là mở rộng của g ( )

1.1.3 Các điều kiện C i

Cho mô đun M Ta xét các điều kiện sau:

(C1) Với mọi AM và X là một hạng tử trực tiếp của M thì Ae X

(C2) Với mọi A, B là các môđun con của M, B là hạng tử trực tiếp của M và AB

thì A là hạng tử trực tiếp của M

(C3) Nếu A, B là hạng tử trực tiếp của M và AB0 thì AB là một hạng tử trực tiếp của M

Nếu M thỏa mãn (C1) thì M là CS môđun

Nếu M thỏa mãn (C1) và (C2) thì M là môđun liên tục

Nếu M thỏa mãn (C1) và (C3) thì M là môđun tựa liên tục

Chương 2 MÔ ĐUN GIẢ NỘI XẠ VÀ MÔ ĐUN GIẢ NỘI XẠ CỐT YẾU 2.1 MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ

2.1.1 Định nghĩa Cho M, N là các R – môđun trái N được

gọi là M – giả nội xạ nếu với mọi môđun con A của M, với

mọi đơn cấu f A: N đều mở rộng thành đồng cấu

:

g M N N được gọi là giả nội xạ nếu N là N– giả nội xạ

là A – giả nội xạ

Chứng minh: Lấy X  A và f X: N là đơn cấu Khi đó, X cũng là môđun con của M và do N là M – giả nội xạ nên f mở rộng thành đồng cấu f*:M N Hiển nhiên *

:

A

f A N là mở rộng cần tìm Vậy N là A – giả nội xạ ( )

2.1.3 Mệnh đề Cho M, N là các môđun và X M N Các điều kiện sau là tương đương:

(i) M là N – giả nội xạ

(ii) Với bất kỳ môđun con A của X thỏa mãn AM  AN 0, tồn tại môđun con T của X chứa A sao cho M T  X

Chứng minh:  i  ii Giả sử có (i) và A là môđun thỏa mãn giả thiết (ii) Gọi

N N M M

Với mỗi aA,   N a M  a Do A  N 0, nên  là đơn cấu Theo giả thiết, mở rộng thành đồng cấu g:N M Đặt T n  n :nN Từ đây, ta thấy M T  X và a  A, am nn n n  g n , với n ,N mM , do

Im f n  Ker f n Ta nói dãy này là khớp nếu nó khớp tại An với mọi n

- Một dãy khớp dạng 0M f N g K0 được gọi là dãy khớp ngắn nếu f là đơn cấu, g là toàn cấu và Imf = Kerg

- Một toàn cấu của các R – mô đun M f N0 được gọi là chẻ ra nếu tồn

tại một đồng cấu g:N M sao cho fg 1N

- Một đơn cấu của các R – môđun 0M f N được gọi là chẻ ra nếu tồn

tại một đồng cấu g:N M sao cho gf 1M

- Dãy khớp ngắn 0M f N g K 0 được gọi là chẻ ra nếu Im f

(hoặc K g ) là hạng tử trực tiếp của N er

khi đó M Im f  X , với X là môđun con nào đó của M

Chứng minh: Cho f N: M là đơn cấu và f1: ( )f N N là nghịch đảo của f Giả sử N là M- giả nội xạ, có một đồng cấu f':M N mở rộng đến f1 Đặt



'

u f  f , rõ ràng u là một phép đồng nhất của N Vì thế f N chẻ ra trong M Ta ( )chứng minh M Imf K ger

Với mọi mM , thì g m N Ta có m f g m   m f g m    Hiển nhiên,

 

f g m  f , ta chứng minh m f g m   kerg

Thật vậy,g m  f g m     g m g f g m     g m g m 0 Như vậy, ta có M Im f Kerg Mặt khác, nếu có xIm f kerg, thế thì tồn tại

g x  f x , do đó g là một đơn cấu, vì N là M - giả nội xạ nên g mở rộng đến đồng cấu *:g M N Gọi  A:N  AA' A là phép chiếu tự nhiên Từ đó ta

có  A g*:M Alà một đồng cấu mở rộng của f Do đó A là M- giả nội xạ ( )

2.1.7 Mệnh đề Nếu N là M – giả nội xạ và N P thì P là M – giả nội xạ

N P nên tồn tại đẳng cấu : PN Khi đó

:

rộng thành đồng cấu : M Nsao cho  i X  f , trong đó

2.1.8 Định lí Mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn tính chất (C 2 )

Lấy f B:  A là đẳng cấu Khi đó, f cũng là đơn cấu từ B vào M Vì M là M – giả nội xạ, theo 2.1.6 thì B là M – giả nội xạ Theo 2.1.5, đơn cấu f là chẻ ra Vậy B là hạng tử trực tiếp của M hay M có tính chất (C2) ( )

2.1.9 Định lí Hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả nội xạ

Chứng minh: Giả sử M là môđun giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của M, tức

là M  AB , với B M Ta chứng minh A là môđun giả nội xạ

Thật vậy, lấy X  A và f :X  A là đơn cấu

Khi đó i A f :X M cũng là đơn cấu, trong đó

gi X  X  A  , trong đó i X :X  A là phép nhúng Vậy g là mở rộng của

f cần tìm hay A là môđun giả nội xạ ( )

2.1.10 Mệnh đề Nếu N là M - giả nội xạ thì (M) N với mỗi : (E M)E N( ) Đặc biệt, nếu P là giả nội xạ thì ( )  P  P với mọi đơn cấu End E P( ( ))

Chứng minh: Giả sử N là M - giả nội xạ và  : (E M)E N( ) là đơn cấu Đặt

X  mM  M N Do N là M - giả nội xạ nên  X mở rộng đến

: M N

  Với nN m, M , ( )( )m  ta có ( )n  m ( )m  n N Theo định nghĩa ta có mX và n( )m ( )m ( )m ( )m  Do đó 0

N    M  Mà N e E N( ) nên ( )( )m  Bởi vậy, 0

2.1.11 Mệnh đề Cho A và B là hai môđun giả nội xạ lẫn nhau Nếu E A( )E B( )

thì mỗi đẳng cấu E A( )E B( ) giảm đến một đẳng cấu AB , đặc biệt AB

Do đó A và B là giả nội xạ

Chứng minh Cho f E A: ( )E B( ) là một phép đẳng cấu Theo 2.1.10, f A( )B

Tương tự, f 1( )B  A Do đó B(ff1)( )B  f f( 1( ))B  f A( ) B Từ định nghĩa ta có f A( )B Do đó f A:ABlà một phép đẳng cấu.Vì vậy AB Hơn nữa, khi A là B - giả nội xạ và B A, ta có A là A- giả nội xạ, tức A là giả nội xạ Tương tự, B là giả nội xạ ( )

2.1.12 Mệnh đề Nếu M1M2 là giả nội xạ thì M 1 và M 2 là nội xạ lẫn nhau

Chứng minh: Giả sử M1M2 là giả

nội xạ, ta chứng minh M1 là M2 – nội

  là một đồng cấu mở rộng của f Do đó M1 là M2 – nội xạ ( )

2.1.13 Bổ đề (Jain and Singh) Nếu M là môđun giả nội xạ thì môđun con của M

đẳng cấu với phần bù trong M cũng là phần bù trong M

Lấy f :AK là đẳng cấu môđun Theo giả thiết, thì f mở rộng thành đồng cấu

nhiên g A là đơn cấu Vậy K g A e g A ' Vì K là môđun con bù nên

N M

gọi là có tính triệt tiêu trong nếu M  A1 B1  A2 B2 mà A 1 A2 thì B 1 B2

Môđun M gọi là hữu hạn trực tiếp nếu M không đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp

thực sự nào của M Các nhà nghiên cứu chứng minh được một số kết quả: Môđun nội xạ M có tính triệt tiêu trong khi và chỉ khi M là hữu hạn trực tiếp Hạng tử trực tiếp của môđun liên tục là mô đun liên tục và mọi môđun liên tục đều có tính biến đổi Từ những kết quả trên, ta chứng minh một số định lí sau:

2.1.14 Định lí M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ và M 2 là CS – môđun

Chứng minh: Giả sử M là giả nội xạ và M2 là CS – môđun Lấy M i  M ( i 1,2)

và X M1 M2 Theo nhận xét trên, thì M là môđun liên tục Gọi A là phần bù trong X sao cho AM1 và 0 AM2 e A Tồn tại môđun con V và V’ của M2sao cho V V ' M 2 và AM2 e V Mặt khác, M là CS – môđun nên ta cũng 2

có A A' X , với A' X Do V là hạng tử trực tiếp của môđun liên tục nên V là

mô đun liên tục hay V có tính biến đổi Vì V  Ae A, ta có V  A'0 Vậy,

X

A

V  ' Do đó A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp V của M2

Gọi C là môđun con của X sao cho C  M1 0 Theo bổ đề Zorn, tồn tại một phần bù K trong X của M1 chứa C Cũng theo bổ đề Zorn, tồn tại phần bù K1 trong

K của K  M2 và phần bù K2 trong K của K1 chứa K  M2 Ta thấy