các vành frobenius, tựa frobenius và tính xạ ảnh, nội xạ của các module trên chúng

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ CÁC TỪ VIẾT TẮT QF quasi-Frobenius Tựa Frobenius ACC ascending chain condition Điều kiện dây chuyền tăng DCC descending chain condition Điều kiện dây chuyền giảm C

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin gởi đến PGS.TS Bùi Tường Trí lời cám ơn sâu sắc về

sự tận tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt khóa học, đặc biệt trong quá trình làm luận văn

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn

đã dành thời gian quý báu để đọc và cho những ý kiến bổ ích

Tôi xin được cảm ơn tất cả các thầy cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học

Xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các vị lãnh đạo và chuyên viên Phòng Khoa Học Công Nghệ Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học

Tôi cũng xin được cảm ơn các bạn học viên Cao học khóa 19 đã hỗ trợ, động viên tôi trong suốt thời gian học

Cuối cùng, vì kiến thức còn hạn chế nên dù rất cố gắng nhưng chắc chắn luận văn còn nhiều thiếu sót Kính mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn có thể hoàn chỉnh hơn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2012

PHẠM HỮU DANH

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN ii

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU iv

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ v

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I 3

1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN 3

1.1.1 Các định nghĩa về vành 3

1.1.2 Các định nghĩa về module 4

1.2 CÁC TÍNH CHẤT TRÊN VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 6

1.2.1 Căn Jacobson 6

1.2.2 Vành địa phương 8

1.2.3 Vành nửa địa phương 9

1.2.4 Lũy đẳng 9

1.2.5 Vành nửa hoàn thiện 11

1.2.6 Vành tự nội xạ 12

1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRÊN MODULE VÀ VÀNH 12

1.3.1 Vành Dedekin 12

1.3.2 Mở rộng cốt yếu 12

1.3.3 Định lý Bass, Papp 13

1.3.4 Module đều 14

1.3.5 Module con kì dị 14

1.3.6 Vành Kasch 15

1.3.7 Module không xoắn 15

1.3.8 Một số định lý khác 16

CHƯƠNG II 18

2.1 VÀNH TỰA FROBENIUS 18

2.1.1 Các định nghĩa cơ bản 18

2.1.2 Tính xạ ảnh và nội xạ 23

2.1.3 Tính đối ngẫu 25

2.1.4 Vành tựa Frobenius giao hoán 28

2.1.5 Ví dụ 29

2.2 VÀNH FROBENIUS 31

2.2.1 Hoán vị Nakayama 31

2.2.2 Định nghĩa của vành Frobenius 37

2.2.3 Ví dụ 39

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ CÁC TỪ VIẾT TẮT

QF (quasi-Frobenius) Tựa Frobenius

ACC (ascending chain condition) Điều kiện dây chuyền tăng DCC (descending chain condition) Điều kiện dây chuyền giảm

CÁC THUẬT NGỮ TRÊN PHẠM TRÙ VÀNH

Division ring Vành chia (thể)

Semilocal ring Vành nửa địa phương

Semiperfect ring Vành nửa hoàn thiện

Nonsingular ring Vành không kì dị

Self-injective ring Vành tự nội xạ

Semiprimary ring Vành nửa nguyên sơ

Von Neumann regular ring Vành chính quy von Neumann Primitive idempotent Lũy đẳng nguyên thủy

Local idempotent Lũy đẳng địa phương

Irriducible idempotent Lũy đẳng bất khả quy

Isomorphic idempotent Lũy đẳng đẳng cấu

CÁC THUẬT NGỮ TRÊN PHẠM TRÙ MODULE

Projective module Module xạ ảnh

Injective module Module nội xạ

Self-injective module Module tự nội xạ

Composition series Chuỗi hợp thành

Right regular module Module chính quy phải

Indecomposable module Module không phân tích được Strongly indecomposable module Module không phân tích được mạnh Essential extension Mở rộng cốt yếu

Essential submodule Module con cốt yếu

Uniform dimension Chiều đều

Singular submodule Module con kì dị

Nonsingular module Module không kì dị

Torsionless module Module không xoắn

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong Đại số không giao hoán nói chung và Lý thuyết vành nói riêng, có một

lớp vành đóng vai trò hết sức quan trọng là vành tự nội xạ

Một vành R được gọi là tự nội xạ (phải) nếu R-module (phải) R R là nội xạ

Vành tự nội xạ trong các điều kiện khác nhau sẽ có nhiều tính chất phong phú và đa dạng

Rất khó để nghiên cứu tất cả các cấu trúc của lớp vành tự nội xạ phải Trong

luận văn này, chúng tôi tập trung vào một lớp vành đặc biệt, vành tựa Frobenius, và tập con của chúng, vành Frobenius

Vành tựa Frobenius là vành nơte phải và tự nội xạ phải Không cần thiết sử

dụng thuật ngữ “tựa Frobenius phải” bởi vì định nghĩa trên đối xứng trái-phải Hơn nữa vành tựa Frobenius là atin (hai phía) Có những tính chất vô cùng đẹp mắt, thú

vị về các module trên chúng như tính xạ ảnh, nội xạ, hữu hạn sinh…

Nhằm mục đích tiếp cận và tìm hiểu một số khái niệm cơ bản, nghiên cứu

các tính chất đặc trưng của lớp vành tựa Frobenius, chúng tôi chọn đề tài “CÁC

VÀNH FROBENIUS, TỰA FROBENIUS VÀ TÍNH XẠ ẢNH, NỘI XẠ CỦA CÁC MODULE TRÊN CHÚNG”

2 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các khái niệm liên quan đến vành tựa Frobenius, Frobenius cùng tính chất xạ ảnh, nội xạ, hữu hạn sinh của các module trên chúng

Tìm hiểu một số ví dụ để mô tả lớp vành tựa Frobenius, Frobenius

3 Mục đích nghiên cứu

Mô tả các định nghĩa về vành tựa Frobenius cùng các cấu trúc bên trong Qua đó tìm hiểu tính chất của các module trên lớp vành này

Tìm hiểu định nghĩa vành Frobenius thông qua vành tựa Frobenius Phân tích một số ví dụ mô tả khái niệm này

4 Phương pháp nghiên cứu

Xây dựng định nghĩa các vành tựa Frobenius, Frobenius thông qua các mệnh

đề tương đương

Chỉ ra những tính chất đặc trưng của các module trên lớp vành tựa Frobenius Chứng minh một số định lý quan trọng thông qua các kiến thức cơ bản

về vành không giao hoán

Đưa ra những ví dụ cho mỗi khái niệm

5 Nội dung

Luận văn bao gồm hai chương Trong đó chương II là phần chính

Chương I: Những kiến thức chuẩn bị

Trình bày một số khái niệm cũng như định lý cơ bản, cần thiết về vành và module để phục vụ cho phần sau

Chương II: Các vành tựa Frobenius và Frobenius

Trình bày định nghĩa về vành tựa Frobenius cùng các cấu trúc bên trong Qua

đó tìm hiểu tính chất của các module trên lớp vành này

Đưa ra định nghĩa vành Frobenius thông qua vành tựa Frobenius Phân tích một số ví dụ mô tả

CHƯƠNG I NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong luận văn này, ta quy ước khi nói tới vành R≠ 0 thì luôn được hiểu là vành có đơn vị

1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN

1.1.1 Các định nghĩa về vành

1.1.1.1 Vành nơte:

Một vành R được gọi là vành nơte phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải

đều có một phần tử tối đại

1.1.1.2 Vành atin:

Vành R được gọi là vành atin phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải của

R đều có phần tử tối tiểu

1.1.1.4 Vành đơn, vành nửa đơn:

Vành R được gọi là nửa đơn nếu rad R( ) ( )= 0

Vành R được gọi là đơn nếu 2 ( )

(2) Nếu R vừa là vành đơn vừa là vành atin thì R nửa đơn

(3) Nếu R là vành nguyên thủy thì R nửa đơn

(4) Nếu R là vành atin, đơn thì R là vành nguyên thủy

Giả sử R là vành atin đơn thì R đẳng cấu với Dn là tập tất cả các ma trận vuông cấp n trên thể (vành chia) D n là duy nhất và D sai khác một phép đẳng cấu Ngược lại nếu D là thể tùy ý thì Dn là vành atin đơn

Một module phải P được gọi là xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu của các

R-module phải :g B→ C và mọi R-đồng cấu :h P→C, tồn tại R-đồng cấu ' :

Một R-module phải I được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu : g A→ B với

A, B là các R-module phải và R-đồng cấu :h A→ I đều tồn tại một R-đồng cấu ' :

ideal phải A của R, mọi R-đồng cấu :f A→ I có thể được mở rộng tới ':f R→ I

1.1.2.4 Module nơte:

R-module M được gọi là nơte nếu M thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng

(ACC) trên họ các module con của M, nghĩa là với mọi dãy tăng các module

1 2 n

A ⊆ A ⊆ ⊆ A ⊆ , tồn tại n ∈  sao cho A n = A n i+;∀ ∈ i N

1.1.2.5 Module atin:

R-module M được gọi là atin nếu M thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm

(DCC) trên họ các module con của M, nghĩa là với mọi dãy giảm các module

1 2 n

D ⊇D ⊇ ⊇D ⊇ , tồn tại n ∈  sao cho D n =D n i+;∀ ∈ i N

1.1.2.6 Module không phân tích được:

Module M gọi là không phân tích được nếu M A B= ⊕ thì A=0 hoặc B=0

1.1.2.8 Nền của module:

Nền của module M, kí hiệu soc M( ), là tổng tất cả các module con đơn của

M (Nếu M không có module con đơn, ta viết soc M( )= ) 0

1.2.1.1 Nhắc lại định nghĩa căn Jacobson:

Căn Jacobson (phải) của vành R, kí hiệu rad(R) hay J(R), là giao của tất cả

các ideal (phải) tối đại của R

1.2.1.2 Định lý:

( )

radR= ann M , ở đây M chạy khắp các R-module phải đơn

Đặc biệt, radR là một ideal của R

1.2.1.3 Định lý:

Cho R là một vành atin trái Khi đó radR là ideal trái lũy linh lớn nhất, và nó cũng là ideal phải lũy linh lớn nhất

1.2.1.4 Vành chính quy von Neumann:

Cho vành R Các điều sau tương đương:

(1) Với mọi a R∈ , tồn tại x R∈ sao cho a=axa

(2) Mọi ideal trái chính được sinh bởi một phần tử lũy đẳng

(3) Mỗi ideal trái chính là một hạng tử trực tiếp của R R

(4) Mọi ideal trái hữu hạn sinh được sinh bởi một phần tử lũy đẳng

(5) Mỗi ideal trái hữu hạn sinh là một hạng tử trực tiếp của R R

Vành R thỏa mãn một trong các điều kiện trên gọi là chính quy von

Neumann

Hệ quả:

Mọi vành nửa đơn là chính quy von Neumann

Cho R là một vành với radR lũy linh và R=R radR/ nửa đơn (Vành R như

vậy được gọi là nửa nguyên sơ) Khi đó với mọi R-module R M , các mệnh đề sau tương đương:

(1) M nơte

(2) M atin

(3) M có một chuỗi hợp thành

Đặc biệt:

a) Một vành là atin trái nếu và chỉ nếu nó nơte trái nửa nguyên sơ

b) Mọi module trái hữu hạn sinh trên một vành atin có một chuỗi hợp thành

Vành nửa đơn tương đương với vành nơte trái (hoặc phải) chính quy von Neumann

1.2.2 Vành địa phương

1.2.2.1 Định nghĩa vành địa phương:

Với vành R khác không, các điều sau tương đương:

(1) R có một ideal trái tối đại duy nhất

(2) R có một ideal phải tối đại duy nhất

(3) R radR / là một vành chia

Nếu R thỏa một trong các điều kiện trên, ta nói R là vành địa phương

1.2.2.2 Module không phân tích được mạnh:

Một R-module phải M khác không được gọi là không phân tích được mạnh

nếu End M( )R là vành địa phương

1.2.2.3 Định lý:

Mọi module đơn M R đều không phân tích được mạnh

(Vì theo bổ đề Schur, End M( )R là vành chia)

1.2.2.4 Định lý:

Cho M là R- R module không phân tích được với độ dài chuỗi hợp thành

n< ∞ Khi đó E=End M( )R là vành địa phương và ideal tối đại duy nhất của nó

m=radE thỏa m n = 0 Đặc biệt M là module không phân tích được mạnh

1.2.2.5 Định lý:

Một vành atin khác không là vành địa phương nếu và chỉ nếu R không có phần tử lũy đẳng không tầm thường

1.2.3 Vành nửa địa phương

1.2.3.1 Định nghĩa vành nửa địa phương:

Một vành R được gọi là nửa địa phương nếu / R radR là vành atin trái, hoặc tương đương, /R radR là vành nửa đơn

1.2.3.2 Định lý:

Mọi vành địa phương là nửa địa phương

Mọi vành atin trái (hoặc phải) là nửa địa phương

1.2.4.1 Định nghĩa lũy đẳng trong một vành:

Cho vành R Phần tử e R∈ gọi là lũy đẳng nếu 2

Cho lũy đẳng khác không e R∈ , các điều sau tương đương:

(1) eR không phân tích được như là R-module phải

(2) Re không phân tích được như là R-module trái

(3) Vành eRe không có lũy đẳng không tầm thường

(4) e không có phân tích dạng α β+ trong đó ,α β là các lũy đẳng trực giao khác không trong R

Nếu lũy đẳng e≠ 0 thỏa mãn một trong các điều kiện trên, ta nói e là lũy

đẳng nguyên thủy của R

1.2.4.3 Lũy đẳng địa phương:

Mệnh đề:

Cho tùy ý lũy đẳng e R∈ , các điều sau tương đương:

(1) eR không phân tích được mạnh như là R-module phải

(2) Re không phân tích được mạnh như là R-module trái

(3) eRe là vành địa phương

Nếu lũy đẳng e thỏa mãn một trong các điều kiện trên, ta nói e là lũy đẳng

địa phương (Rõ ràng, một lũy đẳng địa phương là lũy đẳng nguyên thủy)

Lũy đẳng e≠ 0 gọi là bất khả quy phải (trái) nếu eR (Re) là ideal phải (trái)

tối tiểu của R

Tính chất:

Nếu e là bất khả quy phải thì eRe là vành chia

Hệ quả:

(1) Lũy đẳng bất khả quy phải là lũy đẳng địa phương

(2) Nếu R nửa đơn, khi đó một lũy đẳng là bất khả quy phải nếu và chỉ nếu nó địa phương, nếu và chỉ nếu nó nguyên thủy

1.2.4.5 Định lý:

Cho e là một phần tử lũy đẳng trong R, kí hiệu J =radR R, =R J/ Các điều sau tương đương:

(1) e lũy đẳng địa phương trong R

(2) e lũy đẳng bất khả quy phải trong R

(3) e lũy đẳng bất khả quy trái trong R

(4) eR/eJ là R-module phải đơn

(5) eJ là module con tối đại duy nhất của eR

1.2.4.6 Lũy đẳng đẳng cấu :

Cho e, f là lũy đẳng trong vành R Các điều sau tương đương:

(1) eR≅ fR đẳng cấu R-module phải

(2) Re≅Rf đẳng cấu R-module trái

(3) Tồn tại a∈eRf b, ∈ fRe sao cho e=ab f, =ba

(4) Tồn tại ,a b∈ sao cho R e=ab f, =ba

Nếu e và f thỏa các điều kiện trên, ta nói chúng là lũy đẳng đẳng cấu, kí hiệu

e≅ f

1.2.4.7 Định lý:

Cho e∈ là một lũy đẳng và I radRR ⊆ là một ideal của R Nếu e nguyên

thủy trong R=R I/ thì e nguyên thủy trong R Chiều ngược lại đúng nếu lũy đẳng

của R có thể được nâng lên R (Nghĩa là: nếu e R∈ lũy đẳng thì tồn tại f R∈ lũy

đẳng sao cho f e= )

1.2.5 Vành nửa hoàn thiện

1.2.5.1 Định nghĩa vành nửa hoàn thiện:

Vành R được gọi là nửa hoàn thiện nếu R nửa địa phương và lũy đẳng trong

/

R radR có thể được nâng lên R

1.2.5.2 Định lý:

/

eR≅eR eJ là module phải đơn trên R (và do đó trên R), eJ là module con

tối đại duy nhất của eR, do dó rad eR( )=eJ

R=∏A với A j là vành Khi đó R tự nội xạ phải nếu và chỉ nếu A j

tự nội xạ phải với mọi i

R-module phải E ⊇M R được gọi là mở rộng cốt yếu của M nếu mọi module

con khác không của E giao với M đều không tầm thường Ta cũng nói M là module con cốt yếu của E

Mở rộng cốt yếu E⊇M R được gọi là tối đại nếu không có module con thực

sự nào chứa E có thể là mở rộng cốt yếu của M

Cho module M ⊆ , các mệnh đề sau tương đương: I

(1) I là mở rộng cốt yếu tối đại trên M

(2) I nội xạ và cốt yếu trên M

(3) I nội xạ tối tiểu trên M

Nếu module M ⊆ I thỏa mãn các tính chất (1), (2), (3) ở trên thì ta nói I là

một bao nội xạ của M

1.3.2.4 Tính chất:

Bất kì module M nào cũng có một bao nội xạ

1.3.3 Định lý Bass, Papp

Với vành R, các mệnh đề sau tương đương:

(1) Tổng trực tiếp các R-module phải nội xạ thì nội xạ

(2) Tổng trực tiếp đếm được các R-module phải nội xạ thì nội xạ

1.3.4 Module đều

1.3.4.1 Định nghĩa:

Một module khác không M R được gọi là đều nếu với bất kì hai module con

khác không của M giao nhau không tầm thường

1.3.4.2 Các định nghĩa tương đương:

M là module đều nếu mọi module con khác không của M không phân tích được

M là module đều nếu mọi module con khác không của của M là cốt yếu trong M

1.3.4.3 Định lý:

Mọi module đơn là đều Mọi module đều thì không phân tích được

1.3.4.4 Chiều đều:

Ta nói R-module M có R chiều đều n, kí hiệu dim u M =n, nếu có một

module con cốt yếu V ⊆M là tổng trực tiếp của n module con đều Nếu không tồn tại số tự nhiên n như vậy, ta viết dimu = ∞

1.3.5 Module con kì dị

1.3.5.1 Định nghĩa:

Cho M là module phải trên vành R Phần tử m M∈ được gọi là kì dị nếu

ideal phải ann m ( ) cốt yếu trong R R

Tập hợp Z M ( ) các phần tử kì dị của M là một module con, gọi là module

con kì dị của M

Module M được gọi là module kì dị nếu Z M( )=M và gọi là không kì dị nếu Z M( )= 0

1.3.5.2 Định lý:

Cho R là vành tự nội xạ phải Khi đó:

(1) radR=Z R( )R

(2) R/radR là vành chính quy von Neumann

(3) R/radR là vành tự nội xạ phải

1.3.6 Vành Kasch

1.3.6.1 Định nghĩa:

Vành R được gọi là Kasch phải nếu mỗi R-module phải đơn V có thể được

nhúng trong R Vành Kasch trái R được định nghĩa tương tự

(2) Mọi module con của module tự do phải thì không xoắn Vì thế mọi module phải

xạ ảnh cũng như ideal phải thì không xoắn

(2) M hữu hạn sinh với length R( )M =length R( )R

(3) Với mọi N là R-module hữu hạn sinh thì E N ( ) cũng hữu hạn sinh

Nếu vành R thỏa điều kiện ACC trên các linh hóa tử phải (tức là các ideal

phải có dạng ann r( )X với X là tập con của R) thì ( )R R là một ideal lũy linh

(3) I là tổng trực tiếp hữu hạn của các module không phân tích được

(4) I là tổng trực tiếp hữu hạn của các module không phân tích được mạnh

(5) H là vành nửa hoàn thiện

(6) H là vành nửa địa phương

Hệ quả:

Cho R là vành tự nội xạ phải Các mệnh đề sau tương đương:

(1) dimu R R < ∞

(2) R R là tổng trực tiếp hữu hạn các ideal phải không phân tích được

(3) R nửa hoàn thiện

(4) R nửa địa phương

(5) R không có tập hợp các lũy đẳng khác không trực giao vô hạn

CHƯƠNG II CÁC VÀNH TỰA FROBENIUS VÀ FROBENIUS

2.1 VÀNH TỰA FROBENIUS

Trong phần này ta sẽ có hai mục chính Đầu tiên là định nghĩa vành tựa Frobenius cùng các cấu trúc bên trong Sau đó là tính chất của các module trên đó như tính xạ ảnh, nội xạ, đối ngẫu…

2.1.1 Các định nghĩa cơ bản

Chúng ta đã biết sơ qua về cấu trúc của vành tự nội xạ phải Với một vành tự nội xạ phải R, hai điều kiện hữu hạn (chiều đều của RRhữu hạn và không tồn tại tập hợp các lũy đẳng khác không trực giao vô hạn) là tương đương Điều này dẫn tới sự kiện R là nửa địa phương (thậm chí nửa hoàn thiện) Tuy nhiên điều này vẫn khác

xa so với R là nơte phải

Để thu được những định lý cấu trúc mạnh hơn trên vành tự nội xạ phải, chúng ta tận dụng điều kiện chuỗi tăng trên các ideal phải Dẫn đến một trong những lớp vành quan trọng nhất, vành tựa Frobenius

2.1.1.1 Định nghĩa vành tựa Frobenius:

Vành tựa Frobenius (QF) là vành nơte phải và tự nội xạ phải

Vành tựa Frobenius có các định nghĩa tương đương, điều này thể hiện qua định lý dưới đây

2.1.1.2 Định lý:

Cho R là vành bất kì, các mệnh đều sau là tương đương:

(1) R là vành n ơte phải và tự nội xạ phải