Lý thuyết dao động - Chương 2 pdf

Có nhiều cách đơn giản hoá khác nhau, một trong các cách được sử dụng rộng rãi là: Thay hệ phức tạp bằng một hệ khác đơn giản hơn với khối lượng và độ cứng phân bố khác đi, nhưng gần hệ

Chương II Dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do

2.1.1 Hệ nhiều bậc tự do

Thực tế các hệ cần tính toán dao động phần lớn là các hệ đàn hồi phức tạp, như: dầm, thanh có tiết diện không đổi hoặc thay đổi, các trục thẳng có gắn các đĩa, các trục khuỷu của động cơ đốt trong, các cánh và đĩa tuốc bin v.v

Để xác định đầy đủ biến dạng của hệ sinh ra do dao động, ta cần biết dịch chuyển của tất cả các điểm của nó, những hệ đàn hồi như thế có vô số bậc tự do

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp việc nghiên cứu dao động ở các hệ phức tạp vô số bậc tự do gặp nhiều khó khăn về toán học Việc tính toán thực tế kỹ thuật phải đưa vào các sơ

đồ đơn giản để tính toán hệ dao động Có nhiều cách đơn giản hoá khác nhau, một trong các cách được sử dụng rộng rãi là: Thay hệ phức tạp bằng một hệ khác đơn giản hơn với khối lượng và độ cứng phân bố khác đi, nhưng gần hệ đã cho ở chỗ: Giá trị tính toán không khác mấy giá trị thực Hệ này được gọi là hệ thu gọn (hay hệ tương đương) Phương pháp này cho phép ta thay các hệ vô số bậc tự do bằng hệ hữu hạn bậc tự do tương đương

m

B

q

A

Ta minh hoạ ý tưởng trình bày trên bằng ví dụ đơn giản sau đây: Tải

trọng m được treo vào điểm A cố định bằng lò xo AB (Hình 2-1) Nếu kể đến

sự phân bố khối lượng của lò xo thì hệ sẽ có vô số bậc tự do Nhưng nếu khối

lượng của tải trọng m vượt xa khối lượng của lò xo và yêu cầu chỉ xác định tần

số dao động nhỏ nhất, ta có thể bỏ qua khối lượng lò xo và chỉ tính đến tính

đàn hồi của nó Mặt khác chỉ xét đến dịch chuyển thẳng đứng của tải trọng m

thì ta hoàn toàn có thể xem hệ có một bậc tự do, vị trí của hệ dao động được

xác định duy nhất bởi toạ độ suy rộng q

Hình 2-1

2.1.2 Phương pháp chung thiết lập phương trình vi phân chuyển động

Việc lựa chọn phương pháp thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ nhiều bậc tự

do phụ thuộc vào mô hình cơ học của hệ

Đối với các cơ hệ gồm các chất điểm, các vật rắn, các lò xo bỏ qua khối lượng, các bệ giảm chấn ma sát, người ta thường dùng phương trình Lagrăng loại II để thiết lập phương trình dao động Đối với các kết cấu đàn hồi, như dao động uốn của dầm có khối lượng tập trung, , người ta thường dùng phương pháp lực,

Trong phần trình bày này, ta nêu cách áp dụng phương trình Lagrăng loại II để thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ nhiều bậc tự do

Xét hệ N chất điểm, có n bậc tự do, chịu tác dụng của các lực có thế, các lực cản phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc và các lực kích động là hàm bất kỳ của thời gian Pi(t) (i =1,n)

Gọi q1, q2, qn (qi, i = n1, là các toạ độ suy rộng của hệ: Qπi φi Pi các lực suy rộng của các lực có thế, các lực cản và các lực kích động Pi(t), phương trình Lagrăng II viết cho hệ có dạng:

i i i i i

Q Q Q q

T q

T dt

d

+ +

=

∂

∂

ư

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

∂

q

Q

; q

i

i i i

i =

∂

ư

=

∂

π

ư

π

; i =1,n

Xét với dao động nhỏ, ta có:

n

j n

i

=

=

∑ 1 1

2 1

n

j n

i

=

=

=

= 1 1

2 1

n

j n

i

=

=

=

∑ 1 1

2 1

Các hệ số aij, cij, bij thoả mãn điều kiện xin-véc-trơ và là các hằng số Thay các biểu thức trên vào phương trình Lagrăng II, ta nhận được phương trình vi phân dao động của hệ:

n

j j ij j

ij n

j n

j

j

1 1

1

=

=

∑

∑

=

•

=

=

•

Viết cụ thể hệ (2-2) ta có:

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

= +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

= +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

= +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

) t ( Q q c

q c q c q b

q b q b q a

q a q a

) t ( Q q c

q c q c q b

q b q b q a

q a q a ) t ( Q q c

q c q c q b

q b q b q a

q a q a n n nn n n n nn n n n nn n n n n n n n n n n n n n n 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 2 2 22 1 21 2 2 12 1 21 1 1 2 12 1 11 1 2 12 1 11 1 2 12 1 11 (2-2a) Hệ (2-2a) có thể viết dưới dạng ma trận: a11 a12 a1n q b11 b12 b1n q c11 c12 c1n Q1 • • 1 2 n 1 2 1 1 2 1 q a21 a22 a2n q b21 b22 b2n c21 c22 c2n q Q2 • q •

an1 an2 ann q bn1 bn2 bnn q cn1 cn2 cnn Qn

q

=

(2-2b)

Hoặc cho gọn ta biểu diễn nó dưới dạng véctơ:

•

•

(2-2c)

2.1.3 Những nguyên tắc giải phương trình dao động của hệ

Nếu những lực kích động ngoài thay đổi theo quy luật điều hoà hình sin có cùng tần

số và pha thì đơn giản hơn cả là sử dụng phương pháp trực tiếp, nghĩa là tìm chuyển động ở dạng: qi = Aisin kt Phương pháp này có thể áp dụng cho các bài toán phức tạp hơn, khi các lực kích động thay đổi theo chu kỳ Trong trường hợp này, cần phân trước các lực kích động

ra các thành phần điều hoà

Phương pháp tổng quát hơn là phân nghiệm theo các dạng riêng của dao động Điều chủ yếu của phương pháp này là ở chỗ: Nhờ nó mà ta nhận được nghiệm của bài toán với bất kỳ lực kích động đã cho

Ta trình bày một trường hợp tìm nghiệm của phương trình bằng phương pháp trực tiếp Xét dao động tự do của hệ thanh bảo toàn (không cản), khi đó phần vế phải của phương trình

dao động của hệ được mô tả bằng hệ n phương trình vi phân thường tuyến tính thuần nh

, j i (

ất:

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

= +

+ +

+ +

+ +

= +

+ +

+ +

+ +

= +

+ + + +

+ +

•

•

•

•

•

•

•

•

•

0

0 0

2 2 1 1 2

2 1 1

2 2

22 1 21 2

2 22 1 21

1 2

12 1 11 1

2 12 1 11

n nn n

n n nn n

n

n n n

n

n n n

n

q c

q c q c q a

q a q a

q c

q c q c q a

q a q a q c

q c q c q a

q a q a Các tích phân riêng của hệ tìm ở dạng: qi =Aicos(kt+α); i=1,n (2-4) Thay (2-4) vào (2-3) ta nhận được: (2-5) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ư + + ư + ư = ư + + ư + ư = ư + + ư + ư 0 0 0 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 22 22 1 2 21 21 2 1 1 2 2 12 12 1 2 11 11 n nn nn n n n n n n n n n n A ) k a c (

A ) k a c ( A ) k a c (

A ) k a c (

A ) k a c ( A ) k a c ( A ) k a c (

A ) k a c ( A ) k a c ( Điều kiện cần và đủ tồn tại các nghiệm Ai(i=1, n) không tầm thường là: 0

2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 22 22 2 21 21 2 1 1 2 12 12 2 11 11 = ư ư ư ư ư ư ư ư ư k a c

k a c k a c

k a c

k a c k a c k a c

k a c k a c

nn nn n

n n

n

n n

n n

(2-6) gọi là phương trình tần số Nó là phương trình bậc n đối với k2 Khi giải (2-6) ta nhận được n tần số riêng k2 Giả sử ta được các tần số riêng khác nhau: k1 < k2 < < kn, khi

đó ta có:

(2-7)

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

α + +

+ α + +

α +

=

α + +

+ α + +

α +

=

α + +

+ α + +

α +

=

) t k cos(

A

) t k cos( A ) t k cos( A q

) t k cos( A

) t k cos( A ) t k cos( A q ) t k cos( A

) t k cos( A ) t k cos( A q n n nn n n n n n n n n n 2 2 2 1 1 1 2 2 2 22 1 1 21 2 1 2 2 12 1 1 11 1 Ta đưa ra hệ số phân phối: f (c a k ); i j ,n A A j rs rs i sj ij ij = = ư 2 =1 μ (2-8) Trong đó với Aij thì chỉ số đầu (i) chỉ số tọa độ suy rộng; chỉ số thứ hai (j) chỉ tần số riêng Khi sử dụng (2-8) ta viết nghiệm của (2-3) ở dạng: (2-9) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ α + + + α + + α + = α + + + α + + α + = α + + + α + + α + = μ μ μ μ μ μ ) t k cos( A

) t k cos( A ) t k cos( A q

) t k cos( A

) t k cos( A ) t k cos( A q ) t k cos( A

) t k cos(

A ) t k cos(

A

q

n n nn

n 2

2 2

2 1 1 1 1

n

n n n

n 2

2 22

2 1 1 21 1

2

n n n

2 2 2

1 1 1

1

α

0

i

q

•

0

i

q

Đ.2.2 Dao động tuyến tính của hệ có hai bậc tự do

2.2.1 Dao động tự do không có cản

2.2.1a Phương trình vi phân chuyển động

Xét hệ dao động có hai bậc tự do, chịu tác dụng của các lực có thế Gọi toạ độ suy rộng xác định vị trí của cơ hệ là: q1, q2 Phương trình Lagrăng II trong trường hợp này có dạng:

q q

T q

T dt

d

i i

i

=

∂

π

∂

ư

=

∂

∂

ư

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

∂

∂

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+ +

2 1

2

1

q a q q a q a T

2

=

Thay (b) vào (a) và rút gọn ta nhận được phương trình vi phân chuyển động của hệ dao động:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

= +

+ +

= +

+ +

•

•

•

•

0 q c q c q a q a

0 q c q c q a q a

2 22 1 12 2 22 1 12

2 12 1 11 2 12 1 11

2.2.1b Tích phân phương trình vi phân chuyển động, phương trình tần số

Hệ (2-10) là hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp II thuần nhất hệ số không đổi

Theo (2-4) ta tìm nghiệm của nó dưới dạng:

q1 =A1sin(kt+α); q2 =A2sin(kt+α) (2-11) Trong đó: k là tần số vòng (riêng); A1, A2 là các biên độ; α là pha ban đầu Các đại

lượng này được xác định trong quá trình tính toán

Thay (2-11) vào (2-10) ta nhận được hệ hai phương trình đại số tuyến tính thuần nhất

đối với các biên độ A1 và A2:

ư

=

ư+

ư

0

0

2 22 22 2 2 12 12 1

2 12 12 2 2 11 11 1

)kac(A)kac(A

)kac(A)kac(A

Nếu loại trừ nghiệm tầm thường A1 = A2 = 0, để hệ (2-12) có hai nghiệm số đối với A1, A2

khác không thì định thức của hệ phải bằng không Ta có:

22 22 2 12 12

2 12 12 2 11

kackac

Hay: (c11 – a11k2)( c22 – a22k2)( c12 – a12k2)2 = 0 (2-13)

Phương trình (2-13) gọi là phương trình tần số Rõ ràng là chỉ với các giá trị của k

thoả mãn phương trình tần số thì các giá trị A1, A2 và do đó mới tồn tại các đại lượng q1, q2

khác không

Phương trình (2-13) là phương trình trùng phương, trong trường hợp tổng quát có hai

giá trị đối với k2 Điều kiện cần và đủ để hai nghiệm số với k2 là thực và dương là: Dạng

toàn phương của động năng, thế năng của hệ xác định dương, nghĩa là:

a11 > 0; a22> 0; (a11a22– a2

12) > 0

c11 > 0; c22> 0; (c11c22– c2

12)> 0 (c) Với các giá trị trên của k2 thì q1, q2 là hàm biểu diễn sự phụ thuộc của hàm sin vào

không dao động Ta xét hai trường hợp:

độc lập nhau Nghiệm của chúng biểu thị bằng:

q1=A1sin(kt + α1); q2 =A2sin(kt + α2) (2-14) Các hệ số A1, A2, α 1, α2 được xác định từ điều kiện ban đầu t = 0; q1(0) = q10, q2(0) = q20;

20 2

Vậy, khi tần số như nhau hệ thực hiện dao động điều hoà, các hàm q1, q2 thay đổi theo

quy luật hình sin độc lập nhau

b) Tần số khác nhau: Giả sử k1 < k2, trong đó k1 gọi là tần số cơ bản Các dao động ứng với các tần số k1, k2 gọi là các dao động chính của hệ

Phương trình dao động chính thứ nhất (dao động cơ bản) có dạng:

q11) =A11sin(k1t+α1); q21) =A21sin(k1t+α1) (2-15) Phương trình dao động chính thứ hai có dạng:

q1(2) =A12sin(k2t+α2); q(22) =A22sin(k2t+α2) (2-16) Tích phân tổng quát của hệ (2-10) được biểu thị bằng:

α+

=+

=

α++

α+

=+

=

)tksin(

A)tksin(

Aqqq

)tksin(

A)tksin(

Aqqq

2 2 22 1 1 21 ) 2 ( 2 ) 1 ( 2 2

2 2 12 1 1 11 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 1

Khi chú ý tới (2-8), trong trường hợp khảo sát ta có:

2 2 12 12 2

2 12 12

2 2 11 11 12

22 2

1

2 2 22

2 1 22 22

2 1 12 12 2

2 12 12

2 1 11 11 11

21 1

1

1 2 21

kac

kack

ac

kacA

Aq

q

kac

kack

ac

kacA

Aq

q

) (

) ( ) )

α+

=

α++

α+

=

μ

Aq

)tksin(

A)tksin(

Aq

2 2 22 2 1 1 21 1 2

2 2 2 1 1 1 1

Các hằng số A1, A2, α1, α 2 được xác định từ điều kiện ban đầu t = 0: q1(0) = q10;

Vậy, khi tần số khác nhau, dao động nhỏ tự do của hệ hai bậc tự do được tạo thành từ tổng hai dao động điều hoà chính với tần số k1, k2

2.2.1c Các toạ độ chính

Để biểu thị đơn giản hệ phương trình vi phân (2-10) và nghiệm của nó (2-19) người ta

đưa vào khái niệm các toạ độ chính Các toạ độ suy rộng θ1, θ 2 được chọn đặc biệt sao cho biểu thức động năng T của hệ chỉ chứa tổng bình phương của các vận tốc suy rộng

rộng θi(i = 1, 2) thì các toạ độ suy rộng θ1, θ 2 được gọi là các toạ độ chính của hệ Với các toạ

2 2 2

2 1 1

2

12

1

θ+θ

=π

ở đây: a1, a2 là các hệ số quán tính; c1, c2 là các hệ số tựa đàn hồi

Phương trình vi phân dao động tuyến tính của hệ hai bậc tự do có dạng:

=θ+

1 1 1 1

ca

ca

a

c

của hệ Các hằng số B1, B2, β1, β 2 được xác định từ các điều kiện ban đầu đã biết Vậy, khi viết theo toạ độ chính, phương trình vi phân dao động của hệ đưa về hệ hai phương trình độc lập giống như trong trường hợp tần số bằng nhau

Thí dụ 2.1:

Cho mô hình của hệ như hình vẽ (Hình 2-2) Hệ chuyển dịch không ma sát theo hướng ngang Xác định chuyển động dao động của hệ, giả thiết rằng tại thời điểm ban đầu tải trọng m2 nhận được vận tốc tức thời V hướng về bên phải Tính tần số dao động chính 0

và các hệ số phân phối trong trường hợp m1= m2 = m, C1= C2 = C

Hệ có hai bậc tự do Chọn q1, q2 là các toạ độ suy rộng xác định vị trí của hệ

Trong quá trình dao động, các lò xo chịu các lực đàn hồi là:

F1 = C1q1, F2 = C2(q2 – q1)

Thế năng và động năng của hệ bằng:

2 2 2 2

1 1

2 1 2 2 2 1 1

2

12

12

=

Thay các biểu thức trên vào phương trình Lagrăng II:

;qq

Tq

Tdt

d

i i

=

ư

ư+

1 2 2 1 1 1 1

)qq(Cqm

)qq(CqCqm

Ta thử thỏa mãn phương trình (3) bằng các hàm:

q1=A1sin(kt + α); q2 =A2sin(kt +α) (4) Thay (4) vào (3), ta nhận được hệ:

ư

2 2 2 1

2 2

2 1 1 1 2 2 1 1

kAm)AA(C

kAm)AA(CAC

2 2

1 2

kmCC

Ck

mCC

2 1

2 1 2 2 2 1

2 1

CCkm

Cm

CC

2 1 2

2 2 1

2 1 2

2 1

2 1 2

2 1

2 1 2

2 2 1

2 1 2

2 1

2 1 1

4

12

1

4

12

1

mm

CCm

Cm

CCm

Cm

CCk

mm

CCm

Cm

CCm

Cm

CCk

α+

=

α++

α+

=

)tksin(

A)tksin(

Aq

)tksin(

A)tksin(

Aq

2 2 22 1 1 21 2

2 2 12 1 1 11 1

C

kmC

C

kmC

=

Do đó có thể viết NTQ (8) dưới dạng:

=

α++

α+

=

μ

μ A sin(k t ) A sin(k t )q

)tksin(

A)tksin(

Aq

2 2 2 22 1 1 1 21 2

2 2 2 1 1 1 1

Chọn gốc tính q1, q2 tại vị trí cân bằng tĩnh các tải trọng (lò xo chưa biến dạng) Điều kiện ban đầu t = 0, viết được:

α

=α+

α

=α+

α

=α+

α

μ μ

μ μ

0 2 2 2 22 1 1 1 21

2 2 2 1 1 1

2 2 22 1 1 21

2 2 1 1

Vcos

kAcos

kA

0cos

kAcos

kA

0sin

Asin

A

0sin

Asin

A

(11)

Giải (11) ta có: α1 = α2 = 0;

)(

k

VA

22 21 1

0

VA

21 22 2

C

2

51

2

51

22 = ư =ư ,μ

2.2.2 Dao động cưỡng bức không cản

2.2.2a Phương trình vi phân chuyển động

Xét dao động của hệ hai bậc tự do chịu tác dụng của các lực có thế và các lực kích

Lagrăng II có dạng:

21,i

;Qqq

Tq

Tdt

i i i

i

=+

2 22 2 1 12 2 1

2

12

2

1

qcqqcqc

;qaqqaqa

Thay (b) vào (a) và giả thiết rằng: Các lực kích động điều hoà có cùng tần số p và pha ban đầu δ Các lực suy rộng tương ứng của chúng bằng: QiP = Hisin(pt+δ), i = 1, 2 Khi đó ta nhận được hệ phương trình vi phân dao động cưỡng bức của hệ hai bậc tự do:

=+

++

δ+

=+

Hqcqcqaqa

)ptsin(

Hqcqcqaqa

2 2 22 1 21 2 22 1 21

1 2 12 1 11 2 12 1 11

=

+β++

β+

q)tksin(

C)

tksin(

Cq

q)tksin(

C)tksin(

Cq

(2-24)

Trong đó: k1, k2 là các tần số dao động chính, được xác định từ phương trình tần số (2-13)

μ21, μ22 là các hệ số phân phối được xác định theo công thức (2-18) Bây giờ ta tìm NR của

hệ (2-23) xác định dao động cưỡng bức thuần tuý dưới dạng:

Từ đó có: q•i =AiPp2sin(pt+δ);i=1,2 (2-26) Thay (2-25), (2-26) vào (2-23) ta nhận được hệ phương trình xác định AiP; i = 1, 2

ư

=

ư+

ư

2 2 2 22 22 1

2 12 12

1 2 2 12 12 1 2 11 11

HA)pac(A)pac(

HA)pac(A)pac(

P P

P P

2 12 12 1 2 11 11 2 2

2 2 12 12 2 22 22 2 11 11

2 12 12 2 2 22 22 1 1

)pac()pac)(

pac(

)pac(H)pac(HA

)pac()pac)(

pac(

)pac(H)pac(HA

aaa(

)pac(H)pac(HA

)kp)(

kp)(

aaa(

)pac(H)pac(HA

2 2 2 2 1 2 2 12 22 11

2 12 12 1 2 11 11 2 P

2

2 2 2 2 1 2 2 12 22 11

2 12 12 2 2 22 22 1 P 1

Với p = k1 hoặc p = k2 (tần số lực kích động bằng một trong các tần số riêng của hệ), các biên độ dao động cững bức theo (2-29) sẽ tăng vô hạn theo thời gian Các giá trị trên của tần số lực kích động là các giá trị nguy hiểm (tới hạn) Ta có hiện tượng cộng hưởng Khi xảy ra cộng hưởng, biểu thức (2-25) sẽ mất ý nghĩa Để biểu diễn dao động cưỡng bức thuần tuý (NR) trong trường hợp này, ta thử viết phương trình ở các toạ độ chính

Biểu thị q1, q2 qua các toạ độ chính θ1, θ 2 ở dạng sau:

q1 = θ1 +θ2; q2 = μ21θ1 + μ22θ2 (2-30) Các lực suy rộng của các lực kích động ngoài theo các toạ độ chính được xác định trên cơ sở biểu thức tính công ảo và có:

⎩

⎨

⎧

δ++

=+

=

δ++

=+

=

μ μ

μ μ

)ptsin(

)HH

(QQ

Q

)ptsin(

)HH

(QQ

Q

2 22 1 P 2 22 P 1 P

*

2 21 1 P 2 21 P 1 P

*

(2-31) Phương trình vi phân chuyển động của hệ dao động viết cho toạ độ chính có dạng:

+

=θ+θ

δ+

+

=θ+θ

a

HH

k

)ptsin(

a

HH

k

2

2 22 1 2 2 2 2

1

2 21 1 1 2 1 1

Hệ (2-32) có thể tích phân độc lập Ta xét các trường hợp sau đây:

a) Khi p = k1: Ta tìm NR ứng với dao động cưỡng bức thuần tuý ở dạng:

θ1 = C1tcos(pt+δ); θ2= C2sin(pt+δ) (2-33) Thay (2-33) vào (2-32) ta nhận được hệ phương trình xác định C1, C2 và nhận được:

1 1

2 21 1 1

2k a

HH

ư

)pk(a

HH

2 2

2 22 1 2

ư

+

=θ

π

ưδ+

+

=δ+

+

ư

=θ

μ

μ μ

)ptsin(

)pk(a

HH

)pt

sin(

tpa

HH

)ptcos(

tak

HH

2 2 2 2

2 22 1 2

1

2 21 1 1

1

2 21 1 1

22

2

(2-34)

Chuyển về toạ độ cũ q1, q2 ta được:

)ptsin(

)pk(a

)HH

(pt

sintpa

)HH

(q

)ptsin(

)pk(a

HH

ptsintpa

HH

q

δ+

ư

++

ư

++

μ μ

μ μ

2 2 2 2

2 22 1 22 1

2 21 1 21 2

2 2 2 2

2 22 1 1

2 21 1 1

22

22

+

=θ

δ+

ư

+

=θ

μ

μ

)2pt

sin(

tpa2

HH

)ptsin(

)pk(a

HH

2

2 22 1 2

2 2 1 1

2 21 1 1

δ+

ư

+

=

μ μ

μ μ

μ μ

22

22

2

2 22 1 22 2

2 1 1

2 21 1 21 2

2

2 22 1 2

2 1 1

2 21 1 1

ptsintpa

)HH

()ptsin(

)pk(a

)HH

(q

ptsintpa

HH

)ptsin(

)pk(a

HH

q

(2-37)

Như vậy, hệ hai bậc tự do chịu tác dụng của các lực điều hoà cùng một tần số p và cùng một pha δ, có thể xảy ra hai trạng thái cộng hưởng (vì tần số lực kích động có thể bằng một trong hai tần số riêng)

Thực tế, việc xác định trạng thái cộng hưởng xảy ra đối với hệ nhiều bậc tự do (kiểm tra hệ về cộng hưởng) là một trong các bài toán quan trọng nhất của tính toán kỹ thuật về dao động

2.2.3 Một vài bài toán ứng dụng

2.2.3a Bộ tắt chấn động lực không tính đến ma sát

a) Nhận xét:

Nếu một trong số các lực kích động triệt tiêu, chẳng hạn:

Q2P= 0, còn Q1P = H1sin (pt+δ): Các biên độ dao động cưỡng bức theo (2-29) trở thành:

2 12 12 1 p

2 2 12 12 2 22 22 2 11 11

2 22 22 1 p

)pac()pac)(

pac(

)pac(HA

)pac()pac)(

pac(

)pac(HA

(2-38)

Nếu chọn các tham số của hệ sao cho: c22 – a22p2 = 0 tức là

22

22 2

ac

A1P= 0; 2

12 12

1 2

pac

a

c

hoàn toàn dập tắt Hiện tượng này gọi là sự tắt chấn động lực của dao động mà nó không có

được trong các hệ có một bậc tự do

b) Nguyên lý tạo ra bộ tắt chấn động lực không có ma sát

Giả sử ta có mô hình dao động như hình vẽ (Hình 2-3a), chịu tác dụng của lực kích

C1

Hình 2-3

Hai khối lượng m1, m2 đặt trên các lò xo không khối lượng có độ cứng tương ứng C1,

C2 Cho lực kích động tác dụng lên khối lượng m1 mà lực suy rộng của nó biểu thị bằng:

Q1P= H1sin (pt + δ) Còn trên khối lượng m2 không có lực kích động, tức là Q2P= 0 Hệ mô tả sẽ có hai bậc

tự do với các toạ độ suy rộng là q1, q2 ta có:

1 2 2 2 1 1 2

2 2 2 1 1

2

12

1

)qq(cqc

;qmqm

ư

δ+

=

ư+

1 2 2 1 2 1 1 1

qCqCqm

)ptsin(

HqCq)CC(qm

(2-40)