Lý thuyết dao động - Chương mở đầu ppt

PTS Nguyễn Thúc An, PTS Nguyễn Đình Chiều, PTS Khổng Doãn Điền, xuất bản tại Trường Đại học Thủy lợi, năm 1989, đã đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Công trình, ngành Thuỷ đi

Trường đại học thuỷ lợi

Bộ môn cơ học ứng dụng

- [\ [\ -

GS.TS Nguyễn Thúc An PGS.TS Nguyễn Đình Chiều PGS.TS Khổng Doãn Điền

Lý thuyết dao động

Hμ Nội 2003

Lời nói đầu

Giáo trình “Cơ học Lý thuyết II – Lý thuyết Dao động” – Tác giả PGS PTS Nguyễn Thúc An, PTS Nguyễn Đình Chiều, PTS Khổng Doãn Điền, xuất bản tại Trường Đại học Thủy lợi, năm 1989, đã đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Công trình, ngành Thuỷ điện và ngành Máy Xây Dựng những năm qua, trong đó đề cập đến các bài toán dao

động của hệ một bậc tự do, hai bậc tự do, vô số bậc tự do và giải quyết nguyên lý của bộ tắt chấn động lực, triệt tiêu dao động của một vài trường hợp cụ thể và cách giải quyết khi hệ

có nguy cơ xuất hiện hiện tượng cộng hưởng

Để đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & TBTL và các học viên Cao học, Nghiên cứu sinh mà luận án có đề cập đến bài toán động lực, chúng tôi biên soạn và đưa vào thêm: Chương IV (Va chạm của vật rắn vào thanh đàn hồi và áp dụng

Lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc); Chương V (Cơ sở của Lý thuyết dao động phi tuyến) và có đưa vào những ví dụ gần với thực tế tính toán công trình cho ngành Thuỷ lợi Tài liệu dùng để giảng dạy “ Lý thuyết dao động” cho sinh viên các ngành Công trình, Thuỷ điện, Cấp thoát nước, Trạm bơm và giảng dạy môn “ Dao động kỹ thuật” cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & Thiết Bị Thuỷ Lợi Tài liệu này cũng có thể dùng làm tài liệu

ôn tập thi tuyển Cao học và Nghiên cứu sinh cho các ngành Công trình, Động lực và làm tài liệu học tập và tham khảo cho Nghiên cứu sinh các ngành có liên quan

Chúng tôi mong nhận được những đóng góp ý kiến của đồng nghiệp và bạn đọc để bổ xung, sửa chữa cho tập giáo trình ngày một hoàn chỉnh hơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2003

Các tác giả

Chương mở đầu

1.1 Các quá trình thay đổi khác nhau của các đại lượng vô hướng được chia thành hai dạng: Các quá trình dao động và các quá trình không dao động

Quá trình dao động được đặc trưng bằng sự tăng hay giảm một cách luân phiên của các đại lượng biến đổi Nó được mô tả bằng các phương trình toán học

Dao động trong đó các phương trình vi phân mô tả chuyển động của nó là tuyến tính, gọi là dao động tuyến tính Ngược lại, gọi là dao động không tuyến tính (phi tuyến)

1.2 Chuyển động dao động được đặc biệt quan tâm là những dao động có chu kỳ

Hàm f*(t) mô tả quá trình dao động có chu kỳ, nếu như tồn tại giá trị T > 0, thoả mãn

điều kiện sau:

f*(t)=f*(t±T)=f*(t±2T)= =f*(t±nT) (1) Trong đó: T gọi là chu kỳ; n là số nguyên dương

Một dạng đặc biệt của dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao

động điều hoà Về mặt động học dao động điều hoà được miêu tả bởi hệ thức:

ở đây: q là toạ độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc toạ độ); A là toạ độ của q ứng với độ lệch lớn nhất của điểm về một phía và được gọi là biên

độ dao động; (kt+α) là Argument của sin gọi là pha dao động; α là pha ban đầu; k là tần số vòng (riêng) của dao động Tần số riêng k liên quan với chu kỳ T bởi hệ thức:

k(t+T)+α=kt+α+2π, từ đó: (rad/s)

T

2

Số lần dao động trong một đơn vị thời gian được tính theo công thức:

π

=

= 2

k T

1

f được gọi là tần số; đơn vị thường dùng là Hecz (Hz)

Xét hệ N chất điểm có n bậc tự do Gọi toạ độ suy rộng xác định vị trí của hệ: q1, q2 ., qn (qi, i = 1,n)

Với hệ chịu liên kết dừng, vị trí của một điểm Mk bất kỳ được biểu diễn:

Từ đó: ∑

=

•

∂

∂

=

= n

1 i

i i

k k

q

r dt

r d

=

1 k

2 k

kv m 2

1

Thay (5) vào biểu thức trên với chú ý: v2k = vk.vk

=

•

•

= n

1 j

j i

ijq q A 2

1

ở đây: Aij = Aji là các hệ số chỉ phụ thuộc vào các tọa độ suy rộng Khai triển chúng theo chuỗi lũy thừa tại lân cận vị trí cân bằng (qi =0 i=1,n) và chỉ giữ lại số hạng đầu, ta nhận được biểu thức động năng của hệ đã tuyến tính hoá:

=

•

•

= n

1

j ij i j

q q a 2

1

quán tính)

0 ij ji

ij a (A )

Nếu hệ có một bậc tự do (n = 1), ta có:

2

q a 2

1

T= • , trong đó a = A(0) (8) Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta được:

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ +

= 11 •12 2 12 •1 •2 22 •22 2

1

q a q q a q a

ở đây: a11=(A11)0;a12 =(A12)0;a22 =(A22)0 Các hệ số của dạng toàn phương (7) thoả mãn điều kiện Xin-vec-trơ (xác định dương), nghĩa là:

a

a a

a

a a

a

a a .;

; 0 a a

a a

; 0 a

nn 2 1

n 22 21

n 12 11

22 21

12 11

11 > > >

Với liên kết dừng, thế năng của hệ cũng là hàm của các toạ độ suy rộng:

Trong hệ bảo toàn, tại vị trí cân bằng (qi =0 i=1,n), thế năng của hệ có giá trị cực trị nên:

0

0

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

π

∂

=

i

q i

Theo định lý Lagrăng-Điriclê thì: Tại vị trí cân bằng ổn định của hệ bảo toàn, thế năng của hệ cực tiểu Khai triển π theo chuỗi luỹ thừa tại lân cận vị trí cân bằng ổn định

) n

,

i

;

q

+ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

π

∂ + π

=

π n

1 i

n

1 j

j i ij i

0 i

2

1 q q )

Nếu chọn vị trí cân bằng ổn định của hệ làm gốc tính π thì (π)0 =0 và do (10) nên số hạng thứ hai trong (11) bằng không Mặt khác với hệ tuyến tính sẽ không chứa trong khai triển của thế năng các thành phần bậc cao hơn hai đối với toạ độ suy rộng Do đó thế năng π của hệ khi tuyến tính hoá là dạng toàn phương sau:

=

=

π n

1 j

j i

ij q q c 2

1

ở đây:

0 j i

2 ji

ij c q q

c ⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

∂

∂

π

∂

=

Nếu hệ có một bậc tự do (n = 1), ta có:

2

cq 2

1

=

Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta được:

) q c q q c q c

2

1

+ +

=

Trong đó:

0

2 2

2 22 0 2 1

2 12

0

2 1

2 11

q c

; q q c

; q

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

π

∂

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

π

∂

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

π

∂

=

xác định dương

Giả sử hệ chịu tác dụng lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc: Rk =ưβk.vk

Trong đó: βk >0 là hệ số cản (nhớt); vk là vận tốc của chất điểm thứ k thuộc hệ Gọi toạ độ suy rộng của của hệ: qi(i=1,n) Các lực suy rộng tương ứng với lực cản bằng:

i k n

1

k k k i

k n

1

k k i

q

r v q

r R Q

∂

∂ β

ư

=

∂

∂

=∑ ∑

=

= Φ

Khi sử dụng đồng nhất thức Lagrăng: ,

q

r q

r

i

r

i

k

•

•

∂

∂

=

∂

∂

ta có:

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ β

∂

∂

=

∂

∂ β

ư

= ∑ ∑

=

•

•

•

•

=

Φ

2

v q

q

r r Q

2 k n

1 k k i i

k k n

1 k k

i

i

q

Q φ •

∂

φ

∂

ư

= (15)

=

β

=

φ n

1 k

2 k

k 2

v

φ được biểu diễn ở (16) gọi là hàm hao tán Ta có thể viết φ giống như động năng T

=

•

•

=

φ n

1 j

j i

ij q q B 2

1

Trong đó: Bij =Bji là các hàm chỉ của toạ độ suy rộng: qi(i=1,n) Khai triển chúng theo chuỗi luỹ thừa tại lân cận vị trí cân bằng qi =0;(i=1,n) và chỉ giữ lại số hạng đầu, ta nhận được biểu thức của hàm hao tán đã tuyến tính hoá:

=

•

•

=

φ n

1 j

j i

ij q q b 2

1

(18)

ở đây: bij =bji =(Bij)0 là các hệ số cản suy rộng

2

>

=

=

2

2 22 2 1 12

2 1 1

•

•

•

•

+ +

=

Trong đó: b11=(B11)0; b12 =(B12)0; b22=(B22)0

Các hệ số bij của dạng toàn phương (18) cũng thoả mãn tiêu chuẩn xác định dương

5.1 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương trình Lagrăng II

Cơ sở lý thuyết của nhiều công trình nghiên cứu dao động các hệ Hôlônôm nhiều bậc

tự do là việc áp dụng phương trình Lagrăng loại II

Phương pháp thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ dao động bằng cách

sử dụng phương trình Lagrăng loại II gọi là phương pháp cơ bản

Đối với hệ Hôlônôm, có n bậc tự do, xác định bởi các toạ độ suy rộng độc lập:

) n , i : q

(

q

,

q

,

n , 1 i

; Q q

T q

T dt

d

i i i

=

=

∂

∂

ư

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

∂

∂

5.1a Nếu các lực tác dụng lên hệ chỉ là lực có thế

q Q

Q

i i

∂

π

∂

ư

=

= π

Phương trình (21) trở thành:

n , 1 i

; q q

T q

T dt

d

i i

i

=

∂

∂

ư

=

∂

∂

ư

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

∂

∂ π

Đưa vào hàm Lagrăng: L= Tưπ, ta được:

n , 1 i

; 0 q

L q

L dt

d

i i

=

=

∂

∂

ư

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

∂

∂

• (21b)

5.1b Nếu các lực tác dụng lên hệ bao gồm cả lực có thế và lực cản nhớt ta có:

q q Q

Q Q

i i i

i

∂

∂

ư

∂

π

∂

ư

= +

= π φ •φ

Phương trình (21) trở thành:

n , 1 i

; q q q

T q

T dt d

i i i

i

=

∂

∂

ư

∂

π

∂

ư

=

∂

∂

ư

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

∂

∂

•

•

φ

Khi chú ý đến hàm Lagrăng L:

n , 1 i

; 0 q q

L q

L dt d

i i i

=

=

∂

∂ +

∂

∂

ư

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

∂

∂

•

•

φ

(22a)

5.1c Nếu lực tác dụng lên hệ ngoài các lực có thế, và lực cản nhớt còn có các ngoại lực khác (lực kích động) phụ thuộc vào thời gian t; lực suy rộng của nó ký hiệu

Q i P , ta có:

n , i

; Q Q Q

Và phương trình (21) viết ở dạng:

q q q

T q

T dt

i i i i

i

1

=

+

∂

φ

ư

∂

π

∂

ư

=

∂

∂

ư

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

∂

∂

•

Thí dụ 1:

nhau bởi bản lề B Con lắc thực hiện dao động nhỏ trong mặt phẳng thẳng đứng xung quanh

vị trí cân bằng Ay; ngoài ra AB quay xung quanh trục A; BC quay xung quanh bản lề B (Hình 1)

Bài giải

Giả thiết các thanh rắn tuyệt đối ; hệ có hai bậc tự do Ta chọn θ1, θ2 là các góc lệch của thanh với phương thẳng đứng Ay làm tọa độ suy rộng Tại vị trí cân bằng thì θ1 = θ2 = 0 Phương trình Lagrăng II viết cho hệ khảo sát là:

Hình 1

B

D

C y

P1

P2

θ1

θ2

dt

d

i i i

=

= θ

∂

ư

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ θ

∂

∂

Chọn hệ trục tọa độ Axy như hình vẽ Động năng

của hệ bằng:

2 2 Dz

2 D

2 D BC

2 1 Az BC

2

1 y x m 2

1 J

2

1 T

T

T • • • ⎟⎟+ θ•

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ + +

θ

= +

=

g

P 12

1 J , g

P m , ) L 2 ( g

P 3

1

J = = =

⎩

⎨

⎧

θ + θ

=

θ + θ

=

) cos cos

2 ( L y

) sin sin

2 ( L x

2 1

D

2 1

D

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

θ

ư θ θ

θ + θ + θ

= 4• • 3• • cos( ) g

PL 2

2 2

2 1 2

Xét dao động nhỏ: cos(θ1 ưθ2)≈1, ta nhận được:

g

PL 2

2 2

2 1

2 • • • •

θ θ + θ + θ

Thế năng của hệ bằng công trọng lượng các thanh khi hệ chuyển dịch từ vị trí khảo sát (θ1; θ2) tới vị trí cân bằng thẳng đứng (θ1 = 0 ; θ2 = 0), ta có:

PL ) cos 1 (

PL ư θ1 + ư θ1 + ư θ2

= π

Rút gọn: π=PL(4ư3cosθ1ưcosθ2)

Với θ1,θ2 nhỏ:

2 1 cos

; 2 1 cos

2 2 2

2 1 1

θ

ư

≈ θ

θ

ư

≈ θ

2

2

2

1 +θ θ

=

Thay (b) và (c) vào (a), ta nhận được phương trình vi phân dao động nhỏ của hệ:

g

L 4 g

L 2

; g

L 2 g

L 16

5.2 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương pháp Đalămbe

Theo nguyên lý Đalămbe: ở mỗi thời điểm các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ và các phản lực liên kết cân bằng với các lực quán tính Từ đó:

( )

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= +

+

∑

qt k O k

O a

k O

qt k k

k

a k

F m N

m F

m

F N

F

0

0

(24)

Trong đó: Fqtk =ưmkWk

5.3 áp dụng phương pháp lực để lập phương trình vi phân dao động nhỏ (trường hợp riêng của phương pháp Đalămbe)

Giả sử cho một dầm đàn hồi có gắn một số hữu hạn khối lượng tập trung

Để lập phương trình vi phân dao động (uốn) của dầm, thuận lợi hơn cả là dùng phương pháp lực Khi này cần sử dụng khái niệm dịch chuyển đơn vị

n

m

,

,

m

,

m1 2

Các dịch chuyển theo hướng i do lực đơn vị tác dụng theo hướng k gây ra gọi là dịch chuyển đơn vị, ký hiệu δik Các dịch chuyển đơn vị δik còn gọi là các hệ số ảnh hưởng (Hình 2)

k

δik

Pk = 1 i

Hình 2

nó gây ra theo hướng i sẽ tỷ lệ với lực, nghĩa là:

yi = Pkδik

Do đó, dưới tác dụng đồng thời của các lực P1, P2, , Pn dịch chuyển toàn phần xác

định theo công thức:

n

1 k k

i P

y =∑ δ

=

Công thức (25) là cơ sở để thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ theo phương pháp lực

sau đây:

5.3a Xác định δ ik khi uốn của thanh:

Dùng công thức MO:

∫

∑

= δ

L

0

k i ik

EJ

dx M M

Trong đó: EJ là độ cứng của thanh khi uốn; M i ( x )và M k ( x ) là các mômen uốn do lực

đơn vị Pi =1 và Pk =1 gây ra (Hình 3)

Pi = 1

Mi =(x)

x

Mk =(x)

x

Pk = 1

5.3b Sử dụng phép nhân biểu đồ Vêrêsaghin:

EJ

M*k i ik

Ω

∑

=

ở đây: Ωi là diện tích biểu đồ M i , M*k là tung độ của biểu đồ M ktương ứng hoành

trong mỗi đoạn của

i

Ω

k

M là đường thẳng Theo định lý Macxoen ta luôn có: δik = δki

Thí dụ 2: Xác định các hệ số ảnh hưởng trong trường hợp dầm chịu các trọng tải tập

trung như hình vẽ (Hình 4)

Hình 3

m

L/6 5L/6

P1= 1

M1

5L 36

Hình 5a Hình 4

Bài giải:

Để xác định các dịch chuyển đơn vị (hệ số ảnh hưởng) δik (i, k = 1, 2, 3) ta xây dựng các biểu đồ Mômen uốn M 1 , M 2 , M 3 tương ứng với các lực đơn vị P1 =1,P2 =1, P3 =1 và biểu diễn như trên hình vẽ (Hình 5a, b, c)

L/2 L/2

P2 = 1

L

Hình 5b

L/6 5L/6

M3

P3 = 1

36 5L

Hình 5c

Theo công thức nhân biểu đồ Vêrêsaghin, ta có:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= δ

=

54

5 L 36

5 L 6

5 2

1 L 54

5 L 36

5 6

L 2

1 EJ

1

33

11

EJ 3888

L 25 L 2

1 L 36

5 L 54

5 EJ

1 L 12

5 L 12

1 L 36

5 L 54

5 EJ

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

ở đây ta đặt:

EJ 1296 9

L k

3

=

EJ 1296 9

L 243 EJ 48

L EJ 96

L 2 6

L 4

L 2

L 2

1 6

L 4

L 2

L 2

1 EJ

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

δ

Thực hiện tính toán một cách tương tự, ta nhận được:

k 117 EJ 1296 9

L 117

; k 51 EJ 1296 9

L 51

3 23

32 21 12

3 31

13 =δ = = δ =δ =δ =δ = =

δ

Các tính chất đàn hồi của hệ dao động trong mỗi trường hợp cụ thể được đặc trưng bằng hệ số cứng C

6.1 Thanh đàn hồi

6.1.1 Thanh đàn hồi không trọng lượng, chịu kéo nén (Hình 6)

Hình 6

P

L

ΔL

Ta có:

EF

PL

Δ

ở đây: E là môđun đàn hồi, F là diện tích tiết diện ngang

L

EF

P = Δ = Δ

Vậy, ta có:

L

EF

6.1.2 Thanh đàn hồi không trọng l−ợng chịu xoắn (Hình 7) thì:

p

x

GJ

L M

= ϕ Δ

mặt cắt ngang Suy ra:

L

GJ

Vậy, nhận đ−ợc:

L

GJ

L

Mx

L

6.1.3 Thanh đàn hồi không trọng l−ợng chịu uốn Khi này: Hệ số cứng C còn phụ

thuộc vào điều kiện biên Ta xét thanh chịu uốn bị ngàm ở một đầu (Hình 8) Độ võng f bằng:

EJ

PL 3

1 f

3

L

EJ 3

L

EJ 3

C= (30)

P

f

6.2 Hệ các lò xo

6.2.1 Đối với hệ lò xo mắc song song (Hình 9)

Từ biểu thức tính lực đàn hồi, ta có:

Vậy, ta được: C = C1 + C2 Nếu hệ có n lò xo

mắc song song, tương tự nhận được:

=

1 i i

C C

Hình 9

6.2.2 Đối với hệ lò xo mắc nối tiếp (Hình 10)

Biểu thức tính lực đàn hồi bằng:

Hình 10

C1

Fdh =C1x1+C2x2

ở hệ thay thế tương đương hệ số cứng C, lò xo

dãn một đoạn: x=x1+x2; Fdh =Cx

Ta có:

2 1

dh

2

2

1

1

C

1 C

1 C

1 C

F C

F C

F

x= + = ⇒ = +

Nếu hệ có n lò xo mắc nối tiếp, thì hệ số cứng

C của lò xo thay thế xác định bởi hệ thức:

∑

=

= n

1

i Ci

1 C

1

Nói chung độ cứng C được tính toán theo lý thuyết với các giả thiết nhất định và có thể tra cứu trong các sổ tay kỹ thuật

Ta thống kê một số công thức ở một số dạng cơ bản thường dùng trong tính toán (bảng 1)

Bảng 1 Công thức xác định các hệ số cứng tương đương

Gd

vật liệu; d: đường kính dây lò xo;

i, D: số vòng và đường kính lò xo

C1

C 2

C 1 C 2

3

2 1

2 1

C C

C C C

+

=

L

EJ 3

5

a b a2b2

) b a ( EJ 3

6

b

a a b (3a b)

) b a ( EJ 12

3

+

+

=

7

3

b a

) b a ( EJ 3

8

L b (b L)b2

EJ 3 C

+

=

9

L b ( b 3L)b2

EJ 12 C

+

=

10

L

3

L

EJ 24

(EJ là độ cứng khi uốn của một trong hai lò xo phẳng)

L EJsh C

α α

α

α

α3

−

EJ

N

= α

12

L

N L( Lch L sh L)

) L ( EJsh C

α α

α

α

α2

−

=

EJ

N

= α

C2

C 1

L EJ