Lý thuyết dao động - Chương 4 pps

Chương IV Va chạm dọc của vật rắn vμo thanh đμn hồi vμ áp dụng lý thuyết va chạm vμo bμi toán đóng cọc Nội dung chương này sẽ trình bày: Một vài bài toán về va chạm dọc của vật rắn vào

Chương IV

Va chạm dọc của vật rắn vμo thanh đμn hồi

vμ áp dụng lý thuyết va chạm vμo bμi toán đóng cọc

Nội dung chương này sẽ trình bày:

Một vài bài toán về va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi và ứng dụng của chúng để nghiên cứu các bài toán va chạm của búa vào cọc.

Đ.4.1 Một vμi bμi toán về va chạm dọc của vật rắn vμo thanh đμn hồi

4.1.1 Va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi tự do.

Bài toán này đã được Xanhvơnăng giải bằng phương pháp Butxinet và nghiệm tìm

được dưới dạng hàm liên tục từng khúc đối với một vài khoảng giá trị của biến số Sau đó E.A.Nhicôlai đã tìm được biểu thức giải tích của nghiệm đối với khoảng tuỳ ý liên tục của biến số

x

Uat

Xét điều kiện đầu và điều kiện biên của bài toán

Giả sử thời điểm t = 0 trùng với thời điểm bắt đầu va chạm của vật rắn và thanh, khi

đó ta có điều kiện ban đầu sau:

U(0,t) = 0; U• t(0 t)=0 với a < x < L (4-2)

U• t(0,t)=ưV0 với x = L (4-3) Trong đó: L là chiều dài của thanh; V0 là vận tốc ban đầu của vật thể va chạm Điều kiện cuối ta coi rằng ở thời điểm ban đầu vận tốc của đầu thanh trùng với vận tốc của vật va chạm

ở tại đầu tự do (x = L) của thanh Lực quán tính của vật thể va chạm có dạng:

2 t

U g

Q x

U EF

Trong đó: Q - trọng l−ợng của vật thể va chạm; F - diện tích tiết diện ngang của thanh

Ta ký hiệu tỷ số giữa trọng l−ợng của vật thể va chạm Q và trọng l−ợng của thanh

)L,(UmL

),(U

=ψ′

+ϕ′

)x,(U

ψ′ )(z =0 Với – L < z < L

mLa2[ψ′(atưL)+ψ′(at+L)]=ưa2[ưψ′(atưL)+ψ′(at+L)]

Để đơn giản ta đặt z = at + L, phương trình trên được viết:

mL)Lz()

z(mL)z( + 1 ψ′ =ưψ ′′ ư2 + 1 ψ′ ư2

Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng:

ψ′ = ư + ư ∫ ⎢⎣⎡ưψ ′′ ư + ψ′(zư L)⎥⎦⎤dz

mL)Lz(e

eCe

)z

z mL z mL z

ea

V)z(

ư

ư

ư

=ψ′

Tích phân ta có: 0 e C1

a

mLV)

z

L z

+

=ψ

ea

mLV)

L z

ea

mLV)

xat(

Với 3L < z < 5L, lý giải tương tự như trên ta có:

L 3 z 0

mL z

e)L3z(maL

V2Ce

)z(

Dựa vào tính liên tục của vận tốc tại x = L, có thể xác định đ−ợc hằng số C:

3 1 0

L z mL

L z

e)Lz(mLa

Ve

a

V)z(

3 0

0

3

21

+

−ψ′

ea

VxU

Nghĩa là với at < 2L thì vật thể va chạm và thanh còn tiếp xúc với nhau

L at

e)Lat(mLa

Ve

a

Ve

a

Vx

2

21

+

−ψ′

V)Lat()Lat(x

)tL(U

Điều đó có nghĩa là ở thời điểm

4.1.2 Va chạm của vật rắn vào thanh đàn hồi một đầu bị gắn chặt

Bài toán này đã đ−ợc một số tác giả quan tâm nh−: S.P.Timôsenkô; N.A.Kintrepski; E.A Nhikôlai; V.L.Biderman

x

Uat

Điều kiện đầu của bài toán:

),x(U

Lxvớit

),x(U

;),x(U

0

0

00

00

0

Điều kiện biên của bài toán:

ở tại đầu thanh gắn chặt U(0,t) = 0

Lực quán tính của vật tác dụng lên đầu thanh tự do cho nên với x = L ta có:

L x L

Ug

Qx

UEF

)L,(UmL

Sử dụng điều kiện đầu và điều kiện biên ta xác định các hàm ϕ và ψ

Từ điều kiện tại đầu (x = 0) gắn chặt ta có:

ϕ(at) + ψ(at) = 0

Do đó: ψ(at +x) = – ϕ(at + x )

Vậy: U (x,t) = ϕ(at – x) – ϕ(at + x) (4-10) Bây giờ trên cơ sở, điều kiện đầu và điều kiện tại đầu tự do ta sẽ tìm đ−ợc dạng giải tích của hàm ϕ và xác định dạng sóng

Từ điều kiện đầu ta có:

−

−ϕ′

−

−ϕ′

−

−ϕ

U

)Lx()

x()x(x

U

)Lx()

x()x()

x(U

t t

o t

00

00

00

ϕ′(z)=0 ( -L < z < L) (4-12)

Do đó trên đoạn (– L; L) thì ϕ(z) = const

Với điều đó các hệ thức của (4-11) thoả mãn, ta lấy hằng số này bằng không

Bây giờ xét điều kiện (4-5), sau khi thay (4-10) vào điều kiện này ta có:

Thực tế nếu hàm được biết trong khoảng 2(n-1)L < z < 2nL thì vế phải của phương trình được biết trong khoảng 2nL < z < 2(n+1)L

)z(ϕTích phân (4-13) ta có:

ϕ = ư + ư ∫ ⎢⎣⎡ϕ ′′ ư ư ϕ′(zư L)⎥⎦⎤dz

mL)Lz(e

ee

C)z

z mL z mL z

Trong đó: Cn - hằng số tích phân,

Bây giờ ta sẽ xây dựng hàm khi chuyển từ một tích phân đến một tích phân sau

Điều kiện (4-12) xác định trong khoảng (-L; L)

)z(ϕ)z(ϕNếu sử dụng (4-14) ta sẽ tìm được )ϕ(z ở trong khoảng (L; 3L) Trong khoảng này vế phải của (4-13) bằng không

Từ đẳng thức (4-14) ta có:

z

eC)z

1 1 0

+ϕ′ (4-15)

Do đó: mL

L z 0

ea

V)z(

ư

ư

=ϕ′ (L < z < 3L) (4-16) Bây giờ có thể xác định hàm ϕ′(z) trong khoảng (3L, 5L)

L z 0

ea

V)L2z(

ư

ư

=

ưϕ′ , thay vào phương trình (4-13) ta có:

L z

ea

VmL)

z(mL)z(

3 0

z

e)Lz(a

V.mLe

C)z(

3 0

Hằng số C2 được xác định từ điều kiện liên tục của vận tốc đầu thanh (x = L) trong thời gian va chạm Như vậy có thể tìm được các hằng số Cn với cách làm tiếp tục về sau của hàm , ta sẽ nhận được dạng tổng quát điều kiện liên tục của vận tốc ở đầu tự do của

1

L x

+ϕ′

ư

ưϕ′

ư+ϕ′

ư

ư

ưϕ′

a

nL t L

0 a nL 2 t L

]L)n[(

]L)n[(

]L)n

[(2 ư1 +0 ưϕ′ 2 +1 ư0 =ϕ′ 2 ư1 +0 ưϕ′ 2 +1 ư0

Đẳng thức (4-21) xác định tính chất của hàm số ϕ′(z), nếu ϕ′(z) liên tục gián đoạn loại 1 với z =(2n-1)L, thì các bước nhảy có giá trị giống nhau

Ta có thể chứng minh sự gián đoạn liên tục này thực tế tồn tại và tìm được giá trị chung của bước nhẩy ϕ′(z) với z =(2n ư 1)L

Khi quay lại kết quả (4-15) xuất phát từ điều kiện đầu (4-3) ta có:

a

V)L

a

VL

)n(L

)n()L()L

0120

120

+

Điều kiện (4-5) cho phép xác định liên tiếp các hằng số Cn ở đẳng thức (4-14)

Sau khi thay z = 3L ư 0 vào đẳng thức (4-16) và z = 3L + 0 vào đẳng thức (4-17) và dùng điều kiện (4-23) ta có:

a

Va

Ve

C

2 0 0 3

= em em

a

VC

1 3 0 2

Thay vào đẳng thức (4-17) ta có:

L z mL

L z

e)Lz(mLa

Ve

a

V)z(

3 0

0

3

21

Sau khi xác định trong khoảng (3L; 5L) và sử dụng đẳng thức (4-5) và (4-23) ta

sẽ tìm được hàm trong khoảng (5L; 7L) Đối với điều kiện đó ta sẽ xác định được biểu thức dưới dấu vi phân trong đẳng thức (4-14):

)z(ϕ′

)z(ϕ′

mL L z mL

L z mL

L z

e)Lz(aLm

Ve

emLa

V)

Lz(mL)Lz

(

5

2 2 0 5

3 0

5

42

22

12

L z mL

L z mL

z

e)Lz(aLm

Ve

e)Lz(mLa

Ve

3 0

Khi thay z = 5L - 0 vào biểu thức (4-24) và z = 5L + 0 vào (4-25) ta có:

a

Ve

ma

Ve

a

Ve

2 0

4 0 5

m

ea

VC

5 3 1

0 3

41

Bây giờ ta sẽ có đ−ợc biểu thức ϕ′(z) ở trong khoảng (5L; 7L)

mL L z

mL L z mL

L z

e)Lz(Lm)Lz(mLa

V

e)Lz(mLa

Ve

a

V)z(

5 2 2

2 0

3 0

0

5

25

41

3

21

(4-26)

Ta xác định ϕ′(z), từ (4-12) rút ra:

ϕ(z)=C1 (-L < z < L)

Ta sẽ đặt: ϕ )(z =0 (-L < z < L) (4-27) Trên cơ sở các định lý tổng quát về va chạm của vật rắn có thể kết luận: Dịch chuyển tại đầu tự do của thanh Ux = L cần là hàm số liên tục của thời gian Ta có:

Ux=L =ϕ(at−L)−ϕ(at+L)=ϕ(z−2L)−ϕ(z) (4-28) Tiếp tục ta tìm đ−ợc:

Từ điều kiện liên tục rút ra: ϕ(3L – 0) = ϕ(3L + 0) (4-30)

Rõ ràng có thể có đ−ợc đối với các giá trị bất kỳ t =2 ±0

Ta sẽ giới hạn các sự phụ thuộc tìm được (4-27) – (4-30) để xác định ϕ(z) trong khoảng (L; 3L) và (3L; 5L)

Việc xác định ϕ(z) trong các khoảng tiếp theo được thực hiện tương tự như xác định ϕ(z) ở trong hai khoảng đã chỉ ra ở trên Trên cơ sở công thức (4-16) và (4-24) ta có:

L z

ea

mLVC

)z(

L z mL

L z

e)Lz(a

Ve

a

mLVe

a

mLVC

)z(

3 0

3 0 0

a

mLVC

ea

mLV

2 0 3

2 0

ea

mLV)

z

L < z < 3L (4-33)

mL L z mL

L z mL

L z

e)Lz(a

Ve

a

mLVe

a

mLV)

z(

3 0

3 0 0

mL L z mL

L z

e)Lz(Lma

mLV

e)Lz(mLa

mLVe

a

mLV)

z(

5 2 2

2 0

3 0

0

5

21

3

211

(4-35)

Với 5L < z < 7L

Nếu xét cấu trúc của hàm và ϕ(z) trên các khoảng khác nhau, ta có thể nhận xét:

Sự chuyển từ khoảng nào đó đến khoảng tiếp sau sẽ kèm theo sự xuất hiện ở thành phần hàm số và tương ứng hàm số ϕ(z) số hạng mới nào đó với sự bảo toàn các số hạng trước Việc nghiên cứu chi tiết này cho phép E.A.Nhicôlai xây dựng được biểu thức giải tích hàm số thuận tiện đối với khoảng tùy ý của sự thay đổi biến số của hàm số

)z(ϕ′

0 thì ϕ(at - x) = 0 thoả mãn (4-26) và trường hợp này U = - ϕ(at + x)

Đó là dịch chuyển của sóng dọc theo hướng âm của trục Ox Biểu thức giải tích của dịch chuyển có được trên cơ sở công thức (4-34) sau khi đặt z = at + x

Khi

a

L

t = sóng đến đầu thanh gắn chặt và xuất hiện sóng phản xạ chạy theo chiều

dương của trục Ox

Như vậy tồn tại hai sóng: Sóng ϕ(at - x) dịch chuyển theo chiều dương của trục Ox và sóng ϕ(at + x) dịch chuyển theo chiều âm của trục Ox

Khi

a

Lta

Các hệ thức đã nhận được chỉ có ý nghĩa trong thời gian và chạm giữa vật rắn và

thanh Sự kết thúc va chạm được xác định bằng thời điểm τ, ở thời điểm này

x

U

∂

∂ hướng

đến không và sau đó đổi dấu áp lực giữa vật thể va chạm và thanh cần được giữ hướng theo hướng pháp tuyến trong đối với mặt tiếp xúc của vật thể va chạm và thanh

ở trường hợp được nghiên cứu hướng pháp tuyến trong đối với mặt tiếp xúc của vật thể va chạm và thanh với x = L trùng với hướng âm của trục Ox Cho nên thời gian tiếp xúc giữa thanh với vật thể va chạm áp lực ở thiết diện ngang đầu thanh x = L cần phải âm

+ϕ′

ư

ưϕ′

L x

Khi tính số hạng đầu ưϕ′(atưL) cần đặt z=at–L, khi tính số hạng thứ hai ưϕ′(at+L)cần đặt z=at+L Khi đó ta sẽ có:

ea

Vx

L x

21

21

2 0

24

++

Dựa trên cơ sở của

a

Lta

2 < < ta có:

m

em

m

24

4 < + + ư2 <

Bất đẳng thức bên trái luôn luôn được thực hiện

Bất đẳng thức bên phải cho: e m

2

<

< Thời điểm này được xác định từ phương trình:

a

Lt

L 64

v.v…

Chúng ta sẽ dẫn đến các kết quả tính toán của Xanhvơnăng:

Giả sử τ – khoảng thời gian va chạm, khi đó:

L8aL6

1511,4m7283,1,

L6aL4

7283,1m,

L4aL2

nếunếunếu

Từ đó suy ra nếu tăng tỷ số trọng lượng của vật thể va chạm và trọng lượng của thanh thì thời gian va chạm sẽ tăng

Đ4.2 Một vμi bμi toán va chạm của búa vμo cọc

4.2.1 Va chạm của búa vào cọc tự do

x

Uat

p

E

a= là vận tốc truyền sóng trong cọc

E, ρ là Môđun đàn hồi và khối l−ợng riêng của cọc

2 Nghiệm tổng quát của (4-1) theo Đa-lăm-be có dạng (4-7)

U(x t)=ϕ(at−x)+ψ(at+x)

3 Điều kiện đầu của bài toán

Ta chọn thời điểm t = 0 trùng với thời điểm bắt đầu va chạm (4-2)

Với t = 0 thì U = 0; =0

∂

∂tU

4 Điều kiện biên của bài toán (4-4)

Tại đầu cọc x = 0 thì:

F.E

)t(Px

Tại đáy cọc x = L thì: =0

∂

∂x

Trong đó: C: Độ cứng của đệm đầu cọc

UT: Dịch chuyển của búa

U0: Dịch chuyển của đầu cọc

Phương trình chuyển động của đầu búa là: MU•T =ưP(t)

Hay:

M

)t(P

U•T =ư (a) Trong đó M: Khối lượng của búa

Dịch chuyển tại đầu cọc là: U0 =ϕ(at)+ψ(at)

Vậy: U•T =a2[ϕ′′(at)+ψ ′′(at)] (b)

Từ (4-4a) và (4-7) ta có:

EF

)t(P)at()at(x

Suy ra:

EFa

)t(P)at()at(

•

+

ψ ′′

=ϕ′′ (c) Thay (a) và (c) vào (4-42) ta có:

)at(Ca)

t(PM

C)t(PEF

Ca)t(

Ca

+ω

=

=Trong đó:

2 2

EF

a.CMC

Vậy (4-43) có thể viết lại là:

P•(t)+ nP•(t)+(ω2 + n2)P(t)=ư Ca2ψ ′′(at) (4-44)

2

Phương trình (4-44) chính là phương trình vi phân xác định lực nén của đệm đàn hồi lên đầu cọc

4.2.1.3 Xác định lực nén của đệm đàn hồi lên đầu cọc trong khoảng thời gian

)a

Lta

L();

a

L

t

(0≤ ≤ 2 2 ≤ ≤4 và các hàm sóng ϕ′(atưx); ψ′(at+x)

(Dưới đây ta xét trường hợp ω12 >0, còn trường hợp ω12 <0 cũng lý luận tương tự)

a

Lt(0≤ ≤2

Gọi là lực nén của đệm lên đầu cọc trong khoảng P0(t)

•

)t(P)n()t(Pn)t(P

Nghiệm tổng quát của phương trình (4-45) có dạng:

P0(t)=eưnt(C1cosω1t+C2sinω1t)

Hằng số C1 và C2 được xác định dựa vào điều kiện đầu của P0(t) và , tại t = 0 thì

à

)t(

Trong đó: V là vận tốc rơi của búa được xác định theo công thức:V= 2gH

H là độ cao rơi của búa; g là gia tốc trọng trường

Do đó ta có:

1 2

1 0

ω

=

= ; C C.VC

P (t) C e ntsin t C.Ve ntsin 1t

1 1 2

ω

=ω

ư

=ψ′

+ϕ′

ϕ′

Vậy sóng thuận ở miền 1, 2 trong cọc có dạng:

a

xtPEF)xat

U

a

Lt(PEF)Lat()Lat

a

LxtPEF)xat( 1 0 2 (4-48)

a

Lta

L(2 ≤ ≤ 4Gọi P1(t) là lực nén của đệm lên đầu cọc trong khoảng thời gian này

Từ (4-48) tại đầu cọc (x = 0) ta có:

.

a

LtPEFa)at

a

LtsinnCe

a

Lt

L t

2

1 1 2 1

2

2 0

ω+

Lt(sinB)a

Lt(cosAe

)t(P)n()t(Pn)

t

(

L t

2

1 2 2 1 1

EF

CaB

;CEF

Ca

A=−2 2ω1 = 2 2Nghiệm tổng quát của (4-49) có dạng:

Lt(cosB)a

Lt(sinA

ttsinCtcos.Ce

1 4 1 3 2

Các hằng số C3, C4 đ−ợc xác định dựa vào điều kiện liên tục của hàm P(t) và tại

thời điểm

)t(P

•

aL

t= 2

Tõ (4-50) ta cã:

1 1

4 1

3 1

22

B.La

Lsin

Ca

LcosCa

eCa

Lsin

.nCe

2 1

LcosC

a

Lsin

C

a

B.La

Lsin

Ca

Lcos

.Cna

L

P

+ω

1 4

1 1

3 1 1

4 1

3 1

22

22

22

=

a

Lcos

.a

Lsin

.C

a

Lsin

.a

Lcos

.C

22

22

1 1

4

1 1

=β

=α

•

a

ALB

a

LnPa

LP

a

LPaLB

1 0

0 1

0 1

2

22

−

=ψ′

+ϕ′

a

LtPEF)at

a

xtPa

LxtPEF)xat

3

21

(4-51)

4.2.1.4 Xác địmh ứng suất trong cọc ở miền 1, 2 và 3

Theo định luật Hooke ta có công thức xác định ứng suất nh− sau:

x

UE

∂

∂

=σTrong đó: σ là ứng suất trong cọc; E là môđun đàn hồi của vật liệu làm cọc

Từ (4-47) ta có ứng suất trong cọc ở miền 1 là:

a

xtP

a

LxtPa

xtPF

21

0 0

a

LxtPa

xtPa

LxtPF

22

1

0 1

0 3

Nhân xét:

Trong thực tế mô hình bài toán này là cọc đóng trong nền đất rất yếu Sau khi tính toán ta có một số nhận xét sau:

- Khi đóng cọc, tại miền 1 trong cọc ch−a suất hiện sóng phản, ứng suất của cọc tại

miền này chỉ chịu ứng suất nén và giảm dần từ đầu cọc (x = 0) đến đáy cọc (x = L), nên nếu cọc bị vỡ thì sẽ xảy ra ở đầu cọc (x = 0)

- Tại miền 2 và 3 trong cọc đã suất hiện sóng phản ở đáy cọc (x = L), nên ứng suất ở

hai miền này có xuất hiện ứng suất kéo

- Vì khả năng chịu kéo của cọc bê tông kém hơn nhiều so với khả năng chịu nén, nên

dễ xảy ra hiện t−ợng vỡ cọc có thể do ứng suất kéo

4.2.2 Va chạm của búa vào cọc tựa trên nền cứng

31

x

Uat

a là vận tốc truyền của sóng trong cọc

E, ρ là Môđun đàn hồi và khối l−ợng riêng của cọc

2 Nghiệm tổng quát của (4-1) theo Đa-lăm-be có dạng:

)xat()xat()tx(

3 Điều kiện đầu của bài toán:

Ta chọn thời điểm t = 0 trùng với thời điểm bắt đầu va chạm

Với t = 0 thì U=0 ; =0

∂

∂t

U (4-2)

4 Điều kiện biên của bài toán:

Tại đầu cọc x = 0 thì:

F.E

)t(Px

U =−

∂

∂

(4-4a)

Tại đáy cọc x = L thì: =0

∂

∂t

U

(4-6b)

4.2.2.2 Thiết lập phương trình vi phân xác định lực nén của đệm đàn hồi lên đầu cọc

Ta gọi lực nén của đệm đàn hồi lên đầu cọc là P(t)

Trong đó: C: Độ cứng của đệm đầu cọc

UT : Dịch chuyển của đầu búa

U0 : Dịch chuển của đầu cọc

Phương trình chuyển động của đầu búa là: MU•T =ưP(t)

Hay:

M

)t(P

Trong đó: M: Khối lượng của búa

Dịch chuyển tại đầu cọc là: U0 =ϕ(at)+ψ(at)

U

ư

=ψ′

+ϕ′

Suy ra:

EFa

)t(P)at()at(

)at(Ca)

t(PM

C)t(PEF

Ca)t(

Ca

+ω

=

=Trong đó:

2 2

1

EF.2

a.CM

P•(t)+ nP•(t)+(ω12 +n2)P(t)=ư2Ca2ψ ′′(at) (4-44)

Phương trình (4-44) chính là phương trình vi phân xác định lực nén của đệm đàn hồi lên đầu cọc

4.2.2.3 Xác định lực nén của đệm đàn hồi lên đầu cọc trong khoảng thời gian

)a

Lta

L(

(Dưới đây ta xét trường hợp ω12 >0, còn trường hợp ω12 <0 cũng lý luận tương tự),

a

Lt(0≤ ≤2Gọi là lực nén của đệm lên đầu cọc trong khoảng này P0(t)

Trong khoảng thời gian này, theo sơ đồ bài toán thì sóng phản chưa xuất hiện nên vế phải của (4-44) bằng không

Trong đó: V là vận tốc rơi của búa được xác định theo công thức: V= 2gH

H là độ cao rơi của búa; g là gia tốc trọng trường

Từ đó ta có:

1 2

ω

=

= ; C C.VC

Vậy: P (t) C e ntsin t CVe ntsin 1

1 1 2

ω

=ω

ϕ′

Vậy sóng thuận ở miền 1, 2 trong cọc là:

xt(PEF)xat

−

=+ψ′

a

LtPEF)

Lat()Lat

a

LxtPEF)

xat

a

Lta

L(2 ≤ ≤ 4Gọi P1(t) là lực nén của đệm lên đầu cọc trong khoảng thời gian này

Từ(4-48a) tại đầu cọc (x = 0) ta có: ⎟

a

LtsinnCe

a

Lt

L t

2

1 1 2 1

2

2 0

=+

ω+

•

a

LtsinBa

LtcosAe

)t(P)n()t(Pn)

t

(

L t

2

1 2 2 1 1

;CEF

Ca

A=2 2ω1 =−2 2Nghiệm tổng quát của (4-49a) có dạng:

+ω+

ω

= − ⎜⎛ − ⎟

a

LtcosBa

LtsinA

ttsinCtcos.Ce

1 4 1 3 2

1

(4-50a)