Lý thuyết dao động - Chương 1 pdf

Dao động tự do không cản Xét hệ một bậc tự do, lực tác dụng lên hệ có thế.. Phương trình Lagrăng II có dạng: qq Tq Tdt k= gọi là tần số vòng riêng của dao động, đơn vị thường dùng rad/s

Chương I Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do

1.1.1 Dao động tự do không cản

Xét hệ một bậc tự do, lực tác dụng lên hệ có thế Toạ độ suy rộng xác định vị trí cơ hệ

là q Phương trình Lagrăng II có dạng:

qq

Tq

Tdt

k= gọi là tần số vòng (riêng) của dao động, đơn vị thường dùng rad/s,

nó phụ thuộc vào tính chất của hệ (khối lượng và độ cứng)

Phương trình (1-1) là phương trình vi phân mô tả dao động nhỏ tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do

ở đây: A= C12 +C22 là biên độ dao động; (kt +α) là pha dao động; α là pha ban đầu;

k là tần số vòng (tần số dao động riêng) của hệ

Chu kỳ dao động T tính theo công thức:

c

a2k

2

T= π= π (1-4) Gọi f là số dao động trong một đơn vị thời gian (tần số dao động), khi đó:

a

ck

T

f

π2

1π2

1

=

=

= (1-5) Các hằng số A và α được xác định từ các điều kiện ban đầu Giả sử tại t = 0: q(0) = q0

và q•(0)=q•0 ta nhận được: 2

2 0 2 0 k

q q A

• +

0

0 q

kq arctg •

=

⋅ +

0

0 2

2 0 2 0

q

kq arctg kt sin k

q q

Như vậy, dao động nhỏ tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do là dao động điều hoà Trong thực tế, việc xác định tần số riêng k là nhiệm vụ quan trọng của bài toán nghiên cứu dao động tự do Bảng 2 thống kê một số công thức đối với k của một số hệ đơn giản Bây giờ ta biểu diễn nghiệm của bài toán trên mặt phẳng pha (hệ tọa độ dịch chuyển - vận tốc) Tại mỗi thời điểm trạng thái của hệ được đặc trưng bằng dịch chuyển q và vận tốc Ta có trong trường hợp khảo sát:

=

=

α+

=

•

)ktcos(

Akqv

)ktsin(

Aq

(1-7)

Tập hợp các phương trình này có thể khảo sát như quỹ đạo pha cho ở dạng thông số

Để nhận được phương trình quỹ đạo pha cần khử t từ hệ (1-7) ta được:

1kA

vA

q

2 2

2 2

2

=+ (1-8) Nghĩa là phương trình Ellíp (Hình 11a) Điểm biểu diễn ban đầu (từ đó chuyển động

được bắt đầu) tương ứng với điều kiện đầu q(0) = q0 và Khi thay đổi điều kiện ban đầu quỹ đạo pha biểu diễn trên Ellíp khác Tập hợp trạng thái có thể của hệ được mô tả bằng hệ các Ellíp (Hình11) Gốc toạ độ tương ứng với trạng thái cân bằng của hệ (q0 =0 và

) Điểm này là điểm kỳ dị và gọi là tâm

0

q)0(

•

xm

Cx

C

x m

C

2 Hệ khối lượng lò

xo trọng trường

C M

m

Cy

ϕ•Lg

(q = ϕ)

L g

4 Con lắc vật lý

C ϕ

a O

0 J

mga O

= ϕ +

ϕ•

J mga

JOC

0 J

C O

= ϕ +

ϕ•

(q = ϕ)

O J C

J 1

1 y

1 2 1 O

= +

+

•

(q = y)

1 2 1

O m C r m

J 1

1 +

7 Cơ cấu gõ nhịp ϕ

C O

m

L

0 J

mgL C O

= ϕ

ư +

ϕ•

(q = ϕ)

O J

mgL

C ư

8 Hệ con lăn lò xo

0 x m C mr

J 1

1 x

2 C

= +

+

•

(q = x)

m C mr

J 1

1 2 C +

9 Con lăn trên quỹ

đạo tròn

0 L g mr

J 1

1 2 C

= ϕ +

+

ϕ•

(q = ϕ)

L g mr

J 1

1 2 C +

O r J

m C

L ϕ

JCCm

r

2 C C

C ϕ =

− + +

ϕ•

(q = ϕ) J r r ) m

mgr 2 C C

C

− +

Tq

Tdt

0

2 + 2 =+ •

•

qkqn

2 2

2 =− ± = − =−

λ, n ik ; k k n ; i TÝch ph©n tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh (1-9) cã d¹ng:

Khi xét đến điều kiện đầu t = 0: q(0) = q0, q•(0)= q•0 Ta có:

=+

•

0 0

2 2 0 2

1 2

2

2 0 0 2 0

2 2

2

nqq

nkqarctgC

Carctg

;nk

nqqqC

CA

•

nqq

nkqarctgt

ksinenk

nqqq

0

2 2 0 1

2 2

2 0 0 2

ở đây: k1 = k2 ưn2 gọi là tần số dao động tắt dần Chu kỳ dao động tắt dần được xác định bằng:

2 2 1

1

nk

2k

2T

2 1

2

112

112

nT

k

nk

kn

T

Nghiệm (1-13) của phương trình (1-9) chỉ ra rằng: Độ lệch Ae của hệ có cản giảm nttheo thời gian với quy luật hàm số mũ Nó tiệm cận tới không và do đó dao động là tắt dần (Hình 1-1)

tO

q

T1 T1

Hình 1-1

Trong thực tế để đặc trưng cho sự giảm biên độ người ta thường dùng một đại lượng,

ký hiệu δ và gọi là độ suy giảm Lôgarit của dao động:

1

πψ

δ

2 1

nTy

yln

ln (1-17)

Muốn xác định δ bằng thực nghiệm, ta dùng công thức gần đúng:

y

y

yy

yln

yy

ylny

Δ+

=Δ

ư

=

=δ

2 1

1.1.2b Trường hợp 2: n > k (Lực cản lớn) Trong trường hợp này cả hai nghiệm của

phương trình đặc trưng đều thực và âm:

2 2 2 2

2 n k , k n k

, =ư ± = ưλ

Phương trình (1-9) có NTQ dạng:

)eCeC(e

0 1

2k

q)nk(qC

•

++

2

0 2

0 2

k

q ) n k ( q C

0 t k 2

0 2

0

e k

q ) n k ( q e k

q ) n k ( q e

Hệ qua vị trí cân bằng tại các thời điểm thoả mãn phương trình:

02

0 2

0 2

2

0 2

k

q)nk(q

Với giá trị của biểu thức trong dấu móc bất kỳ, vế trái của phương trình → 0 khi t → ∞

Ta có chuyển động không tuần hoàn tắt dần

1.1.2c Trường hợp 3: n = k (lực cản tới hạn) Trong trường hợp này nghiệm của

phương trình đặc trưng là thực, âm và bằng nhau NTQ của (1-9) có dạng:

) C t C ( e

q = ư nt 1 + 2 (1-21) Chuyển động của hệ là tắt dần, không dao động

Trong một số tài liệu kỹ thuật trình bày về dao động người ta còn sử dụng khái niệm

độ cản Lehr - Độ cản Lehr ký hiệu là D, được xác định bởi hệ thức:

ac

bak

bk

nD

Như thế, khi D < 1 chuyển động của hệ là dao động tắt dần khi D ≥ 1 chuyển động của hệ là tắt dần không dao động

Giữa độ cản Lehr D với độ suy giảm Lôgarit δ, có liên hệ bằng hệ thức sau:

2 2

2

12

12

=

T

xThế năng của con lắc bằng công của trọng lượng

cos(mgL ư θ

∂

∂

• T T dt d

Ta nhận được phương trình dao động nhỏ của con lắc:

0

=θ+

θ•Lg

Đó là dao động điều hoà với tần số riêng

T = π

Thí dụ 1-2:

θ

Xét dao động xoắn nhỏ của đĩa gắn vào đầu mút dưới của

thanh đàn hồi không trọng lượng dài L Mút trên của thanh bị

ngàm (Hình 1-3) Gọi M là khối lượng của đĩa; ρ là bán kính

quán tính của đĩa đối với trục thanh; G là môđun trượt của vật liệu

thanh; JP là mômen quán tính độc cực của tiết diện ngang thanh

bằng:

2 2 M

2

1

T = ρ θ• Thế năng đàn hồi của nó khi θ nhỏ (tuân

Hình 1-3

theo định luật Hooke) là 2

Đó là dao động điều hoà với tần số riêng 2

ρ

=M

C

k và chu kỳ

C

MT

Người ta treo tải trọng trọng lượng P bằng một thanh tuyệt

đối cứng dài 2L ở giữa thanh có gắn hai lò xo đàn hồi có cùng

độ cứng C Tải trọng được ngâm trong bình chứa chất lỏng nhớt

Trong quá trình tải trọng thực hiện dao động nhỏ tự do chất lỏng

gây ảnh hưởng làm giảm dao động lên hệ (Hình 1-4) Tìm hệ số

ma sát nhớt của hệ, nếu chu kỳ dao động tắt dần của hệ T1 = 1s;

các tham số của hệ lấy các giá trị sau đây: P = 100 N; 2L = 30cm;

Đường kính lò xo D = 2cm; đường kính dây cuốn lò xo d = 2mm;

Môđun trượt của vật liệu làm lò xo G = 8.106 N/cm2; Số vòng

của mỗi lò xo i = 6

L

Bài giải:

Hệ có một bậc tự do Chọn toạ độ suy rộng q = ϕ là góc

lệch nhỏ của thanh so với phương thẳng đứng Phương trình

Lagrăng II áp dụng cho trường hợp này có dạng:

d

Ta có:

2 2

2

22

12

g

PV

g

PT

; 2

C 2 ) cos 1 (

ư

=

π λ = Lsinϕ là độ co dãn của lò xo so với vị trí cân bằng

thẳng đứng của thanh (khi lò xo chứa biến dạng), với ϕ nhỏ: 1- cosϕ

=φThay các giá trị tính được vào phương trình Lagrăng II và rút gọn, ta nhận được:

02

2β ϕ+ + ϕ=+

ϕ• •

PL

g)CLP(PLg

P

L

ϕ

Hình 1-4

Chu kỳ dao động tắt dần là:

2 2 1

2nk

Gd

C = 34Thay số vào ta được: C = 33,3 N/cm Do đó, từ (b) sẽ tính được: k=14rad/s

Từ (a) giải được: 2

1

2

2 42

Tk

n= ư π

; thay số vào ta có: 2n = 12,5rad/s

Hệ số cản chuyển động tìm từ điều kiện:

g

nPL 4 PL

2

g

n = β ⇒ β = Thay số ta được: β = 76,5 NS

Dao động cưỡng bức xảy ra khi hệ có tác dụng của các kích động ngoài Các kích

động này có thể tuần hoàn hoặc va chạm

Giả sử hệ khảo sát chịu tác dụng của các lực có thế, các lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc và các lực kích động ngoài là hàm của thời gian t: P(t)

Gọi QP là lực suy rộng của lực kích động ngoài Phương trình Lagrăng II trong trường hợp này có dạng:

qqq

Tq

Tdt

2

q b 2

1

; cq 2

1

; q a 2

q•+2nq•+k2q=Q(t) (1-25) Phương trình (1-25) là phương trình vi phân mô tả chuyển động dao động nhỏ cưỡng bức của hệ tuyến tính một bậc tự do

Trong trường hợp lực cản nhỏ (n < k), NTQ của (1-25 ) có dạng:

q =Aeưntsin(k +β)+q

Trong đó q là NR của phương trình (1-25) Các hệ số A, β được xác định từ điều kiện ban đầu

Ta tìm NR q ở dạng: q=eưntZ(t) (1-27) Thay (1-27 ) vào (1-25) Ta nhận được phương trình đối với hàm Z(t):

0 t k cos ) t ( C t k sin ) t ( C

nt 1 2

1 1

1 2

1 1

Dùng quy tắc Crame giải hệ (1-30) ta có:

k

)t(Qe)t(C

nt

1 1

nt

1 1

0

1 1

1 ; =ư∫t nτ τ sink τ.dτ

k

)(Qe)t(C

0

1 1

2 (1-31) Thay (1-31) vào (1-29) ta nhận được nghiệm của phương trình (1-28):

τ τ

ư τ

= ∫e τ Q ( ) sin k t ) d k

1 ) (

t 0

n 1

t n 1

nt e Q ( ) sin k ( t ) d

k

1 ) t ( Z e

t n 1 1

nt e Q ( ) sin k ( t ) d

k

1 ) t k sin(

Khi p ≠ k, NTQ của (1-35) có dạng:

PktsinCktcosC

−++

Lấy điều kiện đầu t = 0: q(0) = q0; q•(0)= q•0 ta có:

C1 = q0;

)pk(k

pPk

Pktsin)pk(k

pPkt

sink

qktcosq

−

+

−+

+

=

•

(1-38) Trên cơ sở (1-38) ta có một số nhận xét sau:

1) Hai số hạng đầu của (1-38) ứng với dao động tự do tần số riêng k Khi

, những dao động này không xảy ra

00

P

−

Biểu thị dao động c−ỡng bức thuần tuý Ta chú ý một số tính chất sau:

a) Dao động c−ỡng bức xảy ra với tần số lực kích động p Nó không phụ thuộc vào

điều kiện đầu của hệ

b) Khi k > p thì dấu của độ lệch q cùng dấu với lực kích động Q, ta nói nó cùng pha Khi k < p chúng ng−ợc dấu nhau (ng−ợc pha) Ta có thể viết:

pk

ptsinkktsinpPptsinpk

Pktsin)pk(k

pP

2 2 0

2 2

0 2

2 0

Với k = p, nó có dạng

0

0 áp dụng quy tắc Lôpitan, lấy đạo hàm đối với p và cho

p→k, ta thu đ−ợc:

k

tPktsink

Pkp

ptcosktktsinPlim)

pk(k

ptsinkktsinp

P

k p p

0 2

0 0

2 2

tPktsink

Pktsink

qktcosqq

22

0 2

0 0

=

•

(1-40)

Rõ ràng khi p = k các giá trị nguy hiểm của biên độ tăng theo quy luật tuyến tính với thời gian t và trong khoảng thời gian hữu hạn nó không tiến tới vô hạn (Hình 1-5)

Sự trùng nhau giữa tần số của lực kích động p với

tần số riêng của hệ k và các hiện tượng xảy ra tiếp sau

gọi là hiện tượng cộng hưởng

q

Thực tế khi tính toán dao động cưỡng bức không

cản thường phân ra hai trường hợp: Trường hợp xa cộng

Động cơ điện đặt trên sàn m được đỡ bởi lò xo xoắn, trọng lượng tổng cộng của sàn và

động cơ bằng 327N Lò xo có tính chất là: Chiều cao của nó ngắn đi 1 cm khi chịu lưc 300N Người ta gắn vào trục động cơ một tải trọng m1 nặng 2N cách đường tim trục một khoảng r = 1,3cm Vận tốc góc của động cơ p = 30 rad/s Hãy viết phương trình dao động của sàn, giả thiết tại thời điểm đầu nó nằm yên; lấy g = 981 cm/s2 (Hình 1-6a)

Bài giải:

Sàn và động cơ chuyển động theo phương thẳng đứng Gọi x là toạ độ khối tâm của sàn và động cơ tính từ vị trí cân bằng ổn định

Các lực tác dụng lên hệ dao động gồm: Lực đàn hồi của lò xo F = Cx; lực kích động

do lực quán tính ly tâm của khối lượng lệch tâm m1 gây ra theo phương Ox: Fx=m1rp2cospt

Đặt lực quán tính lên khối lượng dao động (Hình 1-6b)

C

Hình 1-6

Theo nguyên lý Đa-lăm-be, ta có:

pt cos rp m Cx x

1

= +

•

m

C k

; pt cos m

rp m x k

2 1

+

⇒ •NTQ của pương trình tìm ở dạng:

x = C1sinkt+ C2coskt + Bcospt => = Cx• 1kcoskt - C2ksinkt - Bpsinpt

Điều kiện đầu của bài toán: t = 0 thì x(0) = 0; x•(0)=0

Ta suy ra: C2+B = 0; C1 = 0; 2

2 2 1

mpC

prmB

ư

Do đó phương trình dao động của sàn m là:

)ktcospt(cosmpc

rpm

C

981327

k p k

q•+2 •+ 2 = 0 (1-41) Với lực cản nhỏ (n < k), NTQ của (1-41) có dạng:

2 2 1 1

nt

n k k

; q ) t k sin(

e A

cosP)pk(B

0 0 2 2

2

Giải hệ (1-44), ta có: 2 2

2 2 2 2 2

nptg

;pn)pk(

PB

ư

=ε+

ư

Tích phân tổng quát phương trình (1-41) viết ở dạng:

)ptsin(

pn)pk(

P)

tksin(

eAq

nt

ε

ư+

ư+

β+

2 2 2 2 2

0 1

)ptsin(

pn)pk(

0

Phương trình (1-47) xác định chế độ dao động bình ổn của hệ

2) Dao động cưỡng bức kể cả khi có cản vẫn xảy ra với tần số lực kích động p Biên

độ của nó không phụ thuộc vào thời gian và không tắt dần vì lực cản Khi xảy ra cộng hưởng (p = k) biên độ này vẫn hữu hạn và không phải là giá trị lớn nhất trong các giá trị của biên độ Ta tìm p để biên độ:

2 2 2 2 2

0

p n ) p k (

P B

B, ta suy ra: p2= k2 - 2n2

Vậy B = Bmax khi p2 = k2 - 2n2 Biên độ dao động cưỡng bức đạt cực đại khi p nhỏ hơn

k một chút (trước cộng hưởng)

3) Trong dao động cưỡng bức của hệ có cản luôn xảy ra độ lệch pha giữa pha dao

động với pha của lực kích động Độ lệch pha ε xác định bằng công thức:

2 2

2pk

nptg

2 0

k

p n 4 k

p 1

1 B

ư

=

η (1-49) η

η

1 2

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 2n/p=0

Từ đồ thị rõ ràng là: Các lực cản (nhớt) có tác dụng rõ rệt trong vùng gần cộng hưởng,

ở các vùng này thì có thể lấy η= ηmax (Hình 1-7b)

Do đó, mặc dù biên độ dao động cưỡng bức khi có cản là hữu hạn; nhưng các chi tiết của máy vẫn làm việc trong trường hợp này thì luôn xảy ra nguy cơ phá huỷ do ứng suất mỏi Vì vậy, khi thiết kế cần chọn mối liên hệ các kích thước và độ bền sao cho chế độ bình thường nằm xa chế độ cộng hưởng

Thí dụ 1-5:

Để ghi các quá trình dao động khi có tác động ngẫu

nhiên khác nhau (xô đập, va chạm) người ta thường dùng

các chấn đồ tần số thấp có lắp thêm bộ giảm chấn (dạng

giảm chấn ma sát nhớt) Sơ đồ nguyên tắc của chấn đồ

này được mô tả trên hình vẽ (Hình 1-8) ở đây chuyển

động của khối lượng m treo bằng lò xo với độ cứng C

được hãm lại bằng lực cản tỉ lệ với vận tốc chuyển động

tương đối của tải trọng, tức là bằng trong đó y là độ

lệch của khối lượng m đối với nền Tìm giá trị độ lệch

mà máy ghi lại như hàm của thời gian t, nếu nền chuyển

động theo quy luật:

2

,mn

;,m

Ck

α

Cm

y1

Hình 1-8

Bài giải:

Chuyển động lên xuống của tải trọng m, nhờ ngòi bút gắn vào nó sẽ ghi những dao

động của máy lên bảng chia độ (Hình 1-8)

Chuyển động thẳng đứng y của tải trọng m là chuyển động tương đối đối với khung chấn đồ gắn với bảng chia độ

Do móng và chấn đồ thực hiện chuyển động theo quy luật cho trước:

•

Trong đó: y là dịch chuyển của khối lượng m đối với nền;

m

Ck

;m

n= α 2 =2

Nếu bỏ qua dao động tự do, nghiệm của phương trình trên trong trạng thái chuyển

động bình ổn của tải trọng m là:

n)

k(

y)

tsin(

n)k

(

y

2 2 2

2 2

2 0 1

2 2 2 2 2

2

400100

200

ω+

ω

ư

ω+

α

ưωω

+ω

k

ntg

;k

ntg

ưω

ω

=α

ưω

ω

=α

Thay: ta nhận được dịch chuyển tương đối của khối lượng m

do máy ghi ra:

ω

=ω

=001 2 002

2

,n

;,k

y y0 sin( t 1) 2y0sin(10 t 2)

=

Thí dụ 1-6:

Để đầm bê tông ở chân móng các công trình người ta thường dùng một thiết bị đặc biệt:

Đó là chấn tử lệch tâm gồm một đế nặng khối lượng m, trên đó đặt hai đĩa quay khối lượng mỗi

đĩa bằng Các đĩa quay trong mặt phẳng thẳng đứng theo chiều ngược nhau với vận tốc góc

ω Trên mỗi đĩa người ta gắn một tải trọng m0 cách trục quay một khoảng là e (Hình 1-9a) Sau một thời gian đầm, ta có thể mô tả các tính chất của móng bê tông một cách gần đúng bởi mô hình lưu biến như hình vẽ (Hình 1-9b)

Gọi x là toạ độ trọng tâm của vỏ chấn tử tính từ vị trí cân bằng tĩnh, áp dụng nguyên lý

Đa-lăm-be Lực ly tâm do các đĩa gắn khối lượng lệch tâm chuyển động ngược nhau tác dụng theo phương chuyển động của vỏ chấn tử (theo phương x thẳng đứng) sẽ bằng:

P ( t ) 2 m 2 e sin t

0 ω ω

e m 2 x

k x n x

1 0

2 0

+ +

ω

= + + •

•

Trong đó:

)mm(m

CM

Ck,)]

mm(m[M

n

1 0

2 1

22

)]

m m ( 2 m [ k

e m 2 C

e m 2 A

1 0 2

2 0

2 0 0

+ +

2 2 0

k

nk

1

AA

1.2.3 Đệm đàn hồi của máy

Ta xét một mô hình áp dụng kỹ thuật của lý thuyết dao động cưỡng bức

1.2.3a Các máy quay có bộ phận không cân bằng sẽ truyền các lực kích động có chu

kỳ lên nền (móng) của nó, gây lên sự rung và tiếng ồn không mong muốn Để giảm hiện

tượng này thường áp dụng đệm đàn hồi

Giả thiết máy có trọng lượng Q (Hình 1-10) và ký hiệu P là lực ly tâm xuất hiện do

phần quay không cân bằng với vận tốc góc ω ( rad / s ) Như đã chỉ trên hình vẽ (Hình 1-10a)

Các lực kích động thẳng đứng, nằm ngang tương ứng là: Psinωt và Pcosω t

Nếu máy được bắt chặt với nền cứng thì lực kích động sẽ truyền hoàn toàn xuống nền

Để giảm lực kích động lên nền (móng) ta đưa vào đệm đàn hồi như hình vẽ (Hình 1-10b), ở

đó ta hạn chế chuyển động ngang của máy bởi các liên kết Khi này ta nhận được dao động

ϕ = ωte

m0

m1m

M

xα

C

Hình 1-9