Bài tập: Lý thuyết dao động pptx

Xác định chu kỳ dao động của tải trọng Q gắn vào các lò xo và tìm hệ số cứng tương đương của hệ mô tả trên hình vẽ.. Trong bộ ghi rung dùng để ghi các dao động của móng, các bộ phận máy

Bài tập

Lý thuyết dao động

Bμi tập chương I Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do

1 Xác định chu kỳ dao động của tải trọng Q gắn vào các lò xo và tìm hệ số cứng

tương đương của hệ mô tả trên hình vẽ Các tải trọng dịch chuyển theo phương thẳng đứng

2 1

2

)CC(g

QC

M

+π

=π

=

2 1

)CC(g

Q

+π

=

1c)

2 1

2 1 2

1

2 1

2

CC

C.CC

;)C.C(g

)CC(QT

+

=

+π

=

1d)

2 1

2 1 3

48

482

CC

C.CC

;gCEJ

)EJCL

(QT

+

=

+π

C

;)EJCL

(g

QL

+π

=

2 Một tải trọng khối lượng m được gắn vào thanh không trọng lượng cứng tuyệt đối,

dài 3L Thanh được gắn vào mặt phẳng cố định bằng hai lò xo có cùng độ cứng C Tính tần

số dao động riêng của con lắc khi:

Ck

3

19

m

Ck

2

=

4 Hãy xác định chu kỳ dao động nhỏ của con lắc dùng trong một số máy ghi động

đất Con lắc gồm thanh cứng chiều dài L, một đầu mang khối lượng m bị ép giữa hai lò xo nằm ngang có độ cứng C, đầu ngoài lò xo gắn chặt Bỏ qua khối lượng thanh và coi lò xo ở

vị trí cân bằng chưa bị dãn

Trả lời:

L

gmC

T

ư

π

=22

dao động riêng của tải trọng, biết khối lượng của cột chống và lò xo là nhỏ so với khối lượng của tải trọng; ảnh hưởng của trọng lượng của tải trọng lên độ uốn của cột chống bỏ qua

mgLa

C2

2

2 2

6 Trong bộ ghi rung dùng để ghi các dao động của móng, các bộ phận máy, , lò xo xoắn có độ cứng C giữ con lắc trọng lượng Q lệch khỏi đường thẳng đứng góc α Mô men quán tính của con lắc đối với trục quay bằng J Hãy xác định chu kỳ dao động tự do của bộ ghi rung

Trả lời:

CcosQs

JT

+απ

7 Hãy xác định chu kỳ dao động tự do của móng máy đặt trên nền đất đàn hồi và bị

gC

Q

nhiên hãm chặt đầu trên của dây cáp lại, lồng không hạ xuống nữa Hãy xác định chuyển

Q

hình vẽ bt 7

Qx

x

hình vẽ bt 8

động tiếp sau của lồng, nếu hệ số cứng của dây là C = 27,5 KN/cm Bỏ qua khối lượng dây cáp

Trả lời: x =0,1sin(30t) cm

ơ bán kính r May ơ của đĩa được đặt lên một thiết bị dẫn hướng cong tròn bán kính R Lập phương trình vi phân dao động nhỏ tự do của đĩa với giả thiết khi đĩa chuyển động may ơ không trượt trên cơ cấu dẫn hướng

2

ư+

ϕ

rR

rmgJ

ϕ

rR

rmgJ

10 Một xe goòng khối lượng m được đặt trên một mặt nhám nằm nghiêng, xe goòng

được giữ trên mặt nghiêng bởi lò xo có độ cứng C Lập phương trình vi phân dao động nhỏ của xe goòng, biết mỗi cặp bánh xe goòng có mô men quán tính của khối lượng bằng J; bán kính bánh xe bằng R và bánh xe lăn không trượt trên mặt nghiêng

Trả lời: (mR2 +2J)ϕ•+CR2ϕ=0; ϕ - góc quay của bánh xe

11 Lập phương trình vi phân dao động nhỏ tự do của khối lượng m ở hệ mô tả trên hình vẽ, biết lực cản dao động tỷ lệ thuận với vận tốc chuyển động:

k

yy

my

yy

my

22 21

12 11

12 Người ta gắn tải trọng có trọng lượng P vào một thanh cứng tuyệt đối không quán tính dài L Thanh được giữ ở vị trí cân bằng nhờ lò xo và một bộ giảm chấn Bộ giảm chấn

Tính tần số dao động riêng của hệ và độ suy giảm tắt dần Logarít Λ của dao động Biết P = 100N; L = 50cm; a = 20cm; đường kính lò xo D = 5cm; đường kính dây lò xo d

bộ giảm chấn α = 3NS/cm

Trả lời: K1 =11,5 rad/s; Λ = 1,29

a

LC

P

m

yK

EJ

αL/2L/2

hình vẽ bt 12 hình vẽ bt 11

13 Gắn một khối lượng m vào đầu thanh Gắn vào thanh các phần tử cản đàn hồi Bỏ qua khối lượng thanh

a) Phải chọn độ lớn hệ số cản b thế nào để hệ có thể dao động nhỏ;

b) Xác định độ cản Lehr D cần thiết để sau 10 dao động biên độ giảm còn

10

1 biên độ của chu kỳ đầu; sau đó xác định chu kỳ dao động

(Độ cản Lehr:

mC

bk

nD

2

1

2

ưπ

=δ

=Λ

Trả lời: a)

a

gmCmb

amT

;,D

+π

=

=

2

22

0370

14 Hệ cho trên hình vẽ nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Vị trí cân bằng tĩnh của hệ ứng với vị trí cân bằng tĩnh OM ở thời điểm đầu thanh lệch khỏi vị trí cân bằng tĩnh ngược

Khối lượng lò xo, thanh, bộ giảm chấn ma sát ở bản lề bỏ qua Lấy trọng lượng của tải trọng

,t,sine

Cm

b

aa

MB

μ

ϕ

15 Cho biết cơ cấu gồm tải trọng khối lượng m được gắn vào hai lò xo cùng độ cứng

C Tải trọng được ngâm trong ống đầy chất lỏng Lực cản chuyển động của tải trọng trong ống có thể được điều chỉnh nhờ thay đổi khe hở giữa tải trọng và ống hoặc độ nhớt chất lỏng

a) Lập phương trình vi phân dao động nhỏ tự do của tải trọng

b) Tính thời gian để biên độ dao động tự do của tải trọng giảm đi 100 lần, biết khi t

1t

m

C2k,m2n,nkcosexx

1

2 2

2 nt

0

C

Cm

16 Bộ phận cản thuỷ lực (hoàn xung hay giảm chấn thuỷ lực) là một píttông khối lượng

m chuyển động trong chất lỏng Hãy khảo sát chuyển động của píttông biết tại t = 0 píttông

trí cân bằng giảm đi hai lần

Cho biết: độ cứng lò xo C=30N/cm; đường kính hình trụ D = 10cm; đường kính lỗ hở píttông d = 1cm; số lỗ hở z = 25; trọng lượng pittông Q = 27,3N; chiều cao píttông H = 5cm Hệ

;zd

π

=σπ

σμ

;s/rad1080m

Ck

42,5m2n,nkcoseyy

1 2

2 2 nt

0

17 Tìm biểu thức phụ thuộc giữa tần số dao động xoắn riêng của trục máy trộn và độ nhớt chất lỏng đem trộn cũng như thời gian để biên độ trục máy trộn giảm đi 10 lần sau khi môtơ dừng lại đột ngột, biết vận tốc quay trước lúc môtơ dừng lại đều bằng Ω

Khi tính giả thiết khối lượng trục nhỏ so với khối lượng các cánh, mômen quán tính

C

Hai đĩa quay ngược chiều nhau với vận tốc góc ω Máy gắn bu lông trên bệ đàn hồi độ cứng

C Hãy xác định biên độ dao động cưỡng bức của máy, bỏ qua trọng lượng của nó

Trả lời:

2

sin)QP(Cg

Qr2

2

α+α+

ưω

=

xo có độ cứng C = 5N/cm nằm trong mặt phẳng đứng Thanh OA chuyển động theo rãnh

tương ứng với vị trí cân bằng tĩnh khi y = 0 Xác định dao động nhỏ của tải trọng ở hướng

vận tốc góc của BM cũng như vận tốc của tải trọng M bằng 0; y = 0; bỏ qua ma sát

Trả lời: ϕ = 0,0785sin5,2t ư 0,0505sin8t

20 Cơ cấu dẫn động cho van có sơ đồ hoá dưới dạng khối lượng m mắc giữa hai lò

cam chuyển động tịnh tiến Trên mặt cắt của cam phải định trước để cho chuyển động thẳng

đứng xác định bởi công thức:

x1 = a(1 ư cosωt) khi 0 ≤ t ≤

ω

π2

x1 = 0 khi t > ω2πHãy xác định chuyển động của khối lượng m

1)

ktcos1(k

1m

aC

khi 0 t ≤ ≤

ω

π2

m

aCx

2

11

2 2 2 1

khi t > ω2π

AC

21 Một động cơ có trọng lượng Q đặt thẳng đứng trên bệ máy có diện tích đáy bằng S; độ cứng của đất bằng λ; độ dài tay quay động cơ là L; vận tốc góc của trục là ω Píttông

và các phần không cân bằng thực hiện các chuyển động tịnh tiến qua lại có trọng lượng P Trọng lượng của móng máy bằng G tay quay coi như cân bằng nhờ đối trọng Hãy xác định dao động cưỡng bức của móng máy, bỏ qua khối lượng của thanh truyền

)k

)(

GQ(

PrL

rtcos)k

)(

GQ(

ω

ư+

ω+

ωω

ư+

2 2

L

rω

α

mC

hình vẽ bt 22 hình vẽ bt 21

22 Bánh xe lăn trên đường gồ ghề có vận tốc của trục bánh xe không đổi và bằng V Tải trọng khối lượng m gắn với trục bánh xe bằng lò xo độ cứng C Trong lò xo có ma sát nhớt, hệ số cản α và lực cản tỉ lệ với vận tốc tương đối Bỏ qua biến dạng của bánh xe và mặt đường Viết phương trình dao động tương đối thẳng đứng của tải trọng Biết phương trình mặt đường: η=ηmaxsin2⎜⎜⎝⎛ πLξ ⎟⎟⎠⎞ với L - chiều dài sóng

ktkcos.[cosBe

1 1

;pn)pk(

PB

;pk

np2arctg

;L

V2p

2 max 0 2 2 2

2

0 2

π

=

23 Cho biết ở thời điểm ban đầu khối lượng m lệch khỏi vị trí cân bằng một khoảng

khối lượng m được mô tả trong hình vẽ Tìm quy luật chuyển động của khối lượng m

F)1(ktcosmk

F)1n2(x

2

t 0

24 Giả sử lực kích động biến đổi theo quy luật: F(t) = F0⏐sinωt⏐ tác dụng lên khối lượng m Lập phương trình dao động cưỡng bức của tải trọng và cho biết với tần số ω nào của lực kích động trong hệ sẽ xảy ra cộng hưởng (bỏ qua ma sát)

ωπ

ưπ

=

1

0 0

)nk)(

1n2)(

1n2(

tncosm

F4C

F2

m

ωF(t)

t

26 Người ta đặt khối lượng m lên hai lò xo, mỗi lò xo có độ cứng C và nối với cơ cấu tay quay then truyền qua bộ giản chấn có hệ số cản nhớt α Viết phương trình vi phân chuyển động của khối lượng m Tìm ứng suất xuất hiện trong lò xo, biết đường kính lò xo

D, đường kính dây thép lò xo d, vận tốc góc của tay quay ω bằng tần số dao động riêng tắt dần của khối lượng m trên lò xo

F(t)

mα

CL

δt

r

C

=+

+τ

•

•

3

2 2

2 2 2

d

D2

mgCr8

m

C2k

;mn

;cosrnxkxnx

max

27 Để giảm ảnh hưởng dao động của nền (hoặc dầm) tới chế độ làm việc của máy người ta thường dùng phương pháp cách ly rung thụ động Đó là việc đặt (hoặc treo) các máy trên các bộ giảm rung mềm Tính hệ số động lực (tỷ số giữa biên độ dao động a của khối

0 d

k1

1x

aK

1Cm

x0sinωt

x0sinωt

L L

hình vẽ bt 27

28 Để giảm tác dụng của lực quán tính gây ra bởi chi tiết mất cân bằng trong máy xuống nền (móng), người ta dùng phương pháp cách ly rung động cơ Đó là việc đặt hoặc treo động cơ lên những gối mềm đàn hồi Tính hệ số truyền động lực của lực quán tính xuống nền ở những chỗ gắn gối đàn hồi với độ cứng C Dầm trên đó đặt động cơ được xem như cứng tuyệt đối

Trả lời:

2

2 t

d d

k1

1R

RK

m91

L 1

L 1

hình vẽ bt 28

29 Để cách ly rung động của máy và thiết bị tới giá đỡ đàn hồi người ta thường đưa vào các yếu tố hao tán Đó là bộ giảm chấn có ma sát nhớt Hãy tính hệ số động lực đối với

;

s/rad100

=ω

1

2 2

2 2 2

,

;k

nk

=η

30 Khảo sát dao động cưỡng bức của khối lượng m khi có xung lực tuần hoàn cùng

2

Tsin

2

tTtpcos2

tpsinh)t(

0 0

1 0

1 0

P0sinωt

αL

Bμi tập chương II Dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do

31 Hai tải trọng khối lượng m1, m2 treo vào các lò xo có độ cứng C1, C2 tương ứng Xác

định các tần số dao động chính của hệ khi: a) C1 = C2 = C và b) C1 = C2 = C và m1 = m2 = m

Trả lời: a)

2 1

2 2

2

2 1

2 2 1 2 2

1

2 1 2

4

22

2

mm

Cm

m

C)mm(m

m

C)mm(

32 Một móng máy nặng Q = 1000KN đặt trên nền đất đàn hồi Diện tích đáy móng

phát sinh khi máy làm việc người ta đặt máy trên một bệ nặng liên kết với móng bằng các lò xo

Hãy xác định tần số dao động của hệ (móng và bộ giảm rung)

Trả lời: k1 =89,5rad/s; k2 =111,7rad/s

33 Hãy xác định tần số dao động xoắn chính của hệ gồm một trục và ba đĩa đồng

chất như nhau lắp trên trục Hai đĩa lắp chặt vào hai đầu, còn đĩa thứ ba lắp chặt vào giữa Mômen quán tính của mỗi đĩa đối với đường tâm của trục bằng J; độ cứng khi xoắn của các

Trả lời:

J

Ck

,J

C

2

34 Hai con lắc như nhau có độ dài L và khối lượng m nối với nhau ở khoảng h bằng

lò xo có động cứng C Các đầu lò xo gắn chặt vào các thanh của chúng Hãy xác định dao

động nhỏ của hệ trong mặt phẳng chứa vị trí cân bằng của con lắc, sau khi làm cho một con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc α Vận tốc ban đầu của chúng bằng 0 Bỏ qua khối lượng của các thanh và lò xo

2 1 2

2 1 2

1 2

ChL

35 Con lắc gồm con chạy khối lượng M trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm

ngang và quả cầu nhỏ có khối lượng m nối với con chạy bằng một thanh dài L, thanh này có thể quay quanh một trục gắn liền với con chạy Lò xo có độ cứng C, một đầu gắn với con chạy còn đầu kia gắn cố định Hãy xác định tần số dao động nhỏ của hệ

Trả lời: Tần số phải tìm là nghiệm của phương trình:

ML

)mM(gM

Ck

36 Thanh đồng chất có độ dài L treo vào một điểm cố định nhờ sợi dây dài l = 0,5 L Hãy xác định tần số dao động chính của hệ và tìm tỷ số các độ lệch khỏi đường thẳng đứng của thanh và dây ứng với dao động chính thứ nhất và thứ hai Bỏ qua khối lượng dây

Trả lời:

ll

g,k

;

g,

a

ll

ϕ1

L

ϕ2L

37 Hai con lắc vật lý như nhau treo vào hai trục song song đặt trong mặt phẳng nằm

ngang và nối với nhau bằng một lò xo có độ dài ở trạng thái chưa bị căng bằng khoảng cách giữa hai trục của con lắc

Hãy xác định tần số, tỷ số biên độ các dao động chính của hệ khi các góc lệch khỏi vị trí cân bằng là nhỏ Trọng lượng của mỗi con lắc bằng P, bán kính quán tính của nó đối với trục đi qua trọng tâm song song với trục treo bằng ρ, độ cứng của lò xo bằng C, khoảng cách từ trọng tâm của con lắc và từ điểm gắn lò xo vào con lắc đến trục treo tương ứng bằng

a và b Bỏ qua sức cản chuyển động và khối lượng của lò xo

Trả lời:

)a(P

g)CbPa(k

;a

ga

2 2

2 2 2

2 1

2+ρ

+

=+

ρ

2

2 1 1

2

1

) ( )

)

A

A

;A

A

38 Hãy nghiên cứu dao động của toa xe lửa trong mặt phẳng giữa thẳng đứng của nó,

nếu trọng lượng của phần trên lò xo của toa xe bằng Q Khoảng cách từ trọng tâm đến các

tâm song song với các trục của toa xe bằng ρ, độ cứng của các lò xo ở cả hai trục là như nhau C1 = C2 = C

trọng tâm toa xe; ϕ là góc tạo bởi sàn toa xe với mặt phẳng nằm ngang; A, B, α, β là các

2 2

1

22

;Q

Cgk

LC

RA

O

m

39 Một đĩa tròn đồng chất bán kính R khối lượng M nối khớp với thanh OA = L,

thanh này có thể quay quanh trục cố định nằm ngang Chất điểm khối lượng m gắn chặt vào vành đĩa Hãy xác định tần số dao động tự do của hệ, bỏ qua khối lượng thanh Đĩa có thể quay trong mặt phẳng dao động của thanh OA

Trả lời: Tần số dao động tự do là nghiệm của phương trình:

03

22

13

2 2

ư

++

)mM(mgk

L

gMR

)LR(mm

M

mMk

40 Hãy xác định tần số dao động xoắn tự do của hệ gồm hai trục liên kết với nhau

bằng các bánh răng truyền động Mômen quán tính của các khối lượng lắp trên trục và

các trục

Trả lời: k1 = 54,8 rad/s; k2 = 2,38.103 rad/s

lò xo tựa trên pittông Ma sát nhớt trong bộ giảm chấn tỷ lệ với vận tốc tương đối của pittông so với hộp, hệ số cản là β

Hãy thiết lập phương trình chuyển động của hệ

ưβ+β

ư

ξ

=

ư+

ưβ

ưβ+

)t(CxCx)CC(xxxm

2 2 1 2 2 1 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1 1 1

42 Hãy tìm tần số và dạng dao động chính của hai tải trọng như nhau và bằng Q, gắn

vào hai đầu của một dầm công xôn nằm ngang Dầm có độ dài 3L nằm tự do trên hai gối đỡ cánh nhau một khoảng L, điểm gắn tải trọng cách gối những khoảng L như nhau Mômen quán tính của tiết diện ngang dầm bằng J; Môđun đàn hồi của vật liệu dầm bằng E Bỏ qua khối lượng của dầm

;QL

43 Động cơ điện trọng lượng Q1 gắn trên móng bê tông đàn hồi (dạng hình hộp đặc)

r, vận tốc góc của trục bằng ω Hãy xác định dao động cưỡng bức thẳng đứng của Stato của

động cơ có tính đến ảnh hưởng khối lượng móng bằng cách cộng thêm 1/3 khối lượng của

nó vào khối lượng của Stato

Trả lời: Độ lệch khỏi vị trí cân bằng của Stato:

4 2 1

2 2 1

1 2

1

2 2 1

2 1

3

13

=

)QQ(g)QQ

(CP)CC(gCC

)tsin(

PgrCy

QQ

P

ωtr

a) Tìm tần số dao động chính của hệ

b) Xác định chuyển động của các toa xe và vẽ các dao động chính trong trường hợp:

3 1 3 2

3 2 2 1

2 1 2 2 3

3 2

2 1 1

ư

QQ

CCQQ

CCQQ

CCgkQ

CQ

CCQ

Cgk

62

x3 x0 x0 cosk2t x0 cosk3t

62

Q

Cgk

;Q

k

;mL

EJ,

EJ

LP

3 0

3 0

3 0

;mL

EJ,

k

;mL

EJ,

P

46 Người ta gắn trên trục chung của một động cơ bốn nhịp với ba xi lanh Rôto của

mômen quán tính độc cực của tiết diện trục bằng JP; tích GJP = 10 kgcm Hãy xác định: Tần số dao động chính của hệ, vận tốc tới hạn của trục Bỏ qua ảnh hưởng khối lượng của pittông, thanh truyền, tay quay và trục

Bμi tập chương III Dao động của hệ có vô số bậc tự do

47 Trên thanh bị ngàm ở hai đầu tác dụng lực dọc trục không đổi P ở tại giữa thanh

Trả lời:

EF

P

;pcosL

xnsinn)(

4

2 2 1 3

48 Hãy xác định các tần số riêng và các hàm riêng của thanh một đầu bị ngàm chặt,

một đầu mang khối lượng m

L

xsinC)x(x

;L

E

n n

n

ρλ

mg

L

E29,2p

định tần số riêng cơ bản dao động xoắn của trục

ρ

=λ

a

G15,1a

a

*

* 1

51 Cho dầm đồng chất tiết diện không đổi, đầu trái bị ngàm chặt, bên phải tự do

mang khối l−ợng m Biết

4

3

=

=ε

Bμi tập chương V Cơ sở của lý thuyết dao động phi tuyến

52 Một xà cứng có tiết diện ngang không đổi dài 2L, khối lượng m được gắn bản lề ở

điểm A và được giữ thăng bằng bởi hai lò xo đều có độ cứng C

Lập phương trình vi phân dao động nhỏ của xà, biết phụ thuộc giữa lực cản của lò xo

và độ dãn dài là tuyến tính Tìm tần số riêng của dao động nhỏ của xà

1

11

13

ưϕα

ưϕ

αϕ+

α•

sinsinsin

sinsin

coscos.CL

53 Một xà cứng độ dài 2L, tiết diện ngang không đổi, trọng lượng Q, được treo ở đầu

mút trên và được giữ thẳng đứng nhờ hai lò xo đều có độ cứng C

Lập phương trình vi phân dao động tự do của xà Tính tần số riêng của dao động nhỏ của xà

4

34

Cg

4

3

54 Cho biết khối lượng m có thể di chuyển tự do không ma sát dọc theo trục nằm

ngang ở hai phía của khối lượng người ta gắn hai lò xo như nhau, độ cứng C Giữa lò xo và

Trả lời:

m

Cp

;x2